UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – FEIS
TERCEIRA SÉRIE DE EXERCÍCIOS DE “ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÃO”
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1) Traçar os gráficos de magnitude e fase do coeficiente de reflexão, versus ângulo de incidência, para uma onda
incidente do ar para uma cerâmica com r=4,95
a) Para polarização TE (ou perpendicular);
a) Para polarização TM (ou paralela);
2) Repetir o problema anterior, quando a onda passa da cerâmica para o ar.
3) Para uma onda eletromagnética passando do vidro (r=9) para o ar, calcular o ângulo de reflexão total e o ângulo
de Brewster.
R: θc = 19,47º, θB = 18,43º
4) Calcular o ângulo crítico e o ângulo de Brewster para uma onda eletromagnética passando do ar para os seguintes
dielétricos:
a) álcool etílico (r=26);
R: θp = 78,9º
b) mica (r=6).
R: θp = 67,79º
5) Mostrar que os dois ângulos de Brewster obtidos para a onda incidente na interface, de um meio para o outro, em
geral, são ângulos complementares.
6) Examinar o sistema para um ângulo crítico. A partir de qual lado da interface e de qual ângulo a onda incidente
deve possuir a fim de produzir reflexão total? A polarização é importante?
7) Um sistema de duas regiões separadas por uma interface plana infinita consiste de ar e um dielétrico sem perdas
com r=3. Mostrar que o ângulo de Brewster para o sistema é 600 se a onda incidente estiver no ar, e, é igual 300 se
ela estiver no dielétrico. Qual a polarização exigida?
8) Um feixe de laser uniforme no espaço livre incide normalmente sobre a superfície de um vidro que reflete 9% da
potência e transmite o restante.
a) Qual a permissividade r do vidro?
R: εr = 0,2899
b) Se o feixe incidir em 600, qual o ângulo de transmissão t?
9) Se uma onda plana linearmente polarizada segundo a normal ao plano de incidência penetra no ar vindo da água
destilada (r=81), pede-se:
a) O ângulo crítico;
R: θc = 6,38º
b) A magnitude do campo elétrico no ar, na interface, assumindo E 0i=1 V/m e o ângulo de incidência i=45o;
R: Eot = 1,01ej44,6º V/m
c) Idem, a uma distância /4 da interface.
R: Eot = 52,48 µV/m
10) Um transmissor de microondas é colocado abaixo da superfície de um lago de água doce. Desprezando-se a
absorção, encontrar o cone dentro do qual se espera que a radiação passe para o ar.
11) Para várias aplicações de reflexão total os índices de refração de ambos os lados de uma fronteira não são muito
diferentes. Se n2  n1 (1   ) , onde <<1, mostrar que  c 

2
  , onde   2 .
12) Na figura 1 abaixo  corresponde ao maior ângulo de incidência capaz de acoplar luz a um guia slab a partir do
ar. Considera-se que n2=n3. Define-se sua abertura numérica como NA= sen . Demonstrar que NA= n 12  n 22 .
n3


n1
n2
Figura 1
13) Em um laser de GaAs (figura 2), a radiação gerada é confinada ou guiada ao longo de uma fina região de junção
por reflexão total nas camadas adjacentes:
Figura 2
Se a camada de junção tem índice de refração n1=3,60, a camada superior tem n2=3,45 e a inferior tem n3=3,50,
determinar os ângulos críticos nas superfícies superior e inferior.
R: θc = 73,4º, θc = 76,46º
14) As antenas (dipolos) transmissora e receptora mostradas na figura 3 estão sobre o plano de incidência dos raios
emitidos. Essas antenas são tais que a polarização dos campos elétricos é do tipo paralela. Discutir como as antenas
inclinadas proporcionam imunidade contra a recepção de raios refletidos pelo solo (superfície condutora).
EMISSOR
ANTENA INCLINADA
ANTENA INCLINADA
RECEPTOR
i
CONDUTOR
Figura 3
15) Um transmissor de rádio de ondas curtas em 20 MHz está emitindo programas intercontinentais por sinais
rebatidos na ionosfera. Assumir que a frequência do plasma ionosférico fp é 10 MHz e que a ionosfera situa-se a 100
km de altitude. Assumindo-se que a curvatura da terra é desprezível, pede-se:
a) Qual a distância mínima do transmissor terrestre até um receptor terrestre para o qual um sinal com rebatimento
simples pode ser enviado se ele é 100% refletido pela ionosfera?
R: d = 346,41 km
b) Qual a refletância ionosférica no zênite (incidência normal)?
  2p 
Obs: Plasma:    0 1  2 
  


R: R = 5,155x10-3
16) A partir das expressões dos coeficientes de reflexão e transmissão oblíquas vistas em sala de aula, demonstrar
que
sen(  i   t )
r  
sen(  i   t )
r// 
tg ( i   t )
tg ( i   t )
 
2 sen  t cos  i
sen(  i   t )
 // 
2sen t cos  i
sen( i   t ) cos( i   t )
17) Mostrar que para incidência quase-razante ( com ) e n2>n1, obtém-se
a) r 
2
n
   2
 n1

  1

n
   2
 n1

  1

2
b) r// 
n 
n
  1 1   2 
n2
 n1 
2
n 
n
  1 1   2 
n2
 n1 
2
18) Quando r1 e r1 (materiais ferromagnéticos), pedem-se:
a) A expressão para o índice de refração em termos de r e r;
R: n 
r r
b) A lei de Snell em termos de índice de refração sofre alguma alteração? Explique.
R: Não
c) Dados r1=1, r1=1, r2=10 e r2=10, calcular n1, n2,  e 
R: n1 = 1, n2 = 10, η1 =120π, η2 = 120π
d) Calcular o coeficiente de reflexão r para i=0o. Ocorre reflexão para incidência normal em i=0o?
R: r =0
e) A expressão geral para r em termos de índice de refração sofre alguma modificação? Explique.
f) Desenhar o gráfico de r versus i para r1=1, r1=1, r2=10 e r2=10;
g) A expressão geral para r// em termos de índice de refração sofre alguma modificação? Explique.
h) Desenhar o gráfico de r// versus i para r1=1, r1=1, r2=10 e r2=10. Ocorre transmissão total?
19) Alguns lasers a gás usam uma janela de quartzo no ângulo de Brewster na saída do tubo de descarga no gás a
fim de minimizar as perdas por reflexão. Elas são simplesmente finas peças de vidro ajustadas num ângulo  em
relação ao feixe do laser.
a) Determinar o ângulo se o índice de refração para o quartzo no comprimento de onda de interesse é n=1,46;
b) Por causa destas janelas, a saída do laser é quase completamente linearmente polarizada. Qual é a direção desta
polarização?
20) Considere que uma onda plana incida, do ar, sobre uma placa de vidro com faces paralelas A e B, como na
figura 4. Mostrar que se i for escolhido no ângulo de Brewster, tal que nenhuma reflexão ocorra na interface A,
então, nenhuma reflexão ocorrerá na segunda interface. Esta corresponde a uma janela de Brewster usada em lasers
a gás polarizados. Se r2=2, comparar os coeficientes de reflexão r e r// na primeira interface do sistema.
Figura 4
21) Um feixe de laser iônico verde, operando em 0=0,545 m, é gerado no vácuo, e então, passa através de uma
janela de vidro com índice de refração 1,5 para a água, com n=1,34. Projetar uma janela que proporcione reflexão

zero nas duas superfícies para uma onda polarizada com E no plano de incidência.
22) Dados n1=1 e n2=1,46 (quartzo), calcular o ângulo necessário para se obter qualquer reflexão TM de luz de um
laser de Hélio-Neônio (figura 5).
Figura 5
R: θp = 55,59º; θ2 = 34,41º
23) No exemplo anterior obteve-se que ’p. Demonstrar que isto é válido para quaisquer razões n2/n1.

24) Se uma onda plana com campo elétrico no espaço livre ei  (10 xˆ  5zˆ). cos(t  2 x  4 z) V/m incide
obliquamente sobre um dielétrico com =0, r=4 e r=1, calcular
a) Os ângulos de incidência, reflexão e transmissão;
R: θi = θr = 26,56º; θt = 12,92º
b) Os coeficientes de transmissão e reflexão;
R: r// = 0,2946,  // = 0,647
c) O campo elétrico refletido
R:
d) O campo elétrico transmitido;
R:

er  (2,946 xˆ  1,473zˆ) cos(t  2 x  4 z) V/m

et  (7,055xˆ  1,618zˆ) cos(t  2 x  8,718z) V/m
e) O ângulo de Brewster.
25) Uma onda plana uniforme incide com um ângulo i=300 sobre a interface entre os meios 1 (ar) e 2 (plástico sem
perdas com r=6). A frequência da onda incidente é 1 GHz.
a) Qual o ângulo de refração?
b) Encontrar os comprimentos de onda e constantes de fase nas duas regiões;
c) Encontrar os coeficientes de reflexão e transmissão para ambas às polarizações do campo incidente;
d) Se o campo elétrico incidente é paralelo ao plano de incidência e tem amplitude 100e j 0 V/m, encontrar as
amplitudes dos campos elétricos refletido e transmitido.
e) Repetir o item d) para o caso de polarização perpendicular.
26) Uma onda TEM polarizada perpendicularmente com ângulo i=300 sobre o plano de interface entre dois meios


ˆ
(figura 6) conforme Ei  5e  jK1ai r yˆ . Determinar:
Figura 6
a) A magnitude do campo no meio 2, em z=10 m;
b) A componente z do vetor de Poynting no meio 2;
c) O menor valor de i no qual ocorre reflexão interna total.



ˆ
27) Relativamente à figura 6, e assumindo que a onda no meio 2 é dada por Et  E 2 e  jK 2a2 r
a) O que acontece à onda no meio 2 se i=750?
b) Encontrar a magnitude da onda no meio 2 em z=10 m?
c) Encontrar o vetor de Poynting no meio 2.

28) Uma onda plana uniforme, no ar, com ei  8 cos(t  4 x  3z) yˆ V/m incide sobre um meio onde r=1, r=2,5 e
=0. Encontrar:
a) A polarização da onda e o valor de ;

R:
 =15x108 rad/s, E // ŷ está polarizado perpendicularmente
b) O ângulo de incidência;
R: θi = 53,13º

c) A expressão do campo elétrico refletido e r ;

d) A expressão do campo magnético transmitido ht ;
R:
R:

er  3,112 cos(15x108 t  4 x  3z) yˆ V/m

ht  (17,69 xˆ  10,37 zˆ) cos(15x108 t  4 x  6,819 z ) mA/m
29) Uma onda plana, no ar, incide sobre o poliestireno (r=2) segundo um ângulo de incidência de 300. A
intensidade do campo elétrico da onda incidente é de 80 V/m. Considerando que a onda é polarizada paralelamente
ao plano de incidência, calcular:
a) O ângulo de transmissão;
b) As intensidades dos campos elétrico e magnético das ondas refletida e transmitida;
c) Os coeficientes de reflexão e transmissão de energia.
30) Uma onda plana uniforme, propagando-se no espaço livre com 10 W/m2 e com polarização ŷ , incide sobre uma
interface plana com i=600 em relação à sua normal. O plano de incidência é o plano x-z. O meio do outro lado da
interface (z>0) é caracterizado por =0, e 
 
a) Se a frequência da radiação é 300 MHz, qual a expressão do campo elétrico incidente ei (r , t ) ?
 
b) Qual a expressão do campo elétrico transmitido et (r , t ) ?
R:

ei  5,6 cos[t  3 ( 3x  z )] yˆ V/m
31) Um feixe de luz se propaga dentro do vidro com índice de refração n 1=2 e incide sobre uma interface planar com
vácuo, num ângulo    c . A onda evanescente resultante no vácuo decai com exp(  z /  ) , onde o eixo z é
perpendicular à interface. Qual o menor valor possível para a profundidade de penetração ?
R:
0
2 3
32) Os campos evanescentes fora do núcleo da fibra óptica podem causar acoplamento ou “crosstalk” entre fibras
adjacentes. Para estimar a magnitude deste acoplamento, considera-se um modelo planar com núcleo de sílica e
índice de refração n1=1,535, e casca externa de vidro de borosilicato tendo n 2=1,525. O sinal óptico tem
comprimento de onda no espaço livre igual a 0,85 m. Qual a distância que o outro núcleo pode ser posicionado se o
campo na superfície for 10-3 do valor na superfície daquele plano quando:
a) O ângulo de incidência das ondas no núcleo for 850;
b) O ângulo de incidência é 890.
33) A luz pode ser confinada dentro de uma fibra óptica se é refletida internamente em ângulos  menores que o
ângulo crítico c. Se o comprimento de onda é pequeno comparado com o raio da fibra, a reflexão é
aproximadamente planar. A intensidade de campo na região evanescente decai exponencialmente para longe da
fronteira plana segundo exp( z ) , onde ẑ é perpendicular à superfície. Qual é  para (o ângulo crítico c é medido
em radianos) para:
a)    c ?
1 
(  c ) ?
2 2
c) O limite onde    / 2 ?
b)    c 
34) Uma onda plana linearmente polarizada segundo a direção normal ao plano de incidência penetra no ar vinda do
vidro, como esboçado na figura 7. Sabe-se que, quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo crítico, a onda
transmitida é uma onda evanescente cuja distribuição de campo eletromagnético encontra-se no semi-plano z>0. A
partir das equações de campo para este tipo de incidência, estudas em sala de aula, demonstrar que o vetor de
Poynting médio na direção z, para o campo eletromagnético evanescente no semi-plano z>0, é nulo.
Figura 7
35) Uma onda polarizada circularmente à direita incide angularmente sobre uma superfície condutora ideal (),
como esquematizado na figura 8. Responder:
a) Qual o valor da impedância intrínseca do condutor perfeito ?
R:   0
b) Quais os coeficientes de reflexão para os campo elétricos normal (TE) e paralelo (TM) ? Eles dependem do
ângulo de incidência ?
R: r// =1, r  = - 1
c)
Qual a polarização do raio refletido ? Justificar detalhadamente através das equações estudadas em sala de aula.
R: Polarização circular à esquerda
Figura 8
36) Uma onda plana incide a 450 sobre uma superfície condutora no plano y-z. A onda consiste das componentes TE
e TM como segue:

ETE  E 0 e jK ( x  z ) /
2

E
yˆ e ETM  j 0 e jK ( x  z ) /
2
2

( xˆ  z )
a) Escrever as componentes TE e TM dos campos elétricos da onda refletida, na mesma forma usada acima na
descrição da onda incidente, e mostrar que os campos elétricos tangenciais satisfazem as condições de contorno;
b) Quais são as polarizações das ondas incidente e refletida?
37) Uma onda plana uniforme no espaço livre incide num ângulo  sobre um dielétrico plano , onde . A
fronteira plana do dielétrico situa-se em z=0 e ẑ é normal à superfície, apontando para o espaço. O vetor campo

elétrico da onda incidente pode ser expresso por: Ei  E0 ( xˆ cos   yˆ  zˆsen ).e  jK x x  jK z z , onde E0 é uma constante
real.
a) Decompor o campo elétrico incidente em componentes TE e TM;
b) Qual é a polarização da onda incidente?
c) Determine a expressão para os campos elétricos transmitidos TE e TM;
d) Para ângulos incidentes menores que o ângulo crítico c, quais são as polarizações das ondas refletida e
transmitida?
e) Para ângulos incidentes maiores que o ângulo crítico c, mostrar que a diferença de fase entre as componentes TE
 cos( sen 2  n  2 ) 
 , onde n  c  ;
e TM do campo elétrico refletido é dada por:   TM  TE  2tg 1 
2


sen



f) Se , para qual ângulo  a onda refletida é circularmente polarizada?