Derivadas
Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no
ponto onde x = x0.
f ( x0  h)  f ( x0 )
lim
h 0
h
Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x0.
Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função
f´ cujo valor em x é:
f ( x  h)  f ( x )
f ´(x )  lim
h 0
h
desde que o limite exista.
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
f ( x  h)  f ( x )
h
3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o
Limite:
f ( x  h)  f ( x )
f ´(x)  lim
h 0
h
Modos de representar as derivadas de uma
função y = f(x).
• y’ y linha
dy
•
derivada de y em relação a x
dx
df
•
derivada de f em relação a x
dx
d
f (x ) operação de derivada realizada em f(x)
•
dx
dy
dx
Operação para obter uma derivada em
relação a x
y  f (x)
Operação
d
dx
df
y´
dx
Como ler os símbolos de derivadas:
y´
“y linha”
y´´
“y duas linhas”
d2y
dx2
“d dois y d x dois”
y´´´
“y três linhas”
y
(n )
dny
dxn
“n” ou “a derivada enésima de y”
“d n y d x n”
Exemplo – Aplicando a Definição
Encontre a derivada de y  x e x  0
1)
e f ( x  h) 
f ( x)  x
2) f ( x  h)  f ( x)

h
( x  h)  x

h( x  h  x )

1
xh 
xh
xh 
h
x
x
3) f ´(x)  lim
h 0
1
xh 
x

1
2
x
m  y ' (2) 
1
Reta tangente que
passa por (2, 2 )
2 2
y  2  m( x  2)
y  x, x  0
y' 
1
2 x
,x 0
Regra 1 – Derivada de uma Função Constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, então
df
d

( c )  0.
dx
dx
Exemplo – Usando a Regra 1
Se f tem o valor constante f(x) = 8, então
df
d

(8)  0.
dx dx
De maneira similar,
d  
   0
dx  2 
e
d
dx
 3   0.
Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas,
Inteiras Negativas e Racional.
Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então
d n
n 1
x  nx
dx
Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante
Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então
d
du
(cu )  c
dx
dx
Exemplo 4 – Usando a Regra 3
(a)
d
(3x 2 )  3.2 x  6 x
dx
Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra
escala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada
ponto por 3.
(b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função
derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1
fornece
d
d
d
du
(u )  (1.u )  1. (u )  
dx
dx
dx
dx
Regra 4 – Regra da Derivada da Soma
Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é
derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses
pontos,
d
du dv
(u  v) 
 .
dx
dx dx
Exemplo 5 – Derivada de uma Soma
y  x  12x
dy
d
d
4

(x ) 
(12x)
dx dx
dx
3
 4 x  12
4
Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais
Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou
infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será
derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior
(a, b) e se os limites
f ( a  h)  f ( a )
lim
h 0
h
Derivada à direita em a
f (b  h)  f (b)
lim
h 0
h
Derivada à esquerda em b
existirem nas extremidades.
Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais.
Derivada à esquerda de b
Derivada à direita de a
+
+
-


-
Derivadas à direita e à esquerda
Podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função.
Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver
derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas
laterais forem iguais.
Exemplo –
y = | x | Não é Derivável na Origem
Mostre que a função y = | x | é derivável em (,0) e (0, ) , mas
não tem derivada em x = 0.
Solução
À direita da origem,
d
d
d
(| x |) 
( x) 
(1.x)  1.
dx
dx
dx
À esquerda
d
d
d
(| x |)  ( x)  (1.x)  1.
dx
dx
dx
É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas
Laterais são diferentes:
Derivada de | x | à direita em zero:
|0h||0|
|h|
 lim
 lim
h 0
h 0
h
h
h
 lim
 lim 1  1.
h 0 h
h 0
Derivada de | x | à esquerda em zero:
|0h||0|
|h|
 lim
 lim
h 0
h 0
h
h
h
 lim
 lim  1  1.
h 0
h 0
h
Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade
Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c.
Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas
Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é
derivável, então f´ assume qualquer valor entre
f´(a) e f´(b).
Regra 5 Regra do Produto
Se u e v são deriváveis em x, então o produto uv
também é e
Usando a Regra 5(do Produto) encontre a derivada de
1 2 1
y  (x  )
x
x
1
1
2
Aplicando a Regra do Produto u 
e vx 
:
x
x
d 1 2 1  1
1
1
1
2
 ( x  )   (2 x  2 )  ( x  )( 2 )
dx  x
x  x
x
x
x
1
1
2
 2  3 1  3  1  3
x
x
x
Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente
Se u e v são deriváveis em v(x)  0, então o
quociente u/v é derivável em x e
Exemplo: Usando a Regra 6 (do quociente) encontre a derivada de
t 2 1
y 2
t 1
Aplicando a Regra 6 com u
 t 2 1 e u  t 2 1
dy (t 2  1).2t  (t 2  1).2t

dt
(t 2  1) 2
2t 3  2t  2t 3  2t
4t

 2
2
2
2
(t  1)
(t  1)
:
A derivada da função seno é a função cosseno
d
(sen x)  cos x
dx
Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno
(a) y  x 2  sen x
dy
d
 2 x  (sen x)
dx
dx
 2 x  cos x
(b) y  sen x
x
d
x  (sen x)  sen x 1
dy
 dx
dx
x2
x cos x  sen x

x2
A derivada da função cosseno é a oposta da função seno
d
(cos x)   sen x
dx
Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada
(a) y  sen x cos x
dy
d
d
 sen x (cos x)  cos x (sen x)
dx
dx
dx
 sen x( sen x)  cos x(cosx)
 cos2 x  sen 2 x
(b) y  cos x
1  sen x
dy

dx
(1  sen x)
d
d
(cos x)  cos x
(1  sen x)
dx
dx
2
(1  sen x)
(1  sen x)( sen x)  cos x(0  cos x)
1
1  sen x



2
2
(1  sen x)
1  sen x
(1  sen x)
Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas
d
(tg x)  sec 2 x
dx
d
(sec x)  sec x tg x
dx
d
(cotg x)  cosec 2 x
dx
d
(cosec x)  cosec x cotg x
dx
Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente
Encontre d(tg x)/d x
Solução
d
d  sen x 
(tg x) 


dx
dx  cos x 
cos x cos x  sen x( sen x)

cos 2 x
cos2 x  sen 2 x

cos2 x

1
2

sec
x
2
cos x
cos x
d
d
(sen x)  sen x
(cos x)
dx
dx
cos 2 x