Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio
Eletrostático
Wilson Fadlo Curi
2008
Wilson Fadlo Curi
Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Fluxo Elétrico:
Está relacionado com o número lı́quido de linhas de
força que atravessam uma superfı́cie.
φe = EA1 ou φe = EA2 cosθ = ~E · n̂A2
Wilson Fadlo Curi
Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Fluxo Elétrico:
Está relacionado com o número lı́quido de linhas de
força que atravessam uma superfı́cie.
φe = EA1 ou φe = EA2 cosθ = ~E · n̂A2
Definição:
φe = lim∆Ai →0 ∑i ~E · n̂∆Ai = ~E · n̂ dA
R
onde n̂ é o vetor unitário normal à superfı́cie. Unidade: N.m2 /C
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Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfı́cie esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfı́cie esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior.
Solução:
I
φe =
~E · n̂ dA =
I
Kq
R2
dA =
Kq
R2
4πR 2
pois ~E é perpendicular à superfı́cie esférica, φe = 4πKq (q é a carga
interna à superfı́cie).
Wilson Fadlo Curi
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfı́cie esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior.
Solução:
I
φe =
~E · n̂ dA =
I
Kq
R2
dA =
Kq
R2
4πR 2
pois ~E é perpendicular à superfı́cie esférica, φe = 4πKq (q é a carga
interna à superfı́cie).
Se
q > 0 ↔ φe > 0,
q < 0 ↔ φe < 0 e
q = 0 ↔ φe = 0.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo
lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a
carga interna lı́quida (qint ) em seu interior”
φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint
H
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Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo
lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a
carga interna lı́quida (qint ) em seu interior”
φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint
H
Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de
força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que
saem da superfı́cie, logo φe = 0;
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo
lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a
carga interna lı́quida (qint ) em seu interior”
φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint
H
Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de
força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que
saem da superfı́cie, logo φe = 0;
Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, ~E, nos casos de simetria
significativa;
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo
lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a
carga interna lı́quida (qint ) em seu interior”
φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint
H
Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de
força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que
saem da superfı́cie, logo φe = 0;
Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, ~E, nos casos de simetria
significativa;
Permissividade no vácuo: ε0
ε0 =
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1
4πK
= 8, 85 × 10−12 C 2 /N .m2
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Lei de Gauss: “em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo
lı́quido através de uma superfı́cie fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a
carga interna lı́quida (qint ) em seu interior”
φe = ~E · n̂ dA = 4πKqint
H
Se a carga lı́quida interna é igual a zero, o número lı́quido de linhas de
força que entram na superfı́cie é igual ao número de linhas de força que
saem da superfı́cie, logo φe = 0;
Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, ~E, nos casos de simetria
significativa;
Permissividade no vácuo: ε0
ε0 =
Logo:
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Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
1
4πK
= 8, 85 × 10−12 C 2 /N .m2
φe = ~E · n̂ dA =
H
qint
ε0
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido
carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido
carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ.
Solução:
Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento
L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o
campo elétrico ~E é perpendicular à superfı́cie do cilindro.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido
carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ.
Solução:
Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento
L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o
campo elétrico ~E é perpendicular à superfı́cie do cilindro.
Aplica-se a Lei de Gauss com a carga interna igual a λL:
H
H
H
φe = ~E · n̂ dA = E dA = E dA = E .2πrL = qεint = λε0L Logo:
0
E=
λ
2πr ε0
= 2K
λ
r
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico ~E a uma distância r de um fio comprido
carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ.
Solução:
Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento
L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o
campo elétrico ~E é perpendicular à superfı́cie do cilindro.
Aplica-se a Lei de Gauss com a carga interna igual a λL:
H
H
H
φe = ~E · n̂ dA = E dA = E dA = E .2πrL = qεint = λε0L Logo:
0
E=
λ
2πr ε0
= 2K
λ
r
Se o fio não for comprido, o campo elétrico na superfı́cie não é constante.
Nesse caso, apesar da Lei de Gauss ser válida, devido à falta de simetria,
não é possı́vel determinar o campo elétrico como fizemos anteriormente.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
é perpendicular ao plano;
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
é perpendicular ao plano;
varia com o quadrado da distância ao plano;
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
é perpendicular ao plano;
varia com o quadrado da distância ao plano;
deve ter mesmo módulo;
Wilson Fadlo Curi
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
é perpendicular ao plano;
varia com o quadrado da distância ao plano;
deve ter mesmo módulo;
deve ter direções opostas nas duas faces do plano.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
é perpendicular ao plano;
varia com o quadrado da distância ao plano;
deve ter mesmo módulo;
deve ter direções opostas nas duas faces do plano.
Portanto, o fluxo elétrico que sai de cada face do cilindro escolhido é
~E · n̂A = EnA, e o fluxo total (2 × Área) será de 2EnA. Sendo a carga lı́quida
no interior da superfı́cie limitada pelo cilindro σA.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico devido
a um plano infinito uniformemente carregado
com densidade de carga σ.
Solução:
Por simetria, O campo ~E
é perpendicular ao plano;
varia com o quadrado da distância ao plano;
deve ter mesmo módulo;
deve ter direções opostas nas duas faces do plano.
Portanto, o fluxo elétrico que sai de cada face do cilindro escolhido é
~E · n̂A = EnA, e o fluxo total (2 × Área) será de 2EnA. Sendo a carga lı́quida
no interior da superfı́cie limitada pelo cilindro σA. Da Lei de Gauss:
H
φtot = En dA = 2EnA = qεint = σεA , logo
0
0
En = 2σε = 2K πσ
0
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma
distância r de uma esfera de raio R com carga
positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma
distância r de uma esfera de raio R com carga
positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ.
Solução:
O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfı́cie
esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo:
I
qint
φe = ~E · n̂ dA = E × 4πr 2 =
ε0
ou
E=
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qint
4πr 2 ε0
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma
distância r de uma esfera de raio R com carga
positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ.
Solução:
O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfı́cie
esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo:
I
qint
φe = ~E · n̂ dA = E × 4πr 2 =
ε0
ou
E=
qint
4πr 2 ε0
Se r > R a carga interna será: qint = ρ × 43 πR 3 = qtotal
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma
distância r de uma esfera de raio R com carga
positiva uniformemente distribuı́da com densidade volumar ρ.
Solução:
O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfı́cie
esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo:
I
qint
φe = ~E · n̂ dA = E × 4πr 2 =
ε0
ou
E=
qint
4πr 2 ε0
Se r > R a carga interna será: qint = ρ × 43 πR 3 = qtotal
3
Se r < R a carga interna será: qint = ρ × 43 πr 3 = qtotal Rr 3
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Condutores Elétricos:
Gilbert classificou os materiais em elétricos e não-elétricos (condutores
foram classificados como não-elétricos);
Gray descobriu a condução elétrica;
Du Fay mostrou que todos os materiais podiam ser eletrificados;
Cavendish usou a sensação fisiológica para comparar capacidades
condutoras dos materiais;
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Condutores Elétricos:
Gilbert classificou os materiais em elétricos e não-elétricos (condutores
foram classificados como não-elétricos);
Gray descobriu a condução elétrica;
Du Fay mostrou que todos os materiais podiam ser eletrificados;
Cavendish usou a sensação fisiológica para comparar capacidades
condutoras dos materiais;
Condutividade: medida da capacidade do material em conduzir
eletricidade (materiais podem ser classificados em condutores,
não-condutores e semi-condutores);
Nos materiais condutores existem “elétrons livres”, que podem se
deslocar com facilidade;
’Blindagem’: é o efeito em que os elétrons mais afastados do núcleo de
um átomo são fracamente ligados ao núcleo devido a repulsão dos
elétrons mais internos;
Wilson Fadlo Curi
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
O número de elétrons livres em um condutor depende do tipo de
material (é da órdem de 1 por átomo);
Na presença de campo elétrico externo,
cargas elétricas livres nos materiais condutores tendem a se deslocar para a superfı́cie externa no sentido de criar um
campo elétrico oposto (para tentar anulá-lo)
no interior do material;
O equilı́rio eletrostático é impossı́vel num condutor a menos que o
campo elétrico seja zero em todos os pontos internos;
Emissão de campo, em eletrônica, é quando a força elétrica devida a
um campo externo, consegue vencer a força de ligação entre elétrons e
o condutor e os arranca da superfı́cie condutora.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Carga e Campo na Superfı́cie Condutora:
No equilı́brio eletrostático:
Qualquer carga em excesso num condutor está na superfı́cie;
O campo elétrico nas vizinhanças externas de um condutor é
perpendicular à superfı́cie e tem módulo εσ , sendo σ a densidade
0
superficial de carga.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Carga e Campo na Superfı́cie Condutora:
No equilı́brio eletrostático:
Qualquer carga em excesso num condutor está na superfı́cie;
O campo elétrico nas vizinhanças externas de um condutor é
perpendicular à superfı́cie e tem módulo εσ , sendo σ a densidade
0
superficial de carga.
Considere uma casca esférica:
O campo elétrico é zero (En =0) na superfı́cie
imediatamente interior à casca esférica, pois a
carga interior é zero;
Considerando uma superfı́cie cilı́ndrica,
conforme mostra a figura, temos:
H
φtot = ~E · n̂ dA = En A = σεA
0
En = εσ
0
Wilson Fadlo Curi
Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
No caso de um plano infinito carregado, vimos que o campo elétrico é a
metade do valor obtido anteriormente, pois o fluxo lı́quido que passa
pela superfı́cie gaussiana é 2En A (pelas duas bases do cilindro de área
A), logo
En =
Wilson Fadlo Curi
Lei de Gauss e Condutores em Equilı́brio Eletrostático
σ
2ε0
Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
No caso de um plano infinito carregado, vimos que o campo elétrico é a
metade do valor obtido anteriormente, pois o fluxo lı́quido que passa
pela superfı́cie gaussiana é 2En A (pelas duas bases do cilindro de área
A), logo
En =
σ
2ε0
No caso de uma placa condutora expessa:
O campo devido a uma das laterais: 2σε
0
O campo elétrico no interior da placa tem direções
opostas e se anula;
O campo elétrico do lado de fora é resultado da
contribuição do campo elétrico de cada lateral da
placa condutora
σ
2ε0
+
σ
2ε0
=
σ
ε0
Pode ser generalizado para qualquer superfı́cie.
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Fluxo Elétrico Fluxo Elétrico Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Gauss Condutores Elétricos Condutores Elétricos Carga e Campo na Sup
Carga por Indução:
Quando se aproxima um bastão carregado positivamente de esferas
condutoras, sem tocá-las, os elétrons livres se deslocam no sentido de
anular o campo elétrico interno - indução eletrostática.
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