Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes
Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural
Seminário no Âmbito do Projecto POCTI/ECM/36055/2000,
Financiado pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia
João Rocha de Almeida
João Cardoso
FCT/UNL, Maio de 2004
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Sumário
- Optimização Estrutural
- Algoritmos Genéticos
- Fiabilidade Estrutural
- Método de Monte Carlo
- Redes Neuronais
- Exemplos
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Optimização Estrutural
Engloba um conjunto de teorias e métodos que procuram obter a estrutura
que desempenha mais eficientemente as funções para as quais é projectada
Conheceu grande desenvolvimento na década de 70 quando se interligaram
algoritmos de Programação Matemática (Simplex, SLP, SQP) e Programas
de Elementos Finitos
Programação
Algoritmos
Matemática
Genéticos
Elementos
Finitos
Actualmente são muito utilizados Algoritmos Genéticos em vez de
algoritmos de Programação Matemática
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Formulação do problema de Optimização Estrutural
Função Objectivo
Minimizar F(X)
onde X = {X1,X2,,XN}
Vector das Variáveis de Projecto
verificando c(X)  0
Constrangimentos normalizados
e com Xmin  X  Xmax
Limites Laterais das Variáveis
de Projecto
Função Objectivo
Variáveis de Projecto
Constrangimentos
Peso
Dimensões
Deslocamentos
Custo
Forma
Tensões
Topologia
Frequências
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Exemplo
Duas vigas formando uma
grelha
Q= 175 kN/m
L1= 2,54 m , L2= 3,05 m
adm= 138 Mpa
L1
L2
 = 77 kN/m3
Pretende-se minimizar o Peso da estrutura (Função Objectivo)
modificando as Áreas das secções transversais das vigas,
X1 e X2 (Variáveis de Projecto)
considerando que a tensão nas vigas não pode ultrapassar a tensão
admissível do material (Constrangimento)
e assumindo valores máximos e mínimos para X1 e X2 (Limites Laterais)
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Domínio do Problema
Soluções :
X1= 151,0 cm2
X2= 46,0 cm2
Peso= 4035 N
X1= 84,0 cm2
X2= 121,8 cm2
Peso= 4505 N
X1= 35,2 cm2
X2= 164,4 cm2
Peso= 4556 N
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A maioria dos métodos desenvolvidos para resolver problemas de
optimização procuram iterativamente no espaço das variáveis de projecto o
ponto que minimiza a função objectivo verificando simultaneamente os
constrangimentos. Essa pesquisa é feita com base no valor da função
objectivo e dos constrangimentos e também dos seus gradientes em
relação às variáveis de projecto
A necessidade de calcular gradientes exige a continuidade das funções
utilizadas, o que é uma limitação em alguns problemas. Por outro lado, os
métodos baseados em gradientes tem muita dificuldade em lidar com funções
que apresentem mínimos locais
Um dos problemas em que não existe continuidade das funções
corresponde ao problema de optimização com variáveis discretas
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Algoritmos Genéticos
Baseados no trabalho original de Holland, que utilizou representações
binárias das possíveis soluções de um problema e transformações
destinadas a aperfeiçoar essas soluções de forma a atingir a solução óptima
X1
Cromossoma
X2
( 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)
Variáveis de Projecto
X1
X2
Genes
Codificação
.
.
.
Procuram reproduzir no computador o processo de selecção natural das
espécies e utilizam a terminologia da Genética
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O conjunto de cromossomas constituindo a população de uma determinada
geração é combinada através de operadores para dar origem à população
da geração seguinte, que contém indivíduos melhor adaptados, de acordo
com uma função de mérito
A aplicação de um algoritmo genético envolve :
1- Codificação das variáveis de projecto
2- Definição da função de mérito
3- Definição de operadores que alterem o conteudo dos cromossomas :
Selecção - escolhe os índividuos de uma geração que deverão fazer
parte da geração seguinte
Cruzamento - combina os genes de dois cromossomas pais para dar
origem a dois cromossomas filhos distintos dos progenitores
Mutação - altera de forma aleatória os genes de um cromossoma
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Exemplo
Pórtico plano
Forças verticais em
todos os nós de
444,8 kN
24
4
21
4
18
3
15
3
8.473 kN
7.264 kN
6.054 kN
4.839 kN
8 x 3.048 m
11
2
9
2
6
1
3
1
2.420 kN
1.210 kN
1
5
2
1
2
5
5
adm= 5,08 cm
2
6
8
4
3
6
12
3.630 kN
7
3
7
14
13
4
7
17
16
4
8
20
19
10
Forças horizontais
indicadas
8
23
22
1
E= 200 GPa
8 grupos de elementos
3.048 m
Pretende-se minimizar o peso da estrutura
escolhendo os perfis mais adequados numa tabela com 16 perfis W
(Optimização discreta)
considerando que o deslocamento horizontal no topo deve ser inferior a adm
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Tabela de perfis
W27X84
W24X68
W21X62
W16x26
W21X44
W12x16
W18X46
W12x16
W16x26
W12x16
W18X35
W16x26
W16X31
W18x35
W14X26
W18x35
W12X40
Cromossoma
W10X39
W10X33
W16x26
W16x26
W14X38
W12X16
W16x26
W16x26
W16X26
W12x16
W16x26
W18x35
W18x35
W18x35
W18x35
W14x26
W21x44
W21x44
W14x26
( 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 )
W21x44
W21x44
W8X31
W8X18
Peso : 31,72 kN
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Trabalho Desenvolvido - I
Problema :
Dada uma estrutura constituída por um conjunto N de componentes, descobrir
qual a solução óptima que corresponderá a usar um número K de perfis
normalizados na sua construção, a escolher entre um número M de perfis
disponíveis
Solução :
Cromossoma composto. Os primeiros K genes constituem índices na tabela
de perfis disponíveis. Os restantes N ( 1 por cada grupo de componentes )
referem-se a um dos K genes iniciais. Cada cromossoma define uma solução
para o problema
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Tabela de perfis
W27X84
Exemplo pórtico plano
W24X68
W21X62
W21X44
W18X46
W16x26
W16x26
W18X35
W16x26
W16X31
W16x26
W16X26
W16x26
W16x26
W16x26
W18x35
W16x31
W12X40
Cromossoma
W10X39
W8X31
W16x26
W16x26
W14X26
W10X33
W16x26
W16x26
W14X38
W12X16
W16x26
( 6, 7, 8, | 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3 )
W16x31
W18x35
W18x35
W18x35
W18x35
W18x35
W16x31
W16x31
W18x35
W18x35
W8X18
K= 3  Peso : 31,96 kN
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Pórtico de 8 andares
0,50
0,49
Volume (m3)
0,48
0,47
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,41
0,40
1
2
3
5
Nº Secções diferentes
K
Solução p1
Solução p2
Volume (m3)
Peso (kN)
1
6
6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
0.4860
37,43
2
6, 8
6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8
0.4242
32,67
3
6, 7, 8
6, 7, 8, 8, 6, 6, 8, 8
0.4150
31,96
5
4, 6, 8, 10, 12
4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8
0.4119
31,72
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Trabalho Desenvolvido - II
Problema : Obter vários mínimos globais ou um mínimo global e vários
mínimos locais, quando estes ocorram na função a optimizar
Solução :
Partição regular do domínio em sub-domínios, cada qual contendo uma
sub-população
Evolução isolada de cada sub-população para o óptimo que ocorre no
sub-domínio
Processo de adaptação automática da partição do domínio às
características do problema que se pretende resolver
Processo de transferência de elementos entre sub-populações, permitindo
enriquecer as regiões de elevado potencial onde é mais provável que
existam óptimos, em detrimento das regiões sem interesse
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Função Branin RCOS (BRC)
2


 5  2 5
BRC( x1 , x2 )   x2  
* x1    * x1  6 
2
 4 * 
 


  1 
 10* 1  
 * cos(x1 )  10
  8 *  
Dom ínio: 5  x1  10 , 0  x2  15
3 óptim osglobais:
( x1 , x2 )*  ( ,12.275), ( ,2.275), (9.425,2.475)


BRC  x1 , x2   0.397887
*
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15,00
x2
11,25
7,50
3,75
0,00
-5,00
-1,25
2,50
6,25
x1
geração 0
geração 5
geração 20
geração 40
Função Branin RCOS (BRC)
geração 60
10,00
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Exemplo : duas vigas
formando uma grelha
L1
L2
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Fiabilidade Estrutural
A verificação da segurança de uma estrutura implica: S < R, onde S
representa a acção e R a resistência
Tanto S como R dependem de diversas variáveis aleatórias, X1,...,Xn
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Função de estado limite: g(X1,...,Xn) = R – S
A violação do estado limite é definida pela condição g( X1, X2, ..., Xn)  0 e a
probabilidade de colapso, Pc , pode ser formalmente expressa pela equação:
Pc  P g ( X 1 , X 2 , ... , X n )  0  

g ( X 1,X
...
2

,... , X
fX
n
1
,X
2
,K , X
n
( x 1 , x 2 , ... , x n ) dx 1 dx 2 ... dx
) 0
onde (x1, x2, ..., xn) são ocorrências das variáveis aleatórias e
f
X ,X
1
2
,... , X
n
( x , x , ... , x )
1
2
n
é a função conjunta de densidade de probabilidade
n
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A fiabilidade de uma estrutura pode também ser medida pelo índice de
fiabilidade, , que representa a distância do ponto de rotura mais provável
à origem, no espaço (R, S) de coordenadas normalizadas
Conhecendo , a probabilidade de colapso é dada por:
onde  é a função distribuição normal padrão
Pc    
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Método de Monte Carlo
Permite obter uma estimativa da probabilidade de colapso,
Pc 
onde
I ( X 1 , X 2 ,... , X n )
1
N
N
 I(X
1
, X 2 , ... , X n )
(1)
i 1
é uma função definida por
1
I ( X 1 , X 2 , ... , X n )  
0
se g ( X 1 , X 2 , ... , X n )  0
se g ( X 1 , X 2 , ... , X n ) > 0
de acordo com a equação (1), N amostras independentes de valores das
variáveis aleatórias são obtidas com base nas distribuições de probabilidade
dessas variáveis e a função de estado limite é calculada para cada amostra.
Designando por NH o número de casos em que ocorreu o colapso, a
probabilidade de colapso da estrutura é aproximada por :
Pc 
NH
N
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A aplicação do método de Monte Carlo apresenta as seguintes
Vantagens :
Método probabilístico exacto, ou de nível 3 (cf. Eurocódigo 1), onde a
probabilidade de colapso é avaliada a partir da distribuição conjunta de
probabilidade das variáveis associadas às acções e às resistências
Permite avaliar a probabilidade de colapso de um sistema em que se
consideram simultaneamente várias funções de estado limite
Desvantagens :
Requer um modelo estatístico de todas as variáveis aleatórias envolvidas
Tempo de cálculo muito elevado
Para estados limites últimos ( 104  PC  106 ) é necessário
avaliar g(X) entre 105 e 107 vezes para obter resultados com
uma aproximação aceitável
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Redes Neuronais
Técnica de inteligência artificial inspirada no funcionamento dos
neurónios biológicos
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Neurónio artificial introduzido por McCulloch e Pitts (1943)
L
a m   wmk x k  bm
k 1
x1
wm1
x2
x3
sm  f ( am ) 
1
1  e  am
wm2
wm3
.
.
.
wmL
xL
bm
f (S)
sm
O uso de redes neuronais tem vindo a generalizar-se em vários domínios,
entre os quais a mecânica estrutural e em particular a fiabilidade de
estruturas
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Rede neuronal multicamada ( 3 x 4 x 3 )
f(S)
w111
x1
=
w112
w12
b11
w131
w211
w221
x2
w132 w142
f(S)
w222
b21
1
w411
f(S)
w322
b31
w332
w42
f(S)
b41
s22
w242
1
w431
b12
f(S)
w232
w311
w33
=
w122
1
w321
x3
s12
w212
w23
=
f(S)
1
w312
b22
f(S)
w342
b32
s32
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f(S)
w111
x1
 x10 
 
x 0   x20 
 x30 
 
 w

 w
s1    

 w
 w


 2
  w11
 2
s 2     w21

2
  w31


1
12
1
22
1
32
1
42
w
w
w
w
w122
2
w22
2
w32
1
13
1
23
1
33
1
43
w
w
w
w
w132
2
w23
2
w33
w112
w121
w131
w211
w221
x2
b 11
w12
w132 w 2
14
f(S)
w231
w222
b 21
=
1
1
1
2
1
3
1
4
b
b
b
b
w142
2
w24
2
w34
 x   s
   
   x    s
  x   s
    
  1   s
0
1
0
2
0
3
1
1
1
2
1
3
1
4
w411






 s11  


2
1
b1   s2    s12 

 
b22    s31     s22 
 1  2
2

b3   s4    s3 
 1  

s22
w242
f(S)
w322
b31
w312
b 22
w332
f(S)
w421
w431
s12
b12
f(S)
w232
w311
w331
=
f(S)
2
w212
w321
x3
1
11
1
21
1
31
1
41
=
s32
w342
f(S)
b 32
b41
O tempo necessário para
calcular o valor das funções que
uma rede neuronal multicamada
aprendeu é muito reduzido
O cálculo corresponde apenas a
algumas operações matriciais
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O processo de obter os coeficientes wmk e bm de forma que a rede
neuronal possa representar uma função designa-se por treino da rede
O treino mais comum, treino supervisionado, consiste em arbitrar
valores iniciais para os coeficientes e em seguida ajustar esses valores
de forma a minimizar o erro entre as saídas obtidas pela rede e o
resultado exacto da função
Para proceder assim, é necessário construir um conjunto de treino, com
valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da função.
Após o treino, a rede deve ser testada com um conjunto de teste
Neste trabalho utilizou-se um algoritmo misto, minimizando-se
inicialmente o erro com um algoritmo genético e em seguida com
um algoritmo de gradientes conjugados
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Exemplo
Função analítica
F(X,Y) = 0,3 + ( 2 Sin( X ) Cos ( Y ) + Sin ( X Y ) ) / 6
com X  [3.5 , 5.5] e Y  [2.0 , 4.0]
Z
Y
Conjunto de treino com
X
14 x 14 = 196 pontos
0.8
Conjunto de teste com
Z
0.6
0.4
32 x 32 = 1024 pontos
4
3.5
3.5
4
3
X 4.5
Y
2.5
5
5.5
2
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Z
1
s =1
Z
1
s =6
Y
Y
X
X
0.6
Z
0.8
0.6
Z
0.8
0.4
0.4
4
3.5
4
3.5
3.5
4
3
X 4.5
3.5
4
5.5
3
X 4.5
Y
2.5
5
Y
2.5
5
2
5.5
2
Z
1
s = 12
Z
1
s = 18
Y
Y
X
X
0.6
Z
0.8
0.6
Z
0.8
0.4
4
3.5
3.5
4
3
X 4.5
Y
2.5
5
5.5
2
0.4
4
3.5
3.5
4
3
X 4.5
Y
2.5
5
5.5
2
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Medidas do erro
(s  o )
 máx  MAX i i
oi
1 t 1 r
E    ( sij  oij )2
t i 1 r j 1
1 t ( si  oi )
 médio  
t i 1
oi
Resultados do treino
s1
Erro treino,E
 máx (%)
 médio (%)
t (h:m:s)
1
1,5510-2
114
21
00:00:01
6
7,1510-4
32
3,9
00:02:30
12
9,2210-5
26
1,1
00:29:11
18
5,4910-6
2,5
0,38
02:09:32
24
1,7910-6
1,9
0,35
06:36:48
30
1,1910-6
1,5
0,23
18:32:06
36
1,9710-7
0,93
0,095
41:02:08
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Trabalho Desenvolvido - III
Pórtico intermédio de uma nave
industrial com 20x10x4 m
Utilização da rede neuronal para aprender
o comportamento da estrutura
B
C
Espaçamento de 5 m entre
pórticos semelhantes
Definição das acções segundo o
Eurocódigo 1, considerando-se os
seguintes valores característicos :
L2= 4
m
A
D
L1= 10 m
Cargas permanentes – 0,5 kN/m2 correspondente ao peso próprio
da estrutura acrescido do revestimento da cobertura e da fachada
Sobrecarga – 2 kN/m2, correspondente a uma utilização normal
Vento – considera-se uma pressão dinâmica do vento igual a 0,456 kN/m2
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Funções de estado limite
Função
Descrição
H  L2/150
Deslocamento horizontal máximo do pilar
V  L1/300
Deslocamento vertical máximo da viga
Resistência à flexão composta
com compressão do pilar
1,5M y ,Sd
NSd

1
 min Af y /1,1 Wpl , y f y /1,1
1,5M y ,Sd
NSd

1
 z Af y /1,1  LTWpl , y f y /1,1
Resistência à flexão composta com compressão da viga
considerando a possibilidade de encurvadura lateral
Um pórtico com pilares HEA 260 e uma viga HEA 300 verifica a segurança aos
estados limites. Os deslocamentos e esforços de dimensionamento são :
H = 1,32 mm ; V = 16,8 mm
NSd(Pilar) = 98,6 kN (topo do pilar direito – secção C)
My,Sd(Pilar) = 122,5 kNm (topo do pilar direito – secção C)
NSd(Viga) = 46,7 kN (extremidade direita – secção C)
My,Sd(Viga) = 122,5 kNm (extremidade direita – secção C)
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Distribuição probabilística
Variável
Distribuição
Média
Desvio
Padrão
Coefic.
Variação
Valor
Característico
Módulo de Young (GPa)
Normal
210
10,5
0,05
210
Carga permanente
(kN/m2)
Normal
0,50
0,05
0,10
0,50
Sobrecarga (kN/m2)
LogNormal
1,06
0,366
0,35
2,0
Pressão do vento (kN/m2)
LogNormal
0,241
0,084
0,35
0,456
Tensão de cedência (MPa)
LogNormal
280
28
0,10
235
Numa análise preliminar, verificou-se que os valores dos deslocamentos H e
V são muito inferiores aos admissíveis, pelo que a probabilidade de
colapso associada aos estados limites de utilização é desprezável. Como os
esforços na estrutura não dependem do módulo de Young, esta variável foi
retirada do modelo probabilístico
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Rede neuronal com 3 x s1 x 3 neurónios
Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um
conjunto de teste com 12 x 12 x 12 = 1728 pontos.
Resultados do treino – Erro quadrático médio
1 t 1 r
E   ( sij  oij ) 2
t i 1 r j 1
s1 - número de
neurónios da camada
intermédia
Erro obtido com o conjunto
de treino
Erro obtido com o conjunto
de teste
4
6,2810-6
2,9710-6
6
3,8510-7
3,4410-7
8
1,0110-7
8,2710-8
10
3,2010-9
2,2010-9
12
1,7710-9
1,5310-9
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
 máx  MAX
Resultados do treino – Erro relativo máximo
( si  oi )
oi
 máx(%)
s1 - número de
neurónios
da camada intermédia
4
N (pilar)
N (viga)
M (pilar e viga)
1,42
2,14
1,11
6
0,771
1,11
0,711
8
0,545
0,516
0,503
10
0,105
0,107
0,071
12
0,067
0,069
0,067
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Resultados da análise de fiabilidade
Número de amostras
Probabilidade de colapso
Tempo de cálculo (segundos)
106
1,43105
22
107
1,39105
189
108
1,28105
1865
Função de Estado
Limite
Resistência à
flexão composta
com compressão do
pilar
Resistência à
flexão composta
com compressão da
viga, considerando
a possibilidade de
encurvadura lateral
Monte Carlo
c/ rede neuronal
Monte Carlo
directo
FORM
( COMREL-TI)
SORM
(COMREL-TI)
Pc = 1,277  105
Pc = 1,255  105
Pc = 1,229  105
Pc = 1,285  105
 = 4,21
 = 4,21
 = 4,22
 = 4,21
Pc = 8,630  106
Pc = 8,607  106
Pc = 8,275  106
Pc = 8,650  106
 = 4,30
 = 4,30
 = 4,31
 = 4,30
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - IV Utilização da rede neuronal para aprender
a função de estado limite g(X)
Pórtico metálico com 6
andares
Dimensões : 12 x 22,5 m
31.7 kN/m
10.2 kN
HEB180
IPE240
HEB180
49.1 kN/m HEB200
20.4 kN
As cargas verticais,
horizontais e a tensão de
cedência do aço foram
consideradas variáveis
aleatórias
HEB180
Análises elasto-plásticas
considerando a formação
de zonas plásticas
IPE300
HEB180
49.1 kN/m HEB240
IPE300
HEB220
20.4 kN
HEB220
6 x 3.75 m
20.4 kN
HEB220
Comportamento
geometricamente e
fisicamente não-linear
49.1 kN/m HEB200
IPE330
HEB220
49.1 kN/m HEB240
20.4 kN
IPE360
HEB220
20.4 kN
49.1 kN/m
HEB260
Y0 IPE400
Y0
HEB220
HEB220
HEB260
2 x 6.00 m
HEB220
Y0
E = 205 GPa
fy = 235 MPa
Y0 = 1/450
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Considerou-se uma única função de estado limite, associada ao colapso
elasto-plástico do pórtico.
Distribuição probabilística (*: valores para último piso)
variável
média
desvio
padrão
coeficiente
variação
carga vertical (kN/m)
33.3
(21.5*)
6.66 (4.30*)
0.20
49.1
(31.7*)
carga horizontal (kN)
10.76 (5.38*)
3.76 (1.88*)
0.35
20.4
(10.2*)
tensão de cedência (MPa)
280
28
0.10
235
valor
característico
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Rede neuronal com 3 x s1 x 1 neurónios
Considerou-se um conjunto de treino com 8 x 8 x 8 = 512 pontos e um
conjunto de teste com 7 x 7 x 7 = 343 pontos.
Resultados do treino
nº neurónios - s1
Erro treino,E
Respostas
erradas no treino
Respostas
erradas no teste
tempo treino (s)
4
4.036103
2
1
506
8
2.763103
0
1
5830
12
1.867103
0
0
23517
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
A análise de fiabilidade foi realizada pelo método de Monte Carlo com
107 amostras.
Resultados da análise de fiabilidade
nº neurónios - s1
pf (média)
pf (desvio p.)
 (média)
tempo simulação (s)
4
2.726104
3.326106
3.46
81
8
2.489104
7.062106
3.48
113
12
2.426104
3.910106
3.49
141
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Trabalho Desenvolvido - V
Optimização com constrangimentos de
fiabilidade
Na optimização com constrangimentos de fiabilidade, pelo menos um
dos constrangimentos c(X) está relacionado com a fiabilidade da estrutura
A metodologia normalmente empregue para resolver este tipo de problema
recorre a algoritmos baseados em gradientes e aos métodos FORM ou
SORM, baseados na determinação do índice de fiabilidade, .
Optou-se por considerar uma estratégia combinando um algoritmo genético,
o método de Monte Carlo e uma rede neuronal
Esta estratégia implica a utilização do método de Monte Carlo para
todos os elementos da população considerados pelo algoritmo genético
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Exemplo
(Burton & Hajela, 2003)
Treliça plana com 6 barras
nx
Na configuração inicial
indicada, nX = nY = 3 m
P
4
6
E = 206 GPa
Massa específica,
 = 7,8 x 103 kg/m3
5
3
2
4
3
1
2
1
Função objectivo :
- Massa da treliça
Variáveis de projecto :
- Àrea da secção das barras, A.
- Coordenada X e Y do nó 4, nX
ny
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Variáveis aleatórias :
- Carga concentrada P aplicada no nó 3
- Tensão de cedência do aço utilizado, C
Distribuição probabilística
Variável
Distribuição
Média
Desvio
padrão
Coefic.
variação
Carga concentrada, P (kN)
Normal
30
3
0,10
Tensão de cedência,  C (MPa)
Normal
172
8,6
0,05
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Constrangimento :
Verificou-se que as barras 3, 4 e 5 eram as mais solicitadas, e definiramse três funções de estado limite
g1 = C  3
g2 = C  4
g3 = C  5
Considerou-se que o colapso da estrutura ocorre quando em pelo menos
uma das barras se atinge C  Sistema em série  sendo a respectiva
probabilidade de colapso, Pc, calculada pelo método de Monte Carlo
Definiu-se um único constrangimento :
c
Pc  Pmax
0
Pmax
impondo-se Pmax = 0,001 , a que corresponde  = 3,090
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Rede neuronal com 3 x s1 x 4 neurónios
Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um
conjunto de teste com 5 x 5 x 5 = 125 pontos.
Resultados do treino – Erro quadrático médio
Nº neurónios - s1
Erro obtido com o conjunto
de treino
Erro obtido com o conjunto
de teste
6
1,296710-3
7,829510-4
12
1,921810-5
1,835210-5
24
1,600510-6
2,060810-6
Resultados do treino – Erro relativo máximo

Nº neurónios – s1
máx(%)
M
3
4
5
6
1,167
2,240
2,949
2,949
12
0,238
0,529
0,399
0,399
24
0,0775
0,199
0,148
0,148
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Algoritmo genético
Cromossomas com 40 genes binários (20 por variável), populações com 40
indivíduos e um total de 60 gerações.
A probabilidade de colapso da estrutura foi estimada com 105 amostras
Resultados da optimização
Variável /
Função
objectivo
Algoritmo
genético +
Rede neuronal
Burton &
Hajela
Diferença (%)
A (m2)
2,359
2,366
0,28
nx (m)
1,563104
1,557104
0,36
Massa (kg)
22,512
22,450
0,28
Tempo total de cálculo durante a optimização : 6394 s ( 1 H 47 m )
Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC
Conclusões
Demonstrou-se a viabilidade da aplicação das metodologias desenvolvidas :
Algoritmos Genéticos para optimização de estruturas com secções
normalizadas
Algoritmos genéticos para optimização de funções com vários mínimos
globais e/ou locais
Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para análise de
fiabilidade
Algoritmos Genéticos + Método de Monte Carlo + Redes Neuronais
para optimização de estruturas com constrangimentos de fiabilidade