CAPÍTULO 03
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
A Análise Combinatória é a parte da Matemática
que, dotada de técnicas de contagem, pretende
responder à pergunta: “De quantas formas é possível
realizar um determinado evento?”.
De modo geral, temos:
Se um evento é composto por duas etapas
sucessivas e independentes de tal maneira que o
número de possibilidades na primeira etapa é m e o
número de possibilidades na segunda etapa é n,
então o número total de possibilidades de o evento
ocorrer é dado pelo produto mn.
Este método é conhecido como Princípio
Fundamental da Contagem ou Regra do Produto ou
ainda Princípio Multiplicativo.
Observação: O produto dos números de
possibilidade vale para qualquer número de etapas
independentes;
Exemplo 1:
Um cinema possui duas entradas e três saídas. De
quantas maneiras diferentes uma pessoa pode
entrar e sair dele?
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
1) (UFES) Um “shopping center” possui 4 portas de
entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes
ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3
elevadores que conduzem do primeiro para o
segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes
uma pessoa, partindo de fora do “shopping center”,
pode atingir o segundo pavimento usando os
acessos mencionados?
a) 12
b) 17
c) 19
d) 23
e) 60
2) (UFES) Um cadeado de segurança possui um
disco com as vogais do nosso alfabeto e com os
algarismos de 1 a 9. O segredo do cadeado consiste
em ordenar 3 vogais distintas seguidas de 2
algarismos distintos. O número total de segredos
diferentes que podem ser utilizados é:
a) 8 640
b) 4 320
c) 540
d) 270
e) 45
Resolução:
Sendo N 1 o número de entradas e N 2 o número de
saídas, pelo princípio fundamental da contagem
(PFC): N = (N 1 ).(N 2 )
N = (2).(3) 
N=6
Exemplo 2:
Uma corrida é disputada por 5 atletas. Quantos são
os possíveis resultados para os dois primeiros
lugares?
3) (UFES) Com os algarismos significativos, quantos
números pares de 5 algarismos distintos podemos
formar que começam por algarismo ímpar?
a) 5 250
b) 4 200
c) 1 050
d) 2 520
e) 120
Resolução:
Qualquer um dos cinco atletas pode ocupar o 1º
lugar e, tendo um deles ocupado o 1º lugar, restam
quatro atletas para ocupar o 2º lugar.
Considerando N o número total de resultados
possíveis, N 1 o número de atletas que podem
ocupar o 1º lugar e N 2 o número de atletas que
podem ocupar o 2º lugar, pelo princípio fundamental
da contagem (PFC): N = (N 1 ).(N 2 )
N = (5).(4) 
N = 20
4) (UFMG) Dos números naturais de três algarismos
no sistema decimal de numeração, quantos têm
algarismos repetidos?
a) 251
b) 252
c) 253
d) 254
e) 237
2. TÉCNICAS DE CONTAGEM
Praticamente só existem dois tipos de problemas em
Análise Combinatória, vejamos:
TIPO 1
Numa corrida de fórmula-1, os pilotos Apolônio,
Bertoldo e Ceolindo chegaram nas três primeiras
colocações conforme abaixo:
A
B
1º
C
3º
2º
1º Colocado
2º Colocado
3º Colocado
Entretanto, o Resultado
determinado jornal foi:
C
B
1º
A
3º
2º
em
um
1º Colocado
2º Colocado
3º Colocado
Ao ser invertida a ordem dos elementos que
compõem o grupo “resultado da corrida”
HOUVE ALTERAÇÃO da informação.
Apolinário
Benevides
Apolinário
 Se com essa mudança na ordem dos elementos
obtivermos um agrupamento igual ao original,
então esse agrupamento será uma combinação.
3. ARRANJOS SIMPLES
{ A , B , C }  AB – BA – AC – CA – BC – CB
São agrupamentos que diferem na natureza e na
ordem, ou seja, no caso de grupos de 2 elementos,
AB  AC e AB  BA, respectivamente.
É importante ressaltar que a maioria, quase que
absoluta, dos problemas de Arranjo permitem serem
resolvidos aplicando-se o Princípio Fundamental da
Contagem, ou seja:
TIPO 2
Crheuzza
Quando formos resolver um problema de análise
combinatória, nos deparamos com a seguinte
questão: os agrupamentos são arranjos ou
combinações? Para eliminar essa dúvida, vamos
agir da seguinte maneira: construímos um dos
agrupamentos sugeridos pelo problema e, a
seguir, mudamos a ordem desse agrupamento.
 Se com essa mudança na ordem dos elementos
obtivermos um agrupamento diferente do original,
então esse agrupamento será um arranjo.
divulgado
Três alunos, do AMERICANO,
fizeram um trabalho de Geografia
e, na capa do mesmo, foram
informados seus nomes conforme
à direita:
CRITÉRIO PARA DIFERENCIAR
ARRANJO DE COMBINAÇÃO
Benevides
Crheuzza
Choveu no dia da entrega do
referido trabalho e a capa ficou
manchada; Crheuzza, que mora
muito próximo ao colégio, foi em
casa e elaborou uma nova capa
dispondo os nomes na ordem à
esquerda:
EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) (Vunesp-SP) Determinar quantos são os números
de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos
das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais
algarismos a {0, 5, 6, 7, 8,9} .
Resolução:
Como existem restrições, devemos iniciar o PFC
pelas restrições.
Para ocupar a posição das centenas temos 4
possibilidades; das unidades temos 2 possibilidades
e; das dezenas temos 6 possibilidades.
Então, a quantidade solicitada é:
4
Ao ser invertida a ordem dos elementos que
compõem o “grupo de Geografia”
NÃO HOUVE ALTERAÇÃO
do “grupo de estudos”.
OBSERVAÇÕES:
Para o Tipo 1 ainda poderíamos citar exemplos tais
como as formações de números com dois ou mais
algarismos distintos, onde a alteração na ordem dos
algarismos acarretaria a alteração do número
formado ( 123  321 ) .
Para o Tipo 2 poderíamos endossar como exemplo,
a formação de triângulos dispondo-se de três ou
mais pontos (não colineares), por exemplo: o grupo
formado pelos pontos ABC é igual ao CBA.
Os tipos 1 e 2 são denominados ARRANJO e
COMBINAÇÃO, respectivamente.
6
NT = (4).(6).(2) 
2
NT = 48
Resposta: 48
2) (UFF-RJ) Uma empresa vai fabricar cofres com
senhas de 4 letras, usando as 18 consoantes e as 5
vogais. Se cada senha deve começar com uma
consoante e terminar com uma vogal, sem repetir
letras, o número de senhas possíveis é:
a) 3 060
b) 24 480
c) 37 800
d) 51 210
e) 73 440
Resolução:
Como existem restrições, no PFC, devemos começar
preenchendo os retângulos inicial e final, ou seja:
Começa com consoante e termina com vogal:
18
21
5
20
NT = (18).(21).(20) .(5) 
5) (ENEM 2005) A escrita Braile para cegos é um
sistema de símbolos no qual cada caráter é um
conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular,
dos quais pelo menos um se destaca em relação aos
demais.
Por exemplo, a letra A é representada por:
NT = 37 800
Resposta: 37 800 (alternativa c)
O número total de caracteres que podem ser
representados no sistema Braile é:
3) (PUC-MG) Utilizando os elementos do conjunto
{0,1, 2, 3, 4,5} , quantos números de quatro algarismos
distintos podem ser formados, de modo que estejam
entre 2000 e 5000?
a) 12
b) 31
c) 36
d) 63
e) 720
Resolução:
Como existe restrição, devemos iniciar o PFC pela
restrição;
O número formado deverá possuir quatro algarismos;
O problema é de arranjo, pois a ordem dos algarismos
altera o número formado.
O primeiro algarismo da esquerda só pode ser 2, 3 ou 4;
Pelo PFC, escolhido o primeiro, dentre os 3
possíveis, não podendo haver repetição de
algarismos,
restarão
apenas
5
algarismos
disponíveis para a próxima posição à direita; da
mesma forma que restarão apenas 4 algarismos e 3
algarismos, respectivamente para as próximas duas
posições à direita. Assim, a quantidade total NT
solicitada pelo enunciado é:
3
5
4
3
NT = (3).(5).(4) .(3) 
NT = 180
NT = 180
Resposta: 180
4) (UFBA) Para abrir um cofre eletrônico deve-se
digitar uma seqüência formada por quatro algarismos
distintos, sendo o primeiro o triplo do segundo. Uma
pessoa que desconhece essa seqüência pretende
abrir o cofre. O maior número possível de
seqüências que ela deve digitar é:
a) 170
b) 240
c) 180
d) 280
e) 168
Resolução:
Teremos, apenas, três opções para o 2º algarismo
onde, definido este, obrigatoriamente o primeiro
algarismo só terá uma e somente uma opção por
estar atrelado à condição de ser o triplo do 2°.
1
3
5
NT = (1).(3).(8) .(7) 
NT = 168
Resposta: 168 (alternativa e)
4
3
NT = 168
Resolução:
Para cada ponto temos 2 possibilidades, ou seja,
(destacado ou não);
Sendo NT o número total de caracteres e, como pelo
menos um ponto deve ser destacado (em relação ao
plano), pelo PFC temos:
NT = 2 – 1 
Resposta: 63 (alternativa d).
6
NT = 63
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
5) (UFSM) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos
números ímpares de três algarismos podem ser
escritos?
a) 120
b) 60
c) 360
d) 72
e) 36
6) (UESPI) A quantidade de números pares de três
algarismos distintos que podemos formar com os
algarismos 1, 2, 3, 6 e 8 é:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 36
e) 48
7) (UF-CE) Assinale a alternativa na qual consta a
quantidade de números inteiros formados por três
algarismos distintos escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9,
e que são maiores que 200 e menores que 800.
a) 30
b) 36
c) 42
d) 48
e) 54
8) (Unisinos-RS) No vestibular de inverno da
Unisinos, João conheceu Maria, que lhe informou
seu telefone. João não anotou o número, mas sabe
que esse número começa por 59. Lembra ainda que
o 3º algarismo é 1 ou 2 e os outros quatro algarismos
são 0, 3, 6, 8, mas não sabe sobre sua ordem. As
possibilidades de João descobrir o telefone de Maria
são:
4. PERMUTAÇÕES SIMPLES
a) 4
b) 12
c) 20
d) 24
e) 48
Exemplo:
(AMERICANO) Com as letras da palavra BATORÉ:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas, com as vogais juntas,
podemos formar?
{ A, B, C } ABC – ACB – BAC – BCA – CAB – CBA
A Permutação Simples é um caso particular de
Arranjo Simples ( A n, n ):
P n  A n,n 
n!
n!


(n  n)! 0 !
Pn=n!
Resolução:
a) N 1 = P 6 N 1 = 6 ! N 1 = 720
3.1. FÓRMULA DO ARRANJO SIMPLES
Podemos otimizar os cálculos de Arranjo Simples
utilizando uma fórmula específica, vejamos:
n  IN
n!

p
A n  A n,p 
, tal que p  IN
(n  p) !
p  n

Truque lógico para a fórmula acima:
A 5,2  5
 2 ; A 100,3  100
 99
 98 ; A 9,4  9
 8
 7
6




2 fatores
3 fatores
4 fatores
EXEMPLOS RESOLVIDOS:
Exemplo 1:
Com os algarismos significativos, quantos números
de 4 algarismos distintos podem ser formados
Resolução:
Os algarismos significativos são { 1, 2, 3, ..., 9 };
Trata-se de um problema de Arranjo Simples;
Sendo NT a quantidade total solicitada:
9!
9 . 8 . 7 . 6 . 5!
NT  A 9,4  NT 
 NT 
(9  4 )!
5!
Resposta: 3 024.
Exemplo 2: Se
A n 1, 3
A n, 3
3
 , então n é igual a:
4
Resolução:
(n  1)  IN
Condições de Existência: 
n  IN | n  3
(n  1)!
A n 1, 3 3
(n  4)! 3



n!
A n, 3
4
4
(n  3)!
(n  1)! (n  3)! 3


(n  4)!
n!
4

(n  3) 3

n
4
4n – 12 = 3n  n = 12  Resposta: n = 12.
b)
N 2 = (P 4 ).(P 3 )
N 2 = 144
Respostas: a) 720
b) 144.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
9) (Fuvest-SP) O número de anagramas da palavra
FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
10) (UFJF-MG) Newton possui 9 livros distintos,
sendo 4 de geometria, 2 de álgebra e 3 de análise. O
número de maneiras pelas quais Newton pode
arrumar esses livros em uma estante, de forma que
os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
b) 296
c) 864
d) 1 728
11) (UF Uberlândia-MG) De quantas maneiras três
mães e seus respectivos três filhos podem ocupar
uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe
sente junto de seu filho?
a) 6
b) 18
c) 12
d) 36
e) 48
12) (UFES) Dispostos em ordem crescente todos os
números de 4 algarismos, obtidos com os algarismos
1, 3, 5 e 7 (sem repetir), que lugar ocupa o
número 5 731?
6. COMBINAÇÕES SIMPLES
a) 15º
b) 18º
c) 22º
d) 30º
e) 35º
Exemplo Básico
13) (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST
podem ser formados 6! = 720 “palavras”
(anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se
essas “palavras” forem colocadas em ordem
alfabética, como num dicionário, a 250ª “palavra”
começa com:
Seja n o número de elementos do conjunto e p o
número de elementos dos agrupamentos.
{ A , B , C }  AB = BA ; AC = CA ; BC = CB
Para os pontos A, B e C, os
agrupamentos:
ABC – ACB – BAC – BCA – CAB – CBA
Representam o mesmo triângulo!
a) EV
b) FU
c) FV
d) SE
e) SF
Indicaremos o número de combinações de n
elementos tomados p a p por
n
Cpn ou por Cn, p ou ainda por   .
p
Cpn
n!

p ! . (n  p) !
n  IN

p  IN
1  p  n

5. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
EXEMPLOS RESOLVIDOS
De uma maneira geral, se temos n elementos e um
determinado elemento se repete “r”vezes, um outro
elemento se repete “s” vezes, um terceiro elemento
se repete “t” vezes, então o número de permutações
será dado por:
Exemplo 1: (UMC-SP) O diretor de um pronto
socorro dispõe de 5 médicos, 4 enfermeiros e 4
atendentes para escalar uma equipe de plantão. A
equipe é formada por 3 médicos, 2 enfermeiros e 1
atendente. O número de equipes diferentes que o
diretor poderá formar é:
Resolução:
a) 24
b) 72
Considerando NT o total procurado,
c) 80
NT = C 5,3 . C 4,2 . C 4,1
d) 120
NT = (10).(6).(4)  NT = 240
e) 240
Pnr , s, t 
n!
r ! s! t !
Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Resolução:
5!
P53, 2 
 10
3! 2!
Resposta: 10 anagramas.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
14) (Univale-MG) Quantos são os anagramas da
palavra CANECA?
a) 360
b) 180
c) 720
d) 120
e) 24
15) (U.E.Londrina-PR) Usando uma vez a letra A,
uma vez a letra B e (n – 2) vezes a letra C, podemos
formar vinte anagramas diferentes com n letras em
cada anagrama. O valor de n é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Exemplo 2: (PUC-RJ) De um pelotão com 10
soldados, quantas equipes de 5 soldados podem ser
formadas se em cada equipe 1 soldado é destacado
como líder?
a) 1 260
b) 1 444
c) 1 520
d) 1 840
e) 1 936
Resolução:
Considerando NT o total procurado,
NT = C 10,1 . C 9,4
NT = (10).(126)  NT = 1 260
Exemplo 3: (UF-SE) Uma classe tem 17 alunos,
sendo 10 rapazes e 7 moças. Quantas comissões de
4 alunos podem ser formadas com os alunos dessa
classe, nas quais participa somente uma moça?
a) 70
b) 140
c) 560
d) 840
e) 1 020
Resolução:
Considerando NT o total procurado,
NT = C 7,1 . C 10,3
NT = (7).(120)  NT = 840
Exemplo 4: (FESP-PE) Uma turma é composta por
8 rapazes (Jorge e Júnior são dois deles) e 5 moças
(Ana e Daniela são duas delas). Então, o número n
de comissões que podem ser formadas com os
componentes da turma, constituídas de 3 rapazes e
2 moças, de modo que delas façam parte Jorge e
Júnior, e não façam parte Ana e Daniela, é:
a) 12
b) 36
c) 9
d) 18
e) 21
Resolução:
Precisamos escolher o companheiro de
Jorge e Júnior e, estando Ana e Daniela fora
das escolhas, teremos que escolher a dupla
de moças entre as 3 (três) moças
disponíveis.
n = C 6,1 . C 3,2
n = (6).(3)  n = 18
Exemplo 5: (UNIFOR-CE) Pretende-se selecionar 4
pessoas, de um grupo constituído de 3 professores e
5 alunos, para tirar uma fotografia. Se pelo menos 1
dos professores deve aparecer na foto, de quantos
modos poderá ser feita a seleção?
a) 1 680
b) 1 560
c) 330
d) 70
e) 65
Resolução:
17) (Cesgranrio-RJ) São dadas duas retas paralelas
r 1 e r 2 . Sobre r 1 marcam-se quatro pontos distintos,
e sobre r 2 , três pontos também distintos. O número
de triângulos distintos que podem ser traçados, com
vértices sobre os pontos marcados, é:
a) 15
b) 21
c) 24
d) 28
e) 30
18) (UFES) Uma lanchonete faz vitaminas com uma,
duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes, a saber:
laranja, mamão, banana, morango e maçã. As
vitaminas podem ser feitas com um só tipo de fruta
ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o
gosto do freguês. Desse modo, quantas opções de
vitaminas a lanchonete oferece?
a) 10
b) 25
c) 31
d) 35
e) 120
Este é um teste onde aparece o termo
“pelo menos um”, o qual é sinônimo de
“no mínimo um”.
Assim sendo, poderemos empregar a
técnica do “Recipiente” ou “Conta
Bancária”, ou seja:
Para este caso (há somente três
professores), considerando X o total
procurado:
X = N1 – N2
X = C 8,4 . C 5,4
X = (70).(5)
19) Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formamse comissões de 4 alunos e 2 alunas. O número de
comissões em que participa o aluno X e não
participa a aluna Y é:
a) 1 260
b) 2 100
c) 840
d) 504
e) 336
X = 65
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
16) (UFES) Cinco homens e seis mulheres se
reúnem em um clube para jogar canastra. Cada jogo
terá quatro participantes: uma dupla de homens
contra uma dupla de mulheres. Dessa forma, o
número de grupos distintos de quatro jogadores que
poderão ser formados é:
a) 330
b) 150
c) 90
d) 30
e) 25
20) (Fuvest-SP) Numa classe de 10 estudantes, um
grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De
quantas maneiras o grupo poderá ser formado se
dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?
a) 98
b) 126
c) 115
d) 165
e) 122
TESTES COMPLEMENTARES
1) (Mack-SP) Um trem de passageiros é constituído
de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um
deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir
à frente e que o vagão restaurante não pode ser
colocado imediatamente após a locomotiva, o
número de modos diferentes de montar a
composição é:
a) 120
b) 320
c) 500
d) 600
e) 720
2) (PUC-RS) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, sem
repeti-los, podemos escrever “x” números maiores
que 2 400. O valor de x é:
a) 6
b) 12
c) 14
d) 18
e) 24
3) (FGV-SP) Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9,
existem x números de 4 algarismos de modo que
pelo menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x
é:
a) 505
b) 427
c) 120
d) 625
e) 384
4) (Cesgranrio-RJ) Dispondo-se de 5 rapazes e 6
moças, de quantas maneiras pode-se escolher 4
pessoas para formar uma comissão tendo, pelo
menos uma moça?
a) 325
b) 44
c) 60
d) 300
e) 100
5) PUC-SP) Para ter acesso a um certo arquivo de
um microcomputador, o usuário deve realizar duas
operações: digitar uma senha composta por três
algarismos distintos e, se a senha for aceita, digitar
uma segunda senha composta por duas letras
distintas escolhidas num alfabeto de 26 letras. Quem
não conhece as senhas pode fazer tentativas. O
número máximo de tentativas necessárias para ter
acesso ao arquivo é:
a) 4 120
b) 3 286
c) 2 720
d) 1 900
e) 1 370
6) (FGV-SP) São dados 10 pontos num plano, dos
quais 8 sobre uma mesma reta “r” e os outros 2 não
alinhados com qualquer um dos oito pontos sobre a
reta “r”. Quantos diferentes triângulos podem ser
formados usando os pontos dados como vértices?
a) 56
b) 64
c) 80
d) 120
e) 144
7) (Fuvest-SP) Um químico dispõe de 10
substâncias. De quantos modos poderá associar 6
dessas substâncias se existem duas que não podem
ser juntadas porque haveria explosão?
a) 70
b) 120
c) 28
d) 140
e) 120
8) (Cefet-SP) Em uma classe com 20 alunos, sendo
15 homens e 5 mulheres, um professor propôs as
seguintes regras para a divisão dos alunos em
duplas:
- as mulheres não podem fazer duplas entre si;
- Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos;
- Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.
O número de maneiras diferentes de formar as
duplas na sala, atendendo todas as regras do
professor, é igual a
a) 142
b) 168
c) 226
d) 284
e) 312
9) (Mack-SP) Um hacker está tentando invadir um
site do Governo e, para isso, utiliza um programa
que consegue testar 16 3 diferentes senhas por
minuto. A senha é composta por 5 caracteres
escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras
de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha
uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75%
das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o
início de sua execução é de:
a) 2 horas e 16 minutos.
b) 1 hora e 40 minutos.
c) 3 horas e 48 minutos.
d) 3 horas e 12 minutos.
e) 2 horas e 30 minutos.
10) (FGV-SP) Uma empresa tem n vendedores que,
com exceção de dois deles, podem ser promovidos a
duas vagas de gerente de vendas. Se há 105
possibilidades de se efetuar essa promoção, então o
número n é igual a
a) 10
b) 11
c) 13
d) 15
e) 17
11) (FUVEST-SP) Em uma classe de 9 alunos, todos
se dão bem, com exceção de Andréia, que vive
brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será
constituída uma comissão de cinco alunos, com a
exigência de que cada membro se relacione bem
com todos os outros. Quantas comissões podem ser
formadas?
16) (Unesp-SP) Marcam-se, num plano, 10 pontos,
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a
mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca
estão alinhados, conforme a figura.
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
12) (Mack-SP) Em uma sala de aula há 25 alunos,
quatro deles considerados gênios. O número de
grupos, com três alunos, que pode ser formado
incluindo pelo menos um dos gênios, é
a) 580
b) 1200
c) 970
d) 1050
e) 780
13) (UFABC-SP) Admita que, dos 20 jogadores
convocados pelo técnico da seleção brasileira de
futebol para as 10 posições de linha, 4 sejam
canhotos, 14 destros e 2 ambidestros. Nessas
condições, se o técnico quiser escalar todos os
jogadores que sabem chutar com a perna esquerda,
o número de formas distintas com que ele poderá
preencher as demais vagas da linha, não importando
a ordem das posições, é igual a
a) 660
b) 784
c) 880
d) 909
e) 1001
14) (UFSCar-SP) Um encontro científico com a
participação de pesquisadores de três áreas, sendo
eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No
encerramento do encontro, o grupo decidiu formar
uma comissão de dois cientistas para representá-lo
em um congresso. Tendo sido estabelecido que a
dupla deveria ser formada por cientistas de áreas
diferentes, o total de duplas distintas que podem
representar o grupo no congresso é igual a
a) 46
b) 59
c) 77
d) 83
e) 91
15) (Unifesp-SP) Em um edifício residencial de São
Paulo, os moradores foram convocados para uma
reunião, com a finalidade de escolher um síndico e
quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a
acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita
entre dez moradores. De quantas maneiras
diferentes será possível fazer estas escolhas?
a) 64
b) 126
c) 252
d) 640
e) 1260
O número total de triângulos que podem ser
formados, unindo-se três quaisquer desses pontos, é
a) 24
b) 112
c) 116
d) 120
e) 124
17) (Unifesp-SP) O corpo clínico de pediatria de um
certo hospital é composto por 12 profissionais, dos
quais 3 são capacitados para atuação junto a
crianças que apresentam necessidades educacionais
especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada
uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que
1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida.
Quantas comissões distintas podem ser formadas
nestas condições?
a) 792
b) 494
c) 369
d) 136
e) 108
18) (Vunesp-SP) Dois rapazes e duas moças irão
viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números
1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o
esquema.
O número de maneiras de ocupação dessas quatro
poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas,
ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
e) 16
19) (Fatec-SP) Considere que todas as x pessoas
que estavam em uma festa trocaram apertos de mão
entre si uma única vez, num total de y cumprimentos.
Se foram trocados mais de 990 cumprimentos, o
números mínimo de pessoas que poderiam estar
nessa festa é
a) 26
b) 34
c) 38
d) 46
e) 48
20) (FGV-SP) José quer dispor 8 CDs numa
disqueteira tipo torre de 8 lugares. São 5 CDs de
diferentes bandas de rock, além de 3 outros de jazz,
de bandas distintas. De quantos modos eles podem
ser dispostos, de maneira que tanto os CDs de rock
quanto os de jazz estejam numa determinada ordem,
podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de
música?
a) 336
b) 20160
c) 56
d) 6720
e) 40320
GABARITO SÉRIE AULA
1
E
6
D
11
E
16
B
2
B
7
B
12
B
17
E
3
B
8
E
13
D
18
C
4
B
9
B
14
B
19
D
5
E
10
D
15
C
20
A
GABARITO
TESTES COMPLEMENTARES
1 D
6
B 11 A 16 C
2
C
7
D
12
C
17
D
3
A
8
A
13
E
18
E
4
A
9
D
14
D
19
D
5
E
10
E
15
E
20
C
ANOTAÇÕES