Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 5
Média, Mediana e Moda para Dados Agrupados
Se, por algum motivo, não se tiver acesso aos dados de uma amostra, mas apenas à sua
tabela de freqüências ou ao seu histograma não será possível calcular exatamente os
valores da sua média, da sua mediana e da sua moda. Neste caso, o melhor que se pode
fazer é calculá-las aproximadamente. Tomemos como exemplo a tabela a seguir:
Medidas da capacidade vital de 50 adultos do sexo masculino entre 18 e 27 anos de
idade (Santa Casa de São Paulo, 1974).
Capacidade Vital
Freqüência
Freqüência
( )
Acumulada
4,0 ├ 4,5
8
8
4,5 ├ 5,0
11
19
5,0 ├ 5,5
5
24
5,5 ├ 6,0
15
39
6,0 ├ 6,5
6
45
6,5 ├ 7,0
2
47
7,0 ├ 7,5
2
49
7,5 ├ 8,0
1
50
Total
50
Fonte: Depto. de Provas Funcionais Pulmonares - Santa Casa/SP.
Para se calcular a média das medidas acima, que só são fornecidas na forma de uma
tabela de freqüências, vai-se supor que todas as medidas que caem dentro de um
intervalo de classe são iguais ao ponto médio daquele intervalo. Portanto, para cada
intervalo calcula-se o seu ponto médio e considera-se que ele ocorre com a mesma
freqüência da classe. Desta maneira, a aproximação que se faz para os dados
desconhecidos deste problema é a seguinte:
Dados (pontos médios
das classes)
Freqüências
4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 Total
8
11
5
15
6
2
2
1
50
Considerando os dados da tabela aproximada como sendo os dados verdadeiros para o
problema, basta agora usar a fórmula da média aritmética para obter a média da
distribuição:
1
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8
∑fx
i
x=
i =1
8
∑f
i
=
4,25 ⋅ 8 + 4,75 ⋅ 11 + 5,25 ⋅ 5 + 5,75 ⋅ 15 + 6,25 ⋅ 6 + 6,75 ⋅ 2 + 7,25 ⋅ 2 + 7,75 ⋅ 1 272
=
= 5,44ℓ
8 + 11 + 5 + 15 + 6 + 2 + 2 + 1
50
i
i =1
Para calcular a mediana, também teremos que fazer uma aproximação. Inicialmente,
temos que determinar o intervalo de classe no qual ela se encontra. Como existem 50
dados, a mediana será a média entre o 25o e o 26o dado, portanto será o "dado" de ordem
25,5. Olhando na coluna das freqüências acumuladas da tabela, vemos que o dado de
ordem 25,5 cai dentro do quarto intervalo de classe, que vai de 5,5 a 6,0. Portanto, já
sabemos que a mediana tem que valer entre 5,5 e 6,0. Para encontrar um valor único,
vamos fazer o seguinte raciocínio: Dentro do intervalo que vai de 5,5 a 6,0 temos 15
dados (veja na tabela). Não sabemos os valores exatos desses dados, mas vamos supor
que eles varrem o intervalo de 5,5 a 6,0 de maneira uniforme. Como este intervalo tem
6,0 - 5,5 = 0,5 unidades, para distribuir 15 dados uniformemente por ele temos que por
um dado a cada 0,5/15 unidades. O primeiro dado do intervalo é o 25o do total de 50 e
será colocado em 5,5 + 1.(0,5/15). O segundo dado do intervalo é o 26o e será colocado
em 5,5 + 2.(0,5/15). Os demais dados são posicionados de maneira equivalente até o
15o, que ficará em 5,5 + 15.(0,5/15) = 6,0.
Como o dado correspondente à mediana é o 25,5, ou seja é o de ordem 1,5 dentro da
série dos 15 dados a serem postos dentro do intervalo, o seu posicionamento será: 5,5 +
1,5.(0,5/15) = 5,5 + 0,05 = 5,55.
De maneira genérica, podemos estimar a mediana de uma distribuição de dados
agrupados a partir da fórmula:
Md = Li + (P − f ai ).
h
fm
,
onde Li é o limite inferior da classe onde está a mediana, P é a posição da mediana no
conjunto total dos dados (chamado de posto da mediana), fai é a freqüência acumulada
até a classe anterior à classe onde está a mediana, h é a largura do intervalo de classe e
fm é a freqüência da classe onde está a mediana.
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Usando esta fórmula para calcular a mediana para o exemplo dado, temos:
Md = 5,5 + (25,5 − 24 ).
0,5
0,5
= 5,5 + 1,5.
= 5,5 + 0,05 = 5,55 ℓ
15
15
Para se calcular a moda, basta obter o ponto central do intervalo de maior freqüência.
No caso do exemplo, o intervalo de maior freqüência é o quarto, que vai de 5,5 a 6,0.
Seu ponto central é 5,75 ℓ .
Também pode-se falar de intervalo ou classe modal. Neste caso, a classe modal seria a
classe de maior freqüência: 5,5 ├ 6,0 ℓ .
Exemplo: Calcular a média, a mediana e a moda para a seguinte distribuição de
freqüências.
Medidas das larguras dos pulsos dos braços esquerdos de 45 alunos de ambos os sexos
da turma de Estatística I (Biologia) do prof. Roque (2 o semestre de 1996).
Largura do Pulso (cm)
Freqüência
4,8 ├ 5,1
5,1 ├ 5,4
5,4 ├ 5,7
5,7 ├ 6,0
6,0 ├ 6,3
6,3 ├ 6,6
Total
8
16
3
5
9
4
45
Freqüência
Acumulada
8
24
27
32
41
45
Média:
6
x=
∑ PM
i
i =1
i
=
6
∑f
f
4,95 ⋅ 8 + 5,25 ⋅ 16 + 5,55 ⋅ 3 + 5,85 ⋅ 5 + 6,15 ⋅ 9 + 6,45 ⋅ 4
=
8 + 16 + 3 + 5 + 9 + 4
i
i =1
=
250,65
= 5,57 cm
45
Mediana: A mediana é o 23
o
dado, que cai na 2a classe, que vai de 5,1 a 5,4. Esta
classe tem 16 elementos e a mediana é o 15 o deles. Portanto:
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Md = Li + (P − f ai )
h
0,3
0,3
= 5,1 + (23 − 8).
= 5,1 + 15.
= 5,1 + 0,28 =
fm
16
16
= 5,38 cm
Moda: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência. Portanto: Moda = 5,25
cm. A classe modal é a classe de maior freqüência. Logo: Classe modal = (5,1 a 5,4)
cm.
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