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Lista de Exercícios
1. Considere um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço.
Escreva a equação geral do plano  que contém os pontos A   1, 1, 1 ,
B   1, 2, 3  , B   3,  1, 1 .
2. Considere um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço.
x  t
x  y  0

Determine o ângulo entre as retas r : 
e s : y  t .
x  1
z  t

3. Considere o ponto A(1,0,1) e o plano  de equação
2x  y  z 1  0.
Determine as coordenadas da projeção do ponto A sobre o plano .
4. Considere o plano π de equação
x  1  t

t
y 
 z  1  t

x  y  0 , e a reta r dada por
,t  R
.
a) Mostre que a reta r é paralela ao plano π.
b) Escreva equações paramétricas de uma reta s, contida em π e reversa
com r.
5. Considere o ponto R(0,1,0) e a reta m dada por
x  1  t

 y   1  2t
z  2  t

,t  R.
Escreva a equação geral (equação cartesiana) do plano que contém a reta m e o
ponto R.
2
6. Encontre os valores de a de modo que o plano  : ax  y  z  1  0 e a reta
x  1 t

r : y  0
z  t

0
determinem um ângulo   30 entre si.
7. Considere o paralelepípedo, cujos vértices são os pontos
A  0, 0, 1
,
B  0, 1, 0 C  1, 0, 0 D  1, 1, 1 E 1,  1, 0 F 1, 0, 1 G  0, 1, 1
,
,
,
,
,
,
H  0, 0, 2
.
π1
π2
a) Escreva as equações paramétricas do plano π1, que contém a face ABDC, e a
equação geral do plano π2, paralelo ao plano π1, que contém a face EFHG.
b) Mostre que o ponto F é a projeção do ponto B sobre o plano π2.
c) Escreva as equações paramétricas da reta r que contém a diagonal BG.
x 


s : y 

 z  2  

d) Verifique que a reta
contém a aresta DH.
e) Mostre que as retas r e s são reversas.
8. Considere os pontos A   0, 0, 0  , B   2, 0, 0 , C   0, 3, 1 e D   0, 1, 2 ,
os vértices do tetraedro ABCD .
a) Escreva a equação geral do plano que contém a face ABC .
b) Determine o ângulo formado pelas faces ABC e BCD .
c) Mostre que as retas que contém as arestas AD e BC são reversas.
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D
C
A
B
x  

s :  y   ,  real
z  0

9. Considere o ponto P   0, 0, 1 e a reta
. Escreva as
equações paramétricas de uma reta r , que passa por P , e corta s formando um
ângulo de 60.
10. Escreva a equação paramétrica da reta que passa no ponto P(0,0,2) e é
x  y  2  0

x  3z  1  0
paralela à reta dada por 
.
11. Determine a equação geral do plano
x  t

r : y  t
z  1

que contém a reta
eé
perpendicular ao plano
 : x  2y  z  2  0 .
12.Considere o tetraedro ABCD da
figura ao lado, sendo A(1,0,0),
B(0,2,0), C(3,1,0) e D(1,4,2).
Determine as coordenadas do ponto E,
obtido pela projeção ortogonal do
vértice A sobre o plano da face BCD.
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