Capítulo 7
Potência em circuitos de corrente alternada
Conceitos básicos
i(t)
~
u(t)
Z
Nos terminais da fonte tem-se uma tensão
senoidal expressa por:
u (t ) = 2 ⋅ U ef sen( wt )
A impedância
Z
Û = U ef ∠0o
V
pode ser expressa por:
Z = |Z|∠φ = R + j X
Ω
Nesse caso, a corrente em regime permanente
corresponde a:
i (t ) = 2 ⋅ I ef ⋅ sen( wt − φ ) = 2 ⋅
U ef ∠0 o
U ef
Z
. sen(wt − φ )
U ef
ˆI = Û =
=
∠ − φ = I ef ∠ − φ
Z
Z ∠φ
Z
A
1
Potência instantânea fornecida pela fonte:
p(t ) = u (t ) ⋅ i(t )
Substituindo u (t ) = 2 ⋅ U ef sen( wt ) e i( t ) = 2 ⋅ I ef ⋅ sen( wt − φ ) ,
tem-se:
p (t ) = 2 ⋅ U ef ⋅I ef ⋅ sen( wt ) ⋅ sen( wt − φ )
Através de
obtém-se:
algumas
relações
trigonométricas,
p (t ) = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) ⋅ [1 − cos(2 wt )]− U ef ⋅I ef ⋅ sen(φ ) ⋅ sen(2 wt )
1444442444443 14444244443
{A}
{B}
Termo {A} tem uma componente constante:
U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ )
e uma componente “senoidal” cuja freqüência é o
dobro da freqüência da tensão:
− U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) ⋅ [cos(2wt )]
Termo {B} é “senoidal” com freqüência dupla:
− U ef ⋅I ef ⋅ sen(φ ) ⋅ [sen(2wt )]
2
Exemplo 7.1
U ef = 100 V Ief = 10 A w = 377 rad/s φ = 30o
As expressões
potência são:
para
u (t ) = 100 ⋅ 2 ⋅ sen( 377 ⋅ t ) V
a
tensão,
corrente
e
i (t ) = 10 ⋅ 2 ⋅ sen( 377 ⋅ t − 30o ) A
p(t ) = 500 ⋅ 3 ⋅ [1 − cos(754 ⋅ t )]− 500 ⋅ sen(754 ⋅ t ) W
1444424444
3 144
42444
3
{A}
{B}
OBS.: Fatores de multiplicação foram utilizados
para tornar adequada a visualização.
3
Valor médio da potência fornecida à carga:
Pm =
1 T
Pm = ∫o p (t ) ⋅ dt
T
{
}
1 T
∫o 500 ⋅ 3 ⋅ [1 − cos(754 ⋅ t )] − 500 ⋅ sen(754 ⋅ t ) dt
T
Pm =
{
}
1
500 ⋅ 3 ⋅ T − 0 − 0 = 500 ⋅ 3 W
T
Genericamente:
Pm =
1 T
1 π
p
(
t
)
⋅
dt
=
∫o
∫o p ( wt ) ⋅ d ( wt ) = U ef ⋅I ef ⋅ cos φ
T
π
Unidade de Pm → Watt (W)
CONCLUSÃO:
A potência média corresponde à componente
constante do termo {A}:
U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ )
4
Impedância Resistiva
i(t)
~
Z
u(t)
Se a impedância Z corresponde
carga puramente resistiva:
X =0
Z =R
φ = 0o
a
uma
A expressão da potência....
p (t ) = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) ⋅ [1 − cos(2 wt )]− U ef ⋅I ef ⋅ sen(φ ) ⋅ sen(2 wt )
1444442444443 14444244443
{A}
{B}
reduz-se a:
p(t) = U ef ⋅I ef ⋅ cos( φ ) ⋅ [ 1− cos( 2wt )]
14444442444444
3
{A}
Verifica-se que o termo {B} é igual a
zero.
5
A figura abaixo mostra as formas de
onda de tensão, corrente e potência
instantânea
para
uma
impedância
resistiva.
Pode-se obter facilmente o valor médio
da
potência
fornecida
pela
fonte
através da expressão:
Pm = U ef ⋅I ef ⋅ cos φ
[W]
Sendo φ = 00 (impedância resistiva), a
potência média corresponde a Pm = U ef ⋅I ef
6
Impedância Indutiva
i(t)
~
Z
u(t)
Se a impedância Z corresponde
carga puramente indutiva:
R=0 Ω
Z = XL = w ⋅ L
φ = 90o
A expressão da potência
neste caso é dada por:
ou
a
φ=
uma
π
2
rad
instantânea
p( t ) = − U ef ⋅I ef ⋅ sen( 2wt )
144424443
{B}
Verifica-se que o termo {A} é igual a
zero e que o valor médio da potência
também é igual a zero.
7
A figura abaixo mostra as formas de
onda de tensão, corrente e potência
para uma carga puramente indutiva.
No intervalo de tempo em que a potência
assume valores positivos o indutor
recebe energia da fonte. No intervalo
de tempo seguinte, em que a potência
assume valores negativos, o indutor
fornece energia à fonte.
O indutor é um elemento armazenador de
energia, no sentido de que a energia
armazenada durante um período de tempo
é totalmente devolvida à fonte no
período de tempo seguinte.
8
Impedância Capacitiva
i(t)
~
Z
u(t)
Se a impedância Z corresponde
carga puramente capacitiva:
R = 0Ω
Z = XC =
1
w ⋅C
φ = −90o
A expressão da potência
neste caso é dada por:
a
φ =−
ou
π
2
uma
rad
instantânea
p( t ) = U ef ⋅I ef ⋅ sen( 2wt )
14442444
3
{B}
Da mesma forma que para o puramente
indutivo, também são iguais a zero, o
termo {A} da equação e o valor médio da
potência instantânea.
9
A figura abaixo mostra as formas de
onda de tensão, corrente e potência
para uma carga puramente capacitiva.
No intervalo de tempo em que a potência
assume valores positivos o capacitor
recebe energia da fonte. No intervalo
de tempo seguinte, em que a potência
assume valores negativos, o capacitor
fornece energia à fonte.
O
capacitor
também
é
um
elemento
armazenador de energia, no sentido de
que a energia armazenada durante um
período de tempo é totalmente devolvida
à fonte no período de tempo seguinte.
10
Analise:
Comente sobre o comportamento elétrico
do capacitor e do indutor sob o ponto
de vista da energia armazenada.
INDUTOR
CAPACITOR
11
Impedância RLC
i(t)
~
u(t)
Z
Se a impedância Z corresponde a um RLC
série com as formas de onda indicadas
abaixo:
Carga RLC com comportamento capacitivo
A potência assume valores positivos e
negativos ao longo do tempo e o valor
médio da potência fornecida é dado por:
Pm = U ef ⋅I ef ⋅ cos( φ )
[W]
12
Comparando-se
a
área
sob
a
parte
positiva da curva p(t) com a área
contida na parte negativa, conclui-se
que a energia fornecida pela fonte é
maior do que a energia que lhe é
devolvida, indicando que ao longo do
tempo há uma energia líquida que é
consumida
pela
carga,
devido
à
existência de bipolos resistivos na
composição da carga.
13
DEFINIÇÕES:
Retomando a expressão da potência instantânea:
p (t ) = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) ⋅ [1 − cos(2wt )]− U ef ⋅I ef ⋅ sen(φ ) ⋅ sen(2 wt )
1444442444443 14444244443
{A} ou p A (t )
{B} ou pR (t )
O termo {A}, representado por pA(t),
denominado potência ativa instantânea
é
O termo {B}, representado por pR(t),
denominado potência reativa instantânea.
é
Valores médios de pA(t) e pR(t):
PAm = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) = Pm
PRm = 0
Simplificando, define-se:
P = PAm = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) = Pm
como a potência ativa, que corresponde ao
valor médio de pA(t) e de p(t).
Define-se
Q = U ef ⋅I ef ⋅ sen(φ )
como a potência reativa, que corresponde ao
valor de pico de pR(t).
14
Retomando os fasores associados à tensão e
à corrente:
Iˆ = I ef ∠ − φ
Û = U ef ∠0 o
define-se o número complexo
potência complexa como:
∗
ˆ
S =Û ⋅I
(
S = U ef ∠0 ⋅ I ef ∠ − φ
o
S,
chamado
)
∗
S = U ef ⋅ I ef ⋅ cos φ + jU ef ⋅ I ef ⋅ sen φ
Retomando as expressões definidas para
potência ativa e para a potência reativa:
P = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ )
a
Q = U ef ⋅I ef ⋅ sen(φ )
a expressão para a potência complexa resulta:
S = P + jQ
S = S ∠φ
S = U ef ⋅ I ef = P 2 + Q 2
tgφ =
Q
P
S é denominado potência aparente.
15
Unidades:
Potência complexa (S)
Potência aparente ( S )
Potência Reativa (Q)
Volt-Ampère (VA)
kilo-volt-ampère (kVA)
Mega-volt-ampère (MVA)
Potência ativa:
Watt (W)
kilo-Watt (kW)
Mega-Watt (MW)
Obs.: Na literatura pode ser encontrado o
Volt-Ampère reativo (VAr) como unidade
para a potência reativa.
(segundo norma técnica IEC-International
Electrotechnical Comission)
16
Exemplo 7.2
Um circuito RL série é composto por um resistor
1
de 10 Ω e um indutor de 37,7 H e está conectado a
uma fonte de tensão alternada, 60 Hz:
u (t ) = 100 ⋅ 2 sen(wt )
V
Obter:
a)
b)
c)
d)
a corrente i(t) fornecida pela fonte;
a potência p(t) na carga;
as potências complexa, ativa e reativa;
o triângulo de potências.
Û = 100∠0o = 100 V
Z = 10 + j 377 ⋅
1
= 10 + j10 = 10 2∠45 o Ω
37,7
o
Û
100
∠
0
o A
Iˆ = =
=
5
2
∠
−
45
Z 10 2∠45o
i (t ) = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ sen( wt − 45 o ) = 10 ⋅ sen( wt − 45 o ) A
Note que o ângulo de 45o da impedância total
da carga, também é o ângulo da defasagem
entre a corrente e a tensão na fonte.
P = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) = 100 ⋅ 5 2 ⋅ cos 45o = 500 W
Q = 100 ⋅ 5 2 ⋅ sen 45 o = 500 VA
p(t ) = 500 ⋅ [1 − cos(2wt )] − 500 ⋅ sen(2 wt ) W
17
S = Û ⋅ Iˆ∗ = 500 2∠45o VA
Q
tgφ = = 1 → φ = 45o
P
S = U ef ⋅ I ef = P + Q = 500 2 VA
2
2
Im
500
S 
Q
Q
φ
P
Re
500
Exemplo 7.3
Repetir o exemplo 7.2 acrescentando um capacitor
1
de 7540 F em série com a carga RL.
Z = 10 + j 377 ⋅
1
7540
− j
= 10 − j10 = 10 2∠ − 45o Ω
37,7
377
o
Û
∠
100
0
o A
Iˆ = =
=
5
2
∠
45
Z 10 2∠ − 45o
P = U ef ⋅I ef ⋅ cos(φ ) = 100 ⋅ 5 2 ⋅ cos( −45o ) = 500 W
Q = 100 ⋅ 5 2 ⋅ sen( −45 o ) = −500 VA
18
A potência reativa
negativo. Por quê?
resultou
em
um
valor
S = Û ⋅ Iˆ∗ = 500 2∠ − 45o VA
S = U ef ⋅ I ef = P 2 + Q 2 = 500 2 VA
tgφ =
Q
= −1 → φ = −45o
P
Im
P
500
Re
φ
Q
S 
Q
-500
CONVENÇÃO:
Fluxos das potências ativa e reativa
19
Medição de potência ativa e reativa
A potência ativa é medida através do
wattímetro.
Bornes da
Bobina de
Potencial
(BP)
Bornes da
Bobina de
Corrente
(BC)
Chave seletora do
Fundo de escala
Wattímetro Eletrodinâmico
ATENÇÃO:
Representação padronizada de um wattímetro
em um diagrama elétrico.
20
A medição de potência reativa pode ser
realizada com um equipamento similar ao
wattímetro, denominado varímetro.
Como na prática é mais comum se ter
voltímetros, amperímetros e wattímetros
do que varímetros, freqüentemente optase pelo cálculo da potência reativa a
partir dos valores de tensão, corrente
e potência ativa:
Q=
(U ⋅ I )2 − P 2
21
Fator de potência
Iˆ = I ef ∠(α − φ )
Û = U ef ∠α
Û
α
α-φ φ
0o
Î
Potência complexa:
S = Û ⋅ Iˆ∗ = U ef ⋅ I ef ∠φ
Potência ativa:
P = S ⋅ cos (φ ) = U
ef
⋅ I ef ⋅ cos (φ
)
O cos(φ
φ) pode ser interpretado como um
fator que define a parcela da potência
aparente que é dissipada nos elementos
resistivos do circuito. Este fator é
denominado de fator de potência.
22
Da definição de potência ativa, tem-se:
fp = cos( φ ) =
P
P
=
S U ef ⋅ I ef
O fator de potência é o cosseno do
ângulo de defasagem entre a tensão e a
corrente do circuito.
Convenção para fator de potência
Para tornar explícita a diferença entre
as
características
das
cargas,
diz-se
que, para uma carga indutiva, o fator
de
potência
é
indutivo
ou
atrasado,
indicando que a corrente está atrasada
em
relação
capacitiva,
à
o
tensão.
fator
E
de
para
a
carga
potência
é
capacitivo ou adiantado, indicando que
a corrente está adiantada em relação à
tensão.
23
Correção do fator de potência
chave
o
Û = 440∠0 V
∠30 Ω
Zm = 100∠
Iˆ f
o
~
Û
Iˆm
Iˆc
Zm
Zc
Zc = -j300 Ω
Com a chave aberta, a corrente na fonte é a que circula
em Zm :
o
Û
440
∠
0
Iˆ f = Iˆm =
=
= 4,4∠ − 30 o
Z m 100∠30 o
A
Note que a corrente está atrasada em
relação à tensão, pois a carga é
indutiva e a potência complexa suprida
pela fonte é igual à potência exigida
pela carga:
S f = S m = Û ⋅ Iˆ ∗f = 440∠0 o ⋅ 4,4∠30 o = 1936∠30 o = 1676
,6252
00
142
43 + j 968
12,3
P
VA
Q
Sendo Q>0 ⇒ a fonte está suprindo uma
potência reativa de 968 VA, necessária
para o funcionamento da carga além da
potência ativa da ordem de 1,7 kW.
24
chave
Iˆ f
~
Û
Iˆm
Iˆc
Zm
Zc
Ao se fechar a chave, a corrente em Zm
não se altera, pois a tensão aplicada
sobre ela permanece a mesma (circuito
paralelo).
A corrente no capacitor vale:
o
Û
440
∠
0
Iˆc =
=
= 1,4667∠90 o
Z c 300∠ − 90 o
E
a
corrente
calculada por:
na
fonte
Î f = Î m + Î c = 3,8804∠ − 10,89 o
Importante:
A
pode
ser
A
A conexão do capacitor em paralelo
resultou em um valor menor da corrente
na fonte e o ângulo de atraso desta
corrente em relação à tensão na fonte
também diminuiu.
25
A potência complexa no capacitor vale:
∗
2
2


Û
U
440
∗
S c = Û ⋅ Iˆc = Û ⋅   =
=
= 645,3333∠ − 90 o = − j 645,3333
Z c∗ 300∠90 o
Zc 
VA
Note que no capacitor não há componente
relativa à potência ativa e o valor
negativo da potência reativa calculada,
indica que o capacitor fornece potência
reativa ao circuito.
Importante:
A potência complexa na carga (Sm) não se
altera com o fechamento da chave.
A potência complexa
fonte é igual a:
fornecida
pela
S f = Û ⋅ Iˆ ∗f = 440∠0 o ⋅ 3,8804∠10,89 o = 1707,3760∠10,89 o = 1676,6291 + j 322,5644
VA
Como o capacitor não consome potência
ativa, a fonte continua fornecendo os
mesmos 1,7 kW que são consumidos pela
carga.
26
A carga necessita de uma potência reativa
de 968 VA, sendo que a fonte fornece
aproximadamente 322,6 VA e o capacitor
supre aproximadamente 645,3 VA.
1,7 kW
1,7 kW
~
(a) ~
(b)
645,3 VA
968 VA
322,6 VA
Fluxos de potência ativa e reativa
Se o capacitor for trocado por um outro
tal que Zc = -j150 Ω, tem-se:
o
Û
440
∠
0
=
= 2,9333∠90 o
Iˆc =
Z c 150∠ − 90 o
E
a
corrente
calculada por:
na
fonte
Î f = Î m + Î c = 3,8804∠ + 10,89o
A
pode
ser
A
Note que com o novo capacitor, a
corrente na fonte está adiantada em
relação à tensão.
A potência complexa neste capacitor
vale:
∗
Û 
U2
440 2
∗
ˆ
Sc = Û ⋅ Ic = Û ⋅   =
=
= 1290,6667∠ − 90 o = − j1290,6667
∗
o
Z c 150∠90
Zc 
VA
27
E a potência complexa
fonte é igual a:
fornecida
pela
∗
S f = Û ⋅ Iˆ f = 440∠0 o ⋅ 3,8804∠ − 10,89 o = 1707,3760∠ − 10,89 o = 1676,6291 − j322,5644
VA
Importante:
Como o capacitor não consome potência
ativa, a fonte continua fornecendo os
mesmos 1,7 kW que são consumidos pela
carga,
a
qual
também
continua
demandando 968 VA de potência reativa.
Porém, com o novo capacitor, a fonte
deve absorver 322,6 VA de potência
reativa enquanto o capacitor supre
1290,7 VA.
1,7 kW
~
1290,7 VA
322,6 VA
Fluxos de potência ativa e reativa
28
Diagramas fasoriais completos
Û
(a)
Û
(b)
Î=Îm
Îc
Î
escalas
Îm
10 V/cm
2 A/cm
Îc
Î
Û
(c)
Îm
A partir destes diagramas é possível
concluir que, dependendo da combinação
carga-capacitor, a fonte pode suprir ou
absorver potência reativa enquanto a
potência ativa fornecida pela fonte é
constante, independentemente do capacitor
conectado.
29
chave
Iˆ f
~
Iˆm
Iˆc
Zm
Û
Zc
Com a chave aberta sabe-se que a fonte
deve suprir uma potência ativa de 1,7 kW
e uma potência reativa de 968 VA.
Se assumirmos que o capacitor a ser
conectado em paralelo deve fornecer toda
a potência reativa requerida pela carga,
a fonte será responsável somente pelo
e
fornecimento
de
potência
ativa,
portanto:
S c = − j 968 VA
Corrente no capacitor:
∗
S 
Iˆc =  c  = 2,2∠90 o
Û 
A
e a sua respectiva impedância:
Zc =
Û
= − j 200
ˆI
Ω
c
ou seja, Xc =200 Ω.
30
Dessa forma tem-se o valor da reatância
do capacitor capaz de suprir toda a
potência reativa que a carga indutiva
necessita e sabendo-se o valor da
freqüência, pode-se obter o valor da
capacitância:
Qc = U2/Xc = U2.w.C.
chave
Iˆ f
~
Û
Iˆm
Iˆc
Zm
Zc
Considere que com a chave aberta, a
tensão aplicada pela fonte tem um valor
eficaz de 15 kV e a carga é do tipo
indutiva, com P =1 MW e Q =1 MVA. Esta
é a situação normalmente encontrada em
instalações
industriais,
onde
a
indústria representa uma carga indutiva
para
a
concessionária
de
energia
elétrica,
devido
à
instalação
de
motores, equipamentos de refrigeração,
iluminação fluorescente, transformadores, condicionadores de ar, etc.
31
A potência complexa proveniente da rede
é
igual
à
potência
elétrica
(Sr)
complexa da carga (SZ):
S r = S Z = P + jQ = 1 + j1 = 2∠45o
MVA
O fator de potência global é igual ao
cosseno do ângulo de defasagem entre a
tensão aplicada e a corrente total, ou
ainda igual ao cosseno do ângulo da
potência complexa Sr.
fp = cos( φ ) =
P
= cos 45 o = 0 ,7071
Sr
O valor eficaz da corrente total é:
I ef
Sr
P
2 ⋅ 10 6
=
=
=
= 94,3
3
U ef ⋅ fp U ef
15 ⋅ 10
A
Através
dos
cálculos
realizados,
percebe-se que quanto maior for a
potência reativa suprida pela fonte,
menor
será
o
valor
do
fator
de
potência. Como a fonte é projetada para
atender à potência aparente requerida,
um baixo fator de potência significa
que uma pequena porcentagem da potência
32
aparente fornecida pela fonte corresponderá à potência ativa, referente à
dissipação de potência nos elementos
resistivos do circuito.
Percebe-se também que quanto mais baixo
for o fator de potência maior será a
corrente nos condutores, nos quais há
perdas do tipo Joule (R.I2), e portanto,
quanto maior for a corrente, maiores
serão as perdas na transmissão da
potência da fonte à carga.
Finalmente, quanto maior a corrente,
maior será a queda de tensão nos
condutores e menor a tensão aplicada
sobre a carga, pois os condutores têm
suas próprias impedâncias.
Tendo em vista os fatos apresentados,
conclui-se que é vantajosa a elevação
do fator de potência da instalação.
Com o fechamento da chave e portanto,
com a conexão de um ou mais capacitores
em paralelo, pode-se conseguir que a
fonte forneça somente a potência ativa,
enquanto
que
a
potência
reativa
necessária ao funcionamento da carga é
suprida pelos capacitores.
33
O procedimento adotado para a elevação
do fator de potência de uma instalação,
e que consiste na inserção de uma fonte
de
potência
reativa
(capacitor
em
paralelo), é denominado de correção do
fator de potência.
Estudos
realizados
indicaram
a
necessidade de as indústrias manterem
um
fator
de
potência
mínimo,
que
atualmente é de 0,92. Instalações em
que o fator de potência atinge valores
menores que o valor mínimo estipulado
são penalizadas no pagamento da conta
de consumo de energia elétrica, sendo
calculada da seguinte forma:
Valor a pagar = custo da energia consumida
•
0,92
fpind
Este
cálculo
pode
resultar
em
um
acréscimo considerável no valor a ser
pago.
ATENÇÃO:
0,92 é o fator de potência mínimo vigente.
34
35
NO MATERIAL DIDÁTICO HÁ EXEMPLOS NUMÉRICOS
ESTUDEM E TRAGAM AS SUAS DÚVIDAS.
Vídeo:
Correção do Fator de Potência de um Motor de Indução
http://www.youtube.com/watch?v=K1n23Hyl8yw
36