Integrais Duplas
Sejam um retângulo S = [a, b] x [c, d]  R2 e f: S  R
uma função de duas variáveis, limitada e tal que f(x,y)  0
" (x, y)  S.
Consideremos o seguinte problema:
Calcular o volume V da região do espaço limitado pelo
plano XOY e a superfície z = f(x, y), tal que (x, y)  S.
Tomamos n e m números naturais quaisquer, números reais quaisquer
a = x0 < x1 < x2 < ...< xn = b e c = y0 < y1 < y2 < ...< ym = d,
os
"sub-retângulos"
de S, Aij = [xi-1, xi] ´ [yj-1, yj]
e pontos
Pij quaisquer do plano tais que Pij  Aij
Tomamos a área de cada um dos retângulos Aij:
O volume do paralelepípedo retângulo de base Aij e altura
f(Pij): D Vij = f(Pij). D Aij.
Consideramos a soma desses volumes como uma estimativa
para o volume V, isto é
O volume V, caso exista, é obtido fazendo as dimensões dos
retângulos Aij tenderem para 0, o que se consegue fazendo o
máximo de todas as diagonais tender para 0. Indicando a
diagonal do retângulo Aij por dij temos
Ou seja
Definições :
• Uma função f(x, y) definida e limitada no retângulo
S = [a, b] ´ [c, d] é integrável em S se existe (e é finito) o
limite
• Se f(x, y) é integrável em S então sua integral ou sua
integral dupla em S é igual a I
É claro que se f(x, y) 0 então I é o volume V do
sólido especificado acima. Se f(x, y)  0 então V = - I.
Proposição: Se f(x, y) é contínua em S então f(x, y) é
integrável em S.
Propriedades operatórias da integral dupla
Sejam f(x, y) e g(x, y) integráveis no retângulo S e c  R então:
1) f(x, y) + g(x, y) é integrável em S e
2) c.f(x, y) é integrável em S e
Integrais Iteradas ou Repetidas
Da mesma forma que temos as derivadas parciais, temos também as
integrais iteradas.
Neste caso integramos uma variável por vez, fixando as outras
Definição : Seja f(x, y) definida no retângulo S = [a, b] ´ [c, d]. Se " y fixo
e pertencente a [c, d] a função em x f(x, y) é integrável em [a, b] e a
função
é integrável em [c,d] então temos a integral
iterada
Proposição: Se f(x, y) é integrável no retângulo S = [a, b] ´ [c, d] e
" y [c, d] a função g(x) = f(x, y) é integrável em [a,b] então
Analogamente, se g2(y) = f(x, y) é integrável " x, então
Interpretação geométrica
Para o caso f(x,y)  0:
Observações:
1.1) Se f(x,y) satisfaz a essa proposição então podemos
trocar a ordem nas integrais iteradas sem mudar o resultado
isto é,
1.2) Se f(x,y) é contínua no retângulo S então satisfaz a esta
proposição (pois, neste caso, f(x, y) é integrável em S e " y fixo a
função g(x) = f(x,y) é continua e portanto integrável)
Exemplo : Determinar o volume do sólido limitado pela superfície
z = x2 + y2 e o eixo OX e tal que (x, y)  S = [-2, 2] ´ [-2, 2].
Esta superfície é um parabolóide de revolução.
Proposição : Sejam S = [a, b] x [c, d], f(x, y) definida e limitada em S e
C  S uma curva dada por y = y(x) ou x = x(y), funções de uma
variável, contínuas num intervalo fechado. Se f(x, y) é contínua em
S - C então f(x, y) é integrável em S.
Exemplo : Sejam S = [-1, 1] x [0, 1] e
f(x, y) só não é contínua sobre a curva
y(x) = 1 - x2 com x [-1, 1]. f(x, y) é
integrável em S. Vamos calcular sua
integral:
Observação : Dada uma função f(x,y) e uma
região D do plano, consideramos um
retângulo S de lados paralelos aos eixos OX
e OY que contenha a região D e uma função
h(x,y) que coincida com a função f(x,y) em D
e seja nula em pontos do retângulo que não
estejam na região D. Assim, apenas os
pontos da região
contribuirão para o
cálculo da integral.
Cálculo de área usando integral dupla
Podemos usar a integral dupla para calcular a área de uma região plana
R, considerando que numericamente o valor da área é igual ao volume
do cilindro cuja base é a região R e cuja altura é (constante) igual a
1.Ou seja tomamos a integral dupla da função constante f(x,y) = 1