VERSÃO HIPERBÓLICA DO TEOREMA DAS PARALELAS:
UMA INICIAÇÃO AO ESTUDO DO MODELO DO SEMIPLANO
BECK, Vinicius Carvalho1;
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Licenciado em Matemática - UFPEL
Mestrando em Meteorologia - UFPEL
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INTRODUÇÃO
O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração da versão
hiperbólica do Teorema das Paralelas euclidiano, o qual afirma que dado uma reta
e um ponto fora dela, existe uma única reta que passa pelo ponto dado paralela a
reta dada. Na Geometria Hiperbólica, pelo ponto dado passam infinitas retas
paralelas a reta dada. Na verdade, o Teorema das Paralelas é um resultado que
caracteriza a Geometria Hiperbólica, construída aqui com base no Modelo do
Semiplano, que utiliza um subconjunto do plano complexo para deduzir as
proposições, e por se tratar de uma construção euclidiana, a consistência do
modelo recai na consistência da Geometria Euclidiana.
Definição (semiplano superior): Chamamos de semiplano superior o
conjunto
Noções (ponto e ângulo): As noções de ponto e ângulo adotadas no
modelo do semiplano são exatamente as mesmas noções de ponto e ângulo no
plano complexo.
Definição (conjunto
): Chamaremos de conjunto
o conjunto
formado por todas as retas euclidianas perpendiculares ao eixo dos números
reais, o qual por abuso de linguagem, denotaremos por .
Definição (conjunto
): Chamaremos de
todos os círculos com centro em algum ponto do eixo
o conjunto formado por
.
Definição (reta hiperbólica): Chama-se reta hiperbólica qualquer
elemento que pertença a
.
Teorema (Determinação de Retas Hiperbólicas): Dois pontos distintos
, determinam uma única reta hiperbólica que passa por eles.
Demonstração:
Existem dois a considerar. Primeiramente, vamos considerar
. Como as partes reais de e são idênticas, então existe uma
única reta euclidiana que passa por eles, e esta reta é perpendicular ao eixo .
Assim, a reta hiperbólica
passa por
e
e é única, pois a reta
euclidiana utilizada em sua construção é única.
Suponha agora que
. Os pontos
e
determinam uma
única reta euclidiana que passa por eles, digamos . No entanto, como
, não é perpendicular a .
Tomemos a mediatriz de , a qual denotaremos por
. A mediatriz
corta o eixo
em algum ponto, digamos . Agora vamos considerar o círculo
euclidiano , com centro em e raio
. Como
, então
,
e portanto,
. Assim,
é uma reta hiperbólica que passa por e e
é única, pois o círculo euclidiano utilizado na sua construção é único.
CQD
O teorema apresentado mostra que, analogamente ao que acontece na
Geometria Euclidiana, dois pontos também determinam uma única reta na
Geometria Hiperbólica, apesar de a noção de reta hiperbólica ser bastante distinta
da noção de reta euclidiana.
Definição (retas hiperbólicas paralelas): Duas retas hiperbólicas são
ditas paralelas se os conjuntos que as definem são disjuntos.
Teorema (Teorema das Paralelas Hiperbólico): Por um ponto
hiperbólico
fora de uma reta hiperbólica
, passam infinitas retas
hiperbólicas paralelas à .
Demonstração:
Vamos considerar dois casos. Primeiro, suponha que
esteja contida
numa reta euclidiana . Neste caso, existe uma reta euclidiana paralela a que
contém o ponto . Assim, a reta hiperbólica
é disjunta da reta
hiperbólica
, e portanto, e são paralelas.
Para construir outra reta hiperbólica que passa por e é paralela a ,
tomemos um ponto
entre
e . Como
, então existe um
círculo euclidiano centrado em que passa por e . Assim, a reta hiperbólica
é paralela a
e passa por . Como existem infinitos pontos
entre
e , logo, pelo mesmo processo podemos construir infinitas retas
hiperbólicas paralelas a que passam por .
Suponha agora esteja contida em um círculo euclidiano . Neste caso,
começamos considerando o círculo euclidiano concêntrico a que passa por .
Vamos denotar tal círculo por . Assim, a reta hiperbólica
é paralela a
e passa por .
Para construir outra reta hiperbólica paralela a
e passando por ,
iniciamos por tomar um ponto situado entre e . Em seguida, consideramos o
círculo euclidiano com centro em que passa por e , o qual existe pelo fato
de que
. Assim,
é uma reta hiperbólica disjunta de
, e portanto,
e
são paralelas e
passa por . Como existem
infinitos pontos em
entre
e , logo, existem infinitas retas hiperbólicas
paralelas a que passam por
completa a demonstração.
que podem ser construídas da mesma forma. Isto
CQD
O teorema demonstrado neste trabalho é de grande importância na
Geometria Hiperbólica, pois a partir dele são demonstrados muitos resultados
bastante distintos daqueles apresentados na Geometria Euclidiana, como por
exemplo ““Retângulos não existem”, “A soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo é menor do que 180º”, “Todos os triângulos semelhantes são
congruentes”, dentre outros. O modelo do semiplano permite demonstrar o
Teorema das Paralelas Hiperbólico em linguagem simples, pois os argumentos
utilizados são de natureza euclidiana.
REFERÊNCIAS
[1] ANDRADE, Plácido Francisco de Assis. De Euclides a Poincaré.
Notas do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará,
Fortaleza-CE, 2007. Disponível em http://www.mat.ufc.br/gmat/livros/euclides.pdf
[2] BARBOSA, João Lucas. Geometria Hiperbólica. Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2003. Disponível em
http://www.essentiaeditora.iff.edu.br/index.php/vertices/article/viewFile/53/4
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[3] MOREIRA, Ana Cláudia da Silva. Geometrias sob a Axiomática de
Hilbert. Universidade Estadual de Campinas, 2006. Disponível em
http://www.ime.unicamp.br/~eliane/ma241/trabalhos/sobhilbert.pdf
[4] PANSONATO, Claudia C.; BINOTTO, Rosane. Isometrias do Plano
Hiperbólico. Publicações do 1º Colóquio de Matemática da Região Sul, Santa
Maria – RS, 2010.
[5] von FLASH, Rodrigo Aguiar. A Geometria Hiperbólica e o Disco de
Poincaré: A Consistência dos Axiomas Hiperbólicos e uma versão do
Teorema de Pitágoras. Monografia de Graduação, Instituto de Matemática da
Universidade Federal da Bahia, Salvador-BA, 2009. Disponível em
http://www.colmat.ufba.br/monografias/Monografia_Rodrigo_von_Flach_2009_2.pd
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