Lista 4 – Retas no espaço
1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:

a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v =(3,1,4);
b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;

c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v =(2,–2,3);
d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos
e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r :
A(5,–2,3) e B(–1,–4,3);
x  2 y  4 z 1


;
5
3
2

f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v = (–2,0,–2);

g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v =(8,3,0);
h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.
x  1  3m

RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , y  2  m ,
z  1  4m

x  3 y  7
x 1 y  2 z 1


, 
3
1
4
z  4 y  9
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) ,
x  2  m

 y  1  m ,
z  3  5m

x 3  y 
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) ,
x  1  2m

y  2  2m ,
z  3  3m

x 1 y  2 x  3


,
2
2
3
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) ,
x  1  3m

y  5  m ,
 z  2

x 1
 y  5 ; z  2 ;
3
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) ,
x  2  5m

y  1  3m
z  2m

x  2 y 1 z


5
3
2
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) ,
 x  6  m

y  7
z  9  m

g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) ,
x  8m

y  3m
z  4

y  2
;
z  1
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 
i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1)
x  8
.
y  0
, 
,
,
,
z2
5
,
,
x  6  z 9; y  7;
x y
 ;z  4 ;
8 3
y  x  3
;

z  5x  13
x   y  1

;

3
z  2 y
 5z  4

x

2
;

3
z

2
y 

2
2) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e
c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo.
RESP:
x  2 y  3 z 1
.


2
3
1
3) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do
7

 x  5 z
RESP: 
y  7 z

5
ângulo A Ô B e determine sua interseção com o lado AB.
 7 11 5 
P , ,  .
4 4 4
e
4) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas
PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.
RESP:  = arc cos
5) A reta r :
x2 4 z

 , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,5,2) e B(1,n5,0).
4
5
3
Calcular o valor de n.
6)
1
,  700 31'43,6''
3
Determine
as
RESP: n=7 ou 1
equações
x 1 y  3 z 1
r1 :


2
4
2
da
e
reta
r
definida
pelos
x  3m

r2 : y  1  2m .
z  2  m

pontos
A
(2,–1,4)
e
B=
r1  r2 ,
com
y   x  1
z  x  2
RESP: 
7) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas:
a) s :
x  3  2y
2y  44 z  8
, e que passa pelo ponto P(2,3,5);

 z3 e r :x 

2
4
10
2
b) s :
x  2 2y

 3z  3
2
4
e r:x4 
2- y
z

, e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
-2
3
2y  1

x
 y  2 x  3

2
c) r : 
e s:
, e que passa pelo ponto P(3,3,4).

6
y  27
z

10
x

18

z 

2
x  2  m

RESP: a)t:  y  3  5m
z  5  12m

x  2  4m

b)t : y  3  7m
z  1  6m

x  3  4m

c) t : y  3  13m
z  4  3m

8)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r:P=(6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta
x  3 z  2
s:
,
y  z  5
e
y  x  11
z  x  6
RESP: t : 
que
forma
ângulos
agudos
congruentes
com
os
eixos
coordenados.