CAP 3 – AUTO-SIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL
texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995)
Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y).
2.1. Fatores de Escala, Algoritmos Recursivos e Exemplos de Fractais
ex: descrição computacional de uma árvore
* diversas alternativas
a) conjunto completo dos elementos
b) forma aproximada da envoltória espacial
c) relação recursiva (auto-similaridade)
 pouca informação de entrada
 modelo estruturalmente realista
[fig. 3.1] e [fig. 3.2]
geometria auto-similar: uma parte se parece com o todo
* objetos reais auto-similares:
são engendrados por processos recursivos?
* exemplos na natureza:
 samambaia, brócolis, sistema de brônquios
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7959/fractalapplet.html
 contorno de nuvens e de litorais, estrutura de montanhas
 vórtices em fluidos, etc.
http://www.ba.infn.it/~zito/images/caustic.jpg
* exemplos na área tecnológica:
 imagem com retro-alimentação num monitor
http://www.ba.infn.it/~zito/images/figura.jpg
 antenas para banda larga miniaturizadas
http://www.engineer.ucla.edu/stories/2002/fractal.htm
adesão de nanopartículas em substratos rugosos, etc.
[ T.S. Chow - J. Phys: Cond. Matter 15, n2 (2003) L83-L87 ]
* objetos com dimensão fracionária: fractais
* geometria fractal:
 associada a tipos de comportamento dinâmico
* fractais exatos: objetos matemáticos
 gerados por algoritmos recursivos
 exemplos:
a) Conjunto de Cantor ( “poeira de pontos” )
[fig. 3.3]
* algoritmo recursivo:
 t=0: segmento de reta de comprimento 1
 t=1: 2 cópias com comprimento 1/3 cada
 t=2: repete o processo para as 2 cópias
(resultam 4 cópias com comprimento 1/9 cada)
 t=3: repete o processo para as 4 cópias ...
 profundidade da recursão ( maior t usado )
 fractal perfeito ( t   )
[fig 3.4]
b) Cesta de Serpienski
[fig. 3.5]
c) Curva de Koch
[fig. 3.6]
d) Ilha de Koch
http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch/koch.html
* perímetro infinito delimitando uma área finita!
* seres vivos: otimização da razão área/volume
[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104]
e) Esponja de Menger
[fig. adicional]
[ Stewart, Does God Play Dice?, p 303]
3.2. Dimensão Fracionária
* dimensão euclideana:
 número de coordenadas necessárias
para posicionar um ponto no objeto
OBJETO
DIMENSÃO EUCLIDEANA
PONTO
0
SEGMENTO DE RETA
1
RETÂNGULO PLANO
2
CUBO MACIÇO
3
...
 4 ( inteiros )
* objeto auto-similar gerado recursivamente:
 : aresta no passo n / aresta no passo n+1
N: número de cópias no passo n+1 / número de cópias no passo n
D: dimensão fractal
D
logN
log
* definição de dimensão fractal:
 abrange os objetos euclideanos!
OBJETO

N
D
SEGMENTO DE RETA
2
2
1
QUADRADO PREENCHIDO
2
4
2
CONJUNTO DE CANTOR
3
2
0.631
CESTA DE SIERPIENSKI
2
3
1.585
FLOCO DE NEVE DE KOCH
3
4
1.262
ESPONJA DE MENGER
3
20
2.727
exemplo para aula prática: bolas de papel amassado
[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104]
* diâmetro de cada bola: d
* massa de cada bola: m
 relação entre m e d (experimental):
* k: constante de proporcionalidade
“lei de potência” : invariante de escala
m = k . d 2,5
DIMENSÃO POR CONTAGEM DE CAIXAS
dado um objeto pronto  qual o valor de D?
procedimento geométrico:
* recobrir o objeto com “caixas” de aresta 0
(cubos, quadrados ou segmentos de reta)
* contar o número de caixas necessárias N = N (0)
* fazer  1 = (  0 / 2 )
* contar N ( 1)
... recursivamente...  função por pontos N = N ()
expressão teórica:
procedimento prático:
N ( )  k  D
 i 1
lo g
i
D 
N ( i )
lo g
N ( i 1 )
exemplo: atrator caótico de um mapa bidimensional (“mapa de Ikeda”)
x i +1 = 1 + 0.7 (x i cos t i – y i sen t i )
y i +1 = 0.7 (x i sen t i + y i cos t i )
sendo t i = 0.4 – [ 6 / ( 1 + x i2 + y i2)]
* imagem do objeto auto-similar (para outro parâmetro):
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/ikeda/
* sistema real: laser numa cavidade em anel
http://hedgehog.math.arizona.edu/~ura/001/huang.pojen/#Ikeda
* auto-similaridade
[fig. adicional]
caixas com 0 = 0.08  N ( 0 ) = 43 [fig. pg. 116 (esquerda)]
caixas com 1 = 0.04  N ( 1 ) = 110
[fig. pg. 116 (meio)]
caixas com 2 = 0.02  N ( 2 ) = 250
[fig. pg. 116 (direita)]
* levando na fórmula: tende para D  1,2
* menor valor de   depende da resolução da figura
3.3. Auto-Similaridade Estatística
 as partes são, em média, similares ao todo
exs:
* fractais na natureza ( costas litorâneas, árvores, etc )
* fractais matemáticos
( gerados por processo determinístico caótico )
( gerados com adição de números aleatórios )
AUTO-SIMILARIDADE NO TEMPO
* exemplo determinístico:
saída caótica de um mapa unidimensional
x t +1 = x t + xt2 (mod 1)
diagrama de 1o retorno:
[fig. pg. 118]
série temporal:
[fig. pg. 119]
 mostra invariância de escala!
* exemplo estocástico:
saída de um gerador de números aleatórios
série temporal:
[fig. pg. 120]
* exemplo observado na natureza:
registro dos batimentos cardíacos
série temporal
[fig. pg. 121]
 todos mostram invariância de escala!
espectro de um sinal auto-similar no tempo:
“ ruído 1/f ”
energias aproximadamente iguais nos intervalos
0.1 Hz < f < 1 Hz
1 Hz < f < 10 Hz
10 Hz < f < 100 Hz
100 Hz < f < 1 kHz . . .
 fenômenos que respeitam esta distribuição:
* tempos de chegada de chamadas telefônicas
* ruído intrínseco em semicondutores
* densidade do tráfego de automóveis urbano
* nível de cheias em rios
* ritmos biológicos, etc.
3.4. Fractais e Comportamento Dinâmico
“fractal” objeto geométrico auto-similar
“caos” evolução temporal imprevisível de uma variável
os dois conceitos são intimamente relacionados
exemplos (em sistemas não-lineares):
* “jogo fractal” ou “jogo do caos”
* autômatos celulares
* passeio aleatório e movimento browniano
* escape para infinito
* fronteiras de bacia fractais
* agregação e percolação, etc
“JOGO FRACTAL”
 dinâmica discreta com elemento aleatório
algoritmo (entrada aleatória: lance de um dado)
* triângulo equilátero ABC
* condição inicial: 0 (qualquer ponto tomado dentro do triângulo)
* lança-se o dado para selecionar um vértice
1 ou 2  A ;
3 ou 4  B ;
5 ou 6  C
* ponto 1:
ponto médio entre 0 e o vértice sorteado
* lança-se o dado novamente
* ponto 2:
ponto médio entre 1 e o novo vértice sorteado
...
resultados (ex 2; 6; 1; ...):
3 lances
[fig. 3.7]
100, 1000, 5000 lances
[fig. 3.8]
* para infinitos lances:
 é construída uma cesta de Serpienski !
* uma regra simples gera um objeto complexo!
* conjunto final:
 quase independe da seqüência de lances
 é o atrator do sistema dinâmico
explicação lógica:
* o sistema é, em parte, determinístico
* a cada lance t:
divide-se o triângulo em 3t regiões possíveis
ponto 0: 1 região (triângulo inteiro)
ponto 1: 3 regiões  resultados: A, B ou C
ponto 2: 9 regiões  resultados (1o e 2o lances)
AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC
ponto 3: 27 regiões  1o , 2o e 3o lances
AAA, AAB, AAC, ABA, etc...
aplicação importante: pode revelar correlações!
(análise de séries temporais - CAP 6)
* séries totalmente aleatórias
* séries determinísticas caóticas
* séries mistas
[fig. 3.9]
 ruído 1/f
[fig. adicional a]
 movimento browniano
[fig. adicional b]
 mapa logístico com a=3.999
[fig. adicional c]
 seqüência de bases do DNA p/ amilase
[fig. adicional d]
[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 222]
PASSEIO ALEATÓRIO
difusão: processo físico em escala molecular
 deslocamentos aleatórios devidos a colisões
 não envolve gasto de energia
 persiste enquanto há diferença de concentração
“movimento browniano”
[R. Brown, 1827]
modelo:
* passos de mesmo comprimento
* direção e sentido aleatórios
investiga-se:
 para a população de partículas:
* distribuição espacial em função do tempo
ex: distribuição gaussiana
 para cada partícula
* deslocamento total médio em função do tempo
ex: 2 dimensões, 500 passos
* lei de potência observada:
d MED = k . t 1/2 ou dMED = k . t ( 4 - ) / 2 ;  = 3
[fig. pg. 127]
* para passos de comprimentos também aleatórios
 continua auto-similar (expoente ½ , outro k)
“caminhada intencional”:
d MED = k . t = k . t ( 4 - ) / 2 ;  = 2
[fig. pg. 127]
“passeio de Lévy”:
d MED = k . t ( 4 - ) / 2 ; 2 <  < 3
* comprimento dos passos: lei de potência
* eventualmente, pode haver passos muito longos
* prazo longo ou curto: diferentes estimativas
ESCAPE PARA INFINITO
*para muitos sistemas dinâmicos: a variável diverge para infinito
*isso depende da condição inicial
*condições iniciais que não divergem: podem formar um fractal
(ex: conjunto de Cantor)
[fig. 3.12]; [fig. 3.13]
FRONTEIRAS DE BACIA FRACTAIS
sistemas dinâmicos multiestáveis:
 dois ou mais atratores coexistentes (periódicos ou caóticos)
* para cada atrator: conjunto de condições iniciais
“BACIA DE ATRAÇÃO”
* pontos de fronteira entre duas bacias:
 podem formar um conjunto fractal
exemplos:
mapa de Hénon (bidimensional)
http://www.enseeiht.fr/hmf/travaux/CD9900/travaux/optmfn/hi/00pa/cshp07/chap1.htm
resolução de z4 – 1 = 0 pelo método de Newton
http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/
sistema ótico de 4 esferas
http://webs1152.im1.net/~dsweet/Spheres/reprint.pdf
CONJUNTO DE MANDELBROT
mapa com variável complexa ( z t = a t + b t i )
z t +1 = z t2 + c
c=x+yi
para cada par (x,y) no plano: inicia-se com z0 = 0
se z divergir para infinito  ponto em preto
se z não divergir  ponto em branco
http://www.lboro.ac.uk/departments/ma/gallery/mandel/
* estrutura de uma couve-flor: coincidência?
http://www.ba.infn.it/~zito/project/cavolo.png
http://www.citesciences.fr/english/ala_cite/expo/explora/mathematiques/math_29.htm
CRESCIMENTO FRACTAL, AGREGAÇÃO E PERCOLAÇÃO
exemplos:
deposição eletrolítica de metais
colônias de microorganismos
difusão em líquidos imiscíveis, etc
 padrões podem ser simulados por algoritmos muito simples!
Modelo de Eden:
[M. Eden, 1961]
rede quadrada
t = 0  inicia com uma primeira célula
t = 1  outra célula é acrescentada aleatoriamente (4 posições)
t = 2  uma terceira célula (6 posições), etc
[fig. pg. 137]; [fig. pg. 138]
* para grande t: a fronteira do conjunto é fractal!
Agregação limitada por difusão ( “D.L.A.” )
[Witten e Sander, 1981]
 também supõe uma partícula-semente
 outras partículas são distribuídas e sofrem difusão aleatória
 quando tocam na semente, são agregadas
[figs. pg. 140]
Percolação:
* transição de fase (ponto crítico perfeitamente definido)
* as ramificações se aglutinam  formam uma massa única
[Stewart, Does God Play Dice?, p.308]