Para Que Servem Os Números Irracionais?
Manifestações em Aritmética, Combinatória e Geometria
Graziele Souza Mózer1
1 Colégio
2 Universidade
Humberto José Bortolossi2
Pedro II - RJ
Federal Fluminense - RJ
VII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática – UFAL
2 a 6 de novembro de 2014
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
1
Introdução
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
2
Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:
Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.
Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:
Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
√
Erro frenquente: “π é 3,14” e “ 3 é 1,73”
É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas e
volumes.
O aluno não√se depara com situações onde ele precisa usar o fato
de que π e 3 são números irracionais.
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Para Que Servem Os Números irracionais?
3
Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:
Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.
Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:
Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
√
Erro frenquente: “π é 3,14” e “ 3 é 1,73”
É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas e
volumes.
O aluno não√se depara com situações onde ele precisa usar o fato
de que π e 3 são números irracionais.
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Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:
Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.
Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:
Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
√
Erro frenquente: “π é 3,14” e “ 3 é 1,73”
É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas e
volumes.
O aluno não√se depara com situações onde ele precisa usar o fato
de que π e 3 são números irracionais.
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Números irracionais
Os números irracionais no Ensino Básico:
Geometria e Equações no 8o ano do Ensino Fundamental.
Funções Reais e Geometria Espacial no 1o ano do Ensino Médio.
Dificuldades em se ensinar e se aprender o assunto:
Ferreira e Barros, Ripoll, Pasquini, Pommer, Santos, Souto.
√
Erro frenquente: “π é 3,14” e “ 3 é 1,73”
É o que se se faz, no final, no cálculo de comprimentos, áreas e
volumes.
O aluno não√se depara com situações onde ele precisa usar o fato
de que π e 3 são números irracionais.
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6
Números irracionais
“Se a razão entre a circunferência de um círculo e seu
diâmetro fosse escrita com 35 casas decimais, isto seria
suficiente para determinar toda a circunferência do universo
visível com um erro não maior do que o menor comprimento
visível no mais potente microscópio.”
Simon Newcomb (1882)
em Logarithmic and Other Mathematical Tables:
with Examples of Their Use and Hints
On The Art of Computation
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7
Números irracionais
NOSSA PROPOSTA
Em vez de relacionar números irracionais com cálculos
de perímetros, áreas e volumes ou soluções de equações
como costumam fazer muitos livros didáticos, neste
minicurso procuramos dar um enfoque diferente aos números
irracionais: apresentamos exemplos onde algo interessante
e não óbvio acontece porque um determinado número é
irracional.
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8
Números Irracionais e Geoplanos
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9
Geoplanos
<https://itunes.apple.com/en/app/geoboard-by-math-learning/id519896952>
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10
Jogo da classificação dos triângulos
Quem quer jogar?
<www.uff.br/cdme/jct/>
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Triângulos na malha quadrada
Faltou algum tipo especial de triângulo?
<http://www.geogebratube.org/student/m39903?mobile=true>
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
2
√
√
⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
`2
Contradição:
√
3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
2
√
√
⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
`2
Contradição:
√
3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
2
√
√
⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
`2
Contradição:
√
3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
2
√
√
⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
`2
Contradição:
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3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
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√
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⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
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4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
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Contradição:
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3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
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√
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3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
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4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
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Contradição:
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3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
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3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
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√
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3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
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4 af −2 (ab+cd+ef )
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3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
2
√
√
⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
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Contradição:
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3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
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√
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⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
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Contradição:
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3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via áreas). Suponha, por absurdo, que tal triângulo
equilátero exista (ver figura). Então
SABC = SEDCF − (SBFC + SAEB + SADC )
2
`
√
⇓
3/4 = af − (ab/2 + cd/2 + ef /2)
`
2
√
√
⇓
3 = 4 af − 2 (ab + cd + ef )
⇓
4 af − 2 (ab + cd + ef )
3=
.
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Contradição:
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3 é irracional e
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4 af −2 (ab+cd+ef )
`2
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
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Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
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tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
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1+tg(α)·tg(β)
é racional.
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3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas inteiras.
Demonstração (via trigonometria). Suponha, por absurdo, que tal
triângulo equilátero exista. Sem perda, suponha um de seus vértices
na origem (ver figura) com 0◦ ≤ β < 90◦ e β 6= 30◦ . Seja α = 60◦ + β.
60◦ = α − β
⇓
√
3 = tg(60◦ ) = tg(α − β) =
tg(α) − tg(β)
1 + tg(α) · tg(β)
tg(β) = y (C)/x(C) ∈ Q
tg(α) = y (B)/x(B) ∈ Q
Contradição:
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3 é irracional e
VII Bienal da SBM
tg(α)−tg(β)
1+tg(α)·tg(β)
é racional.
Para Que Servem Os Números irracionais?
36
√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Corolário: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas racionais.
Demonstração. Se, por absurdo, existisse um triângulo equilátero
com coordenadas racionais, multiplicando suas coordenadas por
um número inteiro suficientemente grande, obteríamos um triângulo
equilátero com coordenadas inteiras, o que contradiz o teorema
anterior.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
37
√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Corolário: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas racionais.
Demonstração. Se, por absurdo, existisse um triângulo equilátero
com coordenadas racionais, multiplicando suas coordenadas por
um número inteiro suficientemente grande, obteríamos um triângulo
equilátero com coordenadas inteiras, o que contradiz o teorema
anterior.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
38
√
3 e triângulos equiláteros em geoplanos
Corolário: não existe em R2 triângulo equilátero com vértices de
coordenadas racionais.
Demonstração. Se, por absurdo, existisse um triângulo equilátero
com coordenadas racionais, multiplicando suas coordenadas por
um número inteiro suficientemente grande, obteríamos um triângulo
equilátero com coordenadas inteiras, o que contradiz o teorema
anterior.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
39
Triângulos na malha isométrica
Quais tipos de triângulos podem ser construídos?
<http://tube.geogebra.org/student/m228141?mobile=true>
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
40
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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Para Que Servem Os Números irracionais?
41
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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42
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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Para Que Servem Os Números irracionais?
43
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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44
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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45
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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46
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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47
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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48
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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49
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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Para Que Servem Os Números irracionais?
50
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
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Para Que Servem Os Números irracionais?
51
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
52
√
3 e triângulos retângulos isósceles em geoplanos
Teorema: não existe em R2 triângulo retângulo isósceles com vértices
sobre os pontos de uma malha isométrica.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que tal triângulo exista (ver
figura).
Pontos A, B, C, D, E e F :
Medidas a, d e e:
Medidas b, c e f :
√
(i 3/2, j/2), i, j ∈ Z
√
i 3/2, com i ∈ Z
j/2, com j ∈ Z
SABC = SCDEF − (SACD + SABE + SBCF )
⇓
√
` /2 = af − (ef /2 + cd/2 + ab/2) = (r − t) 3
2
√
⇓
2
3 = (` /2)/ (r − t), r , t ∈ Q
Contradição:
√
3 é irracional e (`2 /2)/ (r − t) é racional.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
53
A vingança do triângulo equilátero
Corolário: não existe em R2 quadrado com vértices sobre os pontos
de uma malha isométrica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
54
A vingança do triângulo equilátero
Corolário: não existe em R2 quadrado com vértices sobre os pontos
de uma malha isométrica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
55
Quadriláteros na malha isométrica
Quais tipos de quadriláteros podem ser construídos?
<http://tube.geogebra.org/student/m228783?mobile=true>
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Para Que Servem Os Números irracionais?
56
Triângulos na malha cúbica em R3
Em R3 existe um triângulo equilátero com vértices
de coordenadas inteiras
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
57
Problemas de Matar
Discriminação contra judeus nos exames orais de acesso
ao Departamento de Mecânica e Matemática
da Universidade Estadual de Moscou nas décadas de 1970 e 1980
Fonte:
Tanya Khovanova e Alexey Radul. Killer Problems.
The American Mathematical Monthly, v. 119, n. 10, p. 815-823, 2012.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
58
Números Irracionais e Epiciclos
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
59
Números Irracionais e Epiciclos
<http://www.geogebratube.org/student/m41370?mobile=true>
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
60
Trajetórias periódicas
Definição. Dizemos que uma trajetória t 7→ (x(t), y (t)) é periódica
com período T > 0 se, para todo t ∈ R,
x(t + T ) = x(t)
e
y (t + T ) = y (t).
O menor T > 0, se existir, tal que x(t + T ) = x(t) e y (t + T ) = y (t)
para todo t ∈ R, é denominado o período fundamental da trajetória.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
61
Números irracionais e epiciclos
Teorema:
Um movimento epicíclico descreve uma trajetória periódica se,
m
w2 = 0 ou a razão w1 /w2 é um número racional caso w2 6= 0.
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
62
Números irracionais e epiciclos
Teorema:
Um movimento epicíclico descreve uma trajetória periódica se,
m
w2 = 0 ou a razão w1 /w2 é um número racional caso w2 6= 0.
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
63
Números irracionais e epiciclos
Teorema:
Um movimento epicíclico descreve uma trajetória periódica se,
m
w2 = 0 ou a razão w1 /w2 é um número racional caso w2 6= 0.
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
64
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
65
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
66
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
67
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
68
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
69
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
70
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
71
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
72
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 a
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
=
cos(w1 T ) =
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
73
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
74
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
75
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
76
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
r12 sen2 (w1 T ) = r22 sen2 (w2 T )
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
77
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
r12 [1 − cos2 (w1 T )] = r22 [1 − cos2 (w2 T )]
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
78
Demonstração (⇒)
Suponha que a trajetória seja periódica. Existe então T > 0 tal que x(T +t) =
x(t) e y (T + t) = y (t), para todo t ∈ R. Se w2 = 0, nada há para se fazer.
Suponha então que w2 6= 0. Fazendo t = 0, obtemos que x(T ) = x(0) e
y (T ) = y (0). Portanto:
r1 cos(w1 T ) + r2 cos(w2 T ) = r1 + r2
⇓
r1 + r2 − r2 cos(w2 T )
r1 + r2 − r2 a
cos(w1 T ) =
=
r1
r1
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(w2 T ) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = −r2 sen(w2 T )
⇓
"
r12
1−
VII Bienal da SBM
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
Para Que Servem Os Números irracionais?
79
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
80
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
81
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
82
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
83
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
84
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
85
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
86
Demonstração (⇒)
"
r12
1−
r1 + r2 − r2 a
r1
2 #
= r22 (1 − a2 )
⇓
r12
−
(r12
+
r22
+
r22 a2
+ 2r1 r2 − 2r1 r2 a − 2r22 a) = r22 (1 − a2 )
⇓
− 2r1 r2 + 2r1 r2 a + 2r22 a = 2r22
⇓
− r1 + r1 a + r2 a = r2
⇓
r1 (a − 1) = −r2 (a − 1)
⇓ (r1 6= −r2 )
a−1=0
⇓
cos(w2 T ) = 1
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
87
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1 T
qπ
q
w1
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
88
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
89
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
90
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
91
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
92
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
93
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
94
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
95
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
96
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
97
Demonstração (⇒)
cos(w2 T ) = 1
⇓
w2 T = 2k π, k ∈ Z
⇓
r1 sen(w1 T ) + r2 sen(2k π) = 0
⇓
r1 sen(w1 T ) = 0
⇓
sen(w1 T ) = 0
⇓
w1 T = qπ
⇓
w1
w1 T
qπ
q
=
=
=
é um número racional.
w2
w2 T
2k π
2k
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
98
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
99
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
100
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
101
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
102
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
103
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
104
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
105
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
106
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
107
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
108
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
109
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
110
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
111
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
112
Demonstração (⇐)
CASO w2 = 0.
Se w2 = 0, então x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 e y (t) = r2 sen(w1 t), ∀t ∈ R.
Subcaso w1 = 0.
Se w1 = 0, então x(t) = r1 + r2 e y (t) = 0, ∀t ∈ R. Em particular, a trajetória
t 7→ (x(t), y (t)) é periódica de período T , qualquer que seja T > 0.
Subcaso w1 6= 0.
Tome T = (2π/|w1 |). Então, para todo t ∈ R,
x(t + T )
y (t + T )
=
r1 cos(w1 (t + 2π/|w1 |)) + r2 = r1 cos(w1 t ± 2π) + r2
=
r1 cos(w1 t) + r2 = x(t),
=
r1 sen(w1 (t + 2π/|w1 |)) = r1 sen(w1 t ± 2π)
=
r1 sen(w1 t) = y (t).
Logo a trajetória do movimento epicíclico também é periódica se w1 6= 0.
Isto encerra o caso w2 = 0.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
113
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
114
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
115
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
116
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
117
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
118
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
119
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
120
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
121
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
=
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
122
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
123
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
124
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
125
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
126
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
127
Demonstração (⇐)
CASO w2 6= 0.
Aqui, w1 /w2 ∈ Q, digamos, w1 /w2 = a/b, com a e b inteiros, b com o mesmo
sinal de w2 . Tome T = 2bπ/w2 . Note que T > 0 e, para todo t ∈ R,
x(t + T )
=
=
r1 cos(w1 (t + T )) + r2 cos(w2 (t + T ))
r1 cos(w1 T ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 T ) +
r2 cos(w2 T ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 T )
=
r1 cos(w1 (2bπ/w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(w1 (2bπ/w2 )) +
r2 cos(w2 (2bπ/w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(w2 (2bπ/w2 ))
=
r1 cos(2bπ(w1 /w2 )) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(w1 /w2 )) +
r2 cos(2bπ(w2 /w2 )) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ(w2 /w2 ))
=
r1 cos(2bπ(a/b)) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2bπ(a/b)) +
=
r1 cos(2aπ) cos(w1 t) − r1 sen(w1 t) sen(2aπ) +
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
r2 cos(2bπ) cos(w2 t) − r2 sen(w2 t) sen(2bπ)
=
r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t) = x(t).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
128
Demonstração (⇐)
Argumentos análogos mostram que y (t + T ) = y (t) para todo t ∈ R. Logo,
T = 2bπ/w2 > 0 ⇒ x(t + T ) = x(t) e y (t + T ) = y (t), ∀t ∈ R.
Sendo assim, a trajetória do movimento epicíclico é periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
129
Demonstração (⇐)
Argumentos análogos mostram que y (t + T ) = y (t) para todo t ∈ R. Logo,
T = 2bπ/w2 > 0 ⇒ x(t + T ) = x(t) e y (t + T ) = y (t), ∀t ∈ R.
Sendo assim, a trajetória do movimento epicíclico é periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
130
Demonstração (⇐)
Argumentos análogos mostram que y (t + T ) = y (t) para todo t ∈ R. Logo,
T = 2bπ/w2 > 0 ⇒ x(t + T ) = x(t) e y (t + T ) = y (t), ∀t ∈ R.
Sendo assim, a trajetória do movimento epicíclico é periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
131
Epiciclos, Ptolomeu e movimentos aparentes
Livro Almagesto de Claudio Ptolomeu:
epiciclos para explicar o movimento retrógrado aparente dos planetas
<http://www.uff.br/cdme/epiciclos/epiciclos-html/epiciclos-t-01-2c-02-br.html>
(GeoGebra)
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
132
Epiciclos e Análise de Fourier
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t),
z(t) = x(t) + iy (t) = r1 eiw1 t + r2 eiw2 t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
133
Epiciclos e Análise de Fourier
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t),
z(t) = x(t) + iy (t) = r1 eiw1 t + r2 eiw2 t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
134
Epiciclos e Análise de Fourier
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t),
z(t) = x(t) + iy (t) = r1 eiw1 t + r2 eiw2 t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
135
Epiciclos e Análise de Fourier
x(t) = r1 cos(w1 t) + r2 cos(w2 t),
y (t) = r1 sen(w1 t) + r2 sen(w2 t),
z(t) = x(t) + iy (t) = r1 eiw1 t + r2 eiw2 t
E se acrescentarmos mais círculos? O que podemos desenhar?
<http://tube.geogebra.org/student/m233565?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233583?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m233591?mobile=true>
<http://tube.geogebra.org/student/m116478?mobile=true>
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
136
Números Irracionais e Espirógrafos
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
137
Números irracionais e espirógrafos
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
138
Números irracionais e espirógrafos
Hipotrocoides

R−r



θ
,
x(θ)
=
(R
−
r
)
cos(θ)
+
d
cos

r

R−r


θ .
 y (θ) = (R − r ) sen(θ) − d sen
r
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
139
Números irracionais e espirógrafos
Hipotrocoides

R−r



θ
,
x(θ)
=
(R
−
r
)
cos(θ)
+
d
cos

r

R−r


θ .
 y (θ) = (R − r ) sen(θ) − d sen
r
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
140
Números irracionais e espirógrafos
Hipotrocoides

R−r



θ
,
x(θ)
=
(R
−
r
)
cos(θ)
+
d
cos

r

R−r


θ .
 y (θ) = (R − r ) sen(θ) − d sen
r
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
141
Números irracionais e espirógrafos
Epitrocoides

R+r



x(θ)
=
(R
+
r
)
cos(θ)
−
d
cos
θ
,

r

R+r


θ .
 y (θ) = (R + r ) sen(θ) − d sen
r
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
142
Números irracionais e espirógrafos
Teorema:
hipotrocoides e epitrocoides são curvas periódicas
m
R/r é um número racional.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
143
Números Irracionais e Representações
Decimais
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
144
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 41 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
145
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 41 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
146
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 41 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
147
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
148
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
149
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
150
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
151
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
152
Números irracionais e representações decimais
O que é uma representação decimal?
Qual é o significado de 2506?
Qual é o significado de 0,25? Por que 0,25 = 14 ?
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .? Por que 0,3 = 13 ?
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .? Por que 0,9 = 1?
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . |0 .{z
. . 0} 1 . . .?
k zeros
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
153
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 2506?
2506 são 2 milhares, 5 centenas, 0 dezenas e 6 unidades.
2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6 · 100 .
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
154
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 2506?
2506 são 2 milhares, 5 centenas, 0 dezenas e 6 unidades.
2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6 · 100 .
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
155
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 2506?
2506 são 2 milhares, 5 centenas, 0 dezenas e 6 unidades.
2506 = 2 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 6 · 100 .
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
156
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
157
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
158
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
159
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 14 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
160
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 14 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
161
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
162
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
163
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
164
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,25?
0,25 são 2 décimos e 5 centésimos.
0,25 = 2 ·
1
10
1
4
+5·
1
100
=2·
10
100
+5·
1
100
=
2·10+5
100
=
25
100
=
1·25
4·25
= 41 .
é um exemplo de um número real que tem
representação decimal finita.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
165
Representações decimais finitas
Definição:
dizemos que um x ≥ 0 tem uma representação decimal finita se
existem dígitos A1 , A2 , . . . , An e a1 , a2 , . . . , am tais que:
x
= A1 A2 . . . An ,a1 a2 . . . am
= A1 · 10n−1 + A2 · 10n−2 + · · · + An +
=
a1
a2
am
+
+ ··· + m
10 102
10
A1 A2 . . . An a1 a2 . . . am
,
10m
com A1 6= 0 se n > 1.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
166
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
167
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
168
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
169
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
170
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
171
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
172
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
173
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,3 = 0,333 . . .?
0,3 = 0,333 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,3
=
x2
=
0,33
=
3
,
10
3
,
102
..
.
k dígitos 3
xk
=
0, |3 .{z
. . 3}
k dígitos 3
VII Bienal da SBM
=
z
3
}|
...
10k
{
3
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
174
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 31 ?
k
xk
=
0, 3
|
.{z
..
k dígitos 3
3} =
z
3
dígitos 3
}| {
... 3
10k
=
3 · 10k −1 + 3 · 10k −2 + · · · + 3 · 10 + 3
10k
=
3
3
3
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
3/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−3/10
1/10−1
= 13 .
Para Que Servem Os Números irracionais?
175
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 31 ?
k
xk
=
0, 3
|
.{z
..
k dígitos 3
3} =
z
3
dígitos 3
}| {
... 3
10k
=
3 · 10k −1 + 3 · 10k −2 + · · · + 3 · 10 + 3
10k
=
3
3
3
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
3/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−3/10
1/10−1
= 13 .
Para Que Servem Os Números irracionais?
176
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 31 ?
k
xk
=
0, 3
|
.{z
..
k dígitos 3
3} =
z
3
dígitos 3
}| {
... 3
10k
=
3 · 10k −1 + 3 · 10k −2 + · · · + 3 · 10 + 3
10k
=
3
3
3
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
3/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−3/10
1/10−1
= 13 .
Para Que Servem Os Números irracionais?
177
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 31 ?
k
xk
=
0, 3
|
.{z
..
k dígitos 3
3} =
z
3
dígitos 3
}| {
... 3
10k
=
3 · 10k −1 + 3 · 10k −2 + · · · + 3 · 10 + 3
10k
=
3
3
3
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
3/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−3/10
1/10−1
= 13 .
Para Que Servem Os Números irracionais?
178
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 31 ?
k
xk
=
0, 3
|
.{z
..
k dígitos 3
3} =
z
3
dígitos 3
}| {
... 3
10k
=
3 · 10k −1 + 3 · 10k −2 + · · · + 3 · 10 + 3
10k
=
3
3
3
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
3/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−3/10
1/10−1
= 13 .
Para Que Servem Os Números irracionais?
179
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,3 = 31 ?
k
xk
=
0, 3
|
.{z
..
k dígitos 3
3} =
z
3
dígitos 3
}| {
... 3
10k
=
3 · 10k −1 + 3 · 10k −2 + · · · + 3 · 10 + 3
10k
=
3
3
3
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
3/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−3/10
1/10−1
= 13 .
Para Que Servem Os Números irracionais?
180
Representações decimais finitas
1
3
= 0,3 = 0,333 . . . é um exemplo de número real com expansão
decimal infinita e periódica.
Definição:
dizemos que um número real x ≥ 0 tem uma representação decimal
infinita se existem dígitos A1 , A2 , . . . , An e a1 , a2 , . . . , ak , . . . tais que
x = A1 A2 . . . An ,a1 a2 . . . ak . . . ,
(1)
com A1 6= 0 se n > 1 e, também, não existe p ∈ N tal que ak = 0 para
todo k ≥ p (isto é, nem todo ak é zero a partir de certo ponto).
Definição:
dizemos que um número reak x possui uma representação decimal
infinita periódica se existem dígitos A1 , . . . , As , b1 , . . . , bm , a1 , . . ., an
tais que
x = A1 . . . As ,b1 . . . bm a1 . . . an .
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
181
Representações decimais finitas
1
3
= 0,3 = 0,333 . . . é um exemplo de número real com expansão
decimal infinita e periódica.
Definição:
dizemos que um número real x ≥ 0 tem uma representação decimal
infinita se existem dígitos A1 , A2 , . . . , An e a1 , a2 , . . . , ak , . . . tais que
x = A1 A2 . . . An ,a1 a2 . . . ak . . . ,
(1)
com A1 6= 0 se n > 1 e, também, não existe p ∈ N tal que ak = 0 para
todo k ≥ p (isto é, nem todo ak é zero a partir de certo ponto).
Definição:
dizemos que um número reak x possui uma representação decimal
infinita periódica se existem dígitos A1 , . . . , As , b1 , . . . , bm , a1 , . . ., an
tais que
x = A1 . . . As ,b1 . . . bm a1 . . . an .
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
182
Representações decimais finitas
1
3
= 0,3 = 0,333 . . . é um exemplo de número real com expansão
decimal infinita e periódica.
Definição:
dizemos que um número real x ≥ 0 tem uma representação decimal
infinita se existem dígitos A1 , A2 , . . . , An e a1 , a2 , . . . , ak , . . . tais que
x = A1 A2 . . . An ,a1 a2 . . . ak . . . ,
(1)
com A1 6= 0 se n > 1 e, também, não existe p ∈ N tal que ak = 0 para
todo k ≥ p (isto é, nem todo ak é zero a partir de certo ponto).
Definição:
dizemos que um número reak x possui uma representação decimal
infinita periódica se existem dígitos A1 , . . . , As , b1 , . . . , bm , a1 , . . ., an
tais que
x = A1 . . . As ,b1 . . . bm a1 . . . an .
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
183
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
184
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
185
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
186
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
187
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
188
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
189
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
190
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,9 = 0,999 . . .?
0,9 = 0,999 . . . é uma notação para o número real x que é limite da
seguinte sequência:
x1
=
0,9
=
x2
=
0,99
=
9
,
10
9
,
102
..
.
k dígitos 9
xk
=
0, |9 .{z
. . 9}
k dígitos 9
VII Bienal da SBM
=
z
9
}|
...
10k
{
9
.
Para Que Servem Os Números irracionais?
191
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
k
xk
=
0, |9
.{z
..
k dígitos 3
9} =
z
9
dígitos 9
}| {
... 9
10k
=
9 · 10k −1 + 9 · 10k −2 + · · · + 9 · 10 + 9
10k
=
9
9
9
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
9/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−9/10
1/10−1
= 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
192
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
k
xk
=
0, 9
|
.{z
..
k dígitos 3
9} =
z
9
dígitos 9
}| {
... 9
10k
=
9 · 10k −1 + 9 · 10k −2 + · · · + 9 · 10 + 9
10k
=
9
9
9
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
9/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−9/10
1/10−1
= 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
193
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
k
xk
=
0, 9
|
.{z
..
k dígitos 3
9} =
z
9
dígitos 9
}| {
... 9
10k
=
9 · 10k −1 + 9 · 10k −2 + · · · + 9 · 10 + 9
10k
=
9
9
9
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
9/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−9/10
1/10−1
= 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
194
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
k
xk
=
0, 9
|
.{z
..
k dígitos 3
9} =
z
9
dígitos 9
}| {
... 9
10k
=
9 · 10k −1 + 9 · 10k −2 + · · · + 9 · 10 + 9
10k
=
9
9
9
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
9/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−9/10
1/10−1
= 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
195
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
k
xk
=
0, 9
|
.{z
..
k dígitos 3
9} =
z
9
dígitos 9
}| {
... 9
10k
=
9 · 10k −1 + 9 · 10k −2 + · · · + 9 · 10 + 9
10k
=
9
9
9
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
9/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−9/10
1/10−1
= 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
196
Números irracionais e representações decimais
Por que 0,9 = 1?
k
xk
=
0, 9
|
.{z
..
k dígitos 3
9} =
z
9
dígitos 9
}| {
... 9
10k
=
9 · 10k −1 + 9 · 10k −2 + · · · + 9 · 10 + 9
10k
=
9
9
9
+ 2 + ··· + k
10 10
10
=
9/10 · ((1/10)k − 1)
.
1/10 − 1
Como (1/10)k → 0, segue-se que xk converge para
VII Bienal da SBM
−9/10
1/10−1
= 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
197
Números irracionais e representações decimais
0,9 = 1
Moral 1:
0,9 = 1 possui uma representação decimal finita e uma
representação decimal infinita periódica.
Moral 2:
existem números reais que possuem duas representações decimais
diferentes!
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
198
Números irracionais e representações decimais
0,9 = 1
Moral 1:
0,9 = 1 possui uma representação decimal finita e uma
representação decimal infinita periódica.
Moral 2:
existem números reais que possuem duas representações decimais
diferentes!
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
199
Representações decimais finitas
Mais uma vez:
A1 A2 . . . An ,a1 a2 . . . ak . . . .
é uma notação o número real x que é o limite da sequência (xk )
definida por
x1 = A1 A2 . . . An ,a1
x2 = A1 A2 . . . An ,a1 a2
x3 = A1 A2 . . . An ,a1 a2 a3
a1
,
10
a1 a2
= A1 A2 . . . An +
,
100
a1 a2 a3
= A1 A2 . . . An +
,
1000
= A1 A2 . . . An +
..
.
xk
= A1 A2 . . . An ,a1 a2 . . . ak = A1 A2 . . . An +
a1 a2 . . . ak
.
10k
[Por que o limite existe?]
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
200
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0
. . 0} 1 . . .?
| .{z
k zeros
k zeros
z }| {
0,1010010001 . . . 0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,
x2 = 0,10,
x3 = 0,101,
x4 = 0,1010,
x5 = 0,10100,
x6 = 0,101001,
..
.
x é um número real que possui representação decimal infinita
e não periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
201
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0
. . 0} 1 . . .?
| .{z
k zeros
k zeros
z }| {
0,1010010001 . . . 0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,
x2 = 0,10,
x3 = 0,101,
x4 = 0,1010,
x5 = 0,10100,
x6 = 0,101001,
..
.
x é um número real que possui representação decimal infinita
e não periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
202
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0
. . 0} 1 . . .?
| .{z
k zeros
k zeros
z }| {
0,1010010001 . . . 0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,
x2 = 0,10,
x3 = 0,101,
x4 = 0,1010,
x5 = 0,10100,
x6 = 0,101001,
..
.
x é um número real que possui representação decimal infinita
e não periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
203
Números irracionais e representações decimais
Qual é o significado de 0,1010010001 . . . 0
. . 0} 1 . . .?
| .{z
k zeros
k zeros
z }| {
0,1010010001 . . . 0 . . . 0 1 . . . é uma notação para o número real x
que é limite da seguinte sequência de números racionais:
x1 = 0,1,
x2 = 0,10,
x3 = 0,101,
x4 = 0,1010,
x5 = 0,10100,
x6 = 0,101001,
..
.
x é um número real que possui representação decimal infinita
e não periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
204
Números irracionais e representações decimais
Todo número real x possui uma representação decimal?
Resposta: sim!
Demonstração: Mózer (2013) seguindo
An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy, Wright,
Heath-Brown e Silverman, 2009.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
205
Números irracionais e representações decimais
Todo número real x possui uma representação decimal?
Resposta: sim!
Demonstração: Mózer (2013) seguindo
An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy, Wright,
Heath-Brown e Silverman, 2009.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
206
Números irracionais e representações decimais
Todo número real x possui uma representação decimal?
Resposta: sim!
Demonstração: Mózer (2013) seguindo
An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy, Wright,
Heath-Brown e Silverman, 2009.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
207
Números irracionais e representações decimais
<http://www.uff.br/cdme/edn/>
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
208
Números irracionais e representações decimais
Teorema:
um número real x é irracional
m
x possui uma representação decimal que é infinita e não periódica.
Teorema:
um número real x é racional
m
x possui uma representação decimal finita ou infinita periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
209
Números irracionais e representações decimais
Teorema:
um número real x é irracional
m
x possui uma representação decimal que é infinita e não periódica.
Teorema:
um número real x é racional
m
x possui uma representação decimal finita ou infinita periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
210
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
−
12
0
12
99
0
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
211
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
−
12
0
12
99
0
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
212
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
−
12
0
12
99
0
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
213
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
−
12
0
12
99
0
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
214
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
−
12
0
12
99
0
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
215
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
12
0
120
−
99
21
−
99
0,1
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
216
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
12
0
12
−
9
2
−
1
99
0,1 2
−
0
9
10
98
12
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
217
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
12
0
12
−
9
2
−
1
99
0,1 2
−
0
9
10
98
12
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
218
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
12
0
12
−
9
2
−
1
99
0,1 2
−
0
9
10
98
12
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
219
Demonstração (⇒, quase completa)
Sem perda de generalidade, vamos supor x ∈ [0, 1[. Se x ∈ Q, então
x = p/q, com p, q ∈ Z e 0 < p < q. O Algoritmo da Divisão obtém
uma sequência (xk ) de números racionais com representação decimal
finita que converge para x:
x1 = 0,a1 ,
x2 = 0,a1 a2 ,
x3 = 0,a1 a2 a3 ,
..
.
p
r1
r2
r3
q
0,a1 a2 a3
12
0
12
−
9
2
−
1
99
0,1 2
−
0
9
10
98
12
Os restos rk podem ser: 0, 1, 2, 3, . . . , q − 1. Se algum rk for zero,
então x terá representação finita. Se nenhum rk for zero, então, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, os restos começam a se repetir. Com
isto, a representação decimal de x é infinita e periódica.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
220
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
a1
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
221
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
a1
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
222
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
223
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
224
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
225
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
226
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
227
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
228
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
229
Demonstração (⇐)
Seja x ∈ [0, 1[ um número real que possui uma representação decimal
finita ou infinita periódica.
Se a representação decimal de x é finita, então podemos escrever
x = 0,a1 a2 ...an , com a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim,
x=
an
a1
a2
a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + · · · + an
+ 2 + ··· + n =
10 10
10
10n
é um número racional como queríamos.
Agora suponha que a representação decimal de x é infinita e periódica. Logo, podemos escrever
x = 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an ,
com b1 , . . . , bm , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
230
Demonstração (⇐)
x
= 0,b1 b2 ...bm a1 a2 ...an
bm
b1
b2
=
+ 2 + ··· + m
10 10
10
a2
a1
+
+
m+1
10
10m+2
a1
a2
+
+
m+n+1
m+n+2
10
10
a2
a1
+
+
10m+2n+1
10m+2n+2
an
10m+n
an
+ · · · + m+2n
10
an
+ · · · + m+3n
10
+ ··· +
+···
+
a1
m+(k
−1)n+1
10
VII Bienal da SBM
+
a2
m+(k
−1)n+2
10
+ ··· +
an
+ ···
10m+kn
Para Que Servem Os Números irracionais?
231
Demonstração (⇐)
b
x
z
}|
{
m−1
m−2
b1 .10
+ b2 .10
+ · · · + bm
=
m
10
a
}|
{
z
n−1
n−2
a1 .10
+ a2 .10
+ · · · + an
+
m+n
10
a
z
}|
{
n−1
n−2
a1 .10
+ a2 .10
+ · · · + an
+
m+2n
10
..
.
a
z
}|
{
a1 .10n−1 + a2 .10n−2 + · · · + an
+
+ ···
10m+kn
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
232
Demonstração (⇐)
x
=
=
=
b
a
1
1
1
+ m+n 1 + n + 2n + · · · + (k −1)n + · · ·
10m
10
10
10
10
b
b
a
1
a
10n
=
+
·
+
·
10m
10m+n 1 − 101n
10m
10m+n 10n − 1
1
b
a
b (10n − 1) + a
·
.
+
=
10m
10n − 1 10m
10m (10n − 1)
Observe que tanto o numerador quanto o denominador de x são
inteiros. Logo, x é um número racional.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
233
Demonstração (⇐)
x
=
=
=
b
a
1
1
1
+ m+n 1 + n + 2n + · · · + (k −1)n + · · ·
10m
10
10
10
10
b
b
a
1
a
10n
=
+
·
+
·
10m
10m+n 1 − 101n
10m
10m+n 10n − 1
1
b
a
b (10n − 1) + a
·
.
+
=
10m
10n − 1 10m
10m (10n − 1)
Observe que tanto o numerador quanto o denominador de x são
inteiros. Logo, x é um número racional.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
234
Números Irracionais e Representações Decimais
Interpretação Geométrica


10x,





10x − 1,




10x − 2,





10x − 3,



10x − 4,
T (x) =

10x − 5,





10x − 6,





10x − 7,





10x − 8,



10x − 9,
se
se
se
se
se
se
se
se
se
se
0 ≤x
1/10 ≤ x
2/10 ≤ x
3/10 ≤ x
4/10 ≤ x
5/10 ≤ x
6/10 ≤ x
7/10 ≤ x
8/10 ≤ x
9/10 ≤ x
VII Bienal da SBM
< 1/10,
< 2/10,
< 3/10,
< 4/10,
< 5/10,
< 6/10,
< 7/10,
< 8/10,
< 9/10,
< 1.
Para Que Servem Os Números irracionais?
235
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
236
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
237
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
238
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
239
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
240
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
241
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
242
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
243
Números Irracionais e Representações Decimais
Dado a ∈ [0, 1), considere a sequência:
a0 = a,
a1 = T (a),
a2 = T 2 (a) = (T ◦ T )(a) = T (T (a)),
a3 = T 3 (a) = (T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (a))),
a4 = T 4 (a) = (T ◦ T ◦ T ◦ T )(a) = T (T (T (T (a)))),
..
.
ak
= T k (a) = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )(a).
{z
}
|
k −1 composições
..
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
244
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
245
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
246
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
247
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
248
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
249
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
250
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
251
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
252
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
253
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
254
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
255
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
256
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
257
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
258
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a = 0,138.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 8 (a)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
0,138;
0,38138;
0,8138;
a3k
= T 3k (a)
= 0,138;
3k
+1
a3k +1 = T
(a) = 0,38138;
a3k +2 = T 3k +2 (a) = 0,8138.
..
..
.
.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
259
Números Irracionais e Representações Decimais
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é finito, uma vez que
possui apenas três elementos: 0,138; 0,38138 e 0,8138.
Uma forma de representar graficamente a sequência (an ) é
marcar os pares ordenados do tipo
(ak , ak +1 ) = (T k (a), T k +1 (a))
no plano cartesiano. Assim, na Iteração 1 por exemplo, começamos pelo ponto
(a0 , a1 ) = (a, T (a)) = (0,138; 0,38138).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
260
Números Irracionais e Representações Decimais
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é finito, uma vez que
possui apenas três elementos: 0,138; 0,38138 e 0,8138.
Uma forma de representar graficamente a sequência (an ) é
marcar os pares ordenados do tipo
(ak , ak +1 ) = (T k (a), T k +1 (a))
no plano cartesiano. Assim, na Iteração 1 por exemplo, começamos pelo ponto
(a0 , a1 ) = (a, T (a)) = (0,138; 0,38138).
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
261
Números Irracionais e Representações Decimais
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
262
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
263
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
264
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
265
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
266
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
267
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
268
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
269
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
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=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
270
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
271
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
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=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
272
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
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=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
273
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
274
Números Irracionais e Representações Decimais
Exemplo: considere a =
√
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
..
.
a
T (a)
T 2 (a)
T 3 (a)
T 4 (a)
T 5 (a)
T 6 (a)
T 7 (a)
T 7 (a)
ak
= T k (a);
..
.
2/10 = 0,1414213562 . . . ∈ [0, 1).
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,1414213562 . . . ;
0, 414213562 . . . ;
0, 14213562 . . . ;
0, 4213562 . . . ;
0, 213562 . . . ;
0, 13562 . . . ;
0, 3562 . . . ;
0, 562 . . . ;
0, 62 . . . ;
Observe que o conjunto {T k (a) | k ∈ N} é infinito.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
275
Números Irracionais e Representações Decimais
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
276
Números Irracionais e Dissecções
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
277
Números irracionais e dissecções
É sempre possível decompor um retângulo em quadrados?
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
278
Números irracionais e dissecções
É sempre possível decompor um retângulo em quadrados?
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
279
Números irracionais e dissecções
Retângulo perfeito de Zbigniew Morón
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
280
Números irracionais e dissecções
Retângulo perfeito de Zbigniew Morón
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
281
Números irracionais e dissecções
Teorema:
um retângulo pode ser decomposto em quadrados
m
a razão das medidas dos seus lados é um número racional
Demonstração: Proofs from the Book de M. Aigner e G. M. Ziegler, p. 173-177, 2010.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
282
Números irracionais e dissecções
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
283
Números Irracionais e Bilhares
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
284
Números irracionais e bilhares
<http://geogebratube.org/student/m47807?mobile=false>
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
285
Números irracionais e bilhares
Para que valores de θ a bola irá encaçapar?
Teorema:
a bola irá encaçapar se, e somente se, tg(θ) é racional.
Demonstração: Bilhares de Inteiros de António Saraiva, SPM, v. 47, p. 1-31, 2007.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
286
Números irracionais e bilhares
Para que valores de θ a bola irá encaçapar?
Teorema:
a bola irá encaçapar se, e somente se, tg(θ) é racional.
Demonstração: Bilhares de Inteiros de António Saraiva, SPM, v. 47, p. 1-31, 2007.
VII Bienal da SBM
Para Que Servem Os Números irracionais?
287
FIM
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dos números irracionais acessível ao Ensino Básico?
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Graziele S. Mózer – [email protected]
Humberto J. Bortolossi – [email protected]
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288