Algumas Distribuições de Probabilidade
e Estatística de Contagem
Prof. Marcelo Sant’Anna
Sala A-310 (LaCAM) e-mail: [email protected]
Laboratório de Física Corpuscular - aula
expositiva 5 - 2008.1 - IF - UFRJ
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Motivação: o quanto seus dados são confiáveis?
Barras de erro !
Dentro de que faixa você espera que seus dados concordem
com outros dados experimentais e com bons modelos teóricos ?
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Caracterização dos dados
N
soma
S   xi
e a média experimental
i 1
xe 
S
N
É freqüentemente conveniente representar o conjunto de dados por uma distribuição de freqüências
correspondente F(x). O valor de F(x) é a freqüência relativa com que o número aparece no conjunto de dados.
Por definição F(x) = (número de ocorrências do valor x)/(número de medidas (N))
A distribuição é automaticamente normalizada, ou seja,
F ( x) 1
É possível calcular a média experimental usando a função distribuição
x e   xF ( x )
o desvio de qualquer ponto da média é dado por
i  xi  xe
Há uma contribuição igual dos desvios positivos e negativos, de modo que
N

1
i
0
“problema”: o que fazer?
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Se no entanto, tomarmos os quadrados de cada desvio, resultará sempre em um número positivo.
Podemos então introduzir a variância experimental como
1 N 2
s 
i

N 1 1
2
se um número infinito de medidas fosse acumulados ou quando se
conhecem todos os valores possíveis da população
2 
N
2
1
xi  x 

N i1
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Alguns Modelos estatísticos
A distribuição binomial

1  p  (1  p )
1
N
  p  (1  p ) 
N
N

n 0
N
n
Defino
P
N n
  p 1  p  N n
n
N n
N n
   p 1  p 
n
N
n   n PnN  N p
n 0

N
2
   n  n  PnN  N p (1  p )
2
n 0
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
Distribuição de Poisson
Se o valor médio =Np de uma distribuição binomial é muito pequeno,
ela se reduz a distribuição de Poisson:
Pn    
N
n   n Pn

n 0
N
2
   
   n    Pn
2
   
n
n!
e 

1



n 0
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
Distribuição de Gaussiana (ou Normal)
P  x ,  ,  
1

2
e
1  x
 
2 
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


2
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Estatística de Contagem


Admitimos que durante um intervalo de tempo Dt
muito curto a probabilidade de registrar um entre N
possíveis eventos é muito pequena.
Esta probabilidade será proporcional a N e a Dt
P(1, Dt )   N Dt
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Estatística de Contagem
P(1, Dt )   N Dt
P(0, t  Dt )  P(0, t ) 1  P(1, Dt )
P(0, t  Dt )  P(0, t ) 1   N Dt   P(0, t )   N DtP(0, t )
P(0, t  Dt )  P(0, t )
  N P(0, t )
Dt
No limite Dt  0
P ( 0 ,t )

1
dP (0, t )
  N P(0, t )
dt
t
dP(0, t )
  N  dt
P(0, t )
0
P(0, t )  e
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 N t
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Estatística de Contagem
P(1, Dt )   N Dt
P(n, t  Dt )  P(n, t ) 1  P(1, Dt )  P(n 1, t ) P(1, Dt )
P(n, t  Dt )  P(n, t )   N Dt P(n, t )  P(n  1, t ) N Dt
P(n, t  Dt )  P(n, t )
  N P(n, t )   N P(n  1, t )
Dt
No limite Dt  0
dP(n, t )
  N P(n, t )   N P(n  1, t )
dt



Qual a solução?
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Estatística de Contagem
dP (n, t )
  N P(n, t )   N P(n  1, t )
dt
Tentamos solução do tipo:
P(n, t )  f (n, t ) e N t
df (n, t )  N t
e
  N e  N t f (n, t )   N e  N t f (n, t )   N e  N t f (n  1, t )
dt
df (n, t )
  N f (n  1, t )
dt
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Estatística de Contagem
df (n, t )
  N f (n  1, t )
dt
Nova substituição. Tentamos solução do tipo: f (n, t )   N t


n
g (n)
n  N t   N g n   N  N t  g n 1
n1
n g n  g n  1
Ou seja:
Uma vez que:
P(0,0)  1
n1
g n 
1 n  1!
 
g n  1 n
n!

 N t n e  N t
P(n, t )  C
n!
C
g n  
n!
Poisson!

 N t n e  N t
P(n, t ) 
n!
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Estatística de Contagem

 N t
P(n, t ) 
n
e
 N t
n!
Poisson com  =  N t e, portanto,

1
1




Nt
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Prática

Análise estatística do erro em suas
contagens na experiência a seguir
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