ISSN 2317-3297
Otimização Topológica Estrutural em Estado Plano de
Deformações
Renatha B. dos Santos,
Antonio A. Novotny,
LNCC - Laboratório Nacional de Computação Científica
25651-075, Petrópolis, RJ
E-mail: [email protected], [email protected].
Palavras-chave: Derivada Topológica, Otimização Topológica, Múltiplos carregamentos, Estado
Plano de Deformações
Resumo: A derivada topológica mede a sensibilidade de um dado funcional com respeito a uma
perturbação infinitessimal no domínio, como a inserção de furos, inclusões ou até mesmo termos fontes. A derivada topológica vem sendo utilizada com sucesso na obtenção de topologia
ótima para uma grande classe de problemas da física e da engenharia. Neste trabalho utiliza-se
a derivada topológica em um problema de otimização topológica estrutural em estado plano de
deformação. Em particular, minimiza-se a flexibilidade da estrutura submetida a vários casos de
carregamento considerando uma restrição no volume. Uma vez que lida-se com múltiplos casos
de carregamento um problema de otimização multi-objetivo é proposto e a derivada topológica é
obtida como uma soma para cada caso de carregamento.
1
Introdução
Em Elasticidade Linear consideram-se dois tipos de problemas planos: problemas em estado
plano de tensões e problemas em estado plano de deformações. Os problemas em estado plano
de deformação caracterizam-se por estruturas nas quais a dimensão na direção z é muito maior
que as dimensões no plano xy. As cargas são paralelas ao plano xy e não variam na direção
z. Assume-se que os deslocamentos na direção z sejam restringidos. Desta forma, qualquer
seção transversal (paralela ao plano xy) encontra-se submetida ao mesmo estado de deformação.
Nesta seção é apresentado um modelo matemático para o cálculo da derivada topológica para
um problema em elasticidade linear bidimensional em estado plano de deformação considerando
a hipótese de pequenas deformações.
Considere um domínio Ω ⊂ R2 . Introduz-se uma função característica χ = 1Ω associada ao
domínio, tal que:
∫
|Ω| =
χ,
(1)
R2
onde |Ω| é a medida de Lebesgue de Ω. Deseja-se calcular a derivada topológica do funcional
energia potencial total
∫
∫
1
ψ(χ) := Jχ (u) =
σ(u) · ∇s u −
q·u .
(2)
2 Ω
ΓN
O campo vetorial u representa o deslocamento de cada ponto do domínio e é solução do seguinte
problema variacional:

u ∈ U tal ∫que
 Achar
∫
(3)
σ(u) · ∇s η =
q · η, ∀η ∈ V,

Ω
ΓN
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com σ(u) = C∇s u. Aqui entende-se: σ(u) tensor de Cauchy de 2a ordem ou tensor tensão, ∇s u =
1
a
T
2 (∇u + ∇ u) tensor de Green linearizado, também de 2 ordem, ou tensor das deformações e C
tensor de Hooke generalizado (constitutivo) de quarta ordem dado por:
C = 2µI + λI ⊗ I,
(4)
onde I e I são os tensores identidade de segunda e quarta ordem, respectivamente, µ e λ são os
coeficientes de Lamé, ambos considerados constantes em todo domínio, o que caracteriza o caso
isotrópico e homogêneo. Em estado plano de deformação:
µ=
νE
E
eλ=
,
2(1 + ν)
(1 + ν)(1 − 2ν)
(5)
onde E é o módulo de elasticidade de Young e ν é o coeficiente de Poisson. O conjunto U e o
espaço V são definidos como:
U
:= {φ ∈ H 1 (Ω; R2 ) : φ|ΓD = u},
(6)
V := {φ ∈ H (Ω; R ) : φ|ΓD = 0}.
(7)
1
2
2
Conceito de Derivada Topológica
Considera-se agora que Ω é submetido a uma perturbação não suave confinada numa pequena
região ωε (b
x) = x
b + εω de tamanho ε, com x
b um ponto arbitrário do domínio e ω um domínio
2
fixo em R , como mostra a figura 1.
Figura 1: Conceito de derivada topológica.
Então, define-se também, uma função característica associada ao domínio topologicamente
perturbado na forma, x
b 7→ χε (b
x). No caso de furo, por exemplo, χε (b
x) = 1Ω − 1ωε(bx) , e o domínio
x). Então, assume-se que, dado
topologicamente perturbado é obtido na forma: Ωε (b
x) = Ω \ ωε (b
um funcional de forma ψ(χε (b
x)) associado ao domínio topologicamente perturbado, admite-se a
seguinte expansão assintótica topológica:
ψ(χε (b
x)) = ψ(χ) + f (ε)T (b
x) + o(f (ε)),
(8)
onde ψ(χ) é o funcional de forma associado ao domínio original (não perturbado), f (ε) é uma
função positiva tal que f (ε) → 0 quando ε → 0. A função x
b 7→ T (b
x) é chamada de derivada
topológica de ψ no ponto x
b. Reescrevendo (8) e tomando o limite quando ε → 0, obtem-se:
ψ(χε (b
x)) − ψ(χ)
.
ε→0
f (ε)
T (b
x) = lim
(9)
Neste trabalho, o domínio é topologicamente perturbado pela nucleação de uma pequena
inclusão, ao invés de fazer furos. Mais precisamente, o domínio perturbado é obtido quando
uma região Bε (b
x) é inserida em Ω, onde Bε (b
x) é usada para denotar a bola de raio ε e centro
em x
b ∈ Ω. Em seguida, essa região é preenchida por uma inclusão com propriedade material
diferente da propriedade do meio. Em particular, χε (b
x) = 1Ω − (1 − γ)1Bε (bx) , e γε é uma função
constante por partes na forma:
{
1, se x ∈ Ω \ Bε ,
γε = γε (x) :=
(10)
γ, se x ∈ Bε ,
onde γ ∈ R+ é o contraste na propriedade material.
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Derivada Topológica
3
A expansão assintótica topológica do funcional energia é dada por [1]:
ψ(χε (b
x)) = ψ(χ) − πε2 Pγ σ(u(b
x)) · ∇s u(b
x) + o(ε2 ).
onde o tensor de polarização Pγ é dado pelo seguinte tensor isotrópico de quarta ordem:
(
)
1 1−γ
1
1−γ
Pγ =
(1 + α2 )I + (α1 − α2 )
I⊗I ,
2 1 + γα2
2
1 + γα1
(11)
(12)
com
α1 =
1
e α2 = 3 − 4ν.
1 − 2ν
(13)
Tomando f (ε) = πε2 , tem-se a seguinte fórmula para a derivada topológica,
T (b
x) = −Pγ σ(u(b
x)) · ∇s u(b
x).
4
(14)
Resultados Numéricos
O problema de otimização que deseja-se resolver é:

n

 Minimizar F (u ) = − ∑ J (u ),
χ i
Ω i
i=1


sujeito à |Ω| ≤ |Ω∗ |,
(15)
onde n é o número de casos de carregamento. Utilizando o método da penalização linear para
controle de volume, o problema de otimização (15), é reescrito como:
min FΩβ (ui ) ,
Ω⊂R2
(16)
onde
FΩβ (ui ) = FΩ (ui ) + β|Ω|,
(17)
sendo β um multiplicador fixo que impõe a restrição na quantidade de material. Como o problema
é linear, a derivada topológica associada ao funcional (17) é escrita como:
T (b
x) =
n
∑
Ti (b
x) − λ
(18)
i=1
onde, de (14):
Ti (b
x) = Pγ σ(ui (b
x)) · ∇s ui (b
x).
(19)
No exemplo aqui apresentado, o domínio Ω é discretizado por elementos finitos. Utiliza-se o
algorítmo proposto por [2], que baseia-se em uma representação por função level-set para o
domínio. Consideram-se dois casos:
• caso 1: as cargas são aplicadas simultaneamente (único carregamento),
• caso 2: as cargas são aplicadas separadamente (múltiplo carregamento).
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4.1
Exemplo
A figura 2 representa o domínio inicial submetido a um carregamento distribuído na lateral
e a três forças concentradas tal que q 1 = 2q e a intensidade de q = 0.1. Para o coeficiente
de penalização foi tomado β = 3.0. O contraste na propriedade material γ = 10−4 . O módulo
de Young E = 1 e o coeficiente de Poisson ν = 0.3. A malha inicial é uniforme com 400
elementos finitos. As topologias finais foram obtidas com 33 e 31 iterações para o caso 1 e caso
2 respectivamente. Veja figuras 3(a) e 3(b).
Figura 2: Modelo
(b) múltiplo carregamento
(a) único carregamento
Figura 3: Resultados
5
Conclusão
Neste trabalho a derivada topológica foi utilizada no contexto de otimização topológica de
estruturas em estado plano de deformação sujeitas a múltiplos casos de carregamento. A otimização topológica foi feita minimizando-se a flexibilidade da estrutura com restrição em volume. A
derivada topológica foi encontrada como uma soma das derivadas topológicas para cada caso de
carregamento, uma vez que o problema de otimização é multi-objetivo. Por fim foi apresentado
um exemplo numérico de otimização estrutural mostrando o papel dos múltiplos carregamentos.
Referências
[1] Novotny, A.A., Sokołowski J., Topological Derivatives in Shape Optimization, Lectures
Notes, Brazil-France (2012).
[2] Amstutz S., Andra H., A new algorithm for topology optimization using a level-set method,
Journal of Computational Physics, vol. 216(2), pp. 573-588 (2006)
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