VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
Rio de Janeiro / 2007
TODOS
OS DIREITOS RESERVADOS À
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por
quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo
Branco - UCB.
U n3p
Universidade Castelo Branco.
Introdução à Álgebra. –
Rio de Janeiro: UCB, 2007.
48 p.
ISBN 978-85-86912-61-0
1. Ensino a Distância. I. Título.
CDD – 371.39
Universidade Castelo Branco - UCB
Avenida Santa Cruz, 1.631
Rio de Janeiro - RJ
21710-250
Tel. (21) 2406-7700 Fax (21) 2401-9696
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Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional
Coordenadora de Educação a Distância
Prof.ª Ziléa Baptista Nespoli
Coordenador do Curso de Graduação
Mauricio Magalhães - Ciências Biológicas
Conteudista
Wilson Jorge Gonçalves
Supervisor do Centro Editorial – CEDI
Joselmo Botelho
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação,
na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade
para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a
sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e
criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Auto-Estudo
O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Auto-Estudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja
disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 11
Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 12
UNIDADE I
TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1 - Conceituação ...................................................................................................................................... 13
1.2 - Tipos de conjuntos .............................................................................................................................. 14
1.3 - Operações com conjuntos ................................................................................................................... 15
1.4 - Conjuntos numéricos .......................................................................................................................... 16
1.5 - Intervalos ............................................................................................................................................ 17
UNIDADE II
FUNÇÕES
2.1 - Produto cartesiano .............................................................................................................................. 19
2.2 - Relações .............................................................................................................................................. 20
2.3 - Definição de função ............................................................................................................................ 22
2.4 - Notação de função .............................................................................................................................. 23
2.5 - Estudo do sinal da função y = ax + b.................................................................................................. 23
2.6 - Tipos de funções ................................................................................................................................. 24
2.7 - Problemas envolvendo funções .......................................................................................................... 26
UNIDADE III
TEORIA DAS PROBABILIDADES
3.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 32
3.2 - Conceitos básicos ............................................................................................................................... 32
3.3 - Definição de probabilidades ............................................................................................................... 33
3.4 - Adição de probabilidades.................................................................................................................... 33
3.5 - Produto de probabilidades .................................................................................................................. 34
Glossário ..................................................................................................................................................... 39
Gabarito....................................................................................................................................................... 40
Referências bibliográficas ........................................................................................................................... 47
Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA
OBJETIVOS
1 - TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1 - Conceituação
1.2 - Tipos de conjuntos
1.3 - Operações com conjuntos
1.4 - Conjuntos numéricos
1.5 - Intervalos
• Familiarizar o aluno com as convenções e notações
usadas no estudo dos conjuntos; Conhecer todos os
tipos de conjuntos;
• Habilitar o aluno a realizar todas as operações envolvendo conjuntos;
• Conhecer e operar com todos os conjuntos numéricos;
• Conhecer e operar com todos os tipos de intervalos
finitos e infinitos.
II - FUNÇÕES
2.1 - Produto cartesiano
2.2 - Relações
2.3 - Definição de função
2.4 - Notação de função
2.5 - Estudo do sinal da função y = ax + b
2.6 - Tipos de funções
2.7 - Problemas envolvendo funções
• Definir o produto cartesiano e mostrar sua representação
gráfica;
• Definir uma relação e mostrar sua importância para o
estudo das funções;
• Conceituar função e conscientizar o aluno para um dos
assuntos da maior importância na matemática;
• Levar o aluno a identificar uma função através de suas
notações;
• Identificar uma função como crescente ou decrescente;
• Conhecer os principais tipos de funções do 1º grau e
traçar seus gráficos;
• Resolver problemas do cotidiano, aplicando o conhecimento de funções.
III – TEORIADAS PROBABILIDADES
3.1 - Introdução
3.2 - Conceitos básicos
3.3 - Definição de probabilidades
3.4 - Adição de probabilidades
3.5 - Produto de probabilidades
• Conscientizar o aluno sobre a importância do assunto
como ferramenta de ajuda em várias áreas do conhecimento;
• Conhecer os fundamentos e a base teórica para o estudo
das probabilidades;
• Expressar matematicamente o conceito de probabilidade;
• Solucionar problemas de probabilidade utilizando o
teorema da soma;
• Solucionar problemas de probabilidades utilizando o
teorema do produto.
11
12
Contextualização da Disciplina
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não
possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.
Lobachevsky.
A afirmação acima foi o grande farol a nos guiar na produção deste instrucional de Introdução à Álgebra.
Como sabemos, a Matemática hoje deixou de ser aquela ciência apenas exata e isolada das demais. Atualmente,
a Matemática, com seus modelos aplicativos, tem ampla presença em todas as áreas do conhecimento, quer
sejam áreas biomédicas, humanas ou sociais.
As unidades didáticas foram cuidadosamente escolhidas para auxiliar você, das áreas biomédicas, a resolver
questões do cotidiano da sua profissão.
Começamos pelo estudo de Conjuntos, cuja idéia intuitiva é tão antiga quanto a de número. Embora a idéia de
conjunto sempre tenha existido no pensamento humano, ela só recebeu um tratamento formal pela Matemática
no final do século XIX, por George Cantor (1845-1918), matemático russo.
O conceito dos conjuntos levará você a desembocar no estudo das Relações e Funções, pois toda vez que
relacionamos dois conjuntos ocorre uma função.
Encontramos o uso de funções nos mais variados assuntos. Por exemplo, o preço a ser pago numa conta de
luz é função da quantidade de energia consumida. Em várias ocasiões, os profissionais da área de Biologia
precisarão mergulhar nas funções para resolver vários problemas inerentes a sua área de trabalho, como serão
exemplificados no presente instrucional.
Finalmente, chegamos ao estudo das Probabilidades – assunto primeiramente estudado pelos italianos Gerônimo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) –, hoje uma moderna e poderosa ferramenta de auxílio
em várias áreas do conhecimento científico, inclusive no estudo da Genética, razão pela qual esse estudo foi
incluído neste programa.
Esperamos que você, que se utiliza deste modesto, mas valioso instrumento de aprendizagem, tire o melhor
proveito.
UNIDADE I
TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1- Conceituação
Noções Primitivas
As noções de CONJUNTO, ELEMENTO e PERTINÊNCIA são consideradas primitivas e, por isso, não
requerem definição.
• Conjunto das flores;
• A rosa pertence ao conjunto das flores.
Convenções
• Conjunto: letra maiúscula (A, B, C etc.)
• Elemento: letra minúscula (a, b, c etc.)
• Pertinência: símbolo ∈ (pertence a...)
símbolo ∉ (não pertence a ...)
Ex:
Conjunto A = {2, 4, 5, 8}
2 ∈ A, 3 ∉ A
Notações
Os conjuntos podem ser representados de três maneiras:
• Pela enumeração de seus elementos;
Ex: conjunto das vogais A = {a, e, i, o, u}
• Enunciando uma propriedade de seus elementos;
Ex: A = {x | x é vogal}
• Pelo diagrama de Venn.
.a
i.
e.
o.
.u
13
14
1.2 – Tipos de Conjuntos
Conjunto Unitário
É o conjunto que possui um só elemento.
Ex: A = {6}
Conjuntos Iguais
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B for elemento
de A.
NOTAÇÃO: A = B (∀x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Ex: {1, 5, 7, 9 } = {9, 1, 5, 7}
Conjuntos Disjuntos
Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum.
Ex: {3, 5} e {4, 6}
Conjunto Vazio
É aquele que não possui nenhum elemento.
NOTAÇÃO: ∅ ou {
}
Ex: A = {x | x + 1 = x}
Subconjunto
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A for também elemento de B.
NOTAÇÃO: A ⊂ Β
Lê-se: A é subconjunto de B.
A está contido em B.
Ex: {0, 2} ⊂ {0, 1, 2, 4}
Observação:
a) ⊄: não contido; ⊃: não contém.
b) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
c) Dado um conjunto com n elementos, o total de subconjuntos é dado por 2n.
Ex: A = {a, b, c}
Total de subconjuntos: 23 = 8 subconjuntos.
Se não, vejamos A = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c} e { }
1.3 - Operações com Conjuntos
15
União dos Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B ao conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B.
NOTAÇÃO: A ∪ B ; {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
Ex.: A {2, 4} , B {1, 2, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}
=A∪B=
A
B
A
B
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se de interseção de A e B o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B.
NOTAÇÃO: A ∩ B ; {x | x ∈ A e x ∈ B}.
Ex.: A = {a, b, d, e}; B = {b, c, e, f}
A ∩ B = {b, e}
=A∩B=
A
B
A
B
Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre eles (A – B) o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A e não pertencem a B.
NOTAÇÃO: A − B ; {x | x ∈ A e x ∉ B}.
Ex.: A = {3, 5, 6, 8, 11}; B = {4, 5, 8, 10, 11}
A − B = {3, 6}
=A−B=
A
B
A
B
16
16
1.4 - Conjuntos Numéricos
Conjunto de Números Inteiros (ℤ)
ℤ = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
ℤ* = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
ℤ+ = { 0, 1, 2, 3, ... }
ℤ- = { ... -3, -2, -1, 0 }
ℤ*+ = { 1, 2, 3, 4, ... }
ℤ*- = { ... -3, -2, -1 }
Conjunto de Números Naturais (ℕ)
ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
ℕ* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Conjunto de Números Racionais (ℚ)
ℚ = ⎧⎨ x = p p ∧ q ∈ Ζ ∧ q ≠ 0 ⎫⎬
q
⎩
⎭
Ex.:
2
= 0 ,4 ∈ ℚ
5
1
= 0,33... ∈ ℚ
3
Conjunto de Números Irracionais ()
É o conjunto dos números que possue uma representação decimal, infinita e não-periódica.
 = 3, 14159265 ...
2 = 1, 4142135 ...
3 = 1, 7320508 ...
Conjunto de Números Reais (ℝ)
São todos os números contidos na retal real.
− 2
-2
3
- 12
-1
0
1
ℝ = {x | x é racional ou irracional}

2
3
ℝ
1.5 - Intervalos
17
Podem ser representados na reta real ou por desigualdades.
a) Fechado
•
•
[ 2, 5 ] = { x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 5 }
°
] 3, 7 [ = { x ∈ ℝ | 3 < x < 7 }
5
2
b) Aberto
°
7
3
c) Fechado à esquerda e aberto à direita
•
°
[1, 4 [ = { x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 4 }
4
1
d) Fechado à direita e aberto à esquerda
] 3, 6 ] = { x ∈ ℝ | 3 < x ≤ 6 }
°
•
6
3
e) Infinito fechado à esquerda
[ 9, +
•
∞ [=x∈ℝ |x≤9}
f) Infinito aberto à esquerda
] 5, +
°
∞ [={x∈ℝ |x>5}
9
5
g) Infinito fechado à direita
] - ∞ , +7] = { x ∈ ℝ | x ≤ 7 }
•
7
h) Infinito aberto à direita
] -∞ , 2 [ = { x ∈ ℝ | x < 2 }
°
2
Exercícios de Auto-Avaliação
1. Enumere os conjuntos abaixo:
a) A = { x | x é mês com inicial m}.
b) B = { x | é inteiro maior que 4 e menor que 7}.
c) C = { x inteiro | 6 < x ≤ 11}.
d) D = { x inteiro | 8 < x < 9 }.
e) E = { x | x é ímpar, inteiro e maior que 4}.
2. Complete com = ou ≠.
a) {3, 7, 8, 9} ___ {7, 8, 3, 9}
b) {x | x2 = 1} ___ {1}
c) {x | x é 16
16 ___ {4, - 4}
d) {x | x é inteiro, positivo, divisível por 3} ____ {x | x é ímpar, inteiro e positivo}
3. Complete com ⊂ ou ⊄:
a) {a, e, u} ___ {conjunto das vogais}
b) {3, 5, 6, 9} ___ {2, 3, 6, 9, 10}
c) {a, b, c} ___ {c, b, a}
d) ∅ ___ {1, 4}
18
4. Determine o número de subconjuntos do conjunto A = {2, 4, 6, 10, 11}.
5. Enumere os subconjuntos do conjunto B = {a, 7, 8}.
6. Realize as operações com conjuntos solicitados abaixo:
a) {a, b, c} ∪ {b, e}
b) {1, 7, 9} ∪ {0, 7, 8}
c) {3, 5, 10} ∩ {1, 2, 5, 9, 10}
d) {m, n} ∩ { }
e) {b, d, f} - {a, c, f, g}
f) {2, 5, 8} - {4, 6, 8}
7. Sendo A = {1, 2, 4, 6}, B = {2, 3, 5, 6} e C = {2, 4, 6, 8}, determine os seguintes conjuntos:
a) A ∪ B
b) B ∩ C
c) A – C
d) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
8. Dados os conjuntos abaixo, represente com hachuras as seguintes operações.
a) A ∧ B ∧ C
A
B
b) (A ∧ B) ∪ (A ∧ C)
c) A – (B ∧ C)
C
9. No diagrama, temos:
n (A) = 20
n (B) = 30
n(A∩B)=5
Determine n (A ∪ B).
A
B
10. Dois clubes A e B somam 141 sócios. O clube B possui 72 sócios e os clubes possuem em comum 39
sócios. Determine o número de sócios do clube A.
11. Complete com ∈ ou ∉:
a) 5 ____ ℤ
d) – 6 ____ ℕ*
b)
2 ____ ℚ
e)  ____ ℝ
c)
4 ____ ℕ
f) 0 ____ ℕ
12. Complete com ⊂ ou ⊄:
a) ℕ ___ ℤ*
c) II ___ ℝ
b) ℕ ___ ℚ
d) ℚ ____ ℤ
13. Represente na reta Real os seguintes intervalos:
a) [2, 12 [
c) [ -6, 0 ]
b) ]
2 ,[
d) { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 8 }
14. Dados os intervalos A= [1, 4[ e B= ]2, 8], represente graficamente e com desigualdades os conjuntos abaixo:
a) A ∪ B
b) A ∧ B
c) A - B
UNIDADE II
19
FUNÇÕES
2.1- Produto Cartesiano
Eixos Cartesianos
yy
P
yypP
•
0
xxpP
OX - eixo das abcissas
OY - eixo das ordenadas
x
• xp e yp são as coordenadas do ponto P: P (xp, yp)
Quadrantes
yy
II
III
I
0
IV
Locação de Pontos
Para locar pontos no plano cartesiano, utiliza-se o par ordenado, no qual o primeiro número é a abcissa do
ponto e o segundo é a ordenada. Se não, vejamos:
y
3
•
A
A (4, 3 )
B (3, -2 )
C (-4, -1)
D (-3, +2)
2
D•
1
-4
C•
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
•B
-3
1) Se tivermos dois pares ordenados (a, b) e (c, d), eles só serão iguais se a = c e b = d .
20
2) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano cartesiano e o conjunto dos pares (x, y) de
números reais, ou seja, a cada par corresponde um único ponto e vice-versa.
Ex.:
Dê o valor a e b para que se tenha (a, b) = (3, 4).
→ basta igualar as abcissas e as ordenadas.
Então a = 3 e b = 4
Produto Cartesiano
Chama-se produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B o conjunto de todos os pares ordenados
(x, y), com x ∈ A ∧ y ∈ B.
A x B = {(x , y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
Ex.: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}.
A x B = {( 1, 1 ) , ( 1, 2 ) , ( 2, 1 ), ( 2, 2 ) , ( 3, 1 ), ( 3, 2 )}
Representação Gráfica
y
2
•
•
•
1
•
•
•
0
1
2
3
2.2 - Relações
Consideremos dois conjuntos A e B. Chamemos de x os elementos de A e de y os elementos de B. Toda vez
que associamos a elementos x ∈ A, elementos y ∈ B, temos uma relação de A em B. O conjunto A se chama
domínio da relação e o conjunto B, contradomínio da relação.
Exemplo
Sejam A = {1; 2; 3; 4} e x os elementos de A; sejam B = {1; 2; 3; 4} e y os elementos de B; consideremos
então a relação dada pela lei y = x2 .
Esta relação pode ser esquematizada, com diagramas de flechas de Euler-Venn, da seguinte forma:
Note que esta relação é constituída pelos seguintes pares ordenados (x, y): (1; 1) e (2; 4). Se fizermos um
gráfico cartesiano desta relação, teremos:
21
Este gráfico é constituído por apenas dois pontos.
Exemplo
Sejam A = {1; 2; 3; 4} e x os elementos de A e B = {3; 4; 5; 6; 7} e y os elementos de B; consideremos então
a relação dada pela lei y = x + 1.
Esquematize esta relação, com o diagramas de Euler-Venn. Diga quais são os pares que constituem a relação
e faça o gráfico cartesiano.
Resolução:
A relação pode ser esquematizada, com diagramas de Euler-Venn, da seguinte forma:
Esta relação é constituída pelos seguintes pares ordenados (x, y): (2, 3), (3, 4) e (4, 5). O gráfico cartesiano
da relação será:
22
2.3 - Definição de Função
Consideremos uma relação de um conjunto A em um conjunto B. Esta relação será chamada de função quando
associar a todo elemento de A um único elemento de B.
Exemplo
Consideremos algumas relações, esquematizadas com diagramas de Euler-Venn, e vejamos quais são funções:
Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento
de A um único elemento de B.
Esta relação não é uma função de A em B, pois associa a x1 ∈ A
dois elementos de B: y1 e y2 .
Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento
de A um único elemento de B.
Esta relação não é uma função de A em B, pois não associa a x2 ∈ A
nenhum elemento de B.
Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento
de A um único elemento de B.
Esta relação é uma função de A em B, pois associa a todo elemento
de A um único elemento de B.
Observação:
→ nenhum elemento de A pode ficar solitário;
→ nenhum elemento de A pode lançar mais do que uma flecha.
2.4 - Notação de Função
23
Considere a seguinte função dada pelo seu diagrama de Euler-Venn:
Esta função será a seguinte notação:
Y2 = f ( x1 ) – indica que y2 é a imagem de x1.
Y2 = f ( x2 ) – indica que y2 é a imagem de x2.
Y3 = f ( x3 ) – indica que y3 é a imagem de x3.
Então:
A = {x1, x2, x3} é o domínio de f.
B = {y1, y2, y3} é o contradomínio de f.
F (A) = {y2, y3} é o conjunto-imagem de A.
2.5 - Estudo do Sinal da Função y = ax + b
a) A função será crescente, se a > 0 ou ainda se x cresce → f ( x ) cresce.
Ex.: y = 2x + 5
x
y
-2 1
-1 3
0 5
1 7
α < 90º
b) A função será decrescente, se a < 0 ou ainda se x cresce → f ( x ) decresce.
Ex.: y = - x + 4
x
y
0
1
2
3
4
3
2
1
24
2.6 - Tipos de Funções
Função Variável Real
São aquelas cujo domínio é um subconjunto de ℝ ou o próprio ℝ.
Ex.:
y = 2x + 6
D (f) = ℝ
y= 1
D (f) = ℝ* ou {x ∈ | x ≠ 0}
x
y=
D (f) = ℝ+ ou {x ∈ | x ≥ 0}
x
Função Inversa
Seja f uma função de A em B, a função inversa é a função obtida invertendo todas as flechas de f.
função f
função inversa f-1
Ex.: Achar a função inversa de y = 2x
→ trocando x por y, teremos x = 2y
→ em seguida, expressa-se o novo y em função de x.
Y = x ou
2
f -1 (x) = x
2
Função Constante
É a função que para todo x ∈ ℝ, tenhamos f (x) = c (cte). O gráfico será uma reta paralela ou coincidente com xx´.
a) c > 0
b) c = 0
y
c) c < 0
y
x
0
0
x
y
x
0
Exemplo: Represente graficamente as funções.
y=4
y = -2
y
y
4
0
0
x
-2
x
Função Identidade
25
É uma função em que para todo x ∈ ℝ, tenhamos f (x) = x.
y
Seu gráfico é o da reta bissetriz dos 1º e 3º
quadrantes.
45º
x
0
Função Linear
É a função em que para todo x ∈ ℝ, tem-se f (x) = a.x, com a ∈ ℝ*. Seu gráfico passa pela origem.
Ex.: y = 2x
x
y
0
1
2
0
2
4
y
4
3
2
1
1
2
3
x
Função Afim ou Polinômio do 1º Grau
É a função em que para todo x ∈ ℝ, tem-se f (x) = a x + b com a ∈ ℝ* e b ∈ ℝ.
Ex.: y = x + 1
x
y
0
1
2
1
2
3
y
3
2
1
1
2
x
26
Função Exponencial
É uma função f, tal que para todo x ∈ ℝ , com a > 0 e a ≠ 1. Os gráficos da função exponencial apresentam
os seguintes aspectos:
→ para a > 1
* crescente;
* quando x cresce, f (x) cresce.
→ para a < 0 < 1
* decrescente;
* quando x cresce, f (x) decresce.
Observações:
• O gráfico dessa função sempre corta o eixo yy´ no ponto (0, 1).
• O gráfico dessa função sempre passa pelo ponto de coordenadas (1,0).
• O gráfico dessa função nunca toca o eixo xx´.
• Nessa função as imagens são sempre positivas.
I = ℝ*+
Exemplo
Resolva as equações abaixo:
a) 3x = 32 ∴ x = 2
b) 5x = 125 ∴ 5x = 53 ∴ x = 3
c) 8x = 2 ∴ (23)x = 21 ∴ 23x = 21 ∴ x = 1
3
2.7 - Problemas Envolvendo Funções
A seguir, apresentaremos vários problemas e suas respectivas soluções, envolvendo situações do cotidiano
que, aplicando os conhecimentos de funções, são facilmente resolvidos.
1. O custo de um produto é calculado pela fórmula c = 10 + 20q, na qual c indica o custo (em reais) e q, a
quantidade produzida (em unidades). Construa o gráfico de c em função de q.
Solução:
c = 10 + 20 q
c = 20q + 10
y = ax + b
{
c - custo
q - quantidade
quando c = 0 = 20q = -10 ∴ q = - ½ = P1 ⎛⎜ − 1 , 0 ⎞⎟ P2 = (0,10)
⎝ 2
⎠
q = 0 = c = 10
y (c)
10
P1
P1 0
x (q)
2. O preço de venda de um livro é de R$ 15,00 por unidade. A receita total obtida pela venda desse livro pode
ser calculada pela fórmula: receita total = preço de venda por unidade vezes quantidades de livros vendidos.
a) Indicando por x a quantidade de livros vendidos, escreva a lei dessa função.
b) Essa função é linear?
c) A receita total é diretamente proporcional ao número de livros vendidos?
Solução
a) y = 15. X.
b) Sim.
c) Sim, pois quanto mais livros forem vendidos, maior será a receita.
3. A fórmula que dá o número do sapato (N) em função do comprimento (c) do pé, em centímetros, é:
N=
5c + 28
5 c + 7. Calcule:
ou N =
4
4
a) O número do sapato quando o comprimento do pé é de 24 cm;
b) O comprimento do pé de quem calça 40.
Solução:
dados
{
N=
5c + 28
4
N – número do sapato
C – comprimento do pé
a) N =
5c + 24 + 28 148 N = 37
=
4
4
b) 40 =
5c + 28
4
pedido c = 24cm = N
N = 40 = C
160 = 5 c + 28
5 c = 132
c = 26,4 cm
4. Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de 10 reais para um peso P de até 1 kg.
Para cada quilograma adicional ou fração de quilograma, o custo aumenta 30 centavos. A função que representa
o custo de uma encomenda de peso P ≥ 1 kg é :
a) C = 10 + 3P.
b) C = 10P + 0,3.
c) C = 10 + 0,3 ( P – 1 ).
d) C = 9 + 3P.
e) C = 10P – 7.
27
28
Solução:
Dados
{
P (peso) = 1kg
C (custo) = 10,00 até 1kg
Kg adicional = 0,30
C = 10 + 0,3 ( P – 1 )
Letra (c).
5. Biólogos descobriram que o número de sons emitidos por minuto por certa espécie de grilos está relacionado
com a temperatura. A relação é quase linear. A 68º F, os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 80º F,
emitem 172 sons por minuto. Encontre a equação que relaciona a temperatura em Fahrenheit (F) e o número
de sons (n).
Solução:
Dados
{
01 = 68º F ⇒ n1 = 124 sons
02 = 80º F ⇒ n2 = 172 sons
•172
80 •
68 •
{ n = f (⊖)
n
ºF
F•
Pedido
b
a
•n
•124
n - 124
F - 68
a
=
=
172 - 124
80 - 68
b
n - 124
F - 68
=
48
12
4 (F – 68) = n – 124
4 F – 272 = n – 124
4F = n + 148
F=
n
+ 37
4
6. Observe o gráfico em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráfico representa a relação
entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia.
A única afirmativa falsa relativa ao gráfico é:
a) Para ingestão de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.
b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante.
c) Para a ingestão acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido.
d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia.
Solução (b).
Exercícios de Auto-Avaliação
29
1. Sendo os conjuntos A {1, 5, 7} e B = {2, 6, 8}, determinar o produto cartesiano A x B e fazer sua representação gráfica.
2. Sabendo-se que A = {- 4, - 2, 0} e B = {0, 1, 5}, determinar:
a) Os pares ordenados do produto cartesiano A x B.
b) A representação gráfica do produto cartesiano.
c) Os pares ordenados do produto cartesiano B x A.
d) O conjunto ( A x B ) ∩ ( B x A ).
3. Sabendo-se que os pares ordenados (3x + y; 1 ) e (7 ; 2x – 3y) são iguais, determinar x e y.
4. Construa o gráfico cartesiano de A x B, sabendo que A = [ 1, 5 ] e B = [ 2, 4 ] e que x ∈ A e y ∈ B.
5. Sejam os conjuntos A = {- 2, - 1, 0 , 1, 2} e x seus elementos; B = {0, 1, 2, 3, 4} e y seus elementos. Considere a relação y = x2. Pede-se:
a) Esquematizar essa relação pelo diagrama de Venn. (diagrama das flechas).
b) Citar os pares ordenados.
c) Fazer o gráfico cartesiano.
6. Das relações abaixo esquematizadas pelos diagramas de Venn, diga quais são as funções de A em B. Para
cada função, dê o domínio D (f), o contradomínnio CD (f) e a imagem (II).
a)
b)
B
B
A
A
•
x1
c)
•
y1
d)
B
A
x1 •
x2 •
x3 •
• y1
• y2
• y3
x4 •
• y4
1
x•
• y1
•2
x
• y2
B
A
• y1
x1 •
• y2
• y3
7. Das relações abaixo, dadas por seus gráficos cartesianos, dizer quais são funções. Em seguida dar o conjunto-imagem das funções. Obs.: o contradomínio pertence ao ℝ.
b)
a)
D (f) = {1;2; 3;4}
D (f) = {2}
CD=ℝ
CD=ℝ
D (f) = [0;2]
d)
D (f) = [-2; 2]
CD=ℝ
e)
CD=ℝ
c)
D (f) = [1; 3]
CD=ℝ
30
8. Dê o domínio das funções abaixo:
a) y = x – 9
e) y =
1
x −7
f) y =
c) y = x + 7
g) y =
b) y =
x +4
x −2
3
x −3
8
x +6
d) y = x3
9. Ache a função inversa das seguintes funções:
a) y = x + 3
b) y = 5x – 7
c) y = - 2 x + 5
d) y = 4x2 + 4
e) y = 3 x − 2
2
10. Represente graficamente as seguintes funções, mostrando os pontos em que a reta intercepta os eixos
coordenados.
a) y = 3 x
b) y = - x
c) y = 2x + 1
d) y = - 3 x + 2
e) y = 2x – 4
11. Ache o valor de x nas equações exponenciais abaixo:
a) 3x = 32
f) 8x =
b) 5x = 125
c) 8x = 2
d) 16x = 32
g) ⎜ 7 ⎟ = ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
e) 9x =
1
27
⎛3 ⎞
2
x
⎛7 ⎞
4
h) 4x+1 = 82x – 3
i) (2x)2 – 3 . 2x + 2 = 0
12. O gráfico abaixo mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha
de certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como
taxa de absorção (geralmente medida em micromols por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1
é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:
a) m1 = m2
b) m2 = 2m1
c) m1m =1
d) m1m2 = -1
e) m1 = 2m2
13. Uma companhia de táxi cobra R$ 4,20 de bandeirada mais R$ 1,12 por quilômetro rodado. Sabendo-se
que o preço a pagar é dado em função do número x de km rodados, responda:
a) Qual a função que representa esta situação?
b) Quanto um cliente pagará por uma corrida de 20 km?
c) Dispondo de R$ 35,00, qual o máximo percurso que um cliente poderá fazer com o táxi?
14. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por
unidade produzida. Sendo x o número de peças produzidas:
a) Escreva a função que fornece o custo total de x peças.
b) Calcule o custo de 100 peças.
15. Por uma mensagem dos EEUU para o Brasil, via fax, a empresa dos correios (ECT) cobra R$ 1,37 pela
primeira página e R$ 0,67 por página que se segue, completa ou não. Qual o número mínimo de páginas de uma
mensagem, para que seu preço ultrapasse o valor de R$ 10,00?
16. Uma pessoa obesa com 156kg recolhe-se a um spa onde se anuncia perdas de peso de 2,5 kg por semana.
Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula (função) que expresse o peso mínimo (P) que essa pessoa poderá atingir em (n)
semanas.
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que essa pessoa deverá permanecer no spa para sair com
menos de 120kg de peso.
17. Na lanchonete Biriboys, entrou um grupo de x estudantes e cada um pediu o “prato da casa”. A despesa
total y, em reais, é calculada assim: y = 5x – 4, em que 4 representa o desconto fixo dado ao grupo. Com base
nestes dados, determine:
a) A despesa para um grupo de 4 estudantes.
b) O número de estudantes que participaram de outro grupo, cuja despesa total fora de R$ 36,00.
31
32
UNIDADE III
TEORIA DAS PROBABILIDADES
3.1 - Introdução
Lançar um dado não viciado e anotar o número da face voltada para cima é um experimento aleatório, pois,
antes de ocorrer, é impossível se prever o resultado e, ocorrendo várias vezes, nas mesmas condições, pode
apresentar resultados diferentes.
Historicamente, os primeiros estudos matemáticos sobre “chances” foram feitos pelos italianos Gerônimo
Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) e eram relacionados com jogos de dados.
O estudo das probabilidades é, na verdade, o estudo dos fenômenos aleatórios resolvidos por modelos matemáticos probabilísticos. Hoje, a teoria das probabilidades tem uma importância muito grande em estatística, economia,
engenharia, física, biologia e vários outros campos do conhecimento.
3.2 - Conceitos Básicos
Espaço Amostral
Chama-se espaço amostral de um experimento o conjunto de todos os possíveis resultados para este experimento. Será representado por S.
Exemplo
→ Lançamento de um dado de 6 faces.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
→ Lançamento de duas moedas. (c – cara, k – coroa).
S = { ( c, c ) ( c, k ) ( k, k ) ( k, c ) }
Evento
Chama-se de evento qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Exemplo
→ No lançamento de um dado de 6 faces, seja o evento A = { ocorrer número par }
A = { 2, 4, 6 }
Eventos Mutuamente Exclusivos
São os eventos que não podem ocorrer simultaneamente.
Exemplo
→ No lançamento de um dado de 6 faces, sejam os eventos A = { ocorrer número par } e B = {ocorrer número ímpar}
A = { 2, 4, 6 }
B = { 1, 3, 5 }
A e B são eventos mutuamente exclusivos.
→ Definição matemática: A ∩ B = 
Evento Complementar
33
Seja um evento A de um espaço amostral S. Chama-se evento complementar de A em relação a S, o evento A
de tal modo que A = S – A. Em outras palavras, A é formado por resultados de S que não são de A.
Exemplo
→ No lançamento de um dado, seja A = {ocorrer número menor que 3}
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { 1, 2 }
O evento complementar é A = { 3, 4, 5, 6 }
A
A
S
3.3 – Definição de Probabilidades
Chamaremos de probabilidade de um evento A ao realizarmos um experimento, o valor P (A) que vai indicar
a chance de ocorrer este evento em relação ao experimento considerado.
Assim:
número de casos favoráveis ou P (A) = NCF
P (A) =
número total de casos de S
NTC
Exemplo
→ Lançando-se um dado não viciado de 6 faces, calcule a probabilidade de a face voltada para cima ser um
número maior ou igual a 5.
Se não, vejamos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Seja A, o evento. A = { 5 , 6 }
P(A) =
NCF
=
NTC
2
6
P(A) = 1 3
Observação:
Da definição é fácil concluir que 0 ≤ P(A) ≤ 1 .
3.4 – Adição de Probabilidades
Seja S um espaço amostral finito e A e B dois eventos de S. Da teoria dos conjuntos, sabemos que:
n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
34
Então,
n (A ∪ B)
n (S)
=
n (A ∪ B)
n (S)
= n + n (S)
(S)
n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(S)
n(A)
n(B)
n (A ∩ B)
n(S)
P(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Observação: Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos (A ∩ B = ), a adição de probabilidade
neste caso será:
P (A ∩ B) = p(A) + p(B)
Exemplo
→ Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma comunidade, verificou-se que 200 lêem o jornal A. 300 lêem
o jornal B e 150 lêem ambos os jornais. Qual a probabilidade de, escolhendo-se uma pessoa ao acaso, ela ser
leitora do jornal A ou B.
Solução
Seja o evento A = { leitora do jornal A } e seja o evento B = { leitora do jornal B }
P(A) =
NCF
200
1
=
=
NTC
600
3
P(B) =
NCF
300
1
=
=
NTC
600
2
P(A ∩ B) =
NCF
150
1
=
=
NTC
600
4
P(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p( A ∩ B)
P(A ∪ B) =
1 1 1 4 +6 −3
+ − =
12
3 2 4
12
P(A ∪ B) =
7
1212
3.5 - Produto de Probabilidades
Probabilidade Condicional
Seja o experimento E = { lançar um dado } e um evento A = { sair o n.º 3 }. Logo, P(A) = 1/6. Consideremos agora o evento
B = { sair um número ímpar }. Logo, P(B) = { 1, 3, 5 }. Poderíamos agora estar interessados em avaliar a probabilidade do
evento A, condicionada à ocorrência do evento B - P(A/B) – “probabilidade de A dado B”.
P (A/B) =
1
3
A ∩B
B
A
S
Observe que na realidade teremos uma redução do espaço amostral. No exemplo:
S = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 } → S* = { 1, 3, 5 }. E é nesse novo espaço ( S* ) que avaliaremos a probabilidade condicionada.
Então, P (A/B) = P ( A ∩ B ) ou ainda P (A/B) =
P( B )
NCF ((A ∩∩BB
))
NCF (A ∩ B )
NTC
=
NCF (B)
NCF (B)
NTC
→ Da mesma maneira
P (B/A) = NCF ( A ∩ B )
NCF (A)
Exemplo
Dois dados são lançados. Consideremos os eventos A = { (x1, x2) | x1 + x2 = 10 } e B = { (x1, x2) | x1 > x2 }.
Avaliar: P (A), P (B), P (A/B), P (B/A)
Solução:
1,1 ) ((1,2)
1, 2 ) (1,3)
( 1, 3 )(1,4)
( 1, 4 (1,5)
) ( 1, 5(1,6)
) ( 1, ⎫
⎧( (1,1)
⎪
⎪
(
2,1
)
(
2
,
2
)
(
2
,
3
)
(
2
,
4
)
(
2
,
5
) ( 2, ⎪
⎪ (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
⎪⎪( (3,1)
3, 1 ) ((3,2)
3, 2 )(3,3)
( 3, 3 (3,4)
) ( 3, 4(3,5)
) ( 3, (3,6)
5 ) ( 3, ⎪⎪
S =⎨
⎬
4, 1 ) ((4,2)
4, 2 )(4,3)
( 4,3 (4,4)
) ( 4, 4(4,5)
) ( 4, (4,6)
5 ) ( 4,) ⎪
⎪( (4,1)
⎪( (5,1)
5, 1 ) ((5,2)
5, 2 )(5,3)
( 5, 3 (5,4)
) ( 5, 4(5,5)
) ( 5, (5,6)
5 ) ( 5, ⎪
⎪ (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ⎪
⎪⎩( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6,3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, ⎪⎭
Solução
NCF
3
1
= =
NTC
6 1212
NCF ( B ) 1515
P (B) =
=
NTC
3636
NCF ( A ∧ B ) 1
P (A/B) =
NCF (B)
1515
P(A) =
P (B/A) =
NCF ( A ∧ B ) 1
=
NCF ( A )
3
Teorema do Produto (retiradas sem reposição)
A partir da definição de probabilidade condicional, podemos enunciar o teorema do produto. A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos A e B do mesmo espaço amostral é igual ao produto da probabilidade de um deles pela
probabilidade condicional do outro em relação a ele.
P(A∩B) = P(B) . P(A/B) , e do mesmo modo
P(A∩B) = P(A) . P(B/A)
Exemplo
Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a
probabilidade de que:
a) Ambas sejam boas.
evento A = {a peça é boa}
evento B = {a peça é boa}
P( A ∩ B ) = P(A) . P(B/A) =
56
8 7
56
.
=
112
2 111
132
35
36
b) Ambas sejam defeituosas.
evento A = {a peça é defeituosa}
evento B = {a peça é defeituosa}
12
P( A ∩ B ) = P(A) . P(B/A) = 4 . 3 = 12
1212 111
132
Independência Estatística (retiradas com reposição)
Se A e B são eventos independentes, ou seja, se a ocorrência de um deles não influi na ocorrência do outro, então:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
E podemos escrever:
P( A ∩ B ) = P(A) . P(B)
Exemplo
Em um lote de 10 peças, quatro são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Qual a
probabilidade de que:
a) Ambas sejam boas.
evento A = {a peça é boa}
evento B = {a peça é boa}
P( A ∩ B) = P(A) . P(B) = 6 . 6 = 3636
1010 1010 100
b) A primeira boa e a segunda defeituosa.
evento A = {a peça é boa}
evento B = {a peça é defeituosa}
24
P( A ∩ B) = P(A) . P(B) = 6 . 4 = 24
1010 1010 100
Exercícios de Auto-Avaliação
37
1. Lance um dado e uma moeda e faça o que se pede:
a) Construa o espaço amostral.
b) Enumere os eventos A = {coroa, par} e B = {cara, ímpar}.
c) Enumere os eventos A e A ∪ B .
2. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 50. Qual a probabilidade de:
a) O número ser divisível por 5.
b) Terminar em 3.
c) Ser divisível por 6 ou por 8.
3. Um lote é formado por 10 peças boas, quatro com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é retirada ao acaso.
Calcule a probabilidade de que:
a) Ela seja boa.
b) Ela não tenha defeitos graves.
4. Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas segundo o sexo e seu estado civil, de acordo com a tabela:
SEXO
MASCULINO
FEMININO
SOLTEIRO
50
150
CASADO
60
40
DESQUITADO
40
10
VIÚVO
30
20
a) Sendo escolhido um homem, qual a probabilidade de ele ser solteiro?
b) Se for escolhida uma mulher, qual a probabilidade de ela ser desquitada?
5. Em uma urna existem 18 bolas, sendo seis brancas numeradas de 1 a 6; cinco bolas pretas numeradas de 7 a 11 e sete
bolas amarelas numeradas de 12 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, calcule a probabilidade de:
a) Sair uma bola branca.
b) Sair uma bola preta com número par.
c) Sair número ímpar em bola amarela.
6. Numa classe com 36 alunos, a professora numera os seus alunos de 1 a 36 com a finalidade de realizar um sorteio.
Determinar a probabilidade do aluno sorteado ter o número menor que 12 ou par.
7. Numa urna existem 15 bolas, sendo oito brancas e sete pretas. Retiram-se sucessivamente duas bolas. Calcule a probabilidade de saírem:
a) As 2 pretas, sem reposição.
b) As 2 pretas, com reposição.
c) As 2 brancas, sem reposição.
d) Uma branca e uma preta, sem reposição e nessa ordem.
8. Um menino vai jogar um dado duas vezes e aposta que sairá ambas as vezes o número 4. Sua irmã vai atirar uma moeda
cinco vezes e aposta que dará cara as cinco vezes. Quem tem mais chance de ganhar a aposta?
9. De um baralho de 52 cartas, duas são escolhidas aleatoriamente e sem reposição. Qual a probabilidade de observarmos:
a) Duas cartas de copas.
b) Dois reis.
c) Uma dama e um número.
10. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiram-se três bolas sem reposição. Qual a probabilidade de
as duas primeiras retiradas serem bolas pretas e a última, vermelha?
38
Se você:
1)
2)
3)
4)
concluiu o estudo deste guia;
participou dos encontros;
fez contato com seu tutor;
realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as avaliações.
Parabéns!
Glossário
Biunívoca – é a correspondência de um elemento de um certo conjunto com outro elemento de outro conjunto.
Experimento aleatório – é aquele que quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes.
Quadrante – um dos 4 (quatro) campos em que é dividido o plano cartesiano.
Símbolos ∀ para todo
|
tal que
⇔ implica, acarreta
∧ e
39
40
Gabarito
Unidade I
1.
a) A = {março, maio}.
b) B = {5, 6}.
c) C = {7, 8, 9, 10, 11}.
d) D = { }.
e) E = {5, 7, 9, ...}.
2.
a) =
b) ≠
c) =
d) ≠
3.
a) ⊂
b) ⊄
c) ⊂
d) ⊂
4. Trinta e dois subconjuntos.
5. B = {a}, {7}, {8}, {a, 7}, {7, 8}, {a, 8}, {a, 7, 8}, { }
6.
a) {a, b, c, e}.
b) {0, 1, 7, 8, 9}.
c) {5, 10}.
d) { }.
e) {b, d}.
f) {2, 5}.
7.
a) A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
b) B ∩ C = { 2, 6 }
c) A – C = { 1 }
d) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = { 2, 3, 4, 5, 6 }
8.
a) A ∩ B ∩ C
9. 45
b) ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
c) A – ( B ∩ C )
10. 108
41
11.
a) ∈
b) ∉
c) ∈
d) ∉
12.
a) ⊄
b) ⊂
c) ⊂
d) ⊄
13.
a)
e) ∈
f) ∈
ℝ
12
2
ℝ
b)

2
c)
ℝ
-6
0
2
12
d)
ℝ
14.
ℝ
A
1
ℝ
B
1
4
8
ℝ { x ∈ ℝ∣1≤ x ≤ 8 }
a) A ∪ B
1
8
ℝ { x ∈ ℝ∣2< x < 4 }
b) A ∩ B
2
4
c) A – B
ℝ { x ∈ ℝ∣1 ≤ x ≤ 2 }
2
1
Unidade II
1. A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 6 ), ( 1, 8 ), ( 5, 2 ), ( 5, 6 ), ( 5, 8), ( 7,2 ) , ( 7,6 ), ( 7,8 ) }
y
8
(1,8)
(5,8)
(7,8)
(1,6)
(5,6)
(7,6)
(1,2)
(5,2)
(7,2)
•
•
•
7
6
•
•
•
5
4
3
2
•
•
•
1
0
1
2
3
4
5
6
7
42
2.
a) A x B = { (- 4, 0), (- 4, 1), (- 4, 5) , (- 2, 0), (- 2, 5), (0, 0), (0, 1), (0, 5) }
b)
y
(-4,5)
(0,5)
•5
(-2,5)
•
•
4
3
(-4,1)
(-2,1)
(-4,0)
(-2,0)
•
•
•
•
-3
-4
2
-2
•
-1
1
(0,0)
x
0
c) B x A = { ( 0, -4), ( 0, - 2 ), ( 0, 0 ), ( 1, - 4 ) , ( 1, - 2 ), ( 1, 0 ), ( 5, - 4 ) , ( 5, - 2 ), ( 5, 0 ) }
d) ( A x B ) ∩ ( B ∩ A ) = { ( 0, 0 ) }
3.
⎧3 x + y = 7
⎨
⎩2 x − 3 y = 1
(x3)
substituindo
3x + y = 7
3x2+y=7
y=7–6
21
⎧9 x + 3 y = 21
⎨
⎩2 x − 3 y = 1
y=1
11 x = 22
x=2
4.
y
4
3
2
1
0
5.
a) A
1
2
3
4
-2•
•0
-1 •
•1
0•
1•
•2
•3
•4
2•
5
B
b) { (- 2, 4) , (-1, 1), (0, 0), (1, 1) , (2, 4) }
x
c)
y
(-2,4)
•
43
(2,4)
•
4
3
2
(-1,1)
•
-2
-1
1
0
(1,1)
•
1
x
2
6.
a) É função.
D (f) = { x1 }
CD (f) = { y1 }
II = { y1 }
b) Não é função.
c) Não é função.
d) É função.
D (f) = { x1 }
CD (f) = {y1, y2, y3 }
II = { y2 }
7.
a) É função; II = { 2 }.
b) Não é função.
c) É função ; II = [ 1, 2 ].
d) É função; II = [ -1, 3 ].
e) Não é função.
8.
a) D(f) = ℝ.
b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 7}.
c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ - 4}.
d) D (f) = ℝ.
e) D (f) = {x ∈ ℝ|x ≥ 2}.
f) D (f) = {x ∈ ℝ|x > 3}.
g) D (f) = {x ∈ ℝ|x ≠ - 6}.
9.
a) y = x + 3
x = y + 3 ∴ y = x – 3 ∴ f(−x1) = x − 3
b) y = 5x – 7
x = 5y – 7 ∴ 5y = x + 7 ∴ y =
x +7
x +7
∴ f (−x1) =
5
5
c) y = – 2x + 5
x = – 2y + 5 ∴ 2y = 5 – 7 ∴ y =
5 −x
5 −x
∴ f(−x1) =
2
2
d) y = 4x2 + 4
x = 4y2 + 4 ∴ 4y2 = x – 4 ∴ y2 = y =
x −4
∴ f(−x1) =
2
x −4
2
44
e) y =
x=
3x − 2
2
3x − 2
2x + 2
∴ 2x = 3y – 2 ∴ 3y = 2x + 2 ∴ y = f(−x1) =
2
3
10.
a) y = 3x
y
3
y
0
0
1
3
2
•
d) y = - 3x + 2
x
y
x
y
0
2
2 3
0
2•
6
2
1
1
0
•
1
0
x
2
b) y = - x
y
x
y
0
1
-1
y
x
y
0
0
-4
-1
2
0
0
-1
•
-3
x
y
0
1
-1 /2
0
1
-1
• •
-1 /2
x
3
y
-2
c) y = 2x + 1
x
•1
e) y = 2x – 4
x
1
2
-4 •
1
•
2
x
11.
a) x = 2.
b) x = 3.
c) x = 1/3.
d) x = 5/4.
e) x = - 3/2.
f) x = 1/6.
g) x = - 4.
h) x = 11/4.
i) x = 1 / x = 0.
12. e.
13.
a) y = 1,12 x + 4.
b) R$ 26.40.
c) 27,6 km.
14.
a) y = 0,5 . x + 8.
b) R$ 58,00.
15. 14 páginas.
16.
a) P = 156 – 2,5 . n.
b) 15 semanas.
17.
a) R$ 16,00.
b) 8 pessoas.
Unidade III
1.
a) S = { (1, c) , (2, c) (3, c) (4, c) (5, c) (6, c) (1, k) (2, k) (3, k) (4, k) (5, k) (6, k).
b) A = { (2, k) (4, k) (6, k) }.
B = { (1, c) (3, c) (5, c) }.
c) A
= { (1, c) (2, c) (3, c) (4, c) (5, c) (6, c) (1, k) (3, k) (5, k) }
A ∪ B = { (1, k) (3, k) (5, k) (2, c) (4, c) (6, c) }
2.
a) 1/5.
b) 1/10.
c) 6/25.
3.
a) 5/8.
b) 7/8.
4.
a) 5/18.
b) 1/22.
45
46
5.
a) 1/3.
b) 1/9.
c) 1/6.
6. 2/3.
7.
a) 1/5.
b) 49/225.
c) 4/15.
d) 4/15.
8. A irmã.
9.
a) 1/17.
b) 1/221.
c) 80/663.
10. 5/34.
Referências Bibliográficas
DANTE, L. Roberto. Matemática – Contexto e aplicação. São Paulo: Ática, 2000.
FACCHINI, Walter. Matemática – Volume único. São Paulo: Saraiva, 1997.
NERI, Chico. Matemática: Curso completo. São Paulo: Moderna, 1993.
47
48