Prof. Felipe Wergete Cruz
UNIVASF
Geometria Analı́tica - 2013.1
3a Lista de Exercı́cios
Assuntos envolvidos: Equações de Reta e Plano, Interseção de Retas e Planos, Posição Relativa
de Retas e Planos, Perpendicularidade e Ortogonalidade, Medida Angular e Distância.
Questões
Questão 1. Uma partı́cula realiza o movimento descrito pela equação X = (2, 1, 5)+t (2, −1, 3), t ∈
R. Uma segunda partı́cula, também em movimento retilı́neo uniforme, ocupa, no instante −2, a
posição P = (−24, 14, −34) e, no instante 3, a posição Q = (26, −11, 41).
(a) Verifique se as trajetórias são concorrentes e se há perigo de colisão.
(b) Qual é a equação do movimento da segunda partı́cula?
Questão 2. Obtenha o ponto simétrico de P = (0, 2, 1) em relação à reta r : X = (1, 0, 0) +
t (0, 1, −1), t ∈ R.
Questão 3. Dadas as retas r : X = (0, 1, 0) + λ (1, 0, 0) e s : X = (−1, 2, −7) + µ (2, 1, −3),
obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ~u = (1, −5, −1).
Questão 4. O lado BC de um triângulo equilátero está contido na reta r : X = (0, 0, 0) +
λ (0, 1, −1), e seu vértice oposto é A = (1, 1, 0). Determine B e C.
Questão 5. Obtenha um vetor diretor da reta que é paralela ao plano π1 : x + y + z = 0 e forma
ângulo de 45◦ com o plano π2 : x − y = 0.
Questão 6. Determine m e n para que o ponto P = (3, m, n) pertença à reta

 x = 1 − 2t
y = −3 − t .
s:

z = −4 + t
Questão 7. Determine o valor de n para que seja de 30◦

 x
x−2
y+4
z
y
=
=
e s:
r:

4
5
3
z
o ângulo entre as retas
= t
= 5 + nt .
= −2 + 2 t
Questão 8. A reta que passa pelos pontos A = (−2, 5, 1) e B = (1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C = (3, −1, −1) e D = (0, y, z). Determine o ponto D.
Questão 9. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das
retas

 x = 1 − t
y+1
z
y = t
r :x−2=
=
e s:

2
3
z = 2 + 2t
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.
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Questão 10. Considere o plano π : 2x − y + 3z + 1 = 0. Seja P = (0, 2b, b). Calcule b para que
P ∈ π.
Questão 11. Determine a equação geral do

 x
y
r:

z
plano perpendicular à reta
= −3 + 2 t
= t
= 1 − t
e que contém o ponto A = (1, 2, 3).
Questão 12. Escreva a equação geral do plano determinado pelos pontos A = (2, 1, 0), B =
(−4, −2, −1) e C = (0, 0, 1).
Questão 13. Determine o valor de m para que seja de 30◦ o ângulo entre os planos
π1 : x + my + 2z = 7
Questão 14. Determine o ponto de

 x
y
r:

z
e
π2 : 4x + 5y + 3z = 2.
interseção da reta r com o plano π:
= 1 + t
= 2t
= 5
e
π : x = 3.
Questão 15. Obtenha os pontos da reta

 x = 2 − t
y = t
r:

z = 2 − 2t
que distam
√
6 do plano π : x − 2y − z = 1.
Questão 16. Obtenha os pontos da reta

 x = 2 − t
y = t
r:

z = 2 − 2t
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
Questão 17. Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano π : y = z, sabendo que a
medida angular entre r e s : X = (1, 1, 2) + t (1, −1, 0) é 60◦ e que r dista 1 do ponto P = (1, 0, 0).
Questão 18. Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do eixo das abscissas, está
contida no plano π1 : x + y = 0 e forma ângulo de 30◦ com o plano π2 : y − z = 1.
Questão 19. Dados os planos π1 : x + y + z = 1, π2 : 3x + y − z = 0 e π3 : x + y + z = 0,
seja π o plano que contém π1 ∩ π2 e é perpendicular a π3 . Calcule a distância de π a reta
r : X = (1, 2, 3) + t (1, 1, 1).
Questão 20. Dentre os planos que distam 2 de π : x − y + z = 0, qual é o que está mais próximo
de P = (2, 1, 1)?
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Questão 21. Determine as coordenadas do pé da perpendicular baixada do ponto P = (1, 2, 3)
sobre o plano determinado pelos pontos A = (5, 6, 0), B = (0, 2, 2) e C = (1, 0, 4).
Questão 22. Determine a distância entre as retas


 x = 3 + 5t
 x = 2 + 5λ
y = 4 + t
y = 2 + λ .
r:
e s:


z = 4 + 5t
z = 3 + 5λ
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