Estatística 5 - Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Antonio Fernando Branco Costa e-mail: [email protected] Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco Experimento do disco 4º quadrante 1º quadrante 3º quadrante 2º quadrante EXPERIMENTO: Girar o ponteiro de um disco na horizontal dividido em 4 quadrantes. Resultados (V.A.discreta): quadrante em que o ponteiro para Pr(x) x Pr(x) 1º quadrante 1/4 2º quadrante 1/4 3º quadrante 1/4 4º quadrante 1/4 1/4 x 1º 2º 3º 4º Experimento do disco EXPERIMENTO: Girar o ponteiro de um disco na horizontal dividido em 8 segmentos. Resultados (V.A.discreta): segmento em que o ponteiro para Pr(x) 1/8 1 2 3 4 5 6 7 8 x Experimento do disco EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco na horizontal (com uma marca de referência) . X (3/2) (1/2) Resultados (V.A.contínua): ângulo X de parada do ponteiro em relação a marca de referência. (1 / 2) 0 f(x) 1/2 f(x) 0 2 2 dx = 1/ 4 f(x) 0 f(x) dx = 1 x x 0 (1/2) f(x): função densidade de probabilidade 0 f(x) = 1 2 0 , , , x< 0 0 x 2 x > 2 Propriedades de uma v.a.c. 0 f(x) = 1 2 0 , , , x< 0 0 x 2 x > 2 f(x) 2 f(x) dx = 1 0 1/2 0 2 + 2 1 1 f(x) dx dx 2 - 0 2 1 Área 2 1 2 x 2 2 x 1 2 0 Probabilidades 0 f(x) = 1 2 0 , , , x< 0 0 x 2 x > 2 Pr ( X x) 0 (1 / 2) 0 f(x) f(x) dx = 1 / 4 1/2 0 2 Pr ( a X b ) 2 Pr ( 0 X 2 ) 0 b a f ( x) dx 1 1 dx 2 2 x ,b>a 2 x 0 2 1 2 4 Função Distribuição Acumulada 0 f(x) = 1 2 0 , , , x< 0 0 x 2 x > 2 f(x) x f(x) dx 1/2 0 2 x F ( x ) Pr[0 X x] x 0 x 1 1 dx 2 2 x x x 2 0 F(x) 1,0 0 F(x) = x 2 1 x/2 0 x 2 x , , , x < 0 0 x 2 x > 2 Parâmetro de posição - Média = E(X) = x i P( xi ) (v.a.d.) i + = E(X) = x f(x)dx (v.a.c.) - 0 f(x) = 1 2 0 2 0 , , , x< 0 0 x 2 x > 2 2 1 1 2 4 2 x dx x 2 4 4 0 f(x) 1/2 0 2 x Parâmetro de dispersão - Variância 0 f(x) = 1 2 0 , , x< 0 0 x 2 x > 2 , 2 E E2X ( x ) f ( x)dx 2 X 2 EX 2 2 E( X ) 2 2 3 2 x 1 8 3 x f x dx x dx 6 6 2 0 0 2 8 3 4 2 2 2 2 6 3 3 2 2 3 3 Experimento do disco EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com uma marca de referência) . Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro com relação a marca de referência. f(x) k 0 /2 2 x f(x) k 0 /2 2 x Experimento do disco EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com uma marca de referência) . Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro com relação a marca de referência. k=1/ f(x) k 0 /2 2 x Experimento do disco EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com uma marca de referência) . Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro com relação a marca de referência. f(x) 1/ 0 /2 X=0 => f(x)=0 X= > f(x)=1/ X= > f(x)=1/ X=2 > f(x)=0 2 x f(x)=x/2 f(x)=(2-x)/2 Probabilidade f(x)=x/2 f(x) 1/ f(x)=(2-x)/2 0 /2 2 Pr ( /2 X 3/2 ) x 3 / 2 f ( x) dx , /2 x 2 2 2 3 / 2 /2 3 / 2 x / 2 dx /2 (2 x) / 2 dx 2x x 2 2 2 3 / 2 6/8 Função Distribuição Acumulada f(x)=x/2 f(x) 1/ f(x)=(2-x)/2 0 /2 2 x x x 1 F(x) P r ( X x ) (2 x) / 2 dx F(x) Pr (0 X x 2) f ( x) dx , 0 x x 1 2x x2 1 1 2x x2 2 2 2 2 2 2 2 2 F(X) 0 se x 0 x2 2 2 1 1 0 x se 2x x2 2 se 2 se x 2 x > 2 Função Distribuição Acumulada F(X) 0 se x 0 x2 2 2 1 1 se 2x 0 x x2 se x 2 2 se 2 x > 2 F(X) 1 1/2 0 2 Propriedades da média e da variância Propriedades da média: (a) E(k) = k , k = constante (b) E(kX) = kE(X) (c) E(X Y) = E(X) E(Y) (d) E(X k) = E(X) k (e) E(XY) = E(X) . E(Y) caso X , Y independentes Propriedades da variância: (a ) 2 ( k ) 0 , k = constante (b) 2 ( kX) k 2 2 ( X) (c) 2 ( X Y) 2 ( X) 2 (Y) , X ,Y independentes (d) 2 ( X k ) 2 ( x)