Ficha 5 – Funções e Gráficos
5.1. Fibonacci - fib.m
Especifique a função de Fibonacci, que para para um número natural n é definida por:
1
n≤2

fib( n ) = 
 fib( n − 1 ) + fib( n − 2 ) n > 2
Use um algoritmo iterativo, começando por determinar os números por ordem crescente até atingir
o pretendido.
a) Desenhe o gráfico da função fib(n), e compare-o com o gráfico da função g(n) = 1.6n-1.
5.2. Número de Ouro – ouro.m
A razão entre dois números consecutivos de fibonacci tende para o número de ouro
k = (1+ sqrt(5))/2 ≈ 1.6180
Pretende-se avaliar a convergência desta razão, para valores crescentes de n, através da chamada
ouro(n). A função utiliza a função anterior fib(n) e vai calculando o limite da série fib(n)/fib(n+1)
para valores crescentes de n. A comparação é feita através de dois valores
Ouro1 = fib(i)/fib(i-1)
Ouro2 = fib(i+1)/fib(i)
a) Obter a razão de ouro para vários valores da precisão e observar a convergência da série em
função do número de iterações necessárias.
b) Desenhe o gráfico da razão em função de n, e compare-o com o valor (constante) de k.
5.3. Cálculo de - pi_i.m
Existem várias formas de obter uma aproximação do número π. Entre elas estão as seguintes
1.
π /4 = 1-1/3+ 1/5-1/7+1/9-1/11 +...
2.
π 2/6 = 1 +1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52
3.
π /2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * 8/7
4.
2 / π = = 1 / 2 ⋅ 1 / 2 + 1 / 2 1 / 2 ⋅ 1 / 2 + 1 / 2 1 / 2 + 1 / 2 1 / 2 ⋅ ... .
a) Escreva funções pi_1(n), pi_2(n), pi_3(n) e pi_4(n), que permitam obter o valor de π através
das diferentes fórmulas acima indicadas, e em que n é o número de iterações efectuadas..
b) Para cada uma das fórmulas acima verifique a sua convergência, desenhando um gráfico
com o aproximação de π em função de n.
5.5. Cálculo de pi pelos polígonos inscrito e circunscrito (pi_5.m e pi_6.m)
O valor aproximado de π foi obtido há mais de 2000 anos por Arquimedes, que utilizou as seguintes
propriedades dos polígonos regulares, inscritos e circunscritos numa circunferência.
1) Polígono inscrito (pi_5(x)) – O comprimento x do lado de um polígono de 2n lados inscrito
numa circunferência pode ser obtido do comprimento y de um polígono de n lados inscrito
na mesma circunferência através da fórmula
x = 2 − 4 − y2
Especifique a função pi_5(n), que aproxima o valor de π, por defeito, através da
determinação do perímetro de polígonos inscritos numa circunferência de raio 1, cujo
número de lados vai duplicando, sendo n é o número de iterações efectuadas. Utilize como
polígono inicial o hexágono, cujo lado é igual ao raio (isto é 1).
2) Polígono circunscrito (pi_6(x))– O comprimento x do lado de um polígono de 2n lados que
circunscreve uma circunferência pode ser obtido do comprimento y de um polígono de n
lados que circunscreve a mesma circunferência através da fórmula
x=
(
2 4 + y2 − 2
y
)
Especifique a função pi_6(n), que aproxima o valor de π, por excesso, através da
determinação do perímetro de polígonos circunscritos numa circunferência de raio 1, cujo
número de lados vai duplicando, sendo n é o número de iterações efectuadas. Utilize como
polígono inicial o quadrado, cujo lado é igual ao diâmetro (isto é 2).
3) Verifique a convergência do processo, através do gráfico dos valores por defeito e excesso
de π obtidos nas várias iterações.