Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
2009
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C667
Carvalho, Ana Márcia Fernandes Tucci de.; Gomes, Marilda
Trecenti.; Pires, Magna Natália Marin. / Fundamentos
Teóricos do Pensamento Matemático. / Ana Márcia Fernandes
Tucci de Carvalho. Magna Natália Marin Pires. Marilda Trecenti
Gomes. — Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2009.
304 p.
ISBN: 978-85-387-0159-0
1. Matemática (História). 2. Matemática - Fundamentos. 3. Filosofia
da Ciência. I. Título. II. Pires, Magna Natália Marin. III. Gomes,
Marilda Trecenti.
CDD 501
Capa: IESDE Brasil S.A.
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Magna Natália Marin Pires
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR).
Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de
Londrina (UEL). Licenciada em Matemática pela UEL.
Marilda Trecenti Gomes
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR).
Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de
Londrina (UEL). Graduada em Matemática pelo Centro de Estudos Superiores de Londrina, em Química pela Fundação Faculdade Estadual de
Filosofia, Ciências e Letras de Cornélio Procópio e em Ciências pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista
Júlio de Mesquita Filho. Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Matemática pela Unicamp.
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Sumário
Resolução de problemas........................................................ 15
O que é um problema?............................................................................................................. 17
Etapas para resolução de problemas.................................................................................. 22
A construção do conceito de número............................... 31
Classificação................................................................................................................................. 31
Seriação......................................................................................................................................... 33
Correspondência – equivalência numérica...................................................................... 34
Materiais que podem ser utilizados para as operações de
classificação e seriação............................................................................................................ 36
Conhecimento lógico-matemático..................................... 45
Conhecimento físico................................................................................................................. 45
Conhecimento social................................................................................................................ 45
Conhecimento lógico-matemático...................................................................................... 46
Abstração empírica e abstração reflexiva.......................................................................... 47
O jogo............................................................................................................................................. 49
O desenvolvimento histórico do sistema de
numeração decimal.................................................................. 55
A invenção da base.................................................................................................................... 57
Base 10........................................................................................................................................... 57
O aparecimento do zero.......................................................................................................... 60
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Discussão de processos e desenvolvimento
histórico de algoritmos de algumas
operações fundamentais........................................................ 69
Ideias das quatro operações fundamentais..................... 81
Ideias da adição.......................................................................................................................... 81
Ideias da subtração.................................................................................................................... 82
Método da compensação na subtração............................................................................ 84
Processo curto da divisão........................................................................................................ 84
Ideias da multiplicação............................................................................................................. 86
Ideias da divisão.......................................................................................................................... 86
Compreensão dos números racionais: frações............... 95
Operações com frações............................................................................................................ 97
O conceito de frações ­aplicado a todos contínuos......................................................100
O conceito de frações aplicado a todos discretos........................................................101
Alguns obstáculos....................................................................................................................102
Os decimais...............................................................................109
Comparação entre decimais................................................................................................111
Operações com decimais......................................................................................................112
A construção do pensamento geométrico....................123
Alguns fatos históricos...........................................................................................................123
Sentido das medidas..............................................................137
Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis .................................................................140
As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental........................................140
Área e perímetro ....................................................................149
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O pensamento algébrico......................................................159
Histórico.......................................................................................................................................159
Concepções da Álgebra.........................................................................................................160
A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental.................................................162
Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico.....163
Conceitos fundamentais da proporcionalidade..........175
Grandezas diretamente proporcionais.............................................................................177
Grandezas inversamente proporcionais..........................................................................178
A proporcionalidade nas séries iniciais............................................................................179
Introdução à Estatística.........................................................189
Avaliação em Matemática....................................................201
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo
entre aquele que ensina e aquele que aprende..........217
O domínio afetivo....................................................................................................................217
O significado do afeto............................................................................................................221
Desenvolver a dimensão afetiva.........................................................................................222
A linguagem matemática e os (des)encontros
com a linguagem cotidiana.................................................229
O problema da agência de viagens – linguagem natural versus
linguagem matemática..........................................................................................................230
Os desencontros da linguagem matemática.................................................................232
Questões para refletir sobre a linguagem matemática..............................................234
Os problemas da solução:dificuldades
com a metodologia da “resolução de problemas”.......243
Os desafios da metodologia da resolução de problemas.........................................243
Problemas com a metodologiada resolução de problemas.....................................244
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Outras questões........................................................................................................................248
Sugestões de problemas.......................................................................................................249
A Geometria Plana e a Geometria Espacial:
o que vemos e o que vivemos............................................257
Os povos antigos já sabiam..................................................................................................257
Os problemas que encontramos hoje:
dificuldades dos alunos e dos professores.....................................................................258
Possibilidades metodológicas e pedagógicas...............................................................262
Por que (–1) x (–1) = 1?:
operações com os números inteiros................................269
Números relativos....................................................................................................................269
Por que (–1) x (–1) = 1?...........................................................................................................272
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Apresentação
Caro Estudante
Essa obra aborda diversos conteúdos matemáticos que são trabalhados
nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A intenção das autoras é fazer uma
reflexão, junto aos futuros professores destas séries, de forma a possibilitar a compreensão de conceitos e significados presentes nos referidos conteúdos.
O livro é composto por vinte capítulos.
O primeiro capítulo intitulado Resolução de Problemas, discute uma estratégia de ensino que é recomendado por currículos do mundo inteiro.
O segundo capítulo, A Construção do Conceito de Número, apresenta as
operações de classificação e seriação como fundamentais no processo de construção do conceito de número.
O terceiro capítulo, Conhecimento Lógico-Matemático, define conhecimento físico, conhecimento social e finalmente o conhecimento lógico-matemático; aborda também a questão da abstração empírica e a abstração reflexiva,
fatores importantes na construção de relações.
O quarto capítulo, intitulado como O Desenvolvimento Histórico do Sistema de Numeração Decimal, aborda o sistema de numeração que usamos fazendo
um breve relato do seu desenvolvimento histórico.
O quinto capítulo, Discussão de Processos e Desenvolvimento Histórico
de Algoritmos de Algumas Operações Fundamentais, mostra algumas formas de
somar e multiplicar utilizadas por povos da antiguidade.
O sexto capítulo, Ideias das Quatro Operações Fundamentais, chama a
atenção do professor para as diferentes ideias que cada operação pode assumir,
fator importante na construção do conhecimento matemático.
No sétimo capítulo, Compreensão dos Números Racionais: Frações, discute o conceito de frações e procura justificar os procedimentos algorítmicos das
operações realizadas com frações.
O oitavo capítulo, Os Decimais, apresenta o número com vírgula e aborda
as operações fundamentais neste campo numérico.
No nono capítulo A Construção do Pensamento Geométrico, são apresentados alguns elementos históricos da Geometria, apresenta esse campo da Matemática valorizando a exploração de objetos e ambientes naturais.
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O décimo capítulo, Sentido das Medidas, faz uma abordagem privilegiando o significado de medir, apresenta algumas unidades básicas, associando-as com a utilização
no dia-a-dia.
O décimo primeiro capítulo, intitulado Área e Perímetro, apresenta a diferença
entre esses dois conceitos e explora a área de algumas figuras geométricas.
O décimo segundo capítulo, O Pensamento Algébrico, apresenta as várias fases
do desenvolvimento da álgebra e sugere caminhos para a abordagem desse conteúdo
desde as séries iniciais do Ensino Fundamental.
O décimo terceiro capítulo, Conceitos Fundamentais da Proporcionalidade, discute várias estratégias de resolução que podem ser utilizadas para resolução de questões
que envolvem esse conteúdo.
O décimo quarto capítulo, intitulado Introdução à Estatística, apresenta as fases
do método estatístico assim como tabelas e gráficos, elementos essenciais na abordagem desse assunto.
O décimo quinto capítulo, Avaliação em Matemática, procura fazer uma abordagem construtiva da avaliação e discute vários instrumentos de avaliação.
Os cinco últimos capítulos discutem questões que, de algum modo, podem dificultar o ensino-aprendizagem da Matemática.
O décimo sexto capítulo Aprender sem Medo, discute o relacionamento afetivo
entre aquele que ensina e aquele que aprende. O décimo sétimo capítulo, intitulado A
Linguagem Matemática e os (Des)Encontros com a Linguagem Cotidiana, mostra como
essas duas formas de comunicação podem ser interpretadas pelos alunos.
O décimo oitavo capítulo, Os problemas da Solução, apresenta algumas dificuldades com a metodologia de “resolução de problemas”.
O décimo nono capítulo, A Geometria Plana e a Geometria Espacial, apresenta problemas mais comuns encontrados por estudantes quando estudam esses conteúdos.
O vigésimo e último capítulo, Por que (-1) x (-1) =1? aborda operações com números inteiros e discute algumas dificuldades encontradas para demonstrar alguns resultados nesse campo da matemática.
Ao tratar das questões descritas anteriormente, o objetivo é que você, futuro professor, possa se embasar teoricamente para poder desenvolver a educação matemática
na sala de aula.
As Autoras
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Resolução de problemas
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
[...] o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da
resolução de um problema – quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.
Thomas Butts
Se pretendemos tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que
a resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática,
é um excelente caminho para alcançarmos esse objetivo.
A resolução de problemas deve ser o ponto central de atenção do professor de Matemática e os problemas devem ser o ponto-chave para o
desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos problemas, os
estudantes podem:
investigar e compreender os conteúdos matemáticos;
desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos;
relacionar a Matemática com situações cotidianas;
ver a Matemática de forma atraente e desafiadora.
Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi a coluna vertebral da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”.
Educadores matemáticos acreditam ser necessário que os alunos se
tornem capazes de propor e resolver problemas, conhecer técnicas diversas, compreender as implicações matemáticas de um problema, trabalhar
em grupo para resolvê-lo, aplicar ideias matemáticas a problemas abertos,
acreditar na importância da resolução de problemas para a real aprendizagem da Matemática e na importância desta para a vida cotidiana.
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, sentindo-se
seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as categorias.
Que esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, aprender a raciocinar matematicamente, formular hipóteses e argumentar a validez de uma
hipótese.
Resolver problemas é a razão principal de se aprender e ensinar Matemática.
É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de pensar matematicamente e nas aplicações da Matemática na Educação Básica. Resolver problemas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma
nova situação, atendendo a um objetivo. Ao resolver problemas, o aluno desenvolve determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número
de situações. Dante (1995, p. 84) salienta que:
aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática.
Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o
objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos,
princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante.
Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na
construção das soluções das situações-problema.
Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos frente
a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a levantarem suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus colegas como e
por que determinada estratégia resolve ou não o problema.
É importante, também, que o professor considere dois fatores que desempenham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e as habilidades da criança para encontrar a solução. Esses fatores são construídos de acordo
com o repertório de problemas previamente resolvidos, daí a importância dos
alunos resolverem uma variedade de problemas.
Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas matemáticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, mesmo
que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse processo.
Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a ser resolvida.
Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva um sistema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se traduza uma
situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. Ou então o problema exige que se crie uma unidade de medida ou um instrumento de maior
precisão do que os dados pelos modelos usuais de medida.
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Resolução de problemas
O que é um problema?
Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um problema, mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um problema
é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer.
Em outras palavras, para que uma situação seja um problema, é necessário
que o sujeito:
esteja ciente dessa situação;
esteja interessado em resolver essa situação;
não tenha elementos necessários para proceder diretamente.
Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da resolução
de problemas, é necessário que conheça a classificação de questões matemáticas
a seguir, segundo Butts (1980).
Exercícios de reconhecimento
Esse tipo de exercício verifica apenas se o estudante reconhece ou relembra
um fato, uma definição ou um teorema.
Exemplos:
a) Assinale os desenhos que representam figuras planas.
1
2
3
4
Resposta: 1, 4.
b) Circule os números pares:
95 – 160 – 12 – 355 – 1 002 – 501 – 2
Resposta: 160, 12, 1 002, 2.
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Exercícios algorítmicos
Podem ser resolvidos com um algoritmo específico ou executando-se um
procedimento passo a passo.
Exemplos:
a) Arme e efetue:
32,7 + 1,34 =
Resposta:
+
32,7
1,34
34,04
b) Resolva a seguinte equação do 1.º grau:
y + 4 – 8y = 23
Resposta:
–7 y = 23 – 4
–7 y = 19
19
7
y = – 19
7
y=
Problemas de aplicação
Nessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções
requerem que o estudante:
faça a formulação simbólica do problema;
manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já
conhecidos, para então obter a resposta.
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Resolução de problemas
Exemplos:
a) Mamãe foi à feira e gastou R$4,00 com verduras e R$5,00 com frutas. Com
quanto voltou para casa se saiu com R$10,00?
Resposta:
Estratégia 1
R$4,00 + R$5,00 = R$9,00
R$10,00 – R$9,00 = R$1,00
Estratégia 2
Chamaremos de X a quantidade de dinheiro que sobrou
x + 5 + 4 = 10
x + 9 = 10
x = 10 – 9
x=1
Ela voltou para casa com R$1,00.
b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?
Resposta:
Chamaremos o tal número de x.
2 x + 7 = 13
2 x = 13 – 7
2x=6
x= 6
2
x=3
O número é 3.
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Problemas em aberto
Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para sua
resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos
conteúdos matemáticos num único problema.
Exemplos:
a) Numa sala, com bancos de dois lugares, a diretora da escola reuniu um
grupo de estudantes. Pediu que se sentassem de dois em dois nos bancos. Feito isso, sobraram 15 estudantes em pé. Para que ninguém ficasse em pé, a diretora pediu que os estudantes se sentassem de três em
três nos bancos. Dessa forma, nenhum estudante ficou em pé, mas cinco
bancos ficaram vazios. Finalmente, ela pediu que os meninos se sentassem de dois em dois, ocupando a metade dos bancos, e que as meninas
ocupassem a outra metade dos bancos, sentando-se de três em três. Assim, nenhum estudante ficou em pé e nenhum banco ficou vazio.
Quantos são os estudantes? Quantas são as meninas? Quantos são os
meninos? Quantos são os bancos?
Resposta:

Chamaremos de x o número de bancos e de y o número de estudantes.
2 x + 15 = y
3 x – 15 = y
2 x + 15 = 3 x – 15
15 = 3x – 2x – 15
15 + 15 = x
x = 30 bancos
Tomemos H como meninos e M como meninas.
2x
2
2
H = . 30
2
60
H=
2
H=
H = 30
2 x + 15 = y
2 . 30 + 15 = y
60 + 15 = y
y = 75 estudantes
M= 3x
2
3
M = . 30
2
90
M=
2
M = 45
30 meninos e 45 meninas, total de 75 alunos e 30 bancos.
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Resolução de problemas
b) O gavião chega a um pombal e diz:
– Adeus, minhas cem pombas!
– As pombas respondem em coro:
– Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você,
meu caro gavião, cem pássaros seremos então!
Quantas pombas estão no pombal?
Resposta:
Estratégia 1
100 – 1 = 99 (subtraímos o gavião).
99 : 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2
tantos, ou seja, 3).
Estratégia 2
Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos procurando:
x + 2 x + 1 = 100
3 x = 100 – 1
3 x = 99
99
3
x = 33
x=
Estão no pombal 33 pombas.
É importante ressaltar que a classificação dos problemas depende também
do conhecimento do resolvedor. O problema das pombas, que foi apresentado
anteriormente, pode ser classificado como problema de aplicação se o resolvedor encontrar a solução utizando uma equação do primeiro grau, por exemplo;
porém, se o resolvedor utilizar outra estratégia, ele pode ser considerado como
um problema em aberto.
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Situações-problema
Nessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um
dos passos principais é identificar o problema inerente para, num passo seguinte, resolvê-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é
satisfatória. Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo
problema deve ser identificado, e o processo deve ter continuação até que a
solução ideal se apresente.
Exemplos:
a) Esboce um estacionamento.
b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma
semana.
Nota-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de
reconhecimento e exercícios algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não
permitindo a exploração dos conhecimentos que eles trazem, nem o desenvolvimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com menor
intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja saber
se o aluno conhece fatos específicos do conteúdo.
Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas
em aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos
alunos, possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimento deles.
As categorias problemas em aberto e situações-problema são as que mais possibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, aprendizado significativo.
O conjunto de problemas encontrado nos livros de Matemática não é suficientemente extenso, nem variado o bastante para dar ao aluno um conjunto adequado de questões. O professor pode complementar esses problemas com outros
inventados por ele mesmo ou retirados de livros paradidáticos ou periódicos
da área. Assim, pode organizar seu próprio repertório, extenso e variado, com o
objetivo de se preparar para o trabalho com problemas criativos e reais.
Etapas para resolução de problemas
Segundo Polya (1994), para se obter sucesso na resolução de problemas
é necessário observar as seguintes etapas:
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Resolução de problemas
1. compreender o problema;
2. elaborar um plano;
3. executar o plano;
4. fazer a verificação ou o retrospecto.
Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou considerações
que ajudem os alunos na resolução dos problemas, conforme os exemplos a
seguir.
Compreender o problema:
a) O que se pede no problema?
b) Quais são os dados e as condições do problema?
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
d) É possível estimar a resposta?
Elaborar um plano:
a) Qual é o seu plano para resolver o problema?
b) Que estratégia você tentará?
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
e) Tente resolver o problema por partes.
Executar o plano:
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.
c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema.
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Fazer retrospecto ou verificação:
a) Examine se a solução obtida está correta.
b) Existe outra maneira de resolver o problema proposto?
c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?
Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve fazer
o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. Agindo
assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não passivamente, “observando” a Matemática “ser feita” pelo professor.
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de
descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, mas se desafiar
a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios
meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade
susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca
na mente e no caráter. (POLYA, 1994, p. 48)
O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e
interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais algoritmos.
É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que leiam e compreendam o problema, certificando-se de que foi entendido por todos. Infelizmente,
uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é o momento
de leitura e compreensão do texto.
Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e descoberta,
deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta é pensar
e trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo.
O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e valorizar a
análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução e à revisão
da solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta correta.
Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na resolução
de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por que sua ação
foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de retrospecto e
verificação da resolução.
Primordialmente, deve-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a função de
orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais facilmente, podendo-se perceber como pensam e encaminham a solução do problema, que es24
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Resolução de problemas
tratégias tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. O professor, discretamente, pode propiciar aos alunos “ideias brilhantes”, fazendo com que se
lembrem de fatos e os utilizem adequadamente. É importante proporcionar ao
aluno a satisfação de tê-las obtido. Alunos resolvedores de problemas se sentem
seguros e, em geral, demonstram grande interesse pela Matemática.
Texto complementar
Sobre a resolução de problemas
(BURIASCO, 1995, p. 1)
Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a resolução de problemas, assim chamada porque considera que o estudo da Matemática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve
ser desenvolvido sempre partindo de problemas. Examinemos o quadro
abaixo:
Esquema de aula
Esquema de aula
na tendência tradicional
na tendência de resolução de problemas
O professor explica a matéria
(teoria).
O professor apresenta um problema escolhido por
ele ou pelo(s) aluno(s).
O professor mostra exemplos.
Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que possuem.
Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta
O professor propõe “exercícios”
de algum conteúdo necessário para a resolução do
semelhantes aos exemplos dados
problema), o professor apresenta, de alguma forma,
para que os alunos resolvam.
esse conteúdo.
Resolvido o problema, os alunos discutem sua soO professor (ou um aluno) resolve lução; se necessário, com a ajuda do professor. Essa
no quadro-de-giz os exercícios.
discussão envolve todos os aspectos da resolução do
problema, inclusive os do conteúdo necessário.
O professor propõe aos alunos
outros “exercícios” já não tão se- O professor apresenta outro problema escolhido por
melhantes aos exemplos que ele ele ou pelo(s) aluno(s).
resolveu.
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Esquema de aula
Esquema de aula
na tendência tradicional
na tendência de resolução de problemas
O professor (ou um aluno) resolve
os exercícios no quadro-de-giz.
O professor propõe “problemas”,
se for o caso, ou mais “exercícios”.
Correção dos “problemas” e dos
“exercícios”.
O professor começa outro assunto.
De acordo com essa tendência, o prazer em estudar Matemática é a alegria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na
resolução, maior a satisfação.
Na proposta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas,
uma das questões mais importantes é como apresentar um problema, de
modo que os alunos:
queiram resolvê-lo;
compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução.
Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência
do professor, nas aulas de Matemática, ensinar a arte de resolvê-los.
Dicas de estudo
Ler o livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática
Autor: Luiz Roberto Dante.
Editora: Ática.
A obra explora um pouco sobre a teoria de Resolução de Problemas e depois
apresenta uma coletânea de problemas interessantes que podem ser trabalhados desde a pré-escola.
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Resolução de problemas
Atividades
1. Classifique os seguintes problemas segundo as categorias de Thomas Butts.
a) Quantas lajotas quadradas, de 30cm de lado, preciso para ladrilhar uma
varanda de 10m de comprimento por 6m de largura?
b) Construa, em um material à parte, a maquete de um campo de futebol.
c) Utilizando medidas inteiras, encontre dez retângulos que tenham perímetro igual a 80cm.
d) O triângulo que possui um ângulo de 90º é chamado:
e) Quais são os valores de n para 7n + 4 > 8?
2. Dez moedas estão dispostas formando um triângulo, como na figura I. Movimentando apenas três moedas, obtenha a formação triangular da figura II.
Figura I
Figura II
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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
3. O número 30 pode ser expresso por 5 x 5 + 5. Agora, expresse:
a) o número 100, usando quatro vezes o algarismo 9;
b) o número 34, usando quatro vezes o algarismo 3;
c) o número 31, usando somente o algarismo 3, quantas vezes queira.
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Resolução de problemas
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Gabarito
Resolução de problemas
1.
a) Problema de aplicação.
b) Situação-problema.
c) Problema em aberto.
d) Exercício de reconhecimento.
e) Exercício algorítmico.
2. Movimentando moedas da figura I:
1.º) retire as duas moedas das extremidades da primeira linha e leve-as uma do lado de uma das moedas da penúltima linha e outra
ao lado da outra moeda da penúltima linha.
2.º) retire a única moeda da última linha e leve-a acima do espaço intermediário entre as duas moedas que restaram na primeira
linha.
3.
9
a) 100 = + 99
9
3
b) 34 = + 33
3
3
c) 31 = 33 + − 3
3
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