Capítulo 5
Vetores no plano
1.
Paralelogramos
Lembremos que um paralelogramo é um quadrilátero (figura geomé-
trica com quatro lados) cujos lados opostos são paralelos.
Usando congruência de triângulos, podemos verificar que as afirmativas seguintes são equivalentes:
•
O quadrilátero ABDC é um paralelogramo;
•
Os lados opostos de ABDC são congruentes;
•
Os ângulos opostos de ABDC são congruentes;
•
Dois lados opostos de ABDC são congruentes e paralelos;
•
As diagonais de ABDC se intersectam num ponto que é o ponto
médio de ambas.
Fig. 1: Paralelogramo ABDC.
Por exemplo, vamos demonstrar a seguinte equivalência:
Geometria Analítica - Capítulo 5
72
Proposição 1
No quadrilátero ABDC, os lados opostos AC e BD são congruentes e
paralelos se, e somente se, as diagonais de ABDC se intersectam num
ponto que é o ponto médio de ambas.
Prova.
(a) Suponhamos que os lados opostos AC e BD no quadrilátero ABDC
são congruentes e paralelos, e seja M o ponto de intersecção das diagonais AD e BC. Pela hipótese, temos,
• |AC| = |BD|, isto é, os comprimentos dos lados AC e BD são iguais;
• AC k BD;
Logo,
[ = DBC,
[ por serem
• ACB
ângulos alternos internos;
[ = BDA,
[ por serem
• CAD
ângulos alternos internos.
Fig. 2: ABDC de lados opostos congruentes e paralelos.
Pelo critério ALA (ângulo-lado-ângulo), concluímos que os triângulos
4AMC e 4DMB são congruentes.
Em particular, |AM| = |DM| e |BM| = |CM|. Portanto, M é o ponto
médio das diagonais AD e BC.
(b) Suponhamos agora que as diagonais AD e BC do quadrilátero ABDC
se intersectam no ponto M que é o ponto médio de ambas. Devemos
demonstrar que os lados opostos AC e BD no quadrilátero ABDC são
paralelos e congruentes.
Temos:
• |AM| = |DM|
• |BM| = |CM|
\ = DMB,
\ pois são ângu• AMC
los opostos pelo vértice.
Fig. 3: ABDC com |AM| = |DM| e |BM| = |MC|.
Pelo critério LAL (lado-ângulo-lado), os triângulos 4AMC e 4DMB são
IM-UFF
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Geometria Analítica - Capítulo 5
73
congruentes.
[ = CBD,
[ ou seja, os lados AC e DB são
Em particular, |AC| = |DB| e ACB
congruentes e paralelos. Você pode (e deve) demonstrar as outras equivalências da mesma
forma.
2.
Segmentos orientados e vetores
Seja AB um segmento orientado com origem A e extremidade B. Isto
é, no segmento AB estabelecemos um sentido de percurso (orientação) de
A para B.
Fig. 4: Os segmentos AB e BA têm sentidos opostos.
Dizemos que o segmento orientado BA tem sentido de percurso (ou
orientação) oposto ou contrário ao do segmento AB. Classificamos os
segmentos orientados da seguinte maneira:
Definição 1
Dizemos que os segmentos AB e CD são equipolentes, e escrevemos
AB ≡ CD, quando satisfazem as três propriedades abaixo:
•
AB e CD têm o mesmo comprimento: |AB| = |CD|.
•
AB e CD são paralelos ou colineares.
•
AB e CD têm o mesmo sentido.
Esclarecimento da definição de equipolência
• Se AB e CD são segmentos colineares, então eles têm o mesmo sentido
quando induzem o mesmo sentido de percurso na reta que os contêm.
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IM-UFF
Geometria Analítica - Capítulo 5
74
Fig. 5: Segmentos colineares AB e CD.
• Se AB e CD são segmentos paralelos de igual comprimento, então AB
e CD têm o mesmo sentido quando ABDC é um paralelogramo.
Fig. 6: ABDC é um paralelogramo, pois AB ≡ CD.
Fig. 7: ABDC não é um paralelogramo, pois AB 6≡ CD.
Proposição 2
AB ≡ CD ⇐⇒ ponto médio de AD = ponto médio de BC
Prova.
Com efeito, se AB k CD já sabemos que a equivalência é verdadeira,
pois ABDC é um paralelogramo.
Vejamos que isto também é verdadeiro quando AB e CD são segmentos
colineares.
Consideremos a reta r que contém A, B, C e D com uma origem O e uma
orientação escolhidas, de modo que B esteja à direita de A (figura 8).
Sejam a, b, c e d as respectivas coordenadas dos pontos A, B, C e D na
reta r .
(a) Como AB e CD têm o mesmo sentido, temos que a < b e c < d, e,
como esses segmentos têm o mesmo comprimento, temos b − a = d − c.
Logo,
b − a = d − c ⇐⇒ a + d = b + c ⇐⇒
⇐⇒
a+d
b+c
=
2
2
ponto médio de AD = ponto médio de BC.
(b) Reciprocamente, suponhamos que o ponto médio de AD é igual ao
IM-UFF
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Geometria Analítica - Capítulo 5
ponto médio de BC. Isto é,
75
b+c
a+d
=
. Então,
2
2
a + d = b + c ⇐⇒ b − a = d − c .
Como b − a e d − c têm o mesmo sinal e o mesmo módulo, AB e CD têm
o mesmo sentido e o mesmo comprimento, além de serem colineares
(por hipótese). Assim, AB ≡ CD. Fig. 8: AB ≡ CD com A, B, C e D colineares.
Proposição 3
Dados pontos A, B e C quaisquer no plano, existe um único ponto D no
plano tal que AB ≡ CD.
Prova.
Como os pontos A, B e C podem ou não ser colineares, temos dois casos
a considerar.
(a) A, B e C são colineares.
Neste caso, o círculo de centro no ponto C e raio |AB| intersecta a reta
que contêm os pontos A, B e C em exatamente dois pontos, mas apenas
um deles, que designamos D, é tal que AB e CD têm o mesmo sentido
(veja a figura 9).
(b) A, B e C não são colineares.
Seja r a reta que passa pelo ponto C e é paralela à reta que contém os
pontos A e B.
O círculo de centro C e raio |AB| intersecta a reta r em exatamente dois
pontos, mas só um, que designamos D, é tal que ABDC é um paralelogramo. Ou seja, AB ≡ CD. K. Frensel - J. Delgado
IM-UFF
Geometria Analítica - Capítulo 5
76
Fig. 9: AB ≡ CD com A, B e C colineares.
3.
Fig. 10: AB ≡ CD com A, B e C não-colineares.
Vetores
Definição 2
Quando os segmentos de reta orientados AB e CD são equipolentes,
-------→
-→
-→
dizemos que eles representam o mesmo vetor v e escrevemos v = AB .
-------→
-→
Isto é, o vetor v = AB é o conjunto que consiste de todos os segmentos
orientados equipolentes ao segmento AB. Tais segmentos são chamados
-→
representantes do vetor v .
Observação 1
-------→
---------→
-→
(a) Da definição de vetor, temos: AB ≡ CD ⇐⇒ v = AB = CD .
--------→
→
(b) Por convenção, o vetor nulo é o vetor 0 = AA , qualquer que seja o
ponto A no plano.
-→
(c) Dado um vetor v e um ponto qualquer C, existe um único ponto D
---------→
-→
tal que v = CD . Isto é, qualquer ponto do plano é origem de um único
-→
segmento orientado representante do vetor v .
Na prática, manipulamos com vetores usando a sua expressão em
relação a um sistema de eixos ortogonais dado.
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Geometria Analítica - Capítulo 5
77
Consideremos um sistema de eixos ortogonais OXY no plano, e sejam
A = (a1 , a2 )
C = (c1 , c2 )
B = (b1 , b2 )
D = (d1 , d2 )
pontos do plano. A seguinte proposição caracteriza a equipolência em
termos de coordenadas.
Proposição 4
AB ≡ CD
⇐⇒
b1 − a1 = d1 − c1
b2 − a2 = d2 − c2
e
Prova.
Pela Proposição 2,
AB ≡ CD ⇐⇒
ponto médio de AD = ponto médio de BC
a1 + d1 a2 + d2
b1 + c1 b2 + c2
⇐⇒
,
,
=
2
2
2
2
⇐⇒ (a1 + d1 , a2 + d2 ) = (b1 + c1 , b2 + c2 )
⇐⇒ a1 + d1 = b1 + c1
e
a2 + d2 = b2 + c2
⇐⇒ b1 − a1 = d1 − c1
e
b2 − a2 = d2 − c2 ,
como queríamos demonstrar. Definição 3
Dados A = (a1 , a2 ) e B = (b1 , b2 ), os números b1 − a1 e b2 − a2 são
-------→
-→
-→
chamados as coordenadas do vetor v = AB e escrevemos v = (b1 −
a1 , b2 − a2 ).
Note que, se AB ≡ CD, então, pela Proposição 4,
-------→
---------→
AB = (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 ) = CD .
Exemplo 1
Sejam A = (1, 2), B = (3, 1) e C = (4, 0). Determine as coordenadas do
-------→
---------→
-→
-→
vetor v = AB e as coordenadas do ponto D tal que v = CD .
Solução.
Temos
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IM-UFF
Geometria Analítica - Capítulo 5
78
-------→
-→
v = AB = (3 − 1, 1 − 2) = (2, −1) .
Além disso, se D = (d1 , d2 ), temos,
-------→
---------→
-→
v = AB = CD ⇐⇒ AB ≡ CD
⇐⇒ (2, −1) = (d1 − 4, d2 − 0)
⇐⇒ 2 = d1 − 4
e
⇐⇒ d1 = 2 + 4 = 6
− 1 = d2 − 0
e
d2 = −1 + 0 = −1 .
Portanto, D = (6, −1). Observação 2
Usando a Proposição 4, é fácil verificar que:
• AB ≡ CD ⇐⇒ AC ≡ BD.
Fig. 11: AB ≡ CD ⇐⇒ AC ≡ BD
• AB ≡ CD e CD ≡ EF =⇒ AB ≡ EF .
Fig. 12: AB ≡ CD e CD ≡ EF =⇒ AB ≡ EF
IM-UFF
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Geometria Analítica - Capítulo 5
79
Em virtude do item (c) da Observação 1, temos:
Proposição 5
-------→
-→
Sejam OXY um sistema de eixos ortogonais e v = AB um vetor.
--------→
--------→
-→
Então existe um único ponto P tal que OP = AB = v . Além disso, as
-→
coordenadas do ponto P coincidem com as coordenadas do vetor v .
Prova.
De fato, se A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ) e P
-→
v = (b1 − a1 , b2 − a2 ) e, portanto,
AB ≡ OP
= (p1 , p2 ), temos
⇐⇒ (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (p1 − 0, p2 − 0)
⇐⇒ P = (p1 , p2 ) = (b1 − a1 , b2 − a2 )
como queríamos verificar. Fig. 13: AB ≡ OP
Exemplo 2
--------→
--------→
Sejam A = (−1, 2) e B = (4, 1). Determine o ponto P tal que OP = AB .
Solução.
Pela proposição anterior, temos
P = (4 − (−1), 1 − 2) = (4 + 1, −1) = (5, −1).
Veja a figura 13. K. Frensel - J. Delgado
IM-UFF
Geometria Analítica - Capítulo 5
80
4.
Operações com vetores
Adição de vetores
Vamos definir a operação de adição de vetores que a cada par de ve-→
-→
tores u e v faz corresponder um novo vetor de-→
-→
signado u +v e chamado
-→
a soma dos vetores u e
-→
Fig. 14: Adição de vetores.
v .
-------→
---------→
-→
-→
Sejam u = AB e v = CD vetores dados e seja E um ponto no plano.
---------→
-------→
-→
-→
Tomamos pontos P e Q tais que u = EP e v = P Q .
-→
-→
Definimos o vetor soma de u com v como sendo o único vetor que
tem o segmento EQ como representante (veja a figura 12). Isto é,
--------→
-→
-→
u + v = EQ
Quando se faz uma definição que depende, aparentemente, da escolha de um representante, devemos mostrar que a classe do novo objeto
definido independe do representante escolhido.
A adição de vetores é uma operação bem definida.
Com efeito, seja E 0
outro ponto do plano,
e sejam P 0 e Q0 pontos
-------------→
-→
tais que u = E 0 P 0 e
---------------→
-→
v = P 0 Q0 .
Segundo a definição
anterior, deveríamos ter
também
--------------→
--→
-→
u + v = E 0 Q0 .
Fig. 15: O segmento EQ é equipolente ao segmento E 0 Q0 ?
IM-UFF
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Geometria Analítica - Capítulo 5
81
Verifiquemos, então, que os segmentos EQ e E 0 Q0 são equipolentes.
Pela Observação 2 (acompanhe a argumentação na figura 15), temos:
-------------→
-------→
-→
u = EP = E 0 P 0 =⇒ EP ≡ E 0 P 0 =⇒ EE 0 ≡ P P 0 ,
---------------→
---------→
-→
v = P Q = P 0 Q0 =⇒ P Q ≡ P 0 Q0 =⇒ P P 0 ≡ QQ0 .
Logo,
--------------→
---------→
EE 0 ≡ QQ0 =⇒ EQ ≡ E 0 Q0 =⇒ EQ = E 0 Q0 ,
-→
-→
e, portanto, o vetor u + v está bem definido.
Observação 3
-------→
---------→
-→
-→
Sejam u = AB e v = CD vetores no plano. Quando os segmentos AB
e CD não são colineares ou paralelos, podemos determinar também o
-------→
---------→
vetor soma AB + CD da seguinte maneira:
-------→
-------→
-→
-→
Seja E um ponto do plano e sejam P e R tais que u = EP e v = ER .
--------→
-→
-→
Então o vetor soma u + v é o vetor EQ , onde EQ é a diagonal do
paralelogramo EP QR.
De fato,
-------→
-→
u = EP ,
---------→
---------→
--------→
-------→
-------→
-→
-→
-→
v = ER = P Q =⇒ u + v = EP + P Q = EQ .
Fig. 16: Adição de vetores como a diagonal de um paralelogramo.
Adição de vetores em coordenadas
-→
-→
Se u = (α, β) e v = (α0 , β0 ) são dois vetores dados por suas coordenadas em termos de um sistema ortogonal OXY , então
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-→
-→
u + v = (α + α0 , β + β0 )
--------→
-----------→
-→
-→
De fato, pela Proposição 5, u = OP e v = OQ , onde P = (α, β) e
Q = (α0 , β0 ).
------------→
-→
Seja Q0 = (a, b) o ponto tal que v = P Q0 . Então, pela Proposição 4,
Fig. 17: Adição de vetores em coordenadas.
(α0 − 0, β0 − 0) = (a − α, b − β)
=⇒ Q0 = (a, b) = (α + α0 , β + β0 )
------------→
--------→
-----------→
--------→
--→
-→
=⇒ u + v = OP + OQ = OP + P Q0
-------------→
= OQ0 = (α + α0 , β + β0 ).
Multiplicação de um número real por um vetor
Definição 4
-------→
-→
-→
Sejam v = AB um vetor e λ ∈ R. O produto de λ por v é o vetor
-------→
-→
λv = λ AB
representado pelo segmento orientado AB 0 , colinear com AB, tal que:
• d(A, B 0 ) = |λ|d(A, B);
• o sentido de AB 0 é igual ao sentido de AB se λ > 0, e é oposto, se
λ < 0.
• B 0 = A, se λ = 0.
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Fig. 18: Multiplicação de um vetor por um número real.
Observação 4
Note que,
--------→
--------→
→
→
• λ0 = λ AA = AA = 0 ;
-------→
--------→
→
• 0AB = AA = 0 .
→
Não confunda: o número 0 (zero) com o vetor nulo 0 .
Expressão em coordenadas da multiplicação de um vetor por um número real
-→
Sejam λ ∈ R e v = (α, β) um vetor. Então,
-→
λ v = λ (α, β) = (λα, λβ)
-----------→
---------→
---------→
--→
-→
Ou seja, se v = OP , então P = (α, β) e λv = λOP = OP 0 , onde
P 0 = (λα, λβ).
De fato, temos:
• O, P e P 0 são colineares, pois pertencem à reta
r : βx − αy = 0.
p
• d(O, P 0 ) = |λ| α2 + β2 = |λ|d(O, P ).
• P e P 0 estão ambos à direita ou à esquerda de O (origem) sobre a reta
orientada r se λ > 0, e estão em lados opostos se λ < 0.
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Geometria Analítica - Capítulo 5
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Fig. 19: Coordenadas do produto λ(α, β).
Exemplo 3
-→
-→
Dados os vetores u = (1, −1) e v = (3, 1), determine
→
--→
-→
a = 2u + v ,
→
--→
-→
b = u + 2v ,
-1→
→
→
-c = b −a .
2
Solução.
Temos
→
--→
-→
a = 2u + v
IM-UFF
→
--→
-→
b = u + 2v
= 2(1, −1) + (3, 1)
= (1, −1) + 2(3, 1)
= (2(1), 2(−1)) + (3, 1)
= (1, −1) + (2(3), 2(1))
= (2, −2) + (3, 1)
= (1, −1) + (6, 2)
= (2 + 3, −2 + 1)
= (1 + 6, −1 + 2)
= (5, −1) .
= (7, 1) .
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Geometria Analítica - Capítulo 5
85
→
c =
=
-1→
→
-b −a
2
1
(7, 1) − (5, −1)
2
=
− (5, −1)
7
1
− 5, − (−1)
2
2
3 3
− ,
2 2
=
=
7 1
,
2 2
.
Fig. 20: Exemplo 2.
K. Frensel - J. Delgado
IM-UFF