Terceira Edição
CAPÍTULO
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston Jr.
Tensão e Deformação
–
Carregamento Axial
Resistência dos Materiais
Capítulo 2 – Tensão e Deformacão: Carregamento Axial
2.1 - Introdução
2.2 - Deformação Específica
Normal no carregamento Axial
2.3 - Diagrama de Tensão–
Deformação
2.4 - Lei de Hooke: Módulo de
Elasticidade
2.5 - Comportamento Elástico
vs. Plástico
2.6 - Deformação de barras sob
Cargas Axiais
2.7 - Problemas Estaticamente
Indeterminados
2.8 - Problemas Envolvendo
Variação da Temperatura
2.9 - Coeficiente de Poisson
2.10 - Generalização da Lei de
Hooke
2.11 - Dilatação Volumétrica:
Módulo de Elasticidade de
Volume
2.12 - Deformação de
Cisalhamento
2.13 - Relação entre E, ν e G
2.14 – Materiais Compósitos
2.15 – Princípio de Saint-Venant
2.16 – Concentração de Tensão
2-2
Resistência dos Materiais
2.1 - Introdução
• As deformações em uma estrutura ou membro
estrutural são causadas pela aplicação de cargas. Por
meio da análise dessas deformações pode-se
também determinar as tensões.
• Considerar estruturas como corpos deformáveis
permite a determinação de forças e reações que são
estaticamente indeterminadas.
• Determinação da distribuição de tensões dentro de
um membro também requer considerações de
deformações no membro.
• No Cap. 2, as deformações de um membro estrutural
sob carregamento axial são de interesse.
2-3
Resistência dos Materiais
2.2 - Deformação Específica Normal no carregamento Axial
δ − deslocamento
ε − deformação normal
σ=
ε=
P
= tensão
A
δ
L
= deformação normal
σ=
ε=
2P P
=
2A A
δ
L
P
A
2δ δ
ε=
=
2L L
σ=
2-4
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.1
É aplicada uma carga axial em uma barra de comprimento
L = 0,600 m. Sabendo que o deslocamento axial é δ = 0,15
mm e que a área da seção transversal é constante,
determinar a deformação axial na barra.
δ
0,15 mm 0,15 ×10−3 m
ε= =
=
L 600 mm
0,600 m
= 250 ×10−6 m/m
ε = 250µ
2-5
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
• Corresponde a uma curva que caracteriza as propriedades do material e que não depende das dimensões da
amostra do material
• É traçada por meio do ensaio de tração em uma amostra
do material
• Por meio das características obtidas pelos diagramas,
dividimos o material em:
materiais dúcteis – aço estrutural e outros metais;
materiais frágeis – ferro fundido, vidro, pedra.
2-6
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
Ensaio de tração
2-7
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
Materiais Dúcteis
“escoamento” à temperaturas
normais
2-8
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
Materiais Dúcteis
“escoamento” à temperaturas
normais
Estricção - Quando o carregamento atinge um certo valor
máximo, o diâmetro do corpo de prova começa a
diminuir.
Após ter começado a estricção, um carregamento menor é
suficiente para manter o corpo de prova se deformando
até romper.
2-9
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
Materiais Dúcteis - Alumínio e muitos outros
• Início do escoamento
não é caracterizado
pelo trecho horizontal
(patamar de
escoamento).
• Tensão de escoamento
obtida pela
deformação específica
de 0,2%.
2 - 10
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
Materiais Dúcteis
Ductibilidade (alongamento percentual)
100
Lr − L0
L0
Sendo:
L0 – comprimento inicial do corpo de prova; e
Lr – comprimento final (comprimento no instante de
ruptura).
2 - 11
Resistência dos Materiais
2.3 - Diagrama de Tensão–Deformação
Materiais Frágeis
A ruptura ocorre sem mudança sensível no modo de
deformação.
2 - 12
Resistência dos Materiais
2.4 - Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
• No trecho reto do diagrama, a tensão é diretamente proporcional à deformação específica
σ = Eε
E – “módulo de Young” ou “módulo de
elasticidade”
“limite de
proporcionalidade”
Maior valor da tensão para
o qual a lei de Hooke é
válida
2 - 13
Resistência dos Materiais
2.5 - Comportamento Elástico vs. Plástico
• Se a deformação desaparece
quando a tensão (carga) é
removida, o material é dito ter
comportamento elástico.
• A maior tensão para o qual
isto ocorre é chamada de
limite elástico.
• Quando a deformação não
retorna a zero depois da carga
ser removida, o material é
dito ter comportamento
plástico.
2 - 14
Resistência dos Materiais
2.6 - Deformação de barras sob Cargas Axiais
• Da lei de Hooke:
σ = Eε
ε=
σ
E
=
P
AE
• Da definição de deformação:
δ
ε=
L
• Equacionando e resolvendo para o
deslocamento,
δ =
PL
AE
• Com variações no carregamento, área da
seção transversal ou propriedades do
material
PL
δ =∑ i i
i Ai Ei
2 - 15
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.01
Determine a deformação da SOLUÇÃO:
barra de aço mostrada sob as
cargas dadas.
1. Divide a barra em
componentes nos pontos de
aplicação das cargas e
mudanças de área;
E = 29 × 106 psi
D = 1,07 in. d = 0,618 in
2. Faça uma análise de corpo
livre em cada componente
para determinar as forças
internas;
3. Encontre o deslocamento
total da barra.
2 - 16
Resistência dos Materiais
SOLUÇÃO:
• Análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas,
• Divide a barra em três
componentes:
P1 = 60 ×103 lb
P2 = −15 ×103 lb
P3 = 30 ×103 lb
• Calculando o deslocamento total,
δ =∑
i
Pi Li
1  PL
PL
PL 
=  1 1+ 2 2+ 3 3
Ai E i E  A1
A2
A3 
 ( 60 × 10 3 )12 ( − 15 × 10 3 )12
1
=
+
+

29 × 10 6 
0, 9
0, 9

( 30 × 10 )16 
+
3
L1 = L2 = 12 in.
A1 = A2 = 0.9 in
0, 3
L3 = 16 in.
2
A3 = 0.3 in
2
= 75, 9 × 10 −3 in

δ = 75, 9 × 10 − 3 in
2 - 17
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.2
A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD.
A haste AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem área da seção transversal
igual a 500 mm2. A haste CD é de aço (E = 200 GPa) e área de 600 mm2.
Para a força de 30 kN mostrada, determine o deslocamento (a) do ponto B;
(b) do ponto D; (c) do ponto E.
2 - 18
Resistência dos Materiais
2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados
• Estruturas nas quais as forças internas e as reações não possam ser
determinadas usando apenas as equações da estática são ditas ser
estaticamente indeterminadas.
• Uma estrutura será estaticamente indeterminada sempre que possua
mais apoios do que são necessários para manter seu equilíbrio.
2 - 19
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.3
A barra AB tem seção transversal de área constante e é presa a suportes
fixos em A e B. Uma força P é, então, aplicada verticalmente para baixo no
ponto C. Determinar as tensões nas partes AC e BC da barra bem como as
reações de apoio.
2 - 20
Resistência dos Materiais
2.7 - Problemas Estaticamente Indeterminados
Método da superposição:
• Reações redundantes são substituídas por
cargas (forças) desconhecidas que, juntamente
com as demais cargas aplicadas, devem
produzir deformações (ou deslocamentos)
compatíveis.
• Deslocamentos devidos às cargas reais e às
reações redundantes são determinados
separadamente e, então, adicionados ou
superpostos.
δ = δL +δR = 0
2 - 21
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.4
Determine as reações em A e B para a barra de
aço e carregamento mostrado, assumindo que a
barra é presa a dois apoios fixos.
SOLUÇÃO:
• Considere a reação em B como redundante,
retire o apoio neste ponto, e resolva para o
deslocamento em B devido às cargas aplicadas,
sem a restrição redundante.
• Depois, resolva para o deslocamento em B
devido a reação redundante em B.
• Os deslocamentos devido às cargas e devido à
reação redundante devem ser compatíveis, ou
seja, a soma de ambos deve ser zero.
• Resolva para a reação em A devido às cargas
aplicadas e a reação encontrada em B.
2 - 22
Resistência dos Materiais
SOLUÇÃO:
• Deslocamento em B devido às cargas aplicadas sem a
restrição redundante,
P1 = 0 P2 = P3 = 600 × 103 N
A1 = A2 = 400 × 10−6 m 2
P4 = 900 × 103 N
A3 = A4 = 250 × 10−6 m 2
L1 = L2 = L3 = L4 = 0,150 m
PL
1,125 × 109
i i
δL = ∑
=
E
i =1 Ai Ei
4
• Deslocamento em B devido à restrição redundante,
P1 = P2 = − RB
A1 = 400 × 10−6 m 2
A2 = 250 × 10−6 m 2
L1 = L2 = 0,300 m
1,95 × 103 ) RB
(
PL
i i
δR = ∑
=−
E
i =1 Ai Ei
2
2 - 23
Resistência dos Materiais
• Sabendo que os deslocamentos são compatíveis,
δ = δL + δR = 0
3
1,125 ×109 (1,95 ×10 ) RB
δ=
−
=0
E
E
RB = 577 × 103 N = 577 kN
• Reação em A devido às cargas e a reação em B
+↑
∑F
y
= 0 ⇒ RA − 300 kN − 600kN + 577kN = 0
RA = 323kN
R A = 323 kN
RB = 577 kN
2 - 24
Resistência dos Materiais
2.8 - Problemas Envolvendo Variação da Temperatura
• A mudança de temperatura resulta numa mudança
no comprimento ou deformação térmica.
• Não existirá uma tensão associada com a
deformação térmica a menos que o alongamento
da barra seja limitado pelos apoios (anteparos).
• Tratando o apoio adicional como redundante e
aplicando o princípio da superposição.
δ T = α ( ∆T ) L
δP =
α = coef. de dilatação térmica
− PL
AE
• α é uma constante característica do material
cuja unidade é (oC)-1 (“por graus Celsius) ou
(oF)-1
2 - 25
Resistência dos Materiais
2.8 - Problemas Envolvendo Variação da Temperatura
• Tratando o apoio adicional como redundante e
aplicando o princípio da superposição.
δ T = α ( ∆T ) L
δP =
α = coef. de dilatação térmica
− PL
AE
• A deformação térmica e a deformação da força
redundante devem ser compatíveis.
δ = δT + δ P = 0
α ( ∆T ) L −
PL
=0
AE
P = AEα ( ∆T )
σ=
−P
= − Eα ( ∆T )
A
2 - 26
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.5
A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a
temperatura é de +25 oC.
Determine as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para a
temperatura de -50 oC.
Dados: E = 200 GPa e α = 12×10-6/ oC.
2 - 27
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.6
Considere que a barra CDE seja rígida. O cilindro de latão BD tem
área da seção transversal igual a 70,7×10-5 m2 e o parafuso AC tem
área de 38×10-5 m2 . A estrutura é montada sem nenhum aperto à
temperatura T = 20 oC. Determine a tensão no cilindro BD quando
sua temperatura é aumentada para 50oC.
Dados:
Parafuso de aço com
E = 200 GPa e α = 12×10-6/ oC.
Cilindro de latão com
E = 105 GPa e α = 18,8×10-6/ oC.
2 - 28
Resistência dos Materiais
2.9 - Coeficiente de Poisson
• Para uma barra delgada homogênea, carregada
axialmente:
σ
εx = x σ y =σz = 0
E
• O alongamento por uma força P (direção x) é
acompanhado por uma contração em qualquer
direção transversal. Assumindo que o material
é isotrópico (propriedades não dependem da
direção),
εy = εz ≠ 0
• Coeficiente de Poisson é definido como
ν=
εy
ε
deformação específica transversal
=− =− z
εx
εx
deformação específica longitudinal
2 - 29
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.7
A barra mostrada é de material homogêneo e isotrópico. Sob a ação
da carga axial de 12 kN, o comprimento da barra aumenta em 300 µm
e seu diâmetro se reduz em 2,4 µm. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.
2 - 30
Resistência dos Materiais
2.10 - Generalização da Lei de Hooke
• Para um elemento sujeito a um carregamento
multiaxial, os componentes de deformação
normal resultantes dos componentes de tensão
podem ser determinados do princípio da
superposição.
1) deformação está linearmente relacionada à
tensão
2) deformações são pequenas
• Com essas restrições:
σ νσ y νσ z
−
εx = + x −
E
εy = −
εz = −
νσ x
E
νσ x
E
E
+
−
E
σ y νσ z
E
νσ y
−
E
σ
+ z
E
E
2 - 31
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.8
Um bloco de aço foi submetido à pressão uniforme P em todas as
faces. A aresta AB contraiu de 24 µm. Determine: (a) a variação do
comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão P aplicada nas
faces. Dados: E = 200 GPa e ν = 0,29.
2 - 32
Resistência dos Materiais
2.11 - Dilatação Volumétrica: Módulo de Elast. de Volume
• Com relação ao estado sem tensão, a mudança no
volume é
e = (1 + ε x ) (1 + ε y ) (1 + ε z )  − 1 = 1 + ε x + ε y + ε z  − 1
1 − 2ν
(σx + σ y + σz )
E
= dilatação volumétrica
= εx + ε y + εz =
(mudança no volume por unidade de volume)
• Para um elemento sujeito à pressão hidrostática
uniforme,
3 (1 − 2ν )
P
e = −P
k=
E
=−
k
E
= módulo de elast. volume
3 (1 − 2ν )
• Sujeito a uma pressão uniforme, a dilatação deve
ser negativa, portanto
0 < ν < 12
2 - 33
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.9
Determine a variação de volume do bloco de aço sob pressão
hidrostática P = 180 MPa.
Dados: E = 200 GPa e ν = 0,29.
2 - 34
Resistência dos Materiais
2.12 - Deformação de Cisalhamento
• Um cubo elementar sujeito a tensões de
cisalhamento se deformará como um
paralelepípedo oblíquo (ou rombóide).
• A deformação de cisalhamento correspondente
é quantificada em termos da mudança no
ângulo entre os lados,
τ xy = f (γ xy )
• O pequeno ângulo γxy (deformação de cisalhamento, expressa em radianos) define a distorção
do cubo.
2 - 35
Resistência dos Materiais
2.12 - Deformação de Cisalhamento
• Um diagrama da tensão cisalhamento vs.
deformação de cisalhamento é semelhante ao
diagrama da tensão normal vs. deformação
normal. Para pequenas deformações,
τxy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τzx = Gγ zx
onde G é o módulo de rigidez ou módulo de
cisalhamento ou módulo de elasticidade
transversal.
• Esta expressão é conhecida como a lei de
Hooke para tensões e deformações de
cisalhamento.
2 - 36
Resistência dos Materiais
2.12 - Deformação de Cisalhamento
• Para materiais homogêneos e isotrópico, a lei
de Hooke na forma generalizada é:
εx = +
εy = −
εz = −
σ x νσ y νσ z
E
−
νσ x
E
E
+
−
σ y νσ z
E
−
νσ x νσ y
E
−
E
E
+
E
σz
E
e
γ xy =
τ xy
G
; γ yz =
τ yz
G
; γ zx =
τ zx
G
2 - 37
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.10
Um bloco retangular é feito de material com G = 600 MPa. O bloco
é colocado entre duas chapas horizontais rígidas. A chapa inferior é
fixa, enquanto a chapa superior é sujeita a uma força horizontal P.
Sabendo que a chapa superior se move 0,8 mm sob a ação da força P,
determine: (a) a deformação de cisalhamento média no bloco; (b) a
força P necessária que atua na chapa superior.
2 - 38
Resistência dos Materiais
SOLUÇÃO:
(a) Determine a deformação angular
média ou a deformação de
cisalhamento do bloco
γ xy ≈ tan γ xy =
0,8mm
40 mm
γ xy = 0,020 rad
(b) Aplique a lei de Hooke para a tensão de cisalhamento e deformação para
encontrar a tensão de cisalhamento correspondente.
τ xy = Gγ xy = ( 600 MPa )( 0,020 rad ) = 12 MPa
• Use a definição de tensão de cisalhamento para encontrar a força P.
P = τ xy A = (12 ×106 Pa ) ( 0,160 m )( 0,050 m ) = 96 ×103 N
P = 96 kN
2 - 39
Resistência dos Materiais
2.13 - Relação entre E, ν e G
• Uma barra delgada carregada por uma
força axial P apresenta alongamento na
direção axial e contração nas direções
transversas.
• Um elemento cúbico orientado como na
figura (a) se deformará em um
paralelepípedo retangular. A carga axial
produz apenas deformação normal.
• Se um cubo elementar é orientado como
na figura (b), a face mostrada na figura se
transforma em um losango. A carga axial
também produz uma deformação de
cisalhamento, além da normal.
• As constantes E, ν e G se relacionam
como:
E
G=
2 (1 + ν )
2 - 40
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.11
Um círculo de diâmetro d = 230 mm é desenhado em uma chapa de alumínio
com espessura t = 20 mm. Forças agindo no plano da chapa causam tensões
normais σx = 84 MPa e σz = 140 MPa. Para E = 70 GPa e ν = 1/3, determine
as variações que ocorrem:
a) No comprimento do diâmetro AB,
b) No comprimento do diâmetro CD,
c) Na espessura da chapa, e
d) No volume da chapa.
2 - 41
Resistência dos Materiais
SOLUÇÃO:
• Deslocamentos:
• Aplicando a lei de Hooke
δ AB = ε x d = ( +533 ×10−6 m/m ) ( 230 mm )
generalizada para encontrar as três
componentes da deformação
δ AB = +122,6 ×10−3 mm
normal:
δ CD = ε z d = ( +1600 ×10−6 m/m ) ( 230 mm )
σ x νσ y νσ z
−
εx = + −
E
E
E
δ CD = +368 ×10−3 mm
1 
140 
−6
δ
=
ε
t
=
−
1067
×
10
m/m ) ( 20 mm )
(
=
84
−
0
−
t
y
70 × 103 
3 
δ t = −21,3 × 10−3 mm
−6
= +533 × 10 m/m
νσ σ νσ
• Variação do volume:
εy = − x + y − z
E
E
E
e = ε x + ε y + ε z = ( 533 − 1067 + 1600 ) ×10−6
= −1067 ×10−6 m/m
= 1067 × 10−6
νσ νσ σ
∆V = eV = 1067 × 10−6 ( 380 × 380 × 20 )
εz = − x − y + z
E
E
E
∆V = +3081 mm3
= +1600 × 10−6 m/m
2 - 42
Resistência dos Materiais
Princípio de Saint-Venant
• Cargas transmitidas por placas rígidas
resultam em uma distribuição uniforme
de tensão e deformação.
• Cargas concentradas resultam em
grandes valores de tensão na vizinhança
do ponto de aplicação da carga.
• A distribuição de tensões e
deformações torna-se uniforme em
uma distância relativamente pequena
dos pontos de aplicação das cargas.
• Princípio de Saint-Venant:
a distribuição de tensão pode ser
adotada independente do modo de
aplicação do carregamento, exceto na
vizinhança do ponto de aplicação da
carga.
2 - 43
Resistência dos Materiais
Materiais Compósitos
• Materiais compósitos são formados de lâminas de
fibras de grafite, vidro ou polímeros incrustados
em uma resina matriz.
• Tensões normais e deformações são relacionadas
à lei de Hooke, mas com módulo de elasticidade
dependente da direção,
σy
σ
σ
Ex = x E y =
Ez = z
εx
εy
εz
• As contrações transversais são relacionadas pelos
valores dos coeficientes de Poisson dependentes da
direção, ou seja,
ν xy = −
εy
εx
ν xz = −
εz
εx
• Materias com as propriedades mecânicas dependentes
da direção são conhecidos como anisotrópicos.
2 - 44
Resistência dos Materiais
Concentração de tensão: Furo
Descontinuidades na seção transversal
podem resultar em altas tensões
localizadas ou concentradas.
σ
K = max
σ ave
2 - 45
Resistência dos Materiais
Concentração de tensão: Filete (cantos arredondados)
2 - 46
Resistência dos Materiais
Exemplo 2.12
Determine a maior carga axial P que pode ser seguramente
suportada por uma barra plana de aço consistindo de duas porções,
ambas com 10 mm de espessura, e respectivamente com 40 e 60
mm largura, conectadas por filetes de raio r = 8 mm. Assuma que
a tensão normal admissível seja de 165 MPa.
2 - 47
Resistência dos Materiais
SOLUÇÃO:
• Determine as razões geométricas e
encontre o fator de concentração de
tensão pela Fig. 2.64b.
D 60 mm
=
= 1, 50
d 40 mm
K = 1,82
8 mm
r
=
= 0, 20
d 40 mm
• Encontre a tensão normal média
admissível usando a tensão normal
admissível do material e o fator de
concentração de tensão.
σ
165 MPa
σ med = max =
= 90, 7 MPa
K
1,82
• Aplique a definição da tensão
normal para encontrar a carga
admissível.
P = Aσmed = ( 40 mm )(10 mm )( 90, 7 MPa )
= 36,3 ×103 N
P = 36,3kN
2 - 48