FORMAÇÃO DE PROFESSORES
O Campo Multiplicativo
Matemática
Ensino Fundamental I
A área de Educação da Fundação Vale busca contribuir para a melhoria da educação
básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da
pluralidade cultural e do respeito às diferenças.
COORDENAÇÃO DO PROGRAMA
Equipe de Educação Fundação Vale
APOIO EDITORIAL
Departamento de Comunicação Corporativa Vale
PARCEIRO
Comunidade Educativa CEDAC
EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO
JVAB Edições Ltda
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
Inventum Design
selo FSC
Este símbolo indica que o papel utilizado
neste material foi produzido com madeiras
de florestas certificadas.
O Campo Multiplicativo
A resolução de problemas
do campo multiplicativo
Professor(a),
No bimestre anterior, analisamos os problemas do campo aditivo, aqueles que envolvem as ideias da
adição e da subtração.
Neste bimestre, vamos avançar nos estudos sobre a resolução de problemas, tema que estará constantemente presente em nosso processo de formação, haja vista sua importância no ensino e na aprendizagem.
O nosso foco será explorar o campo multiplicativo, que propõe o estudo da multiplicação e da divisão,
e refletir sobre questões como: a partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na escola? A multiplicação e a divisão podem ser trabalhadas conjuntamente?
Vamos conhecer uma classificação para os problemas do campo multiplicativo, tendo como critérios as
diversas ideias envolvidas na multiplicação e na divisão.
A atividade de Aplicação Prática será a de planejar e propor em sala de aula o trabalho com problemas
do campo multiplicativo, bem como coletar, organizar e analisar os procedimentos das crianças para resolvê-los, com a finalidade de refletir sobre como podemos intervir para favorecer as aprendizagens.
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:
Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do
grupo.
n
Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como ponto de
partida da aprendizagem matemática.
n
Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento,
promovendo as condições para que essa interação ocorra nas aulas.
n
Ampliar o repertório de possibilidades do ensino das operações do campo
multiplicativo.
n
Coletar, organizar, analisar e interpretar informações sobre procedimentos dos alunos.
n
Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se em
compartilhar a prática e produzir coletivamente.
n
1
Formação de Professores
Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes
conteúdos:
Operações do campo multiplicativo: divisão e multiplicação.
n
Identificação e classificação de problemas do campo multiplicativo.
n
Implicações do trabalho com situações-problema do campo multiplicativo no Ensino
Fundamental I.
n
2
O Campo Multiplicativo
Encontro presencial
Duração: 4h
Para começo de conversa
Duração: 30min
Pensar sobre a prática e compartilhar resultados
Iniciaremos este encontro retomando e compartilhando reflexões desenvolvidas a partir da atividade
Aplicação Prática. Vamos direcionar nossas discussões para o acompanhamento das aprendizagens dos
alunos e sua importância para a elaboração de planejamentos posteriores.
1. Na tabela abaixo estão especificados os problemas que fizeram parte da Aplicação Prática de resolução
de problemas do campo aditivo (comparação) de uma professora do 4º ano do Ensino Fundamental.
Classificação dos problemas
Exemplos
Comparação
Problema 1
O valor desconhecido (incógnita)
é uma das medidas
Comparação
Problema 2
O valor desconhecido (incógnita)
é a relação entre as medidas
Pedro e Henrique colecionam
figurinhas. Pedro tem 109
figurinhas e Henrique tem 37
a mais do que ele. Quantas
figurinhas Henrique tem em
sua coleção?
Camila tem 19 anos e sua avó
tem 77. Quantos anos a avó de
Camila tem a mais do que ela?
Após desenvolver a atividade em sua sala de aula, a professora preencheu a pauta de acompanhamento, que ficou da seguinte forma:
3
Formação de Professores
Problema 1
Nome dos
alunos
Ana
Acertou
tudo
Problema 2
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
X
Acertou
tudo
Não
acertou
X
Arthur
X
x
Beatriz
X
x
Bianca
X
x
Breno
X
X
Bruna
X
Bruno
X
Caio
X
X
x
x
Caíque
X
Diogo
X
x
Eva
X
X
Fábio
X
X
X
Fabíola
x
Flávia
Igor
4
Não
acertou
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
x
X
X
X
X
O Campo Multiplicativo
Luana
X
X
Maria
X
X
Otávio
X
Rafaela
X
Tiago
X
X
X
X
Vagner
X
X
Para melhor compreender e visualizar os dados obtidos, a professora decidiu organizar graficamente
essas informações. Veja o gráfico resultante.
Resultados obtidos no 4º ano do Ensino Fundamental
Problemas do campo aditivo - comparação
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
02
01
00
16
14
03
Acertou
04
02
Estratégia Adequada / Erro de Cálculo
03
Não acertou
5
Formação de Professores
A partir da análise destes resultados, a professora concluiu que os problemas de comparação cujo valor
desconhecido (incógnita) é a relação entre as medidas não são apropriados para a sua turma de alunos
e justificou: “O termo ‘a mais’ confunde os alunos. Eles acham que devem sempre fazer uma adição”. Decidiu, então, que problemas deste tipo não farão parte de seus planejamentos no decorrer do ano.
Você concorda com a decisão tomada por essa professora? Por quê? Registre.
n
2. Reúna-se com outros professores, formando um grupo de trabalho.
a) Com base nas informações da “Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos” de cada um, compartilhem:
Qual foi o resultado que mais os surpreendeu? Por quê?
n
Quais resultados encontrados por vocês se assemelham? Quais diferem?
n
b) Elejam dois pontos discutidos, referentes aos itens anteriores, e compartilhem com os demais grupos.
6
O Campo Multiplicativo
Atividade de contextualização
Duração: 30min
1. Ainda em grupos, a proposta é refletir sobre os problemas elaborados a partir desta imagem, com
foco na seguinte questão:
O que esses problemas têm em comum?
a) Descubra quantos pastéis há em cada bandeja, sem contá-los um a um. Indique como fez o cálculo.
b) Se em cada bandeja são colocados 12 pastéis, quantos pastéis caberão em 4 bandejas?
c) São colocados à venda 48 pastéis organizados em bandejas com espaço para 12. Quantas bandejas
serão necessárias para acomodar todos os pastéis?
d) Observando a tabela, descubra quantos tipos de pastéis são vendidos na pastelaria.
e) Considerando as opções de tamanhos e sabores disponíveis, descobrimos que podem ser comprados 6 tipos de pastéis. Sabendo que podem ser escolhidos 2 tamanhos diferentes, quantos sabores
poderão ser escolhidos no ato da compra?
7
Formação de Professores
2. Registrem as conclusões a que o grupo chegou.
A prática em questão
Duração: 3h
Momento 1 – As situações-problema do campo multiplicativo
Duração: 40min
1. Leiam de forma compartilhada o texto a seguir.
Para abordar os problemas que envolvem a multiplicação e a divisão, vamos considerar alguns pontos
da Teoria dos Campos Conceituais, do pesquisador francês Gerard Vergnaud, que começamos a estudar
no caderno anterior. Como vimos, Vergnaud propõe agrupar as operações segundo as ideias que elas
contêm, ou melhor, segundo o campo de conceitos que elas envolvem. Ele propõe que as quatro operações sejam agrupadas em dois grandes grupos: o campo aditivo, que engloba a adição e a subtração, e o campo multiplicativo, que engloba a divisão e a multiplicação.
Nessa visão, da mesma maneira que as operações de adição e de subtração fazem parte de um mesmo
campo conceitual, a divisão e a multiplicação também constituem um mesmo campo conceitual, pois
elas envolvem ideias que se relacionam conceitualmente.
A partir disso, os problemas do campo multiplicativo são classificados segundo as ideias que eles envolvem, diferentemente da tradicional separação em “problemas de multiplicação” e “problemas de divisão”. Assim, serão organizados em três grupos, como mostra o quadro:
8
O Campo Multiplicativo
Tipo de problema
Ideias envolvidas
Exemplos de problemas
Problemas de proporcionalidade
Problemas que envolvem duas
séries proporcionais, isto é, existe
uma relação fixa entre duas
variáveis
1. Tenho 8 pacotes de biscoito com
12 unidades em cada um. Quantos
biscoitos tenho ao todo?
Problemas que se referem à
organização de elementos em linha
e coluna ou envolvem uma análise
dimensional (como a de área)
1. Num auditório, as cadeiras estão
dispostas em 12 fileiras de 15
cadeiras cada. Quantas cadeiras há
ao todo?
Problemas de configuração
retangular
2. Uma sala de aula tem 38 ganchos
para pendurar o material dos
alunos. Se cada aluno utiliza 2
ganchos com suas mochilas e
casacos, quantos alunos podem
acomodar suas coisas nessa sala?
2. Calcular a área de um retângulo que
possui lados medindo 3 cm e 4 cm
Problemas de análise combinatória
São problemas que envolvem
combinar diferentes elementos
entre si
1. Para fazer um sanduíche, tenho 3
tipos de pães e 2 tipos de queijos.
Quantos sanduíches diferentes eu
posso fazer com esses ingredientes,
usando um só tipo de queijo em
cada um?
2. Luiz consegue formar 20 trajes
diferentes para ir ao trabalho,
combinando as calças que possui
com suas 4 camisas. Quantas calças
ele tem?
2. Permaneçam em pequenos grupos para realizar a seguinte atividade: ler os problemas da lista a seguir e classificá-los de acordo com as três categorias apresentadas, preenchendo o quadro na página seguinte.
a) Celina comprou 3 pacotes de figurinhas com 5 figurinhas em cada pacote. No total, quantas figurinhas comprou?
b) Em uma mesa há 3 potes: um colorido, um todo branco e um transparente. Também há algumas
tampas coloridas que servem para todos os potes. Sabendo que é possível fazer 12 combinações diferentes, quantas tampas há em cima da mesa?
c) Em uma página do álbum há 4 fileiras com 3 figurinhas em cada uma. Quantas figurinhas estão coladas nessa página?
d) Mariana tem uma festa de aniversário e está em dúvida sobre que roupa usar. Ela colocou em cima
da cama 2 camisetas, uma rosa e uma azul, e 3 saias, sendo uma preta, uma branca e uma vermelha.
De quantas maneiras diferentes Mariana pode combinar essas peças de roupa?
e) Para azulejar uma parede de sua casa, seu Armando precisa de 144 azulejos. Se eles estão dispostos
em 9 fileiras, quantos azulejos há em cada fileira?
9
Formação de Professores
f ) Júlia tem 8 chicletes e quer dividi-los igualmente entre suas 4 amigas. Quantos chicletes cada amiga
de Júlia vai ganhar?
Classificação
Problema
Proporcionalidade
Análise
combinatória
Configuração
retangular
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Comparem a classificação do seu grupo com as dos outros grupos, coletivamente. Em caso de divergências, procurem discutir e, se possível, chegar a um consenso. Depois disso, verifiquem o gabarito
no fim deste caderno.
4. Retomem a Atividade de contextualização.
a) Verifiquem se mudariam algo naquela resposta (item 2 da atividade).
b) Aqueles problemas também podem ser classificados da mesma forma que estes? Justifiquem a
resposta.
10
O Campo Multiplicativo
Momento 2 – O trabalho com o campo multiplicativo em sua sala de aula
Duração: 30min
Esse é um momento para que vocês, professores, à luz do que foi colocado e discutido até agora, pensem no seu trabalho em sala de aula com os problemas desse campo conceitual, o multiplicativo.
1. Na primeira coluna do quadro abaixo encontram-se algumas falas de professores a respeito desse
trabalho. Individualmente, leia e verifique se você se identifica com elas, mesmo que seja parcialmente, assinalando uma coluna para cada item.
Eu me
identifico
totalmente
Eu me
identifico
parcialmente
Eu não me
identifico
1- Sempre trabalhei com problemas de
multiplicação e divisão, mas separadamente,
conforme o livro didático propõe. Na verdade,
não havia me dado conta de que estão tão
relacionados.
2- Pra mim, a multiplicação tinha muito mais a
ver com a adição e não com a divisão, porque
uma das formas de resolver a multiplicação é
somando as parcelas.
3- Ainda não trabalho com a divisão, estamos
vendo a multiplicação, mas percebo que meus
alunos já resolvem divisões em situações bem
práticas do cotidiano. Por exemplo, calculam
quantos refrigerantes podem comprar com
certa quantia de dinheiro.
4- Eu dou para meus alunos problemas de
divisão e multiplicação, mesmo antes de eles
conhecerem os sinais e as contas, mas não sei o
que fazer depois que eles resolvem. Normalmente, o que faço é socializar as estratégias
usadas por eles.
5- Como os alunos ainda não sabem as contas
de divisão e multiplicação, só trabalho com
meus alunos os problemas de adição e
subtração.
6- Sempre proponho problemas do campo
multiplicativo, de vários tipos. Faço um trabalho
para que ampliem suas ideias sobre essas
operações, gradualmente.
7- Eu acho que as diferentes estratégias para
resolver problemas são importantes enquanto
os alunos ainda não aprenderam os algoritmos,
mas, depois que aprendem, se um problema é
de divisão, eles têm que usar o algoritmo de
divisão. Se é de multiplicação, têm que usar o de
multiplicação.
11
Formação de Professores
2. Em grupo, compartilhem as situações com as quais se identificaram, as situações com as quais se
identificaram parcialmente e aquelas com as quais não se identificaram. Depois, discutam as questões:
a) O que é comum a todos? Por que essa(s) situação(ões) está(ão) presente(s) para todos?
b) Em que os professores do grupo diferem? Essas diferenças estão relacionadas à faixa etária com
que trabalham? Há outros fatores envolvidos? Nesse caso, procurem identificar os fatores.
Momento 3 – Planejamento passo a passo da Aplicação Prática
Para pensar
O planejamento escolar é um processo de racionalização, organização e coordenação da
atividade do professor.
“Se a escola é o lugar onde por excelência se lida com o conhecimento, não podemos agir só
com base no improviso. Ensinar requer intencionalidade e sistematização.” (José Cerchi Fusari).
Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/planejamento-e-avaliacao/planejamento/ensinar-bem-saberplanejar-424802.shtml. Acesso em: 18.set.2012.
Considerando os estudos realizados até agora, vamos planejar uma atividade para ser realizada em sala
de aula com problemas do campo multiplicativo envolvendo a ideia de proporcionalidade. Para tanto,
tenham em mãos o livro didático adotado por sua escola.
Observação: é importante considerar que as situações do campo multiplicativo são muitas. Para efeitos deste estudo, porém, colocaremos nosso foco de atenção nos procedimentos dos alunos para resolver um problema de proporcionalidade. Sugerimos que você, ao longo do ano, realize um trabalho
semelhante com problemas variados do campo multiplicativo, abrangendo análise combinatória e
configuração retangular, além da ideia de proporcionalidade. Os problemas também se diversificam
conforme variamos as grandezas envolvidas, a sua forma de apresentação e a linguagem empregada.
1. Antes de iniciar o planejamento, vamos pensar nas etapas que o envolve. Coletivamente, preencham as orientações correspondentes a cada uma delas.
12
O Campo Multiplicativo
Roteiro: etapas para o planejamento da atividade de resolução de problemas do campo
multiplicativo
Etapas
Orientações
Selecionar os conteúdos envolvidos
na situação-problema
Selecionar, conhecer e preparar a
situação
Antecipar possíveis estratégias que
os alunos poderão utilizar para a
resolução
Identificar o descritor que se
relaciona com esse(s) conteúdo(s)
Organizar as etapas de trabalho com
os alunos no tempo e no espaço da
sala de aula
Antecipar o papel do professor
Avaliar a atividade
13
Formação de Professores
2. Estudo das possíveis antecipações das estratégias de resolução de problemas do campo multiplicativo:
a) Analisem o modelo de pauta que contém a antecipação de exemplos de estratégias frequentemente empregados pelos alunos para resolver problemas do campo multiplicativo (proporcionalidade). Em grupos, analisem e discutam como esse instrumento foi organizado, estudando os
exemplos que constam em cada campo.
b) Como essas estratégias aparecem em suas salas?
14
Observação: é importante considerar que os tipos de estratégias que constam desse quadro são
bastante frequentes, mas não são os únicos; existem muitas outras possibilidades de respostas.
Resposta: comprou
12 figurinhas.
12
Resposta: cada um
ganhará 5 balas.
36 + 9 = 45
27 + 9 = 36
18 + 9 = 27
9 + 9 = 18
Preciso dividir
igualmente 45
balas para 9
amigos. Quantas
balas cada um
ganhará?
Exemplo 2
Resposta: vai
pagar R$ 960,00.
320 + 320 + 320 =
960
Resposta: cada um
ganhará 5 balas.
18 - 9 = 0
18 - 9 = 9
27 - 9 = 18
36 - 9 = 27
Resposta: cada um
ganhará 5 balas.
9 x 5 = 45
45 - 9 = 36
Uma passagem de
avião custa R$
320,00. Quanto
pagarei se
comprar 3
passagens?
Preciso dividir
igualmente 45
balas para 9
amigos. Quantas
balas cada um
ganhará?
Preciso dividir
igualmente 45
balas para 9
amigos. Quantas
balas cada um
ganhará?
Exemplo 1
Comprei 4 pacotes
com 3 figurinhas
em cada um.
Quantas figurinhas
eu comprei?
Resposta: foram
compradas 300
balas.
240 + 60 = 300
12 x 5 = 60
12 x 20 = 240
12 x 25 =
Para meu
aniversário,
comprei 12 pacotes
de balas com 25
unidades. Quantas
balas foram
compradas?
60
Resposta: foram
compradas 300
balas.
300
+ 240
1
x 25
12
1
Para meu
aniversário,
comprei 12
pacotes de balas
com 25 unidades.
Quantas balas
foram compradas?
Resposta: cada
sobrinho deve
ganhar R$ 28,00.
20 + 8 = 28
40 ÷ 5 = 8
100 ÷ 5 = 20
Quero dividir R$
140,00 igualmente
entre meus 5
sobrinhos. Quanto
darei a cada um?
Resolveu por
decomposição
do dividendo
Usou o
algoritmo
(conta armada)
Usou a multiplicação para
resolver
situação de
divisão
Fez a decomposição de um
dos fatores
Utilizou divisão
Utilizou multiplicação
Utilizou
subtração para
calcular
resultado de
uma divisão
Utilizou adição
para calcular
resultado de
uma multiplicação ou
divisão
Resolveu
graficamente
(uso de
símbolos,
desenhos)
ANTECIPAÇÃO DE POSSÍVEIS ESTRATÉGIAS DOS ALUNOS
Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos – resoluções de problemas do campo multiplicativo
28
8
10 +
10
5
Resposta: cada
sobrinho deve
ganhar R$ 28,00.
0
- 40
40
- 50
90
- 50
140
Quero dividir R$
140,00 igualmente
entre meus 5
sobrinhos. Quanto
darei a cada um?
Usou o
algoritmo
(conta armada)
O Campo Multiplicativo
15
Formação de Professores
3. Organizados em grupos de professores da mesma escola, que podem ser de séries diferentes, utilizem esse roteiro para planejar o trabalho.
Planejamento da atividade de resolução de problemas do campo multiplicativo
Situação-problema
Fonte:
Etapas
Planejamento
Descrever os procedimentos a serem feitos, o material que será utilizado e o tempo
previsto para a atividade ou cada parte da atividade
Selecionar os conteúdos
envolvidos na situaçãoproblema
Selecionar, conhecer e
preparar a situação
Antecipar possíveis estratégias que os alunos poderão
utilizar para a resolução
Identificar o descritor que se
relaciona com esse(s)
conteúdo(s)
Organizar as etapas de
trabalho com os alunos no
tempo e no espaço da sala
de aula
Antecipar o papel do
professor
Avaliar a atividade
16
O Campo Multiplicativo
4. Considerando a importância do acompanhamento das aprendizagens dos alunos e tendo a pauta
de observação como um instrumento organizador dessa atribuição, planejem os critérios que farão
parte da pauta que utilizarão. Para tanto, apoiem-se no planejamento que fizeram, nos objetivos nele envolvidos e no que pretendem saber sobre seus alunos em relação às aprendizagens do campo
multiplicativo. Registrem esses critérios no quadro que segue:
Alunos
Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos - resoluções de
problemas do campo multiplicativo
17
Formação de Professores
Avaliação do encontro
Duração: 10min
Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial.
Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é
melhorar cada vez mais este programa de formação para você.
Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar:
Do livro didático de matemática adotado por sua escola.
n
Dos Cadernos Bimestrais I e II.
n
Deste caderno: O Campo Multiplicativo
n
Referências
ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2:
actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la
EGB, 2001. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. Disponível em: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php
Acesso em: jun.2009.
n
ARGENTINA. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 4: actualización curricular. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 2001. Disponível
em: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php
Acesso em: jun.2009.
n
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental. Brasília: Inep,
1997.
n BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática:
orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009.
n
BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental I: contribuições para o trabalho
em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação).
n
ITZCOVICH, Horacio. El trabajo con la multiplicación y con la división. In: La matemática escolar: las
prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique Educación, 2009.
n
VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade – Problemas do ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: UFPR, 2009.
n
18
O Campo Multiplicativo
Aplicação Prática
Duração: 4h
A proposta aqui é que um dos professores do grupo desenvolva com seus alunos a atividade de resolução de problemas do campo multiplicativo que foi planejada no Encontro Presencial e que os demais
do grupo assistam a essa aula. Para isso, sigam os passos a seguir:
Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas de grupo.
n
Lembrem-se dos conteúdos que serão trabalhados na atividade e também dos encaminhamentos que planejaram.
n
Se planejaram usar como suporte para apresentação da atividade algum material, como cartaz ou
folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.
n
Para pensar
“O tempo pedagógico não pode ser desperdiçado, sob pena de se assistir ao esvaziamento da
prática pedagógica que impulsiona o estudante para atingir novos patamares de aprendizagens”.
BRASIL, MEC. Conselho escolar e o aproveitamento significativo do tempo pedagógico. Brasília: MEC/SEB, 2004. p. 53-54.
Ao planejar as atividades, é importante considerar as melhores maneiras de aproveitar o
tempo. Uma forma de fazer isso é identificar o que é fundamental e o que é secundário na
atividade, a partir da definição dos objetivos de ensino.
Na atividade que você está planejando, o foco deve ser colocado na resolução do problema,
enquanto outras atividades que demandam muito tempo e esforço dos alunos podem ser
simplificadas. Por exemplo, a cópia do problema pode ser substituída por tiras de papel
impressas com o enunciado, que serão coladas no caderno dos alunos. Assim, privilegia-se
o fazer matemático que é inerente à proposta de resolução de problemas.
Registrando a prática
1. Com o mesmo grupo de professores, depois do desenvolvimento da atividade, preencham a pauta de
acompanhamento das aprendizagens dos alunos que foi elaborada no Encontro Presencial. Para isso será necessário ter em mãos as produções dos alunos.
2. Agora façam o registro reflexivo da atividade utilizando o modelo a seguir:
19
Formação de Professores
Registro da atividade – resolução de problemas relacionados ao campo multiplicativo
Município:
Escola:
Professor que realizou a aula planejada:
Professores parceiros do grupo:
Ano/série em que a atividade foi aplicada:
Quantidade de alunos presentes no dia da atividade:
Tempo utilizado para a realização da atividade:
1- Qual foi o problema proposto?
2- Vocês consideram que o problema selecionado foi adequado? Trouxe um bom grau de desafio para os alunos?
Comentem a resposta.
3- Na turma apareceram outras estratégias que não foram antecipadas no planejamento que realizaram? Quais?
4 – A partir dos dados obtidos na atividade e organizados na pauta de acompanhamento, o que puderam
identificar sobre as aprendizagens dos alunos a respeito do campo multiplicativo?
5- Ainda considerando esses dados, como pretendem dar continuidade a esse trabalho? Que atividade ou
discussão pretendem propor aos alunos para ajudá-los a avançar nas suas aprendizagens?
20
O Campo Multiplicativo
Grupo de Estudos
Duração: 4h
Momento 1 – Mudanças no ensino dos problemas e das operações
1. Nesse momento vamos propor uma reflexão sobre algumas questões que podem ser levantadas
a respeito do trabalho com problemas do campo multiplicativo. Leiam as questões, de forma
compartilhada:
a) De que forma a prática de sala de aula pode mudar ao considerarmos os problemas de multiplicação e de divisão como pertencentes a um mesmo campo conceitual? Ou seja, o que muda no
ensino dos problemas que até então classificávamos como “problemas de divisão” e “problemas
de multiplicação”?
b) Qual a melhor maneira e qual o melhor momento para trabalhar com os alunos as ideias relacionadas com multiplicar e dividir?
c) O que esperar de crianças pequenas, principalmente as dos dois primeiros anos do Ensino Fundamental, em relação a problemas do campo multiplicativo?
d) O ensino dos algoritmos (a conta armada) de divisão e de multiplicação é um pré-requisito para
o trabalho com os problemas do campo multiplicativo?
2. Para buscar respostas a essas questões, façam a leitura compartilhada dos trechos a seguir. Durante a leitura, grifem as partes que considerarem importantes para responder às questões que foram
colocadas no item anterior. Além disso, procurem relacionar cada texto a uma ou mais questões,
escrevendo a(s) letra(s) correspondente(s) ao lado dos textos.
“No decorrer da escolaridade, é importante propor situações para que as crianças tenham diferentes e sucessivas oportunidades de ir construindo e reorganizando seus conhecimentos sobre
as operações. A multiplicação não é um conteúdo de um ano em particular, mas um aprendizado a longo prazo (VERGNAUD, 1976). Durante os diferentes anos do Ensino Fundamental, as crianças poderão ampliar seus conhecimentos sobre essa operação a partir das situações que enfrentam e de uma organização do ensino que favoreça a reflexão sobre essas mesmas situações.”
Extraído de:
BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental I: contribuições para o trabalho em sala de aula. São
Paulo: Ática, 2011. p. 59. (Nós da educação).
“Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho conjunto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas conexões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações com
base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado.”
Extraído de: BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Inep, 1997. p 72.
21
Formação de Professores
“As crianças podem enfrentar certos problemas multiplicativos ainda que não dominem estratégias de cálculo nem a utilização do sinal X. Como resolvem então os problemas? Tomemos por exemplo o problema: ‘Quantas patas têm 5 cachorros?’. Como os alunos de primeiro
ano ou início do segundo não dispõem de recursos de cálculo multiplicativo, mobilizarão diferentes recursos de resolução: desenhar, contar, somar etc.
Propor problemas multiplicativos às crianças desde o início do primeiro ano tem diversos
objetivos. Por um lado, criar condições propícias em aula para abordar conhecimentos e
atitudes vinculados ao fazer matemático, à tarefa de resolver e analisar problemas. A intenção é que os alunos possam interpretar situações novas para as quais não dispõem de nenhum ‘recurso especialista’ e desenvolver confiança na sua capacidade de construir estratégias pessoais que poderão ser comparadas, buscando suas semelhanças e diferenças, julgando
sua validade, analisando sua economia etc. Em segundo lugar, propor tais problemas tem
como objetivo promover o estudo das situações multiplicativas, estudo esse que exigirá sucessivas abordagens nos anos seguintes.”
Extraído de: ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2:
actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB.
Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. p. 3. Tradução livre.
“É importante frisar que, na resolução de problemas, deve caber a cada estudante decidir sobre o procedimento de cálculo mais adequado, sendo que posteriormente as escolhas dos
estudantes podem ser comparadas em termos de praticidade, rapidez e eficiência.”
Extraído de: BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental Matemática: orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009. p. 102.
“A aprendizagem desses conceitos (multiplicação e divisão) é muito complexa e sua construção se dá ao longo de vários anos. É tão amplo o conjunto de situações em que essas operações estão envolvidas, que o desafio para o ensino é cobrir essa diversidade e garantir um
aprofundamento crescente nos tipos de situações propostas ao longo da escolaridade.”
Extraído de: ARGENTINA. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 4:
actualización curricular. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 2001. Tradução livre..
“É importante que desde o primeiro ano as crianças tenham a oportunidade de resolver problemas como esse*, em vez de se restringir aos problemas para os quais elas conhecem a operação.
(...) No primeiro ano, as crianças poderão resolver problemas similares por meio de contagem,
de dividir de um em um, de somas e de subtrações.
Durante o segundo e terceiro anos, a resolução de problemas de dividir poderá continuar carregando de significado o que foi aprendido sobre a multiplicação. É importante que as crianças enfrentem, ao mesmo tempo, problemas de dividir e resolvam problemas de multiplicar.
22
O Campo Multiplicativo
Justamente pela relação entre esses dois tipos de problemas, os alunos vão reconhecer como
a multiplicação é um conhecimento útil para a resolução de problemas de divisão, mesmo
que, dispondo dos recursos, não os utilizem diretamente nesses problemas.”
*O problema ao qual a autora se refere é: ”Tenho 25 balas para dividir igualmente entre 5
crianças. Quantas balas terá cada uma?”
“(...) No segundo ciclo espera-se que os alunos recorram ao algoritmo da divisão para resolver esse tipo de problema**. Ainda que alguns utilizem outros tipos de recurso, será parte da tarefa a
se desenvolver conseguir que todos reconheçam esta operação como a mais econômica.”
** Os autores referem-se ao problema: “Para a festa do município serão colocadas na praça
3.452 cadeiras. Serão formadas fileiras com 132 cadeiras cada. Quantas fileiras devem ser formadas? Sobrarão cadeiras?”
Extraído de: ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2:
actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB. Buenos Aires:
Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. p. 15. Tradução livre.
3. Voltem às perguntas do item 1 e procurem discutir e responder às questões colocadas. Se desejarem, escrevam aqui outras questões que vocês tiverem sobre o assunto:
Momento 2 – Reflexão sobre a prática
1. Individualmente, faça a leitura do texto “Multiplicação e divisão já nas séries iniciais” e identifique aspectos que gostaria de discutir com seus colegas.
Multiplicação e divisão já nas séries iniciais
O domínio das operações de adição e subtração não é pré-requisito para compreender as
propriedades do campo multiplicativo que deve ser trabalhado desde o 1º ano
A partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na escola? A resposta é de
ouriçar os educadores mais conservadores: elas já podem aparecer nos primeiros anos do Ensino Fundamental. Problemas envolvendo ambas as situações devem ser explorados em um
23
Formação de Professores
trabalho continuado que percorra toda a escolaridade. Outra visão que se modificou nos últimos anos diz respeito à segregação do multiplicar e do dividir. Por que tratá-los como etapas
diferentes se a ligação entre eles é tão estreita?
A ideia defendida por especialistas de renome é buscar cada vez mais evidenciar as relações
existentes entre as operações, mesmo antes da sistematização de seus algoritmos.
Desenvolver a compreensão dos conceitos por trás das operações e dar condições às turmas
para que joguem com as estruturas multiplicativas amplia a visão sobre a matemática. Resultado? O aluno avança de forma autônoma na resolução dos problemas, e o que parecia indecifrável começa a fazer sentido (leia quadro abaixo).
A classificação da multiplicação e da divisão
Assim como no campo aditivo, os problemas do campo multiplicativo foram divididos em categorias pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud. Com essa organização, é possível trabalhar
os conceitos de multiplicação e divisão já nos primeiros anos do Ensino Fundamental.
Exemplo
Observação
Variações
Proporcionalidade
Na festa de aniversário de
Carolina, cada criança levou 2
refrigerantes. Ao todo, 8 crianças
compareceram à festa. Quantos
refrigerantes havia?
Regularidade
A está para B
na mesma medida
em que
C está para D
• Oito crianças levaram 16
refrigerantes ao aniversário de
Carolina. Se todas as crianças
levaram a mesma quantidade
de bebida, quantas garrafas
levou cada uma?
• Numa festa foram levados 16
refrigerantes pelas crianças e
cada uma delas levou 2 garrafas.
Quantas crianças havia?
• Quatro crianças levaram 8
refrigerantes à festa. Supondo
que todas levaram o mesmo
número de garrafas, quantos
refrigerantes haveria se 8
crianças fossem à festa?
Marta tem 4 selos. João tem 3
vezes mais do que ela. Quantos
selos tem João?
Regularidade
AxB=C
A= C
B
B= C
A
24
• João tem 12 selos e Marta tem
a terça parte da quantidade do
amigo. Quantos selos tem
Marta?
12
1
3
x
?
12
1
3
-
?
O Campo Multiplicativo
Exemplo
Observação
Variações
Organização retangular
Um salão tem 5 fileiras com 4
cadeiras em cada uma. Quantas
cadeiras há nesse salão?
Análise
dimensional
• Um salão tem 20 cadeiras, com
4 delas em cada fileira. Quantas
fileiras há no total?
• Um salão tem 20 cadeiras
distribuídas em colunas e
fileiras. Como elas podem ser
organizadas?
Exemplo
Observação
Variações
Combinatória
Uma menina tem 2 saias e 3
blusas de cores diferentes. De
quantas maneiras ela pode se
arrumar combinando as saias e
as blusas?
formação
de subconjuntos
• Uma menina pode combinar
suas saias e blusas de 6
maneiras diferentes. Sabendo
que ela tem apenas 2 saias,
quantas blusas ela tem?
• Uma menina pode combinar
suas saias e blusas de 6
maneiras diferentes. Sabendo
que ela tem apenas 3 blusas,
quantas saias ela tem?
Consultoria: Célia Maria Carolino Pires, coordenadora da pós-graduação em Educação Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), e Priscila Monteiro, formadora do programa
Matemática É D+
A possibilidade de mudança no ensino se baseia principalmente na Teoria dos Campos Conceituais, do psicólogo francês Gérard Vergnaud, que teve suas primeiras inserções no Brasil no
fim dos anos 1980. O pesquisador diferencia o campo aditivo do campo multiplicativo, identificando as particularidades de cada uma das áreas, mas também ressaltando o que elas têm
em comum: as operações não são estanques – não se pode descolar a adição da subtração,
assim como não se separa a multiplicação da divisão, e não há somente um caminho para solucionar os problemas matemáticos.
Com tantas negativas em seus pontos-chave, a teoria de Vergnaud se coloca em contraposição ao ensino convencional. “Trabalhar com campos conceituais é romper o contrato didático estabelecido tradicionalmente”, explica Lilian Ceile Marciano, orientadora pedagógica e
25
Formação de Professores
formadora de professores da Escola da Vila, em São Paulo. “Primeiro você apresenta a situação-problema. Só depois de ela ser elaborada pelos alunos, é possível começar a discussão sobre
as possíveis estratégias para resolvê-la”. O aluno pode não ter familiaridade com o algoritmo
nem perceber que a adição repetida faz parte do caminho para a multiplicação, mas vai se
apropriando da operação com as ferramentas que já possui.
Diferentes enunciados criam variados olhares
A divisão traz, desde o início, um fator de complexidade quando comparada às operações do
campo aditivo: ela trabalha com quatro termos – dividendo, divisor, quociente e resto –, em
vez de apenas os três da adição e da subtração. A diversidade de tipos de problema exige o
domínio das diversas relações matemáticas para ser resolvida.
Divisibilidade sem decoreba
Todo número par é divisível por 2. Um número é divisível por 3 se a soma dos algarismos que
o compõem for divisível por 3. Regras como essas talvez pareçam práticas no trabalho com a
divisibilidade, mas o seu uso pode incorrer na mesma questão dos algoritmos: ele perde o
sentido se não for revestido de significação para a garotada. Ao decorar a “fórmula mágica”,
que verifica se um número é divisível por outro sem fazer a conta armada, é possível ofuscar a
maior riqueza desse tipo de atividade: que a criança perceba as regularidades da divisão. “Em
problemas de máximo divisor comum (MDC), por exemplo, os alunos costumam começar
simplesmente testando o maior número”, diz Priscila Monteiro, formadora do programa Matemática É D+, da Fundação Victor Civita (FVC). “Essa estratégia é positiva e deve ser validada pelo professor”. Ela destaca que o interessante do trabalho com atividades que envolvem divisibilidade é o potencial de discutir estratégias e, em conjunto, elaborar hipóteses de generalização de fenômenos – o que mais tarde as turmas verificarão serem propriedades da divisão.
Assim, podem-se ter várias modalidades de enunciados que se baseiam nos mesmos elementos, como no exemplo: “Dezessete balas são divididas entre 5 crianças. Quantas balas ganha
cada uma se os doces forem distribuídos igualmente?” De formas variadas, os pequenos devem chegar ao resultado: 3 balas para cada uma e sobram 2. A questão pode ser alterada sem
modificar os termos: e se as balas forem distribuídas uma a uma até acabarem? Nesse caso,
formam-se dois grupos com quantidades diferentes, e o aluno verificará – por contagem, subtração repetida ou multiplicando números por 5 até chegar ao mais próximo de 17 (3 x 5), entre outras estratégias – que cada criança recebe 3 balas e 2 ficam com 1 bala a mais.
Há também como alterar o local da incógnita na operação, usando sempre os mesmos termos: 17
balas foram distribuídas igualmente entre um número de crianças, cada uma ficou com 3 e sobraram 2. Quantas crianças havia? Nesse caso, a relação de inverso entre multiplicação e divisão é o
destaque. Quanto mais tipos de problema as turmas conhecerem, mais elas ampliarão a compreensão das operações e aumentarão o repertório de estratégias para elucidar os desafios.
Percebe-se também que relações referentes ao campo aditivo, como a composição e a decomposição de números, servem como uma base para progredir no campo multiplicativo, assim como a compreensão do valor posicional e real dos algarismos.
26
O Campo Multiplicativo
Conhecer os tipos de trabalho é chave para ensinar melhor
Até o 5º ano do Ensino Fundamental, é importante trabalhar com três conceitos do campo
multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. Com a proporcionalidade, a criança percebe a regularidade entre elementos de uma tabela – se um pacote
tem 5 figurinhas, 2 pacotes têm 10, 3 pacotes têm 15 etc. – e deve também ter oportunidade
de constatar a ideia da proporcionalidade inversa (fenômeno da diminuição proporcional de
um dos elementos com o aumento do outro. Exemplo: uma caixa d’água tem seu volume diminuído pela metade a cada semana. Quanto tempo levará para chegar a 1/8 de sua capacidade total? Nessa lógica, quanto maior o tempo, menor é o resultado obtido).
A organização retangular – também conhecida como análise dimensional ou produto de medidas – pode ter mais questões de seu potencial de complexidade tratadas nas séries iniciais.
Algumas propostas envolvem o desafio de descobrir a área de uma superfície, quantas peças
cabem em um tabuleiro, o número de casas ou de uma casa específica em jogos com tabelas
numéricas. “É comum a criança não entender de início que um retângulo de três fileiras e quatro linhas tenha o mesmo número de casas que um de quatro fileiras e três linhas”, explica Ana
Ruth Starepravo, educadora e pesquisadora da Universidade de São Paulo (USP). “Familiarizar-se com essa noção é importante para o campo multiplicativo e para a geometria e a percepção do espaço”, argumenta.
A análise combinatória – conteúdo antes reservado às turmas do Ensino Médio – ganha lugar
nas séries iniciais. Os desafios que desenvolvem combinação são adaptados para ficar ao alcance do entendimento dos alunos menores. No início, a garotada geralmente faz representações usando desenhos ou identificando, com outras notações, elemento por elemento no
papel e, somente depois, faz a contagem.
Essa estratégia é útil e importante para a compreensão da operação, mas quando diferentes
maneiras de calcular são discutidas pelo grupo e validadas pelo professor e a grandeza dos
números envolvidos cresce, é hora de sistematizar o conhecimento. “É preciso dar conta das
ideias que estão por trás do concreto”, explica Esther Pillar Grossi, doutora em psicologia da inteligência e coordenadora do Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e
Ação (Geempa), em Porto Alegre. “É importante ter algo que possa ser generalizado, um conhecimento já incorporado e que possa ser usado sem ser preciso inventar uma estratégia a
cada problema”.
Saber armar conta sem saber o porquê não faz sentido
A ideia de que dispomos de um aglomerado de saberes – espécie de rede maleável e aberta
que se reorganiza a cada novo conhecimento adquirido, criando novas relações –, trabalhada
por seguidores de Vergnaud, remete à visão de que não há sentido em separar o aprendizado
das operações, mas aproveitar as relações estabelecidas para avançar no estudo da matemática.
Mudança de verdade
Romper com a educação matemática tradicional é uma atitude válida desde que a mudança seja construída com consistência pelo educador e embasada por conhecimentos concretos. “O
27
Formação de Professores
que mais ouço em formações de professores são discursos estereotipados e vazios, como o clichê de desenvolver o raciocínio lógico e de estimular que as crianças ‘vivenciem’ os problemas”,
conta Silvia Swain Canoas, docente da Universidade do Estado de Minas Gerais (UEMG) e especialista em campo multiplicativo. “Quando pergunto que tipo de prática propicia esses objetivos,
eles repetem o velho esquema linear de trabalho com as operações”. Para ela, uma das maiores
dificuldades dos professores é o fato de não compreenderem realmente o que se busca com o
uso do campo multiplicativo. É preciso ter clareza de que trabalhar nessa linha é oferecer oportunidades de estabelecer mais relações matemáticas com as mesmas operações que são trabalhadas no ensino tradicional. Primeiro, o professor deve saber quais delas podem ser trabalhadas
nas séries iniciais – a proporcionalidade (direta e inversa), a organização espacial e a combinatória. Quanto mais amplo for o conhecimento do professor sobre esses conceitos, maior facilidade
ele terá para reconhecer os tipos de problema. Assim, a tendência é que a diversidade de questões e de resoluções cresça, assim como a rede de saberes do próprio aluno.
O campo aditivo e o multiplicativo podem ser ensinados paralelamente e de maneira não linear. As relações entre adição e multiplicação e entre subtração e divisão devem ser explicitadas,
como explica Esther: “O ensino da disciplina nas séries iniciais caminha em três pistas: desenvolver as estruturas numéricas, aditivas e multiplicativas”. Uma vez ativa em todas essas áreas, por
mais que não as domine de imediato, a criança vai gradualmente tecendo as relações entre os
conceitos das operações, e o posterior aprendizado do algoritmo ganhará significado.
Sob esse enfoque, saber armar uma conta sem entender o porquê da escolha da operação
não faz sentido. Um termômetro disso é a necessidade de a criança perguntar qual operação
deve ser utilizada em cada problema. “Pode-se estabelecer uma analogia com a informática”,
diz Jorge Falcão, da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). “Qualquer programador faz
o computador calcular. O desafio é conseguir que a máquina interprete o problema e decida
qual operação realizar”.
De todo modo, o algoritmo não deve ser desprezado, mas é crucial que a criança compreenda o que é o resto, por exemplo, sem pensar que seja simplesmente um dos elementos dos
quais tem de dar conta para executar o algoritmo da divisão. Aquela que enxergar além disso
nas séries iniciais sairá em vantagem no percurso de compreensão da matemática.
Extraído de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-divisao-ja-series-iniciais-500495.shtml.
Acesso em: 30.abr.2013.
2. Elejam alguns pontos comuns ao grupo e discutam.
3. À luz das considerações trazidas neste texto, atentem, mais uma vez, à prática de sala de aula e reflitam sobre alguns aspectos do trabalho com o campo multiplicativo descritos na primeira coluna da
tabela que segue. Em seguida, façam um registro coletivo que relate como esse trabalho vem acontecendo nessa escola, preenchendo a 2ª e a 3ª colunas.
28
O Campo Multiplicativo
Escola:
Município:
Professores que fazem parte desse grupo de estudos:
Formador local responsável pelo grupo de estudo:
Trechos do texto para refletirem sobre como esse
trabalho acontece, na prática,
nas salas de aula dessa escola
O que já está assegurado, a
respeito desse aspecto do
trabalho, para esse grupo de
professores?
Em quais aspectos desse
trabalho esse grupo de
professores considera que
ainda é preciso avançar?
TRECHO 1
Outra visão que se modificou nos
últimos anos diz respeito à
segregação do multiplicar e do
dividir. Por que tratá-los como
etapas diferentes se a ligação entre
eles é tão estreita?
TRECHO 2
A ideia defendida por especialistas
de renome é buscar cada vez mais
evidenciar as relações existentes
entre as operações, mesmo antes da
sistematização de seus algoritmos.
TRECHO 3
Ao decorar a “fórmula mágica” que
verifica se um número é divisível por
outro sem fazer a conta armada, é
possível ofuscar a maior riqueza desse
tipo de atividade: que a criança
perceba as regularidades da divisão.
TRECHO 4
Até o 5º ano do Ensino Fundamental, é importante trabalhar com três
conceitos do campo multiplicativo:
a proporcionalidade, a organização
retangular e a combinatória.
TRECHO 5
A ideia de que dispomos de um
aglomerado de saberes – espécie de
rede maleável e aberta que se
reorganiza a cada novo conhecimento adquirido, criando novas relações
–, trabalhada por seguidores de
Vergnaud, remete à visão de que não
há sentido em separar o aprendizado das operações, mas aproveitar as
relações estabelecidas para avançar
no estudo da matemática.
29
Formação de Professores
Anexos:
Gabarito da atividade da página 10
Classificação
Problema
Proporcionalidade
A
Análise
combinatória
Configuração
retangular
X
B
X
C
X
D
X
E
X
F
X
Descritores de Matemática1
Bloco de
Conteúdo
Espaço e
forma
Número do
Descritor
Descrição
D1
Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras
representações gráficas.
D2
Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos,
relacionando figuras tridimensionais com suas planificações.
D3
Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo
número de lados, pelos tipos de ângulos.
D4
Identificar quadriláteros observando as posições relativas entre seus lados
(paralelos, concorrentes, perpendiculares).
D5
Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro
da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas
quadriculadas.
1 BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática: orientações para o professor.
Brasília: Inep, 2009.
30
O Campo Multiplicativo
Bloco de
Conteúdo
Número do
Descritor
Grandezas e
medidas
D6
Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de media convencionais ou não.
D7
Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas
como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml.
D8
Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo.
D9
Estabelecer relações entre o horário de início e término e/ou o intervalo da
duração de um evento ou acontecimento.
D10
Num problema, estabelecer trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário
brasileiro, em função de seus valores.
D11
Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas.
D12
Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas,
desenhadas em malhas quadriculadas.
D13
Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como
agrupamentos e trocas de base 10 e princípio do valor posicional.
D14
Identificar a localização de números naturais na reta numérica.
D15
Reconhecer a decomposição de números naturais nas suas diversas ordens.
D16
Reconhecer a composição e a decomposição de números naturais em sua forma
polinomial.
D17
Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais.
D18
Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais.
D19
Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da
adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva ou negativa),
comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa).
D20
Resolver problema com números naturais envolvendo diferentes significados da
multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, ideia de proporcionalidade,
configuração retangular e combinatória.
D21
Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.
D22
Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na
reta numérica.
D23
Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema
monetário brasileiro.
D24
Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes
significados.
D25
Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal
envolvendo diferentes significados da adição ou subtração.
D26
Resolver problemas envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 100%).
Números e
operações
Descrição
31
Formação de Professores
32
Bloco de
Conteúdo
Número do
Descritor
Tratamento da
Informação
D27
Ler informações e dados apresentados em tabelas.
D28
Ler informações e dados apresentados em gráficos (particularmente em gráficos
de colunas).
Descrição
O Campo Multiplicativo
Anotações
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Formação de Professores
34
O Campo Multiplicativo
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Formação de Professores
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