Exercícios Resolvidos sobre Parâmetros e
tabelas de frequência
Apresentamos aqui uma série de exercícios nos quais destacamos o uso de parâmetros e tabelas de
frequência. O conhecimento desses parâmetros é essencial para o estudo de vários fenômenos, como
a mudança na altura média de uma população ao longo dos anos.
Exercício 1
A genética é um dos fatores mais importantes na determinação da altura das pessoas. A ciência que
estuda o crescimento dos seres humanos é conhecida como auxologia.
Existem muitas doenças que podem afetar o crescimento e, consequentemente, a altura dos indivíduos.
Entre as mais conhecidas temos o gigantismo, uma doença rara, resultante de alterações na glândula
pituitária sofridas durante a infância. Outra anomalia muito conhecida é o nanismo, que pode ter várias
causas.
Atualmente, o homem mais alto do mundo é Leonid Stadnik, que tem 2,57 metros e mora na Ucrânia,
cuja altura não ultrapassa a de Robert Pershing Wadlow, considerado o ser humano mais alto da
história. Norte-americano de Illinois, ele tinha 2,74 metros e morreu com 22 anos. Por fim, o homem
mais alto do mundo que não teve o crescimento afetado por nenhuma anomalia é Bao Xishun, com
2,36 metros.
O quadro a seguir apresenta as alturas em centímetros de pessoas que se apresentaram em um centro
especializado para verificar se tinham realmente gigantismo ou eram altos simplesmente por questões
genéticas. Utilize esse quadro para montar uma tabela de frequências com:
classes;
frequência absoluta;
frequência relativa;
frequência acumulada;
frequência relativa acumulada;
ponto médio das classes.
Solução
Enunciado
A genética é um dos fatores mais importantes na determinação da altura das pessoas. A ciência que
estuda o crescimento dos seres humanos é conhecida como auxologia.
Existem muitas doenças que podem afetar o crescimento e, consequentemente, a altura dos indivíduos.
Entre as mais conhecidas temos o gigantismo, uma doença rara, resultante de alterações na glândula
pituitária sofridas durante a infância. Outra anomalia muito conhecida é o nanismo, que pode ter várias
causas.
Atualmente, o homem mais alto do mundo é Leonid Stadnik, que tem 2,57 metros e mora na Ucrânia,
cuja altura não ultrapassa a de Robert Pershing Wadlow, considerado o ser humano mais alto da
história. Norte-americano de Illinois, ele tinha 2,74 metros e morreu com 22 anos. Por fim, o homem
mais alto do mundo que não teve o crescimento afetado por nenhuma anomalia é Bao Xishun, com
2,36 metros.
O quadro a seguir apresenta as alturas em centímetros de pessoas que se apresentaram em um centro
especializado para verificar se tinham realmente gigantismo ou eram altos simplesmente por questões
genéticas. Utilize esse quadro para montar uma tabela de frequências com:
classes;
frequência absoluta;
frequência relativa;
frequência acumulada;
frequência relativa acumulada;
ponto médio das classes.
Solução
Para começar esse tipo de exercício, é necessário que se coloque os números em ordem, crescente ou
decrescente. Essa organização permite melhor visualização do intervalo que estamos trabalhando e a
construção da tabela de frequências. Os números organizados de forma crescente, por coluna, são
apresentados a seguir.
Agora, precisamos encontrar o número de elementos N da amostra. Fazemos isso simplesmente
contando o número de valores da tabela.
Precisamos agora encontrar o número de classes k que vamos utilizar.
De posse desses valores, vamos calcular a amplitude das classes (h).
Agora, com os valores necessários para começar a construir a tabela de frequências, precisamos
tomar mais uma decisão. Como iremos aproximar os valores de k e h para números inteiros? A regra
que deve ser primordialmente seguida é: sempre que escolhermos valores para aproximações de h e k
como inteiros, vamos escolher o número inteiro que antecede ou sucede o obtido. Além disso, é
imprescindível que a multiplicação dos valores escolhidos para h e k resultem em um número maior
que R. Na dúvida, aproxime para números inteiros sucessores ao obtido.
Podemos então tentar aproximar 6,32 para 7 e 4,74 para 5. Como 7 x 5 é igual a 35 (maior que R),
podemos trabalhar com esses valores.
Teremos 7 intervalos com amplitude 5, conforme descritos a seguir. Para evitar confusão, se um
número pertence a um intervalo ou ao próximo, é interessante dimensionar os intervalos com uma casa
decimal a mais que os números obtidos para garantir a total cobertura dos valores sem o risco de
algum deles ficar no limite entre duas classes e, assim, surgir a dúvida de como computá-lo.
Construímos a tabela preenchendo a linha superior com os itens pedidos no enunciado, a última linha
com os totais (ajuda a verificar se você está organizando corretamente a tabela) e a primeira coluna
com as classes.
Agora vamos preencher a coluna da frequência absoluta e da frequência acumulada.
Para indicar as frequências absolutas, basta contar na tabela (organizada na ordem crescente)
quantos elementos estão em cada intervalo.
Para calcular a frequência acumulada, devemos começar pela primeira linha, colocando nela o
mesmo valor da frequência absoluta relativa à primeira classe. Depois, a cada linha que se segue,
colocar o valor anterior da frequência acumulada somado à frequência absoluta da referida linha.
Verifique que o total da soma dos valores da frequências absolutas deve ser igual a N.
Em seguida, vamos preencher as colunas das frequências relativas e a das frequências relativas
acumuladas. Para calcular as frequências relativas, utilizamos o valor da frequência absoluta,
dividido por N (no caso N = 40), obtendo assim uma razão entre o valor da frequência absoluta e o
total. O procedimento para o cálculo da frequência relativa acumulada é similar ao da frequência
acumulada. Na primeira linha, colocamos o mesmo valor da frequência relativa. Depois, a cada
linha que se segue, colocaremos o valor anterior da frequência relativa acumulada somado à
frequência relativa da linha. Os valores obtidos para estas frequências devem ser multiplicados por
100, para expressarem números percentuais.O total da soma dos valores das frequências relativas
absolutas devem ser iguais a 100.
Por fim, vamos calcular os pontos médios das classes. Para isso, devemos fazer a média aritmética
dos extremos de cada classe, isto é, devemos somar os valores extremos e dividir esse total por 2.
Exercício 2
Utilize seus conhecimentos sobre as tabelas de frequência e calcule os valores X1 a X8 na tabela a
seguir.
Solução
Enunciado
Utilize seus conhecimentos sobre as tabelas de frequência e calcule os valores X1 a X8 na tabela a
seguir.
Solução
Uma boa estratégia é começarmos a calcular os valores das colunas de valores acumulados. Vamos
calcular X3 , X4 e X5 .
Para calcular X5 , devemos subtrair do valor da linha abaixo dele (28) o valor da frequência absoluta
da linha abaixo de X5 (5). Fazemos o cálculo dessa maneira pois esta é a forma inversa para
calcularmos a frequência acumulada. O cálculo do 28 foi feito da seguinte forma: 28 = X5 + 5.
Resolvemos essa simples equação e encontramos X5 = 23.
Para encontrar X3 sabendo que este valor está na primeira linha das frequências acumuladas,
concluímos que ele é igual à frequência absoluta da mesma linha. Encontramos X3 = 4.
Como consequência, o valor X4 é igual a 8, pois, se sabemos a frequência acumulada anterior e o
valor da frequência absoluta na mesma linha, devemos somá-los para encontrar o valor solicitado.
Passemos então para as incógnitas da coluna de frequências absolutas. Para encontrar X1 , devemos
subtrair da frequência acumulada na mesma linha a frequência acumulada da linha anterior. X1 é
igual a 8.
Agora, calcularemos X2 . O procedimento é similar ao do cálculo de X1 . Desta forma, encontraremos
X2 = 10.
Por fim, vamos calcular os valores da coluna das frequências relativas. Para isso, em cada caso,
vamos dividir a frequência absoluta por N (N = 45). Encontraremos então os valores:
X6 = 0,089
X7 = 0,110
X8 = 0,156
Exercício 3
A etimologia da palavra histograma é incerta. Algumas vezes, é dito que essa palavra deriva do termo
grego histos, que significa "não erguido" (como os mastros de navio ou as barras verticais do
histograma) e gramma , que quer dizer "desenhar, escrever, gravar". Também se fala que a palavra
deriva de historical diagram. Karl Pearson teria introduzido o termo em 1895. Agora que você sabe
o que significa a palavra histograma, construa um com os dados apresentados.
Solução
Enunciado
A etimologia da palavra histograma é incerta. Algumas vezes, é dito que essa palavra deriva do termo
grego histos, que significa "não erguido" (como os mastros de navio ou as barras verticais do
histograma) e gramma , que quer dizer "desenhar, escrever, gravar". Também se fala que a palavra
deriva de historical diagram. Karl Pearson teria introduzido o termo em 1895. Agora que você sabe
o que significa a palavra histograma, construa um com os dados apresentados.
Solução
O primeiro passo é colocar os números em ordem crescente para facilitar o trabalho. Neste exercício,
fizemos essa organização por linhas.
Vamos agora organizar as classes:
Assim, temos os valores necessários para começar a construir a tabela de frequências. Mas como
iremos aproximar os valores de k e h para números inteiros? A regra a ser seguida é: sempre que
escolhermos valores de aproximações de h e k para inteiros, devemos escolher o número inteiro que
antecede ou sucede o obtido. Além disso, é imprescindível que a multiplicação dos h e k escolhidos
resulte em um número igual ou superior a R. Na dúvida, aproxime para números inteiros sucessores ao
obtido.
Ao aproximar h para 11 e k para 7, obtemos o produto 77, menor que R. Portanto, essas
aproximações não são válidas. Podemos escolher um deles para aproximar para um valor superior.
Será escolhido arbitrariamente aproximar h para 12. (Poderíamos ter escolhido aproximar k para 8.)
O produto passa a ser 84 (12 . 7), maior que R.
Para incluir valores da tabela que coincidem com valores extremos do intervalo, usaremos uma
estratégia diferente daquela utilizada no exercício 1. Vamos utilizar a linguagem de intervalos.
Escolhemos incluir o primeiro valor do intervalo (utilizando o símbolo [) e excluir o último (utilizando o
símbolo [) .
A notação utilizada, [0 - 12[ é uma indicação de que nosso intervalo começa em 0 (inclusive o 0) e
termina em 12 (não incluindo o 12). Com isso construímos as classes que vamos utilizar. Agora vamos
calcular a frequência absoluta de cada classe.
Temos todos os dados para construir o histograma solicitado.
Exercício 4
Os relógios suíços sempre tiveram fama de ter boa qualidade e durabilidade, aliadas ao conceito de
status para quem os possui. No entanto, em meados dos anos 70, os relógios japoneses invadiram o
mercado com a proposta de terem preços mais acessíveis, fazendo com que a indústria de relógios
suíça enfrentasse sua pior crise. A salvação dessa indústria foi a criação de um relógio com pulseira de
plástico e com menos componentes, mais simples e com preços também acessíveis. Isso aconteceu
nos anos 80, com a criação de uma marca que é famosa até os dias de hoje. No entanto, os relógios
suíços mais caros continuam tendo excelente fama e por esse motivo são muito valorizados. Uma
joalheria vende algumas unidades desses relógios por mês, como sugere a Tabela I. Complete a
distribuição de frequências da Tabela II.
Tabela I
Tabela II
Notação:
Fi = Frequência absoluta
Fac = Frequência acumulada crescente
Fad = Frequência acumulada decrescente
Fr = Frequência relativa
F% = Frequência relativa em porcentagem
F%C = Frequência relativa acumulada crescente em porcentagem
F%D = Frequência relativa acumulada decrescente em porcentagem
Solução
Enunciado
Os relógios suíços sempre tiveram fama de ter boa qualidade e durabilidade, aliadas ao conceito de
status para quem os possui. No entanto, em meados dos anos 70, os relógios japoneses invadiram o
mercado com a proposta de terem preços mais acessíveis, fazendo com que a indústria de relógios
suíça enfrentasse sua pior crise. A salvação dessa indústria foi a criação de um relógio com pulseira de
plástico e com menos componentes, mais simples e com preços também acessíveis. Isso aconteceu
nos anos 80, com a criação de uma marca que é famosa até os dias de hoje. No entanto, os relógios
suíços mais caros continuam tendo excelente fama e por esse motivo são muito valorizados. Uma
joalheria vende algumas unidades desses relógios por mês, como sugere a Tabela I. Complete a
distribuição de frequências da Tabela II.
Tabela I
Tabela II
Notação:
Fi = Frequência absoluta
Fac = Frequência acumulada crescente
Fad = Frequência acumulada decrescente
Fr = Frequência relativa
F% = Frequência relativa em porcentagem
F%C = Frequência relativa acumulada crescente em porcentagem
F%D = Frequência relativa acumulada decrescente em porcentagem
Solução
Começamos nossa solução preenchendo a coluna Fi, ou frequência absoluta. Para isso, precisamos
simplesmente contar quantas vezes cada número aparece no nosso quadro.
A próxima coluna é fácil de ser preenchida, devemos multiplicar o valor da quantidade (Xi) por sua
frequência ( Fi ).
Para preencher a coluna das frequências acumuladas crescente, devemos proceder como nos
exercícios anteriores e na Web aula.
A próxima coluna é denominada frequência acumulada decrescente. Para preenchê-la, vamos
utilizar nossa intuição. Partimos do número de elementos e a cada nova linha descontaremos o valor de
frequência absoluta da linha anterior.
Os valores da coluna das frequências relativas devem ser calculados como nos demais casos já vistos.
A próxima coluna é a das frequências relativas com apresentação dos dados em porcentagem.
Calculamos esses valores multiplicando a coluna anterior por 100.
Em seguida, vamos calcular os valores da coluna das frequências relativas acumuladas crescentes,
apresentados em porcentagem.
A última coluna é a das frequências relativas acumuladas decrescentes, também apresentadas em
porcentagem.
Exercício 5
Construa a tabela de frequências e seu respectivo histograma com os valores apresentados na
amostra. Inclua:
classes;
frequências absolutas;
frequências relativas;
frequências acumuladas;
frequências relativas acumuladas.
Amostra:
Solução
Enunciado
Construa a tabela de frequências e seu respectivo histograma com os valores apresentados na
amostra. Inclua:
classes;
frequências absolutas;
frequências relativas;
frequências acumuladas;
frequências relativas acumuladas.
Amostra:
Solução
Este exercício é similar ao primeiro, portanto utilizaremos um método de resolução semelhante ao
aplicado naquele exercício. Para começar, vamos colocar os números em ordem crescente, por
coluna.
Desta forma, podemos encontrar a amplitude R.
Agora vamos encontrar o número de elementos N na amostra. Fazemos isso contando o número de
valores da amostra.
Precisamos agora calcular o número de classes K que vamos utilizar.
De posse desses valores, vamos calcular a amplitude das classes (h).
Devemos aproximar 7,07 para 7 e 7,92 para 8. Como o produto 8 . 7 é igual a 56 (igual a R), não
podemos trabalhar com esses números. Vamos aproximá-los para 8. Como 8 . 8 é igual a 64 (maior
que R), podemos trabalhar com esses números. Teremos 8 intervalos com amplitude 8.
Podemos construir a tabela, preenchendo a linha superior com os itens pedidos no enunciado, a última
com os totais e a primeira coluna com as classes.
Para preencher a coluna das frequências absolutas é só contar, na amostra, quantos elementos estão
em cada intervalo. Para encontrar as frequências acumuladas, devemos começar colocando na
primeira linha o valor da frequência absoluta dessa linha. Depois, a cada linha que se segue,
colocaremos o valor anterior da frequência acumulada somado ao valor da frequência absoluta da
linha. Verifique que o total da soma dos valores da frequência absoluta deve ser igual a N.
Em seguida, vamos preencher a coluna das frequências relativas e a das frequências relativas
acumuladas. Para calcular a frequência relativa, tomamos o valor da frequência absoluta e o
dividimos por N (N = 50), obtendo a razão do valor da frequência absoluta em relação ao total.
O procedimento para o cálculo da frequência relativa acumulada é similar ao da frequência
acumulada. Na primeira linha, colocaremos o mesmo valor da frequência relativa. Depois, a cada
linha que se segue, colocaremos o valor anterior da frequência relativa acumulada somado ao valor
da frequência relativa da linha a ser preenchida. Verifique que o total da soma dos valores da
frequência relativa absoluta deve ser igual a 1.
Encerramos a resolução do exercício construindo o histograma, que é o gráfico das classes pela
frequência absoluta.