Pré-Formare
Matemática
Prezado educador,
Este material foi elaborado pelo nosso colaborador, professor José Carlos Antonio, professor e
autor de Matemática e Física, com grande experiência em educação presencial e a distância.
O objetivo dessas aulas é o de revisar conceitos importantes para a fundamentação matemática do
aluno. Esperamos que com essa revisão e nivelamento básico os alunos possam acompanhar os
cursos que exigirão dele o uso prático (operacional) desses conceitos.
Os tópicos escolhidos são fundamentais para essa fundamentação matemática, porém, eles não
esgotam o currículo do Ensino Fundamental nem pretendem ser a “melhor escolha” possível de
conteúdos a serem revisados. Sendo assim, cabe a você, educador, explorar cada aula conforme a
adequação da mesma para o nível da sua turma, bem como substituir uma ou mais dessas aulas
por outras que julgar mais apropriadas.
Os conceitos e conteúdos são oferecidos de forma bastante sintética, o que demanda de sua parte
uma boa e pacienciosa explanação para os alunos. Tenha em mente que para alguns alunos os
tópicos abordados podem estar sendo apresentados a eles pela primeira vez, ou podem não ter
sido aprendidos quando foram apresentados anteriormente.
Os exercícios visam à prática e alguns são indicados para serem feitos como exemplo na aula.
Dado que os alunos não dispõem de tempo para fazer tarefas em casa, é prudente que o tempo de
aula seja destinado para a realização do maior número possível de exercícios.
Em cada aula você encontrará a seguinte estrutura:
1. Breve resumo do que será abordado na aula;
2. Sugestões sobre como conduzir a aula;
3. Resumo da teoria tratada nos exercícios propostos;
4. Exemplos para serem resolvidos em lousa;
5. Exercícios para os alunos praticarem, com resolução e gabarito para o educador;
6. Problemas ou exercícios extras relacionados ao tema da aula.
Conforme a turma e a aula você pode adotar ou não o uso de calculadoras para apoiar os alunos,
mas é fundamental que todos tenham proficiência nas operações aritméticas básicas sem o uso de
calculadoras.
O trabalho em grupo também pode ser uma boa estratégia, principalmente se você tiver turmas
heterogêneas. Nesse caso procure sempre formar grupos de alunos onde alguns tenham mais
habilidade que outros.
Sempre que possível faça a correção de todos os problemas com os alunos, em classe, e, quando
isso não for possível, forneça a resposta final (gabarito) para o aluno se orientar na resolução dos
problemas que ficarem “para casa”.
Prof. José Carlos Antonio
Equipe FORMARE
1
Programação
Total de aulas: 15
Duração de cada aula: 2 horas
Quadro de programação
Aula Tema
Sub-tema
1
Aritmética
básica
Números inteiros
2
Aritmética
básica
Números racionais
3
Aritmética
básica
Números racionais
4
Aritmética
básica
Números irracionais
e reais
5
Aritmética
básica
Números decimais e
potências de 10
6
Aritmética
básica
Porcentagem
7
Aritmética
básica
Regra de três
8
Tratamento
da
informação
Análise e construção
de gráficos
Conteúdos
• Definição,
números
opostos, adição, subtração,
multiplicação e divisão com
números inteiros
• Potenciação com números
inteiros
• Definição
de
fração,
simplificação,
fração
equivalente, simplificação
• MMC, adição, subtração,
problemas
• Multiplicação e divisão com
números racionais
• Potenciação e precedência
de
operadores
com
números racionais
• Operações com números
irracionais e reais
• Expressões numéricas e
precedência de operadores
• Operações com números
decimais
• Potências de dez
• Múltiplos e submúltiplos
• Porcentagem
• Problemas
com
porcentagens
• Proporcionalidade
• Regra de três simples:
direta e inversa
• Problemas com regra de
três
• Tabelas e gráficos
• Gráficos de colunas
• Gráficos tipo pizza
2
9
Geometria
Figuras
planas
regulares e cálculo
de áreas
10
Geometria
Sólidos geométricos
regulares e cálculo
de volumes
11
Geometria
Ângulos planos
12
Geometria
Triângulo retângulo
13
Geometria
14
Álgebra
Semelhança
de
triângulos, razões e
proporções
Funções e equações
do primeiro grau
15
Revisão
geral
Revisão geral
• Quadrado,
triângulo,
retângulo,
losango,
trapézio, hexágono
• Área do quadrado, do
retângulo, do triângulo, do
trapézio e do círculo
• Cubo,
paralelepípedo,
esfera, cone e pirâmide
• Área
do
cubo,
do
paralelepípedo, da esfera,
do cone e da pirâmide
• Medida de ângulo em
graus e radianos
• Operações com ângulos
• Soma dos ângulos internos
no
triângulo
e
nos
quadriláteros
• Triângulos
• Teorema de Pitágoras
• Seno, cosseno e tangente
• Semelhança de triângulos;
• Razões
• Proporções
• Equação do primeiro grau
• Plano cartesiano
• Função do primeiro grau
• Revisão geral
3
Aula 1: Aritmética básica – Números inteiros
Educador: nessa aula revise com seus alunos os números inteiros e as principais
operações aritméticas. É importante que os alunos façam as contas, primeiro SEM
CALCULADORA e, depois, COM CALCULADORA. Este procedimento é indicado para
todas as operações dessa aula.
Também recomendamos que a revisão dos conceitos seja feita em paralelo com a
resolução dos exercícios propostos, e não de uma única vez. Dessa forma os alunos
apresentam um desempenho melhor.
Conjunto dos números inteiros:
Z = {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...}
*
= conjunto dos inteiros sem o zero
+ = conjunto dos inteiros positivos
−
= conjunto dos inteiros negativos
*
+
= conjunto dos inteiros positivos sem o zero
*
−
= conjunto dos inteiros negativos sem o zero
Números opostos ou simétricos:
Se a ∈ Z , então existe um número −a de forma que − a + a = 0 (elemento oposto). O oposto
de 0 é o próprio 0 .
Exemplos:
a) O oposto de – 76 é 76.
b) O oposto de 12 é – 12.
c) – (– 14) = 14
d) – ( 32) = – 32
1.
a)
b)
c)
d)
e)
Escreva os opostos dos números dados:
4 → (– 4)
–3 → 3
– 15 → 15
0 →0
332 → – 332
Soma algébrica:
Somam-se, separadamente, os números positivos e os números negativos (propriedade
associativa da adição) e, a seguir, faz-se a subtração resultante.
4
Exemplo:
a) – 4 – 3 + 2 – 4 + 7 = (– 4 – 3 – 4) + (2 + 7) = (– 11) + (9) = – 2
2.
a)
b)
c)
d)
e)
Efetue as somas algébricas indicadas:
2 + 5 + 12 = 19
2 + 5 – 12 = – 5
– 2 + 5 – 12 = – 9
– 2 – 5 – 12 = – 19
2 – 5 – 12 = – 15
Produto e divisão com números inteiros:
Aplica-se a regra de sinais:
1. Números com mesmo sinal → positivo
2. Números com sinais opostos → negativo
Exemplos:
a) – 2 x 7 = – 14
b) – 12 ÷ (– 4) = 3
Educador: Importante: lembrar o aluno de não escrever dois sinais juntos sem separá-los
por parênteses.
– 12 ÷ – 4 = 3 → ERRADO!
Educador: uma boa idéia é pedir aos alunos que construam um quadro com as tabuadas
do 1 ao 10 antes de dar seguimento aos exercícios.
1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
3.
a)
b)
c)
d)
e)
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Calcule os produtos indicados:
3 x 5 = 15
17 x 49 = 833
– 5 x 12 = – 60
8 x (– 22) = – 176
– 12 x (– 8) = 96
5
4. Obtenha os resultados das divisões abaixo, indicando qual é o quociente (Q) e qual é o
resto (R):
a) 40 ÷ 12
Q=3
R=4
b) – 28 ÷ 7
Q=–4
R=0
c) – 122 ÷ (– 5)
Q = 24
R=2
d) 72 ÷ (– 12)
Q=–6
R=0
e) 400 ÷ 5 ÷ (– 8)
Q = – 10
R=0
Potenciação com números inteiros:
Se {a, p, n} ∈ , então:
a0 = 1
a1 = a
a n = a14
× a24
× ... ×3a
n vezes
( n )×( p )
a ×a = a
⎧⎪−a n , se n é ímpar
n
−
=
a
( ) ⎨ n
⎪⎩a , se n é par
n
p
Exemplos:
a) – 24 = – 2 x 2 x 2 x 2 = – 16
b) (– 2)4 = (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) = 16
5.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Calcule as potências indicadas abaixo:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(– 2)3 = (– 2) x (– 2) x (– 2) = – 8
– (– 2)5 = – (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) = 32
– 24 = – (2 x 2 x 2 x 2) = – 16
33 = 3 x 3 x 3 = 27
(– 3)2 = (– 3) x (– 3) = 9
(– 1)7 = (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) x (– 1) = – 1
Desafio!
(– 1)220 = (- 1) x (- 1) x ... x (- 1) = 1 (o produto tem 220 fatores iguais a -1 e, portanto,
resultará 1 com sinal positivo.
6
Expressões numéricas com adições, subtrações, multiplicações e divisões:
1. Efetuam-se as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem e obedecendo-se
as regras de sinal;
2. Efetua-se a soma algébrica dos termos de mesmo sinal;
3. Efetua-se a subtração resultante.
Exemplo:
a) – 5 x 2 – 4 x (– 3) + 1 =
[– 5 x 2] – [4 x (– 3)] + 1 =
– 10 – (– 12) + 1 =
– 10 + 12 + 1 =
– 10 + 13 = 3
6.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule o valor das expressões abaixo:
– 2 x 3 – 3 = (– 2 x 3) – 3 = – 6 – 3 = – 9
– 2 x (– 3) – 3 = 6 – 3 = 3
2 x (– 3) + 3 = – 6 + 3 = – 3
2 x (– 3) – 3 = – 6 – 3 = – 9
–2x3+3=–6+3=–3
Problemas:
7. Quanto vale o dobro de catorze menos o triplo de quinze?
Resolução: (2 x 14) – (3 x 15) = 28 – 45 = - 17
8. Joãozinho tinha dez figurinhas quando foi jogar bafo com os amigos. Jogando com
Pedrinho ele triplicou suas figurinhas, mas depois perdeu quinze figurinhas para
Zezinho e outras sete para Manuzinha. Com quantas figurinhas ele ficou?
Resolução: (10 x 3) – 15 – 7 = 30 – 22 = 8
Resposta: Joãozinho ficou com 8 figurinhas.
9. Exercícios para treinamento de operações aritméticas básicas
Educador: se houver tempo restando nessa aula, passe algumas das operações abaixo (ou
todas) para que os alunos treinem e, peça que confiram os resultados com a calculadora,
mas certifique-se de que eles montem o algoritmo de cálculo e que usem a tabuada para
auxiliar o cálculo mental quando necessário (e não a calculadora).
a)
b)
c)
d)
e)
40 x 82 = 3.280
32 x 15 = 480
120 x 19 = 2280
-12 x (– 75) = 900
45 x (-22) = -990
f)
g)
h)
i)
j)
120 ÷ 12 = 10
120 ÷ (- 60) = -2
450 ÷ 15 = 30
– 144 ÷ 36 = - 4
– 2500 ÷ (-50) = 50
7
Aula 2: Aritmética básica – Números Racionais
Educador: nessa aula vamos revisar com os alunos os números racionais e as operações
aritméticas de adição e subtração. Também vamos rever um pouco sobre o tema
divisibilidade e sobre a simplificação de frações.
Os alunos tendem a usar calculadoras e preferem trabalhar com números decimais, mas é
importante que saibam trabalhar diretamente com frações e, por isso, sugerimos que
enfatize essa necessidade com eles.
Também recomendamos que a revisão dos conceitos seja feita em paralelo com a
resolução dos exercícios propostos, e não de uma única vez. Dessa forma os alunos
tendem a apresentar um desempenho melhor.
Conjunto dos números racionais:
a
⎧
⎫
= ⎨ x / x = , a ∈ Z, b ∈ Z * ⎬
b
⎩
⎭
Pertencem ao conjunto dos racionais todos os números que podem ser escritos na forma
de fração com denominador não nulo.
Uma fração também é chamada de razão ou quociente entre dois números.
Exemplos:
a) 2/5 é um número racional
2
b)
é um número racional
5
2
5
2
d) -2 é um número racional que pode ser escrito como a fração −
1
e) 2 não é um número racional
c) 0,4 é um número racional que pode ser escrito como a fração
Frações equivalentes:
Duas frações são equivalentes quando representam a mesma parte de um todo:
Podemos simplificar uma fração quando tanto o numerador quanto o denominador são
múltiplos de um mesmo número (isto é, podem ser divididos por um mesmo número) e,
assim, obter uma fração equivalente mais simples.
8
A forma mais simples de uma fração simplificada é chamada de forma irredutível, ou
simplificada, da fração.
Observe que quando multiplicamos ou dividimos ao mesmo tempo o numerador e o
denominador de uma fração obtemos sempre uma fração equivalente.
Exemplo:
8
8÷2 4
=
=
16 16 ÷ 2 8
4 4÷2 2
=
=
8 8÷2 4
2 2÷2 1
1
8
2 4
=
= ⇒
é a forma simplificada das frações ,
e
.
4 4÷2 2
2
16
4 8
Algumas regras simples para encontrar rapidamente os divisores de um número:
• Divisível por 2: quando o número é par. Ex. 200 é par, logo, é divisível por 2.
• Divisível por 3: quando a soma dos algarismos do número é divisível por 3. Ex.: 81 é
divisível por 3, pois 8 + 1 = 9 e 9 é divisível por 3.
• Divisível por 4: quando o número é divisível por 2 e o resultado também é divisível por
2. Ex: 248 é divisível por 4, pois 248 ÷ 2 = 124 e, 124 ÷ 2 = 62.
• Divisível por 5: quando o número termina com o algarismo 0 ou 5. Ex.: 155.
• Divisível por 6: quando o número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Ex.: 72 é
divisível por 2 (porque é par) e é divisível por 3 (porque 7 + 2 = 9) e, portanto, é divisível
por 6.
• Divisível por 8: quando é divisível por 2 três vezes seguidas. Ex.: 132 ÷ 2 = 64; 64 ÷ 2
= 32; 32 ÷ 2 = 16. Logo, 64 é divisível por 8.
• Divisível por 9: quando a soma dos seus algarismos resultar em um número divisível
por 9. Ex.: 108 é divisível por 9, pois 1 + 0 + 8 = 9.
• Divisível por 10: quando o número terminar em 0. Ex.: 250.
1. Assinale com um X, na tabela abaixo, as colunas em que o número dado na primeira
coluna é divisível pelo número mostrado na primeira linha. Siga o modelo da segunda
linha (para o número 405):
2
405
504
90
72
333
144
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
4
5
X
6
8
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
9
X
X
X
X
X
X
10
X
2. Simplifique as frações abaixo até encontrar sua forma irredutível. Siga o modelo das
divisões sucessivas mostrado no item “a”:
18 18 ÷ 2 9 ÷ 3 3
=
=
=
a)
12 12 ÷ 2 6 ÷ 3 2
9
75 75 ÷ 3 25 ÷ 5 5
=
=
=
30 30 ÷ 3 10 ÷ 5 2
39 39 ÷ 3 13
=
=
c)
15 15 ÷ 3 5
504 504 ÷ 2 252 ÷ 2 126 ÷ 2 63 ÷ 3 21 ÷ 3 7
=
=
=
=
=
=
d)
144 144 ÷ 2 72 ÷ 2
36 ÷ 2 18 ÷ 3 6 ÷ 3 2
420 420 ÷ 10 42 ÷ 2 21 ÷ 3 7
=
=
=
=
e)
30 300 ÷ 10 30 ÷ 2 15 ÷ 3 5
b)
Adição e subtração de frações com o mesmo denominador:
Para adicionar ou subtrair frações com o mesmo denominador, conservamos o
denominador e efetuamos a operação apenas com os numeradores.
Exemplo:
7 2 7+2 9
=
a) + =
5 5
5
5
÷2 =3
6
6
3
13 19 13 − 19
= − = − ÷2= 2 = −
− =
b)
4
4
2
4 4
4
(note que simplificamos a fração)
3. Efetue as adições e subtrações abaixo e simplifique o resultado sempre que for
possível:
÷4 = 2
8
2
5 3 5+3 8
=
= =
+ =
a)
÷4 =3
12 12 12
3
12 12
3 24 3 − 24
21
−
=
= − = −3
b)
7 7
7
7
12 7 2 12 − 7 + 2 7
7
− + =
= =
c)
15 15 15
15
15 15
Mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 ou mais números:
É o menor número que é divisível ao mesmo tempo pelos 2 ou mais números dados.
Exemplo:
a) Determine o MMC dos números 12, 8, e 6:
24
24
24
=2;
= 3;
=4
12
8
6
10
4. Encontre o MMC dos números:
a) 5 e 15
Resolução:
b) 6, 10, 15
Resolução:
c) 5, 20, 30
Resolução:
d) 3, 5 e 7
Resolução:
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes:
Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, devemos primeiro
escrevê-las como frações equivalentes com um mesmo denominador. Para isso
encontramos o MMC dos denominadores e então escrevemos as frações equivalentes com
esse denominador comum. A partir daí a operação segue a mesma regra vista
anteriormente para o caso de denominadores iguais.
Exemplo:
11
7 2
+ =
5 15
Resolução: Encontramos o MMC(5, 15):
a)
Agora encontramos a fração equivalente que possui denominador 15:
7 × 3 2 21 2 21 + 2 23
+ = + =
=
5 × 3 15 15 15
15
15
Educador: note que o que estamos fazendo é aplicar a regra de reescrita da fração que
geralmente aprendemos como “pegar o MMC, dividir pelo denominador e multiplicar pelo
numerador para obter o novo numerador”. Aqui estamos optando por mostrar ao aluno
“como isso funciona”.
b)
5 7 3
− + =
12 15 8
Educador: resolva esse exemplo com bastante calma e procure se certificar de que os
alunos conseguem compreendê-lo. Se eles encontrarem muita dificuldade, resolva
também os itens “a” e “b” dos exercícios a seguir como exemplos.
Resolução: Encontramos o MMC(12, 15, 8):
5 7 3 5 ×10 7 × 8 3 ×15 50 56 45 50 − 56 + 45 39
− + =
−
+
=
−
+
=
=
12 15 8 12 ×10 15 × 8 8 ×15 120 120 120
120
120
Note que o resultado pode ser simplificado:
÷3=13
39
39
13
=
=
÷3= 40
120 120
40
5. Efetue as adições e subtrações abaixo e simplifique o resultado sempre que for
possível:
1 2 1× 5 2 × 3 5 6 5 + 6 11
+
= + =
=
+ =
a)
3 5 3 × 5 5 × 3 15 15 15 15
b)
5 7
5 × 4 7 × 3 20 21 20 + 21 41
+
=
+
=
=
+ =
12 16 12 × 4 16 × 3 48 48
48
48
12
Educador: note que MMC(12,16) = 48)
c)
7 9
7 × 4 9 × 3 28 27 1
−
=
−
=
−
=
15 20 15 × 4 20 × 3 60 60 60
Educador: note que MMC(15, 20) = 60
d) 2 −
15 2 5 2 × 2 5 4 5
1
= − =
− = − =−
2 1 2 1× 2 2 2 2
2
Educador: note que o aluno deve perceber que 2 = 2/1.
4 3 11
e) 3 − + − =
5 10 6
÷10 = 2
3 × 30 4 × 6 3 × 3 11× 5 90 24 9 55 90 − 24 + 9 − 55 20
2
=
−
+
−
= − + − =
=
÷10 =3
1× 30 5 × 6 10 × 3 6 × 5 30 30 30 30
30
3
30
Educador: note que MMC(1, 5, 10, 6) = 30 e que o resultado final está simplificado.
Problemas envolvendo números racionais:
6. As pizzas normalmente são cortadas em 8 pedaços aproximadamente iguais, de
maneira que cada pedaço corresponde a 1/8 da pizza. Se João comeu 3/8 de uma
pizza e o restante foi comido por Pedro, quantos pedaços este comeu a mais?
Resolução: Se João comeu 3/8 da pizza, então restaram 5/8 para Pedro, pois:
3 5 3+ 5 8
+ =
= =1
8 8
8
8
Ou, equivalentemente:
3 8 3 8−3 5
=
1− = − =
8 8 8
8
8
Assim, Pedro comeu 5 pedaços de pizza e, portanto, comeu 2 pedaços a mais que
João.
7. Seu José distribuiu os R$ 200,00 da mesada de seus três filhos da seguinte forma:
1 – o filho mais velho recebeu 1/2 do dinheiro;
2 – o filho mais novo recebeu 1/5 do dinheiro;
3 – o filho do meio ficou com o restante do dinheiro.
Quanto recebeu o filho do meio?
Resolução: o valor recebido pelo filho do meio é o que sobra da mesada quando se
subtrai as partes do filho mais velho e do filho mais novo:
1 1 1×10 1× 5 1× 2 10 5 2 10 − 5 − 2 3
−
−
= − − =
=
1− − =
2 5 1×10 2 × 5 5 × 2 10 10 10
10
10
13
Assim, dividindo-se a mesada de R$ 200,00 em 10 partes, o filho do meio recebeu 3
dessas partes, ou seja, 3 x 20 = R$ 60,00.
Resposta: O filho do meio recebeu R$ 60,00.
Educador: verifique com os alunos outras formas pelas quais eles resolveram o
problema e socialize-as com a turma toda.
8. Em determinada indústria, de cada 140 peças, 3 apresentam algum tipo de defeito.
Num lote de 560 peças, quantas peças apresentam defeito?
Resolução: a fração de peças com defeito é de 3 para cada lote de 140 ou,
equivalentemente, 3/140.
A fração equivalente a 3/140 com denominador 560 pode ser encontrada descobrindose o número que multiplicado por 140 resulta em 560:
560
=4
140
Assim, temos:
3
3× 4
12
=
=
140 140 × 4 560
Portanto, em um lote de 560 peças, 12 apresentam defeito.
Resposta: 12 peças apresentam defeito.
Educador: verifique com os alunos outras formas pelas quais eles resolveram o
problema e socialize-as com a turma toda.
14
Aula 3: Aritmética básica – Números Racionais
Educador: nessa aula revisaremos as operações de multiplicação, divisão e potenciação
com números racionais. Além disso, exploraremos, ao final, expressões que contém todas
essas operações e que requerem que o aluno recorde a precedência correta dos
operadores.
Multiplicação de números racionais
Para multiplicarmos dois ou mais números racionais, multiplicamos os numeradores para
obter o novo numerador e, multiplicamos os denominadores para obter o novo
denominador:
a c a×c
× =
, com b e d diferentes de zero.
b d b× d
Exemplos:
Educador: aproveite esses exemplos para recordar com os alunos as regras de sinal da
multiplicação e o princípio básico da simplificação de frações.
⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 2 × 5 10
=
a) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 3 × 7 21
15
⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞
(observe a regra de sinal!)
b) ⎜ − ⎟ . ⎜ ⎟ = −
16
⎝ 8⎠ ⎝2⎠
3 ÷3=1 × 2 ÷2=1
1× 1
1
⎛3⎞ ⎛ 2 ⎞
=−
=−
c) ⎜ ⎟ . ⎜ − ⎟ = −
÷
3
=
5
2×5
10
⎝ 4 ⎠ ⎝ 15 ⎠
4 ÷2= 2 × 15
multiplicação)
(observe
a
simplificação
durante
a
1. Efetue as multiplicações indicadas abaixo:
5 3 5 × 3 15
× =
=
a)
2 7 2 × 7 14
4 ×12
48
⎛ 4 ⎞ ⎛ 12 ⎞
=−
b) ⎜ ⎟ . ⎜ − ⎟ = −
3× 5
15
⎝3⎠ ⎝ 5 ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 2 × 8 16
=
c) ⎜ − ⎟ . ⎜ − ⎟ =
⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 5 × 3 15
⎛ 8 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 8 × 2 × 7 112
=
d) ⎜ ⎟ . ⎜ − ⎟ . ⎜ − ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 9 ⎠ 3 × 5 × 9 135
2. Efetue as multiplicações e simplifique os resultados:
Educador: resolva esses exercícios com bastante calma e paciência, em conjunto com os
alunos. É bastante comum que os alunos tenham dificuldades nas simplificações.
15
÷2 = 2
÷3 = 3
4 9
4
9
2×3 6
× =
a)
× ÷2 = 5 =
=
÷3 = 5
15 10 15
5 × 5 25
10
÷3=1
÷4 = 5
3
20
1× 5
5
⎛ 3 ⎞ ⎛ 20 ⎞
b) ⎜ ⎟ . ⎜ − ⎟ = − ÷4= 2 × ÷3=3 = −
=−
2×3
6
⎝8⎠ ⎝ 9 ⎠
8
9
÷5 = 5
÷4 = 3
12
5× 3
⎛ 25 ⎞ ⎛ 12 ⎞ 25
c) ⎜ − ⎟ . ⎜ − ⎟ =
= 15
× ÷5=1 =
÷4 =1
1× 1
⎝ 4 ⎠⎝ 5⎠
4
5
÷2 = 3
÷3=1
÷5 = 3
3
15
3 × 1× 3
3
6
⎛ 6 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 15 ⎞
d) ⎜ − ⎟ . ⎜ − ⎟ . ⎜ − ⎟ = − ÷5=1 × ÷2=5 × ÷3=3 = −
=−
5¨
1× 5 × 3
⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 9 ⎠
5
10
9
÷2 = 3
1
6
⎛1⎞
⎛ −3 ⎞
e) ⎜ ⎟ . ( −6 ) . ⎜ ⎟ = ÷3=3 ×
1
⎝9⎠
⎝ 4 ⎠ 9
×
3
4
÷3=1
÷2 = 2
=
1× 3 × 1 1
=
3 × 1× 2 2
Divisão de números racionais
Para dividirmos dois números racionais, multiplicamos o primeiro deles pelo inverso do
segundo:
a c a d a×d
÷ = × =
, com b, c e d diferentes de zero.
b d b c b×c
Exemplos:
Educador: nesses exemplos procure destacar as diferentes formas de se indicar a
operação de divisão de números racionais e trabalhe novamente as multiplicações com
simplificação.
2 5 2 2 4
÷ = × =
3 2 3 5 15
÷3 = 2
⎛ 1
⎞
6
1× 2
2
⎛1⎞ ⎛ 5⎞
b) ⎜ ⎟ ÷ ⎜ − ⎟ = − ⎜ ÷3=1 ×
⎟=−
=−
⎜
⎟
5 ⎠
1× 5
5
⎝3⎠ ⎝ 6⎠
⎝3
⎛8⎞
÷5 = 2
⎜ ⎟
8
10
8× 2
16
5⎠
⎝
c)
= − ÷5=1 ×
=−
=−
3
1× 3
3
⎛ 3⎞
5
⎜− ⎟
⎝ 10 ⎠
a)
3. Faça as divisões indicadas abaixo e simplifique os resultados sempre que for possível.
÷4 = 4
16 4 16
÷ =
a)
5
5 3
3
×
4
÷4 =1
÷5 = 5
=
4 × 3 12
=
5 ×1 5
÷3 = 3
9
5× 3
15
25
25 ⎛ −10 ⎞
b)
=−
÷⎜
⎟ = − ÷3=1 × ÷5= 2 = −
3 ⎝ 9 ⎠
1× 2
2
3
10
16
÷2 = 3
6 10 6
÷ =
c)
5 9
5
9
×
10
÷2 = 5
=
3 × 9 27
=
5 × 5 25
⎛ 10 ⎞
⎜ ⎟ 10 ÷2=5 3 ÷3=1 5 × 1 5
9
d) ⎝ ⎠ = ÷3=3 × ÷2=1 =
=
3 ×1 3
⎛2⎞
9
2
⎜ ⎟
⎝3⎠
÷2 = 2
−4
4
e)
=
1
⎛ 2⎞
⎜− ⎟
⎝ 5⎠
5
×
2
÷2 =1
=
2 × 5 10
=
= 10
1× 1 1
Potenciação com números racionais:
Se {a, b, n} ∈ , n ≠ 0, b ≠ 0 , então:
n
an
⎛a⎞
=
, a potência de um quociente é o quociente das potências
⎜ ⎟
bn
⎝b⎠
⎧ an
n
⎪⎪ b n , se n é par
an
⎛ a⎞
n
⎜ − ⎟ = (−1) × n ⇒ ⎨ n
, a potência de uma fração negativa é positiva se o
b
⎝ b⎠
⎪− a , se n é ímpar
⎪⎩ b n
expoente for par e negativa se o expoente for ímpar.
−n
n
⎛a⎞
⎛b⎞
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟ , uma fração elevada a um expoente negativo é igual ao inverso da fração
⎝b⎠
⎝a⎠
elevada ao expoente positivo.
Educador: as regras acima podem parecer não fazer nenhum sentido para os alunos se
não forem acompanhadas por exemplos, por isso sugerimos que, para cada regra, se faça
um exemplo correspondente durante a apresentação da regra.
Exemplos:
22 2 × 2 4
⎛2⎞
=
a) ⎜ ⎟ = 2 =
3
3× 3 9
⎝3⎠
3
⎛ 33 ⎞
3× 3× 3
27
⎛ 3⎞
=−
b) ⎜ − ⎟ = (−1)3 ⎜ 3 ⎟ = −
4× 4× 4
64
⎝ 4⎠
⎝4 ⎠
2
−2
2
22 4
⎛2⎞
⎛3⎞
c) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 =
3
9
⎝3⎠
⎝2⎠
4. Calcule o valor das expressões abaixo:
2
2
32 9
⎛3⎞
⎛3⎞
a) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 =
2
4
⎝2⎠
⎝2⎠
17
13 1×1×1 1
⎛1⎞
=
b) ⎜ ⎟ = 3 =
3 3 × 3 × 3 27
⎝3⎠
3
12 1×1 1
⎛ 1⎞
=
c) ⎜ − ⎟ = (−1) 2 2 =
5
5 × 5 25
⎝ 5⎠
2
−3
3
3
⎛ 5 ⎞ 5 125
⎛2⎞
d) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 3 =
8
⎝2⎠ 2
⎝5⎠
−3
3
53
125
⎛ 2⎞
−3 ⎛ 5 ⎞
e) ⎜ − ⎟ = (−1) × ⎜ ⎟ = − 3 = −
2
8
⎝ 5⎠
⎝2⎠
Precedência de operadores:
Em expressões contendo várias operações (+, -, x, ÷ ou potências), a ordem de cálculo
que deve ser seguida é:
1º - potenciação;
2º - multiplicação e divisão (em qualquer ordem);
3º - adição e subtração (em qualquer ordem);
Quando a expressão contém chaves, parênteses ou colchetes, a ordem de cálculo que
deve ser seguida é:
1º - resolver dentro dos parênteses ( );
2º - resolver dentro dos colchetes [ ];
3º - resolver dentro das chaves { }.
Exemplos:
a) 2 – 3 × 4 – 2 = 2 – ( 3 x 4 ) – 2 = 2 – 12 – 2 = 2 – 14 = – 12
⎛ 7 × 4 ÷2= 2 ⎞
7
⎛ 7×2 ⎞
⎛7 ⎞
⎛7 4⎞
× 4 − 2 = ⎜ × 4 ⎟ − 2 = ⎜ × ⎟ − 2 = ⎜ ÷2=1 ⎟ − 2 = ⎜
b)
⎟ − 2 = 14 − 2 = 12
⎜
⎟
2
×
1
1
⎝
⎠
⎝2 ⎠
⎝2 1⎠
2
×
1
⎝
⎠
c) 8 ÷ 4 × 3 − 1 = ( 8 ÷ 4 ) × 3 − 1 = ( 2 ) × 3 − 1 = (2 × 3) − 1 = 6 − 1 = 5
5. Calcule o valor das expressões abaixo:
a) 4 − 3 × 2 − 1 = 4 − ( 3 × 2 ) − 1 = 4 − ( 6 ) − 1 = 4 − 7 = −3
÷4 =1
2 4 3 2 ⎛ 4 3⎞ 2 ⎛ 4
3 ⎞ 2 ⎛ 1× 3 ⎞ 2 ⎛ 3 ⎞
− × = −⎜ × ⎟ = −⎜
b)
× ÷4= 2 ⎟ = − ⎜
= −
⎟ 3 ⎝ 5 × 2 ⎠⎟ 3 ⎝⎜ 10 ⎠⎟
3 5 8 3 ⎝ 5 8 ⎠ 3 ⎝⎜ 5
8
⎠
MMC 2 × 10
3 × 3 20 9 20 − 9 11
=
−
=
− =
=
3 ×10 10 × 3 30 30
30
30
⎡⎛ 4 ⎞ ⎤
⎢⎜ − 5 ⎟ ⎥
⎡⎛ 4 ÷4=1 ⎞ ⎛ 25 ÷5=5 ⎞ ⎤
⎡ 1× 5 ⎞ ⎤
5
⎡ 5⎤
⎝
⎠
⎥ = −2 − ⎢⎜ − ÷5=1 ⎟ ⎜ ÷4= 2 ⎟ ⎥ = −2 − ⎢⎛⎜ −
c) −2 − ⎢
= −2 − ⎢ − ⎥ = −2 +
⎟
⎥
⎟⎥
⎟⎜ 8
2
⎣ 2⎦
⎢⎛ 8 ⎞⎥
⎢⎣⎜⎝ 5
⎣⎝ 1 × 2 ⎠ ⎦
⎠⎦
⎠⎝
⎜
⎟
⎢⎣ ⎝ 25 ⎠ ⎥⎦
MMC 2 × 2
5 ×1
4 5 −4 + 5 1
= −
+
=− + =
=
1× 2 2 × 1
2 2
2
2
18
÷9 = 2
2
18 ⎛ 2 ⎞
9 18 22 9 ⎛ 18 4 ⎞ 9 ⎛ 18
4 ⎞ 9 ⎛ 2× 4 ⎞ 9
×⎜ ⎟ ÷ = × 2 ÷ = ⎜ × ⎟ ÷ = ⎜
d)
× ÷9=1 ⎟ ÷ = ⎜
÷
⎟ 10 ⎝ 5 ×1 ⎟⎠ 10
5 ⎝ 3 ⎠ 10 5 3 10 ⎝ 5 9 ⎠ 10 ⎜⎝ 5
9
⎠
÷5 = 2
8 9
8
10
= ÷ = ÷5=1 ×
5 10 5
9
=
8 × 2 16
=
1× 9 9
19
Aula 4: Aritmética básica – Números Irracionais e Reais
Educador: nessa aula revisaremos as operações com números irracionais e com números
reais. Essa aula é uma aula de fechamento sobre as operações aritméticas básicas, por
isso sugerimos que todos os conceitos e técnicas que ainda apresentam problemas para os
alunos sejam revisados.
Radiciação:
b = n a ⇔ a = b n , com a > 0 se n for par.
p
n
n
a = a , se n = p , então
n
a.b = n a . n b
p
n
n
n
a = a = a1 = a
n
a na
=
b nb
Educador: mais uma vez recomendamos que todas as regras sejam ilustradas com, pelo
menos, um exemplo, de forma que o aluno possa ver com clareza sua aplicação.
n
Exemplos:
a) 4 = 2 , pois 22 = 4
b) 3 2 × 5 = 3 2. 3 5
c)
3
22
=
5
d)
5
35 = 3 5 = 3
3
22
5
5
1. Calcule o valor das raízes abaixo e justifique:
a) 16 = 4 , pois 42 = 16
b)
3
27 = 3 , pois 33 = 27
c)
3
−8 = −2 , pois ( −2 ) = −8
d)
3
−9 = ?, não pertence ao conjunto dos reais, pois, não existe nenhum número real que
elevado ao quadrado dê – 9 ( a 2 = −9 ⇒ a = ??? ).
2. Calcule o valor das expressões:
Educador: recomendamos fortemente que os exercícios abaixo sejam corrigidos em lousa,
pois muitos alunos têm dificuldades com a manipulação de radicais.
4.9 = 4. 9 = 2.3 = 6 ou, 4.9 = 2. 9 = 2 2 . 3 2 = 2.3 = 6
⎛ 8⎞ ⎛ 1⎞
8 × 1 3 23 2
3
3
3
= 3 =
b) ⎜⎜
⎟⎟ . ⎜⎜
⎟⎟ =
3× 9
3
3
⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠
a)
2
2
20
⎛ 2 ⎞
c) ⎜⎜
⎟⎟ . 5 =
⎝ 10 ⎠
2× 5
2×5
=
=
10
10
10
=1
10
Números irracionais:
São todos os números que não podem ser escritos na forma de fração.
Os números irracionais podem ser aproximados por números decimais, mas esses
decimais têm infinitas casas.
Exemplos:
a) π = 3,14159265...
2 = 1, 41421356...
b)
c)
3
5 = 1, 70997594...
Números reais:
É o conjunto que se obtém juntando os números racionais e irracionais.
3. Usando agora a calculadora, calcule o valor das expressões e dê sua resposta com
aproximação de duas casas decimais.
Educador: nessa atividade o aluno terá a oportunidade de usar a calculadora e verificar
que, mesmo de posse dela, ele precisará conhecer a precedência de operadores e realizar
as operações na ordem correta. Essa é uma atividade onde o trabalho em grupo pode ser
uma boa estratégia, lembrando de misturar nos grupos os alunos com maiores e menores
habilidades para lidar com números irracionais.
2 + 3 = 1, 41 + 1, 73 = 3,14
a)
b)
5
11 = 1,62
c) 25 − 2 × 5 = 25 −
d)
(
)
2 × 5 = 25 − (1, 41× 5 ) = 25 − 7, 05 = 17,95
2
⎛ 2 ⎞
⎛ 2 ⎞
2
2
2
−
×
=
−
×
π
=
π
0,
66
0,
66
(
)
⎜
⎟
⎜ 1, 71 ⎟ − 0, 66 × ( 3,14 )
3
3
5
⎝ 5⎠
⎝
⎠
= (1,17 ) − 0, 66 × ( 9,86 ) = 1,17 − ( 0, 66 × 9,86 ) = 1,17 − ( 6,51) = −5,34
4. Calcule o valor das expressões abaixo sem o uso da calculadora:
⎛ 5 ÷5=1 9 ÷3=3 ⎞ 3
⎛ 25 ⎞ 9 3
25 9 3
a) 2 −
× − = 2 − ⎜⎜
⎟⎟ × − = 2 − ⎜⎜ ÷3=1 × ÷5= 2 ⎟⎟ −
3 10 2
10
⎝ 3 ⎠ 10 2
⎝3
⎠ 2
÷2 =3
3 3 MMC 2 × 2 1× 3 1× 3 4 − 3 − 3 − 2
−1
⎛ 1× 3 ⎞ 3
= 2−⎜
−
=
2
−
− =
−
−
=
= ÷2=1 =
= −1
⎟
2 2
2 × 1 1× 2 1 × 2
2
1
⎝ 1× 2 ⎠ 2
2
21
( )
2
( )
2
⎛ 20 ÷5= 4 ⎞ 2 2
2
b)
− 4 ÷ ⎜ ÷5=1 ⎟ − = − ( 4 ÷ 4 ) − = −1
⎜ 5
⎟ 5 5
5
5
5
⎝
⎠
c) 1 − {−2 × 3 − [−1 − 2 × (−2) 2 ÷ 8]} = 1 − {− ( 2 × 3) − [−1 − 2 × (4) ÷ 8]} = 1 − {−6 − [−1 − ( 8 ÷ 8 )]}
2
2
20 2
−4÷ − =
5 5
2
= 1 − {−6 − [−1 − 1]} = 1 − {−6 − [−2]} = 1 − {−6 + 2} = 1 − {−4} = 1 + 4 = 5
3 3 ( −1)
3 3
1
3 3 1
− + 3
= − +3
d)
= − +
4 10
4 10
8
2 3 4 10 2
MMC 3 × 5
3 × 2 1×10 15 6 10 15 + 10 − 6 19
=
−
+
=
− +
=
=
4 × 5 10 × 2 2 ×10 20 20 20
20
20
8
5. Calcule as expressões abaixo respeitando a ordem correta das operações:
⎡⎛ 9 ⎞
⎤
32
a)
× 2 − 110 − (−1)12 = ⎢⎜ ⎟ × 2 ⎥ − (1) − (1) = 9 − 2 = 7
4
⎣⎝ 2 ⎠
⎦
b)
1
( 3)
2
23
120
− 2
+ ( −1) =
2 ×3
÷4 = 2
1
( )
3
2
8
1
8
1 2 1× 3
−
+ 1 = − ÷4=1
+1 = − +
4×3
3 4
3 3 1× 3
×3
=
1− 2 + 3 2
=
3
3
3
10
4× 51
10
2 ×1 3
2 2
−1 + −
= 3 −1 +
−
= −1 + − = 3 −1 = −1
÷5= 3
3
3 3
15
3
15
÷5= 2
c)
3
22
Aula 5: Números decimais e potências de 10
Educador: nessa aula revisaremos as operações com números decimais, potências de 10,
múltiplos e submúltiplos. É importante que o aluno consiga trabalhar com decimais,
múltiplos e submúltiplos usando o conceito de potência de 10 e acreditamos que essa aula
poderá ajudá-lo bastante na revisão desses temas.
Números decimais:
Todo número real pode ser escrito na forma decimal. Nessa forma, os dígitos à esquerda
da vírgula representam a parte inteira do número e os dígitos à direita da vírgula
representam sua parte fracionária (ou menor do que a unidade).
345
{ , 76025
123
parte parte
inteira fracionária
Os números decimais podem ser exatos, quando a parte fracionária é finita, ou infinitos,
quando a parte fracionária é infinita.
2, 75 → decimal finito
1,3333... → decimal infinito
Os números decimais infinitos que possuem uma sequência de dígitos da parte decimal
que se repete são chamados dízimas periódicas.
1,333... = 1,3 → dízima periódica simples
1,2333...=1,23 → dízima periódica composta
Os números irracionais são decimais infinitos e não periódicos.
3 = 1, 73205... → decimal infinito e não periódico (número irracional)
Exemplos:
1
= 0,5 → decimal exato
a)
2
b) π = 3,14159... → decimal infinito e não periódico (número irracional)
1
= 0,333... = 0, 3 → decimal infinito e periódico (dízima periódica simples)
c)
3
1
= 0,1666... = 0,16 → decimal infinito e periódico (dízima periódica composta)
d)
6
e) 5 = 5,0 → decimal exato
1. Usando a calculadora, escreva os números abaixo na forma decimal e classifique-os
em: decimais exatos, decimais infinitos e não periódicos, dízimas periódicas simples ou
dízimas periódicas compostas.
Educador: deixe os alunos resolverem e depois corrija com eles, ajudando-os na
classificação dos decimais. No item “e”, enfatize a forma de representação das dízimas
periódicas: repetindo três vezes o período ou escrevendo-o apenas uma vez e
colocando uma barra sobre ele.
23
a)
b)
c)
d)
e)
2 → 1, 41421... (decimal infinito e não periódico – número irracional)
15
→ 3,75 (decimal exato)
4
5
→ 0,8333... = 0,83 (dízima periódica composta)
6
28
→ 9,333... = 9,3 (dízima periódica simples)
3
15
→ 1,153846153846153846... = 1,153846 (dízima periódica simples)
13
Potências de 10:
As potências de 10 são muito importantes quando usamos os números decimais.
100 = 1
100 = 1
101 = 10
10−1 = 0,1
102 = 100
10−2 = 0, 01
M
M
10n = 1000...000
1424
3
10− n = 0,
000...001
14
243
n zeros
n zeros
Exemplos:
a) Observe os números decimais resultantes da divisão de 5 por potências crescentes de
10:
5
5
5= = 0 =5
1 10
5
5
= 1 = 0,5
10 10
5
5
= 2 = 0, 05
100 10
M
5
5
= 5 = 0, 01
0005
23
10000
0
10
5 casas
123
5 zeros
decimais
Frações decimais:
Como todo número real pode ser escrito como um decimal, para dividirmos um número real
por uma potência de 10, basta movermos a vírgula para a esquerda um número de casas
igual ao expoente da potência de dez pela qual estamos dividindo o número.
1357223 1357223
=
= 135, 7223
10000
104
245, 033 245, 033
=
= 0, 024503
10000
104
24
Exemplos:
2873
= 2,873
a)
1000
15
= 0,15
b)
100
0, 031
= 0, 00000031
c)
100000
2. Sem o uso de calculadoras, calcule as frações decimais abaixo:
2873
= 2,873
a)
1000
77
= 0, 77
b)
100
451
= 0, 0451
c)
10000
128883
= 128,883
d)
1000
0, 721
= 0, 0721
e)
10
Múltiplos e submúltiplos:
Quando fazemos medições e usamos unidades de medidas, muitas vezes é necessário
trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos. Nesses casos nós usamos
múltiplos e submúltiplos dessas grandezas.
Os múltiplos e submúltiplos correspondem a potências de 10, são indicados por prefixos e
representados por símbolos, conforme mostrado na tabela abaixo:
PREFIXO
DECA
HECTO
QUILO
MEGA
GIGA
TERA
PETA
SÍMBOLO
da
h
k
M
G
T
P
POTÊNCIA
MULTIPLICADOR
1
10
2
100
3
1000
6
1000000
9
1000000000
12
1000000000000
15
1000000000000000
18
1000000000000000000
10
10
10
10
10
10
10
EXA
E
10
ZETA
Z
1021
1000000000000000000000
IOTA
Y
1024
1000000000000000000000000
DECI
d
10-1
0,1
25
CENTI
MILI
MICRO
c
10-2
m
-3
0,001
-6
0,000001
-9
0,000000001
-12
0,000000000001
µ
NANO
n
0,01
10
10
10
PICO
p
10
FEMTO
f
10-15
0,000000000000001
ATO
a
10-18
0,000000000000000001
ZEPTO
z
10-21
0,000000000000000000001
IOCTO
y
10-24
0,000000000000000000000001
Para usar os prefixos basta colocá-los diante da unidade de medida.
3
5.000m = 5 × 10
{ m = 5km
k = quilo
Exemplos:
Educador: vamos tratar das unidades de medida em outra aula, porém, é interessante que
nessa aula os alunos já comecem a perceber que usarão os prefixos para indicar múltiplos
e submúltiplos de unidades de medida e esta é uma boa oportunidade para verificar se eles
conhecem as unidades de medida que aparecem nos exemplos.
−3
a) 50mm = 50 × 10
{ m = 0, 005m (m = metro)
m = mili
6
0 V = 12000000V (V = volt)
b) 12MV = 12 × 1{
M = mega
3
c) 15kW = 15 × 10
{ W = 15.000W (W = watt)
k = quilo
−6
d) 0, 0000012 g = 1, 2 × 10
{ g = 1, 2 μ g (g = grama)
μ = micro
9
e) 23.000.000.000m = 23 × 10
{ m = 23Gm (m = metro)
G = giga
f) 1,5GHz = 1,5 × 10
{ Hz = 1.500.000.000 Hz (Hz = hertz)
9
G = giga
3. Escreva as grandezas abaixo usando as potências de 10 e depois com todos os
algarismos:
Educador: aproveite esse exercício para apresentar, ou recordar, aos alunos os símbolos
das unidades apresentadas nos exercícios. Ainda que esse não seja o foco da aula, temos
aqui uma boa oportunidade para sondar qual é o domínio dos alunos sobre as unidades de
medida.
a) 55Tm = 55 × 1012 m = 55.000.000.000.000m (unidade: m = metro)
b) 320Gb = 320 × 109 b = 320.000.000.000b (unidade: b = bit)
26
c) 5kg = 5 ×103 g = 5.000 g (unidade: g = grama)
d) 3μ C = 3 ×10−6 C = 0, 000003C (unidade: C = Coulomb)
e) 72mV = 72 ×10−3V = 0, 072V (unidade: V = volt)
4. Escreva os números abaixo usando os prefixos apropriados:
a) 13.000V = 13 ×103V = 13kV (V = volt)
b) 0, 001A = 1× 10−3 A = 1mA (A = ampère)
c) 0, 000.000.015F = 15 ×10−9 F = 15nF (F = Fahraday)
d) 0, 25m = 25 × 10−2 m = 25cm (m = metro)
e) 2.500W = 2,5 ×103W = 2,5kW (W = watt)
5. A que potência de 10 corresponde o prefixo das unidades representadas abaixo?
a) megametro → 106
b) gigahertz → 109
c) quilobytes → 103
d) micrômetro → 10−6
e) picofaraday → 10−12
f) centímetro → 10−2
6. Calcule mentalmente as divisões abaixo:
a) 156 ÷ 100 = 1,56
b) 25 ÷ 1000 = 0, 025
c) 0,15 ÷ 10 = 0, 015
12,5
d)
= 0, 0125
103
0, 005
e)
= 0, 0000005
104
7. Calcule mentalmente as divisões a seguir:
a) 15 ÷ 0,1 = 150
b) 5, 41 ÷ 0, 01 = 541
c) 12, 3 ÷ 10−5 = 1230000
77, 2
d)
= 77200
0, 001
0, 0052
e)
= 52
10−4
−31, 22
f)
= −312200
10−4
−0, 00015
g)
= 0,15
−0, 001
27
Aula 6: Aritmética básica – Porcentagem
Educador: nessa aula revisaremos as operações com porcentagens e regra de três. Esses
tópicos são de suma importância e precisam ser bem dominados pelos alunos, por isso
fizemos a opção de destinar bastante tempo aos exercícios. Como essa aula demanda
muitas contas, sugerimos que o educador oriente os alunos a usarem calculadoras para
fazerem as divisões, mas não que sejam usadas para o cálculo direto das porcentagens
(exceto nos exercícios em que isso é sugerido explicitamente).
Porcentagem (ou Percentagem):
Toda razão (fração) centesimal, isto é, que tem como denominador o número 100, é
chamada de porcentagem e representa quantas partes de cem o número representa.
Usualmente indicamos uma porcentagem pelo símbolo “%”.
Exemplos:
25
a)
= 0, 25 ou 25%
100
2
b)
= 0, 02 ou 2%
100
0,5
c)
= 0, 005 ou 0,5%
100
130
d)
= 1,3 ou 130%
100
6. Qual a porcentagem correspondente a cada fração centesimal abaixo?
Educador: se perceber que os alunos têm dificuldades com o conceito de porcentagem,
crie mais exercícios até se certificar que todos conseguem entender uma fração
centesimal como uma porcentagem e sejam capazes de expressá-la corretamente.
Verifique se os alunos compreender que um número sobre 100 é o próprio número em
porcentagem (ex.: 17,2/100 é 17,2%).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
90
= 0,9 ou 90%
100
17
= 0,17 ou 17%
100
15,3
= 0,153 ou 15,3%
100
153
= 1,53 ou 153%
100
0, 4
= 0, 004 ou 0,4%
100
3, 2
= 0, 032 ou 3,2%
100
28
Calculando porcentagens:
Como uma porcentagem corresponde a uma comparação com 100, podemos calcular
porcentagens comparando dois números na forma de uma fração e interpretando o
resultado decimal obtido como uma porcentagem que indica quanto, por cento, o
numerador representa em relação ao denominador.
Exemplos:
25
a)
= 0,5 ou 50% (25 corresponde a 50% de 50)
50
15
b)
≅ 0, 214 ou 21,4% (15 corresponde a, aproximadamente, 21,4% de 70)
70
75
c)
= 9,375 ou 937,5% (75 corresponde a 937,5% de 8)
8
1. Calcule as porcentagens correspondentes às frações abaixo:
12
a)
= 0, 4 ou 40%
30
5
b)
= 0, 2 ou 20%
25
75
c)
= 0,125 ou 12,5%
600
25
d)
≅ 2, 083 ou 208,3%
12
30, 07
e)
≅ 8,591 ou 859,1%
3, 5
Problemas com porcentagens:
O cálculo de porcentagens está presente em muitos problemas no dia a dia, como o cálculo
de aumentos e descontos.
Para calcular a porcentagem de um dado valor, basta multiplicar o valor pela porcentagem.
Exemplos:
a) Pedro recebe R$ 1.200,00 de salário e ganhou um aumento de 8%. Quanto Pedro
receberá a mais, mensalmente?
Resolução: devemos calcular 8% de R$ 1.200,00:
8
1200 ×
= 96 ou 1200 × 0, 08 = 96
100
Resposta: Pedro receberá R$ 96,00 a mais mensalmente.
b) O controle de qualidade de uma empresa descobriu que 1,5% das embalagens de um
determinado produto apresentavam defeito. Se diariamente são produzidas 10.000
unidades desse produto, quantas embalagens apresentam defeito?
29
Resolução: devemos calcular 1,5% de 10.000:
1,5
10.000 ×
= 150 ou 10000 × 0, 015 = 150
100
Resposta: Diariamente, 150 embalagens desse produto apresentam defeito.
2. Resolva os problemas abaixo:
Educador: os alunos podem usar calculadoras para fazerem as contas, mas não para
determinar diretamente a porcentagem. Para garantir que eles usarão as calculadoras
apenas para fazerem as contas, peça-lhes que deixem indicadas as contas que serão
feitas e não aceite apenas o resultado final como resolução. Enfatize também a
importância do aluno “escrever a resposta final”.
a) Marcela foi ao shopping e gastou 40% dos R$ 80,00 que levara consigo. Quanto
Marcela gastou?
Resolução:
40
× 80 = 32
100
Resposta: Marcela gastou R$ 32,00.
b) João pagou à vista uma calça que custava R$ 120,00. Por ter pago à vista, João
recebeu um desconto de 12%. Quanto João economizou?
Resolução:
12
× 120 = 14, 4
100
Resposta: João economizou R$ 14,40.
c) Pedro usou 32% de um rolo de fio de 300 m para refazer a instalação elétrica de um
salão. Quantos metros de fio ele utilizou?
Resolução:
32
× 300 = 96
100
Resposta: Pedro utilizou 96 m de fio.
d) A inflação anual atingiu a casa dos 8%. Se todos os preços tiverem essa correção, o
litro de leite que custava R$ 1,80, doze meses atrás, passará agora a custar quanto a
mais?
30
Resolução:
8
× 1,80 = 0,144
100
Resposta: O litro de leite passará a custar, aproximadamente, R$ 0,14 (catorze
centavos) a mais.
e) 45% dos alunos da classe de Mariana são meninos. Se a classe de Mariana tem 40
alunos, quantas meninas há na sala?
Resolução: se 45% da classe é de meninos, então há 55% de meninas na classe.
Assim:
55
× 40 = 22
100
Resposta: Na classe de Mariana há 22 meninas.
3. Resolva os problemas de porcentagem abaixo:
Educador: nesses problemas o grau de dificuldade é um pouco maior por exigirem que o
aluno calcule acréscimos e descontos. Ajude-os a interpretar corretamente o problema
quando tiverem dificuldade. Se julgar necessário, escolha alguns problemas para resolver
como exemplos.
a) Manoel fez algumas horas extras durante o mês e receberá um salário 15% maior. Se o
salário de Manoel é de R$ 800,00, quanto ele receberá dessa vez?
Resolução: Primeiro calculamos quanto Manoel receberá a mais:
15
× 800 = 120
100
Agora calculamos o salário final:
800 + 120 = 920
Resposta: Manoel receberá um salário de R$ 920,00.
Educador: se julgar interessante, poderá ensinar aos alunos a “regra prática para dar
aumentos percentuais”: basta somar o aumento no total de 100%. Neste caso:
115
⎛ 100 + 15 ⎞
× 800 = 920
⎜
⎟ × 800 =
100
⎝ 100 ⎠
b) Juliana comprou uma televisão de 40 polegadas, à vista, e recebeu um desconto de
5%. Se o preço da televisão, sem desconto, era de R$ 2.100,00, quanto Juliana pagou
pela televisão?
Resolução: Primeiro calculamos quanto Juliana recebeu de desconto:
31
5
× 2100 = 105
100
Agora calculamos o preço final, com o desconto:
2100 − 105 = 1995
Resposta: Juliana pagou R$ 1995,00 pela televisão.
Educador: se julgar interessante, poderá ensinar aos alunos a “regra prática para dar
descontos percentuais”: basta subtrair a porcentagem de desconto do total de 100%.
Nesse caso:
95
⎛ 100 − 5 ⎞
× 2100 = 1995
⎜
⎟ × 2100 =
100
⎝ 100 ⎠
c) Uma rede de lanchonetes resolveu fazer uma superpromoção de descontos em seu
lanche mais famoso (veja a figura). Se o preço normal desse lanche é de R$ 15,00,
quanto ele custará nessa superpromoção? (observação: descontos em inglês
costumam vir indicados pela presença da palavra “off” junto à porcentagem de
desconto)
Resolução:
100 − 90
× 15 = 1,5
100
Resposta: O lanche em promoção custará R$ 1,50.
d) A expectativa de vida do brasileiro em 1960 era de 54,6 anos. De 1960 até 2006 essa
expectativa aumentou 32,4%. Portanto, em 2006, a expectativa de vida do brasileiro
passou a ser de quantos anos?
Resolução:
⎛ 100 + 32, 4 ⎞
⎜
⎟ × 54, 6 = 72, 29
⎝ 100
⎠
Resposta: A expectativa de vida do brasileiro passou a ser de 72,29 anos em 2006.
e) A Dow Química com o Programa Viva a Vida, cujo objetivo
inicial em 1991 foi motivar os funcionários a assumirem um
estilo de vida saudável, combateu fatores como o
sedentarismo, estresse, obesidade, tabagismo e maus
hábitos alimentares. A porcentagem de fumantes diminuiu
de 24% para 14% e cerca de 25% dos funcionários
chegaram a praticar atividade física no local de trabalho. A
Dow Química tem cerca de 50.000 funcionários em todo o mundo. Quantos funcionários
dessa empresa não são fumantes depois do programa Viva a Vida?
32
Resolução: se a porcentagem de funcionários fumantes caiu de 24% para 14%, então
10% dos funcionários da empresa que fumavam deixaram de fumar. Os não-fumantes,
são, portanto:
⎛ 100 − 10 ⎞
⎜
⎟ × 50.000 = 45.000
⎝ 100 ⎠
Resposta: 45.000 funcionários da Dow Química não são fumantes depois do Projeto
Viva a Vida.
4. Mais problemas de porcentagem:
Educador: Nessa sequência de problemas o grau de dificuldade é ainda maior e é
fundamental a interpretação correta dos enunciados. Ajude-os nessa interpretação sempre
que for necessário.
Os alunos podem usar calculadoras para fazer as contas.
a) João Cláudio recebeu um salário de R$ 1550,00, sendo que 20% desse valor
correspondem às horas-extras que ele fez no mês. Qual é o salário normal de João
Cláudio e quanto ele recebeu de horas-extras?
Resolução: Primeiro calculamos o valor correspondente às horas-extras que João
Cláudio fez no mês:
20
× 1550 = 310
100
Agora subtraímos esse valor do salário recebido para descobrir o salário normal:
1550 − 310 = 1240
Resposta: João Cláudio tem um salário normal de R$ 1.240,00 e, neste mês, recebeu
R$ 310,00 de horas-extras.
b) Pablo pagou R$ 950,00 em um netbook. Ele conseguiu esse preço após pechinchar um
desconto de 5% no preço do aparelho. Quanto custava esse aparelho sem o desconto?
Resolução: Seja P o preço inicial do aparelho, então, aplicando 5% de desconto nesse
preço, obtemos 950. Assim:
100 − 5
⎛ 100 ⎞
× P = 950 ⇒ P = ⎜
⎟ × 950 = 1000
100
⎝ 95 ⎠
Resposta: O preço inicial do netbook, sem o desconto, era de R$ 1.000,00.
Educador: Esse problema requer que o aluno calcule uma porcentagem inversa. Para
resolver esse tipo de problema o aluno deverá montar sempre uma equação, como foi
feito nesse caso; porém, é possível resolver o problema sem montar a equação se o
aluno multiplicar o preço pago pela porcentagem inversa, como é mostrado abaixo:
33
⎛ 100 ⎞
⎜
⎟ × 950 = 1.000
100
− 53⎠
⎝1
424
Note a porcentagem
invertida
c) O Sr. Omar comprou uma mercadoria por R$ 150,00 e deseja vendê-la por R$ 189,00.
Para atrair os clientes ele pretende ofertar a mercadoria por um preço maior e, depois,
dar um desconto de 10% para vendê-la pelo preço final de R$ 189,00. Qual deve ser o
preço de venda que o Sr. Omar ofertará aos clientes inicialmente? Quanto ele terá de
lucro, percentualmente, após o desconto de 10%?
Resolução: Para descobrimos qual é o preço de venda sem desconto usaremos a
porcentagem inversa do desconto que será dado:
⎛ 100 ⎞
⎜
⎟ × 189 = 210
⎝ 100 − 10 ⎠
Para calcularmos a porcentagem de lucro devemos comparar o preço final de venda
com o preço de compra:
189
= 1, 26 ou 26%
150
Resposta: O Sr. Omar deverá ofertar a mercadoria por R$ 210,00 e, após vendê-la por
R$ 189,00 (com os 10% de desconto) ele terá um lucro de 26%.
d) Um gerador elétrico tem rendimento de 80%, ou seja, apenas 80% da energia que ele
recebe é convertida efetivamente em energia elétrica. Esse gerador é utilizado para
fazer funcionar um motor elétrico de rendimento 70%. Qual é a porcentagem da energia
recebida pelo gerador que é efetivamente utilizada pelo motor para produzir
movimento?
Resolução: O motor utiliza 70% dos 80% utilizados pelo gerador, assim, a porcentagem
efetiva da energia recebida pelo gerador que é utilizada pelo motor é de:
70 80
×
= 0,56 ou 56%
100 100
Resposta: a porcentagem da energia recebida pelo gerador que é efetivamente utilizada
pelo motor para produzir movimento é de 56%.
Educador: esse é um problema característico de porcentagens calculadas em cascata
(como no caso dos “juros sobre juros” ou dos impostos em cascata). É interessante que
o aluno perceba que, nesses casos, uma porcentagem é aplicada sobre a outra na
forma de produto.
Se julgar conveniente você pode acrescentar mais um exercício semelhante para os
alunos calcularem “juros sobre juros” (como caso das dívidas com cartões de crédito,
por exemplo).
34
e) A cada quinquênio Marisa recebe um aumento automático de 5% em seu salário devido
ao seu plano de carreira. Após 20 anos de serviço quanto seu salário terá aumentado,
devido aos aumentos automáticos do plano de carreira?
Resolução: como os aumentos são cumulativos, então as porcentagens são aplicadas
umas sobre as outras. Em 20 anos teremos 4 quinquênios e, portanto:
⎛ 100 + 5 ⎞ ⎛ 100 + 5 ⎞ ⎛ 100 + 5 ⎞ ⎛ 100 + 5 ⎞ ⎛ 105 ⎞
⎜
⎟×⎜
⎟×⎜
⎟×⎜
⎟=⎜
⎟ = 1, 215 ou 21,5%
⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠
4
Resposta: Após 20 anos o salário de Marisa terá aumentado 21,5% devido aos
aumentos automáticos a cada qüinqüênio.
35
Aula 7: Aritmética básica – Proporcionalidade e Regra de três
Educador: nessa aula revisaremos a aplicação de uma técnica de cálculo conhecida por
“regra de três simples”. Nossa ênfase será na aplicação da regra e na resolução de
problemas que podem ser tratados por essa técnica. Para tanto, será necessário revisar
primeiro o conceito de proporcionalidade e associá-lo diretamente à técnica da regra de
três.
Proporcionalidade:
Sempre que duas grandezas estão ligadas entre si, de maneira que quando uma muda de
valor a outra também muda, dizemos que elas são proporcionais.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é uma
constante.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto delas é uma constante.
Exemplos:
a) Considere os deslocamentos de automóvel em uma estrada e os intervalos de tempo
correspondentes a esses deslocamentos, conforme mostrado na tabela abaixo:
Deslocamento em km.
Intervalo de tempo em h.
50
0,5
150
1,5
200
2
550
5,5
As grandezas deslocamento e intervalo de tempo tem que tipo de proporcionalidade?
Resolução: vamos verificar se são diretamente proporcionais:
50
150
200
550
= 100;
= 100;
= 100;
= 100 (como a razão é uma constante, 100, então
0,5
1,5
2
5,5
as grandezas são diretamente proporcionais).
Vamos verificar se são inversamente proporcionais:
50 × 0,5 = 25; 150 ×1,5 = 225 (como encontramos dois produtos que não são iguais, então
as grandezas não são inversamente proporcionais).
Resposta: As grandezas são diretamente proporcionais.
Educador: Note que duas grandezas não podem ser diretamente e inversamente
proporcionais ao mesmo tempo e que, portanto, fizemos a segunda checagem apenas
para ilustrar o método, mas não porque fosse necessário nesse caso. É importante que
os alunos percebam isso.
b) A tabela abaixo mostra o tempo de percurso de um deslocamento de 60 km em função
da velocidade do automóvel:
Velocidade (km/h)
Tempo de percurso (h)
30
2
60
1
120
0,5
36
As grandezas velocidade e tempo de percurso são direta ou inversamente
proporcionais?
Resolução: vamos verificar se as grandezas são diretamente proporcionais:
30
60
= 15;
= 60 (como encontramos dois pares de valores cuja razão não é a mesma,
2
1
á podemos concluir que as grandezas não são diretamente proporcionais).
Vamos verificar se as grandezas são diretamente proporcionais:
30 × 2 = 60; 60 ×1 = 60; 120 × 0,5 = 60 (como o produto dos pares de valores
correspondentes é constante, então as grandezas são inversamente proporcionais.
Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.
c) A tabela abaixo mostra a relação entre duas grandezas A e B:
A
B
100
2
80
1,5
150
1
As grandezas A e B são direta ou inversamente proporcionais?
Resolução: vamos verificar se as grandezas são diretamente proporcionais:
100
80
= 50;
= 53,3 (as grandezas A e B não são diretamente proporcionais)
2
1,5
Vamos verificar se as grandezas são inversamente proporcionais:
100 × 2 = 200; 80 ×1,5 = 120 (as grandezas A e B não são inversamente proporcionais)
Resposta: as grandezas não são nem diretamente nem inversamente proporcionais.
Educador: este último exemplo serve para enfatizar que não é sempre que duas
grandezas serão direta ou inversamente proporcionais. Porém, daqui por diante,
passaremos a trabalhar essencialmente com casos em que exista uma
proporcionalidade direta ou inversa.
1. Para cada tabela abaixo, determine se as grandezas são direta ou inversamente
proporcionais (ou se não são proporcionais):
a) Tabela 1:
A
B
8
4
16
2
32
1
Resolução:
8
16
= 2;
= 8 (não são diretamente proporcionais)
4
2
8 × 4 = 32; 16 × 2 = 32; 32 × 1 = 32 (são inversamente proporcionais)
Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.
37
b) Tabela 2:
C
D
4
8
6
12
100
200
Resolução:
4
6
100
= 0,5;
= 0,5;
= 0,5 (são diretamente proporcionais)
8
12
200
Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.
c) Tabela 3.
E
F
40
8
60
12
400
200
Resolução:
40
60
400
= 5;
= 5;
= 2 (não são diretamente proporcionais)
8
12
200
40 × 8 = 320; 60 ×12 = 720 (não são inversamente proporcionais)
Resposta: as grandezas não são nem diretamente nem inversamente proporcionais.
d) Tabela 4:
G
H
0,5
44
2
11
55
0,4
Resolução:
0,5
2
≅ 0, 01;
≅ 0,18 (não são diretamente proporcionais)
44
11
0,5 × 44 = 22; 2 × 11 = 22; 55 × 0, 4 = 22 (são inversamente proporcionais)
Resposta: as grandezas são inversamente proporcionais.
Regra de três simples:
Quando temos grandezas diretamente proporcionais, podemos igualar as razões entre os
pares de grandezas correspondentes, já que resultam sempre em uma constante. Isso nos
permite resolver uma série de problemas em que conhecemos um par de valores, um
segundo valor de uma das grandezas e queremos descobrir o valor correspondente da
outra grandeza.
Essa técnica chama-se “regra de três simples e direta”.
Se as grandezas forem inversamente proporcionais devemos igualar os produtos. Essa
técnica chama-se “regra de três simples e inversa”.
38
Exemplos:
a) Um automóvel faz um deslocamento de 50 km em 0,5 h. Mantendo a mesma
velocidade, ele fará um deslocamento de 250 km em quantas horas?
Educador: como este é o primeiro exemplo de aplicação da regra de três, sugiro que
seja feito com bastante detalhe e bem devagar, até certificar-se de que todos
recordaram e compreenderam como é o procedimento.
Resolução: Primeiro temos que determinar se as grandezas deslocamento e tempo são
direta ou inversamente proporcionais. Para isso basta verificarmos se o aumento do
valor de uma grandeza acarreta o aumento ou a diminuição do valor da outra grandeza.
Nesse exemplo, quanto maior o deslocamento feito com a mesma velocidade, maior
será o tempo gasto. Assim, aumentando-se o deslocamento, aumenta-se o tempo e,
portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
Podemos montar o problema usando uma tabela e indicando o crescimento ou
diminuição do valor de uma grandeza usando setas:
Deslocamento (km) Tempo (h)
50
0,5
250
x
Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos igualar as razões:
50 0,5
=
⇒ 50 x = (250).(0,5) ⇒ x = 2,5
x
250
Note que “igualar as razões” produz o mesmo efeito que “multiplicar os valores em
cruz”:
Deslocamento (km) Tempo (h)
50
0,5
250
x
Resposta: mantendo a mesma velocidade o automóvel fará um deslocamento de 250
km em 2,5 h.
b) Se 5 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários
para levantar o mesmo muro em 2 dias?
Resolução: Quanto mais operários trabalhando, menor será o tempo para levantar o
mesmo muro. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Nesse caso, ao
invés de “multiplicar em cruz”, devemos “multiplicar em linha”:
39
Operários
5
x
Dias
10
2
50
= 25
2
Resposta: serão necessários 25 operários.
2 x = (5).(10) ⇒ x =
2. Resolva os problemas abaixo usando regra de três:
Educador: pode ser necessário resolver mais um ou dois problemas dessa série como
exemplo para a classe. Caso não seja necessário, corrija os problemas resolvidos pelos
alunos na lousa, como se fossem exemplos. É fundamental que o aluno se aproprie de
um bom método de resolução.
a) Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a
nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
Resolução: Quando ampliamos uma foto, aumentando-se um dos lados o outro também
aumenta na mesma proporção. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
Largua
3
10,5
Comprimento
4
x
42
= 14
3
Resposta: a foto ampliada terá 14 cm de comprimento.
3x = (4).(10,5) ⇒ x =
b) Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 2 dias. Quantos dias levarão 5
pedreiros para fazer o mesmo trabalho?
Resolução: quanto maior o número de pedreiros, menor será o tempo para fazerem o
mesmo trabalho. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais:
Pedreiro
10
5
Dias
2
x
20
=4
5
Resposta: Os pedreiros levarão 4 dias.
5 x = (10).(2) ⇒ x =
40
c) Com 4 latas de tinta pinta-se 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados podem ser
pintados com 11 latas dessa tinta?
Resolução: Quanto mais latas de tinta, maior a área da parede que pode ser pintada.
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
Latas
4
11
Área pintada
280
x
4 x = (11).(280) ⇒ x =
(11).( 280
÷4 = 70
)
= 770
4
Resposta: poderão ser pintados 770 m2 de parede.
÷4 =1
d) Utilizando copos descartáveis de 175 ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar
copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de
bebida?
Resolução: como cada pessoa recebe um copo, então quanto menor o volume do copo,
mais copos eu consigo encher e mais pessoas eu consigo servir. Logo, as grandezas
são inversamente proporcionais.
Volume
175
150
Pessoas
12
x
150 x = (175).(12) ⇒ x =
(175).(12
÷3= 4
÷3= 50
)
=
(175
÷5 =35
150
50
Resposta: Conseguirei servir 14 pessoas.
).(4)
÷5 =10
=
140
= 14
10
e) Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura.
Quantos metros de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma
quantidade de fio?
Resolução: como a quantidade de fio é a mesma, então produzindo-se tecidos mais
largos o comprimento total diminuirá. Logo, as grandezas são inversamente
proporcionais.
Comprimento
35
x
Largura
50
70
41
70 x = (35).(50) ⇒ x =
(35).( 50
÷10 = 5
)
÷7 =5
).(5)
= 25
70
7
Resposta: O tear pode produzir agora 25 m de tecido.
÷10 = 7
=
( 35
÷7 =1
f) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um
gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18
gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação?
Resolução: quanto maior o número de gotas por minuto, menor será o tempo total para
que o medicamento seja ministrado. Logo, as grandezas são inversamente
proporcionais. Horas
6
x
Gotas
12
18
18 x = (12).(6) ⇒ x =
(12).( 6
÷6 =1
)
÷6 = 3
=
(12).(1)
=4
3
18
Resposta: A aplicação da medicação teria demorado 4 horas.
g) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3
clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes?
Resolução: Quanto mais clientes para serem atendidos, maior maior o tempo
necessário para atendê-los. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
Tempo
5
x
Clientes
3
36
3 x = (5).(36) ⇒ x =
(5).( 36
÷3=12
)
= 60
3
Resposta: o caixa vai levar 60 minutos (1 hora) para atender os 36 clientes.
÷3=1
h) Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem
usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias?
Resolução: quanto menor a capacidade da vasilha, mais vasilhas são necessárias.
Logo, as grandezas são inversamente proporcionais:
42
vasilhas
30
x
litros
6
3
180
= 60
3
Resposta: serão necessárias 60 vasilhas.
3x = (6).(30) ⇒ x =
43
Aula 8: Tratamento da informação – Análise e construção de
gráficos e tabelas
Educador: nessa aula faremos uma breve revisão da análise e construção de gráficos
(usando um software gerador de gráficos). Vamos abordar apenas os tipos de gráficos
mais comuns e enfatizar, principalmente, sua interpretação. Nosso objetivo é revisar os
fundamentos básicos que o aluno precisará para continuar a aprendendo sobre esse tema
no nível de Ensino Médio. Os gráficos de linha serão revisados quando tratarmos das
funções do primeiro e do segundo grau.
É altamente recomendável que essa aula seja feita, toda ela, em uma sala de informática,
onde os alunos disponham de computadores para visualizar os gráficos dos exemplos e
para gerarem seus próprios gráficos. Não estamos supondo que os alunos farão os
gráficos manualmente (sem computadores).
Tabelas:
Quando dispomos de muita informação podemos organizá-la da forma de uma tabela.
Estas, por sua vez, nos permitem analisar os dados e tirar conclusões de forma mais fácil e
rápida.
Exemplo: Em uma classe a educadora resolveu com os alunos fazer uma pesquisa sobre
os doces preferidos por cada um deles. O resultado foi a listagem abaixo, já organizada na
forma de uma tabela:
Alunos
O doce preferido de cada um
Ana Carolina sorvete
Ana Maria
brigadeiro
Alexandre
arroz doce
André
sorvete
Benicio
arroz doce
Bruno
arroz doce
Catarina
brigadeiro
Claudio
pudim
Diego
sorvete
Elena
brigadeiro
Fabiana
pudim
Fábio
sorvete
Gustavo
brigadeiro
44
João Otávio
torta de limão
José Carlos
torta de limão
Monique
sorvete
Maurício
pudim
Nuno
arroz doce
Rodrigo
brigadeiro
Rosa
pudim
Vitória
sorvete
Educador: a organização dos dados acima na tabela abaixo pode e deve ser feita com a
participação dos alunos. A idéia central aqui é mostrar que podemos organizar os dados de
uma outra maneira que torne mais fácil observar certas propriedades do conjunto de dados.
Embora os dados da pesquisa já estejam organizados na forma de uma tabela, pode não
ser rápido e nem simples responder a questões como: qual é o doce preferido da turma?
Ou, quantos alunos não gostam de brigadeiro?
Para responder questões como essas podemos reorganizar os dados e colocá-los em uma
nova tabela, como a mostrada abaixo, por exemplo:
Doce preferido Número de alunos
pudim
4
brigadeiro
5
arroz doce
4
sorvete
6
torta de limão
2
1. Usando a tabela mostrada no exemplo acima, responda as questões:
a) Qual é o doce preferido da turma?
Resposta: sorvete (6 alunos fizeram essa escolha)
b) Quantos alunos não gostam de brigadeiro?
Resolução: basta somar todos os alunos que não responderam “brigadeiro”: 4 + 4 + 6 +
2 = 16
Resposta: 16 alunos não gostam de brigadeiro.
45
c) Quantos alunos participaram da pesquisa?
Resolução: basta somar todas as respostas: 4 + 5 + 4 + 6 + 2 = 21
Resposta: 21 alunos.
d) Quantos doces diferentes a turma mencionou em suas respostas?
Resolução: basta contar as linhas da tabela.
Resposta: 5 doces.
Gráficos:
Outra forma de apresentar os dados de maneira que seja fácil e rápido obter respostas
sobre eles consiste em construir gráficos.
Educador: para apresentar os gráficos abaixo você pode imprimi-los do seu material e
mostrá-los para os alunos ou usar um datashow e projetá-los. A segunda opção é mais
rápida, no entanto, se for possível, é mais conveniente já estar com os alunos na sala de
informática ou em um ambiente onde eles possam ter acesso aos gráficos a partir dos
computadores que usarão para gerar os seus próprios gráficos na atividade proposta logo
após esse exemplo.
Se os alunos estiverem em uma sala de informática, como sugerido, construa os gráficos
de exemplo com eles, ao invés de apenas apresentar os gráficos prontos.
Exemplos:
a) Com a tabela de dados do exemplo inicial podemos construir um gráfico de colunas:
46
b) Ou um gráfico de barras:
c) Ou um gráfico de setores (também chamado de gráfico do tipo “pizza”:
47
g) Ou, ainda, um gráfico tipo pizza com a indicação das porcentagens de alunos que
escolheram cada tipo de doce:
Educador: Todos os gráficos mostrados nos exemplos acima foram feitos com o
programa Excel (do pacote Office, da Microsoft).
2. A tabela abaixo lista todos os times que ganharam a Taça Libertadores da América
desde sua primeira edição em 1960 até o ano de 2011.
48
Educador: lembre-se que estamos supondo que esses dados serão trabalhados em um
programa de planilhas e, portanto, se possível, leve os alunos para a Sala de
Informática (ou o equivalente a uma sala de informática onde os alunos disponham de
computadores) e procure auxiliá-los a construírem os gráficos propostos abaixo usando
um programa de planilha eletrônica (Excel, Calc., etc.).
Se isso não for possível, restará apenas o recurso da régua e compasso para gerar os
gráficos e, nesse caso, sugiro que o último gráfico (de setores) seja simplificado,
tomando-se apenas os 4 times que mais ganharam a Taça Libertadores.
a) A partir dos dados da tabela inicial, construa uma tabela que mostre em uma coluna os
times e, na outra, o número de vitórias.
Resposta:
Time
Vitórias
Peñarol
5
Santos
3
Independiente
7
Racing Club
1
Estudiantes
4
Nacional
3
Cruzeiro
2
Boca Juniors
6
Olimpia
3
Flamengo
1
Grêmio
2
Argentinos Juniors
1
River Plate
2
Atlético Nacional
1
Colo Colo
1
São Paulo
3
Vélez Sarsfield
1
Vasco da Gama
1
Palmeiras
1
Once Caldas
1
Internacional
1
LDU Quito
1
Internacional
1
b) Com base na tabela que você construiu, responda: quantos times já ganharam a Taça
Libertadores da América?
Resolução: basta contar o número de linhas da tabela.
49
Resposta: 23 times.
c) Qual foi o time que mais vezes ganhou a Libertadores? Quantas vezes ele ganhou?
Resolução: basta consultar diretamente a tabela.
Resposta: O Independiente ganhou mais vezes: 7.
d) Quantos times são tricampeões da Libertadores?
Resolução: basta consultar diretamente a tabela.
Resposta: 4 times.
e) Usando agora um programa de planilhas eletrônicas (Excel ou Calc, por exemplo)
construa um gráfico de barras para a tabela acima com o título “Vitórias na Taça
Libertadores”.
Resposta:
Vitórias na Taça Libertadores
Internacional
LDU Quito
Internacional
Once Caldas
Palmeiras
Vasco da Gama
Vélez Sarsfield
São Paulo
Colo Colo
Atlético Nacional
River Plate
s
e
Argentinos Juniors
m
i
T
Grêmio
Flamengo
Olimpia
Boca Juniors
Cruzeiro
Nacional
Estudiantes
Racing Club
Independiente
Santos
Peñarol
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de vitórias
50
f) Construa agora um gráfico de barras a partir da tabela.
Resposta:
Vitórias na Taça Libertadores
8
Número de vitórias
7
6
5
4
3
2
1
0
Times
51
g) Construa um gráfico de setores com a indicação do nome do time e da porcentagem de
vitórias de cada um.
Resposta:
Vitórias na Taça Libertadores
Palmeiras Once Caldas Internacional LDU Quito
2%
2%
2%
2%
Vasco da Gama
2%
Vélez Sarsfield
2%
Internacional
Peñarol
2%
10%
Santos
6%
São Paulo
6%
Colo Colo
2%
Independiente
13%
Atlético Nacional
2%
River Plate
4%
Argentinos Juniors
2%
Racing Club
2%
Grêmio
4%
Flamengo
2%
Estudiantes
8%
Olimpia
6%
Boca Juniors
12%
Cruzeiro
4%
Nacional
6%
h) Na sua opinião, qual desses gráficos que construímos acima apresenta melhor os
dados da tabela? Porque?
Resposta: a resposta é opinativa e cada gráfico tem suas virtudes e limitações. Na
opinião do autor o gráfico de barras é o que tem uma visualização mais clara dos
dados.
52
Aula 9: Geometria – Figura planas
Educador: nessa aula iniciaremos a revisão de alguns conceitos importantes de geometria.
Iniciaremos pela revisão breve do cálculo de áreas e perímetros das principais figuras
planas.
É importante que os alunos não apenas recordem as fórmulas de cálculo como também
recuperem uma metodologia de abordagem dos problemas baseada na composição e
decomposição das figuras para o cálculo de áreas de figuras mais elaboradas.
No final da aula também abordaremos problemas onde o aluno deve compreender o
enunciado e construir um esboço da figura em que deverá se basear para os cálculos.
Figuras planas:
Como o nome diz, são figuras que podem ser traçadas em um único plano. Podem ser
poligonais (formada por 3 ou mais segmentos de reta ligados por suas extremidades) ou
não.
As principais figuras planas que revisaremos são o triângulo, o quadrado, o retângulo, o
paralelogramo, o trapézio e o círculo.
Perímetro de figuras planas:
O perímetro de uma figura plana é a medida da soma dos comprimentos de todos os seus
lados. Se a figura for um círculo, o perímetro é o comprimento da circunferência que
contém o círculo.
Área de figuras planas:
A área de uma figura plana é a área do plano contida pela figura. Para cada figura a área
pode ser calculada de uma forma, geralmente diferente, em função de seus lados ou, no
caso do círculo, em função do seu raio.
53
Educador: você pode propor os exemplos abaixo diretamente como exercícios para os
alunos. Certifique-se que eles não usem calculadoras e enfatize a “compreensão” da
fórmula e não apenas sua memorização.
Note que os exercícios trazem informações sobre a área e o perímetro de figuras que não
foram apresentadas no quadro acima, que complementam essas informações e que
utilizam, às vezes, as informações do quadro acima.
Exemplos: Resolva os problemas abaixo:
a) O triângulo eqüilátero tem os três lados iguais e sua área pode ser
calculada em função do comprimento de seu lado pela fórmula
l2 3
A=
, onde l é a medida do lado do triângulo. Calcule a área e
4
o perímetro de um triângulo eqüilátero de lado 2.
Resolução:
l 2 3 22 3
=
= 3 ⇒ A= 3
4
4
P = l + l + l = 3l = 3 × 2 = 6 ⇒ P = 6
A=
54
b) O hexágono regular é um polígono de seis lados de mesma medida.
Ligando seus vértices opostos percebemos que ele é formado pelo
agrupamento de seis triângulos equiláteros. Calcule a área e o
perímetro de um hexágono regular de lado 2.
Resolução:
A área total será 6 vezes a área de cada triângulo eqüilátero. Assim:
⎛ l2 3 ⎞
⎛ 22 3 ⎞
⎛ 4 3⎞
A = 6 × ⎜⎜
⎟⎟ = 6 × ⎜⎜
⎟⎟ = 6 × ⎜⎜
⎟⎟ = 6 3 ⇒ A = 6 3
4
4
4
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Como o hexágono tem 6 lados iguais, então:
P = 6l = 6 × 2 = 12 ⇒ P = 12
c) O pentágono regular é uma figura plana de cinco lados de mesma
medida. Sua área é dada de forma aproximada pela expressão
A = 1, 72 × l 2 . Determine a área e o perímetro de um pentágono regular
de lado 3.
Resolução:
A = 1, 72l 2 = 1, 72(3) 2 = 15, 48 ⇒ A = 15, 48
P = 5.l = 5 × 3 = 15 ⇒ P = 15
d) A figura mostra um círculo inscrito em um quadrado de lado 4. Determine a
área hachurada da figura e o perímetro do círculo interno. Use π = 3,14 .
Resolução: A área hachurada é a diferença entre a área do quadrado e a
área do círculo inscrito nele. Assim:
Aq = a 2 = 42 = 16
2
⎛4⎞
Ac = π .r 2 = π . ⎜ ⎟ = (3,14).(2) 2 = (3,14).(4) = 12,56
⎝2⎠
A área hachurada da figura é:
A = 16 − 12,56 = 3, 44 ⇒ A = 3, 44
O perímetro do circulo é o comprimento de sua circunferência, ou seja:
Pc = 2π r = (2).(3,14).(2) = 12,56 ⇒ Pc = 12,56
55
1. Resolva os problemas abaixo.
a) Calcule a área e o perímetro da figura abaixo:
Resolução: A parte de cima da figura é um triângulo de base 4 e altura 2, logo, sua área
é dada por:
b× h 4× 2
A1 =
=
=4
2
2
A parte de baixo é um retângulo de lados 2 e 4. Assim:
A2 = a × b = 2 × 4 = 8
A área total é a soma dessas duas áreas:
At = A1 + A2 = 4 + 8 = 12 ⇒ At = 12
O perímetro da figura é a soma dos comprimentos dos seus lados. Assim:
Educador: pode ser necessário aqui recordar a soma com raízes.
P = 2+ 4+ 2+ 2 + 2 = 8+ 2 2 ⇒ P = 8+ 2 2
b) O perímetro a ser calculado nesse exercício é o perímetro externo da figura.
Educador: há muitas maneiras de resolver esse problema. Abaixo segue a resolução do
autor, mas essa não deve ser vista como a única resolução válida. No entanto, nessa
resolução há aspectos interessantes que podem ser comentados com os alunos.
Resolução: como a figura é simétrica e cada metade simétrica é composta de três
quadrados de lado 1, então podemos calcular a área total simplesmente multiplicando a
área desse quadrado unitário por 6:
At = 6 Aq = 6a 2 = 6 × 12 = 6 × 1 = 6 ⇒ At = 6
O perímetro pode ser facilmente obtido como se segue:
P = 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12 ⇒ P = 12
56
c) A figura abaixo foi obtida recortando-se e colando quadrados de lado 2, ou suas
metades. Calcule a área total hachurada e o perímetro da figura.
Resolução: devemos inicialmente notar que os dois triângulos superiores podem ser
“juntados” formando novamente um quadrado de lado 2. Com isso a figura passa a ter
uma área equivalente à área de três desses quadrados. Assim, a área total vale:
At = 3 Aq = 3 × 22 = 3 × 4 = 12 ⇒ At = 12
O perímetro pode ser obtido somando-se os lados da figura:
P = 2 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 2 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 16 + 4 2 ⇒ P = 16 + 4 2
d) Calcule a área e o perímetro da figura abaixo:
Resolução: as medidas dos lados que faltam na figura podem ser obtidas por subtração:
A área total pode ser obtida calculando-se a área do retângulo de lados 3 e 7 e
subtraindo-se a área do quadrado de lado 1. Assim:
At = Aret − Aq = 3 × 7 − 1× 1 = 21 − 1 = 20 ⇒ At = 20
P = 1 + 1 + 6 + 3 + 7 + 2 = 20 ⇒ P = 20
57
e) Calcule a área e o perímetro da figura abaixo:
Educador: uma forma de calcular a área da figura é subdividi-la em um trapézio e um
retângulo (ou subdividi-la de outras formas); outra maneira é calcular a área do
retângulo que se obtêm ao completar a figura e, então, subtrair daí a área do triângulo
que a completa. Essa segunda forma é mais fácil e rápida e é a que adotaremos na
resolução. Porém, outras propostas de solução por parte dos alunos podem ser aceitas
também (desde que corretas).
Resolução: calculando a área do retângulo que se obtêm ao completar a figura e
subtraindo a área do triângulo que a completa, temos:
51
3× 3
9 30 × 2 9 60 9 60 − 9 51
= 30 − =
− =
− =
=
⇒ AT =
2
2
2
2
2 2 2
2
2
Para calcular o perímetro basta somar o comprimento dos lados da figura:
P = 2 + 3 2 + 3 + 5 + 6 = 16 + 3 2 ⇒ P = 16 + 3 2
AT = 6 × 5 −
f) Determine a área hachurada da figura abaixo:
58
Resolução: a área da figura é a soma das áreas do triângulo, do trapézio e do retângulo.
Assim:
2 × 3 (4 + 2) × 6
+
+ 3 × 8 = 3 + 18 + 24 = 45 ⇒ Atotal = 45
Atotal = Atriângulo + Atrapézio + Aretângulo =
2
2
Unidade de medida de área:
A unidade de medida de área é sempre a unidade de medida de comprimento elevada ao
quadrado. Assim:
Comprimento em m ⇒ área em m2.
Comprimento em cm ⇒ área em cm2.
É importante notar que não podemos misturar unidades de comprimento diferentes para
calcular a área.
Exemplos:
a) Calcule a área de um quadrado de lado 3 m.
Resolução:
A = 32 = 9
Resposta: 9 m2.
b) Calcule a área, em m2, de um retângulo de 50 cm X 1,0 m.
Resolução: não podemos multiplicar diretamente as medidas dos lados sem antes
converter a unidade cm para m. Assim, usando regra de três para fazer a conversão,
temos:
1m → 100cm ⎫
50
= 0,5m
⎬ ⇒ 100 x = 1× 50 ⇒ x =
x → 50cm ⎭
100
Finalmente, podemos agora calcular a área em m2:
A = (0,5).(1) = 0,5
Resposta: 0,5 m2.
2. Resolva os problemas abaixo:
Educador: nos problemas abaixo o aluno precisa interpretar corretamente o enunciado.
Nem sempre isso é fácil e é recomendável que você os auxilie nessas interpretações
sempre que necessário.
a) Uma folha de papel tem dimensões 30 cm X 20 cm. Qual é o valor da área do maior
quadrado que se pode obter com essa folha, cortando-se parte dela?
Resolução: a melhor forma de cortar essa folha para se obter o maior quadrado
possível consiste em reduzir o lado maior (30 cm) para que fique com o tamanho da
59
altura da folha (20 cm). Com isso teremos um quadrado de 20 cm de lado. A área desse
quadrado vale:
A = (20).(20) = 400
Resposta: 400 cm2.
b) João deseja fazer um canteiro retangular com área de 4 m2. Ele concluiu que para um
melhor aproveitamento do espaço seu canteiro deve ter 0,5 m de largura. Qual
comprimento deve ter o canteiro?
Resolução: Como o canteiro será retangular, temos:
4
A = a × b ⇒ 4 = ( 0,5 ) .b ⇒ b =
=8
0,5
Resposta: o canteiro de João deve ter 8 m de comprimento.
c) Uma pizza tem diâmetro de 40 cm e é cortada em 8 fatias iguais. Use π = 3,14 e calcule
a área de uma fatia.
Resolução: Como o diâmetro da pizza é de 40 cm, então seu raio vale 20 cm.
1
1
1
Afatia = Apizza = π .r 2 = (3,14).(20) 2 = 157
8
8
8
Resposta: cada fatia da pizza tem uma área de 157 cm2.
d) Um quarto tem 4 m de largura por 6 m de comprimento e 2,5 m de altura do chão ao
teto. Deseja-se pintar as paredes desse quarto com uma tinta que tem rendimento de
10 m2 por litro. Essa tinta é vendida em latas de 3 litros. Quantas latas de tinta são
necessárias para pintar esse quarto? (ignore a área da porta e da janela nos seus
cálculos)
Resolução: devemos pintar as quatro paredes e, como o quarto é retangular, teremos
duas paredes de mesma área em posições opostas. Assim:
Aquarto = 2 A1 + 2 A2 = 2.(4 × 2,5) + 2.(6 × 2,5) = 2.(10) + 2.(15) = 20 + 30 = 50
Como o rendimento da tinta é de 10 m2 para cada litro, então, para uma área de 50 m2
precisaremos de 5 litros. Por fim, como a tinta é vendida em latas de 3 litros, teremos
que comprar 2 latas.
Resposta: Serão necessárias 2 latas de tinta.
e) Pedro precisa cercar o jardim mostrado na figura e plantar grama em toda sua área.
Quantos metros de cerca ele precisa e quantos m2 de grama serão usados? (Use
π = 3)
60
Resolução: Para descobrir a quantidade de metros de cerca necessários vamos calcular
o perímetro da figura toda, notando que a parte de cima é uma semicircunferência de
raio 1 m e, que a parte de baixo consiste em três dos quatro lados de um trapézio.
Vamos começar calculando o perímetro da semicircunferência:
1
1
Psc = Pc =
2 π r = (3).(1) = 3
2
2
Agora calculamos o perímetro total:
Pt = Psc + 4 + 6 + 4 = 3 + 14 = 17
Calculamos agora a área total da figura somando a área do semicírculo superior à área
do trapézio da parte de baixo da figura:
1
1
( B + b).h 1
(6 + 2).4
= (3.12 ) +
At = Acírculo + Atrapézio = (π .r 2 ) +
2
2
2
2
2
3.1 8.4 3 + 32 35
+
=
=
= 17,5
At ==
2
2
2
4
(
)
Resposta: serão necessários 17 m de cerca e 17,5 m2 de grama.
61
Aula 10: Geometria – Sólidos geométricos
Educador: nessa aula damos continuidade à revisão de geometria explorando o cálculo de
áreas e volumes de alguns sólidos geométricos. Revisaremos apenas os sólidos
geométricos mais comuns (cone, esfera, paralelepípedo, cilindro e pirâmide). Se julgar
conveniente, e o tempo de aula for suficiente, você pode estender essa revisão para outros
sólidos.
Alguns sólidos geométricos importantes:
Um sólido geométrico é um conjunto contínuo de pontos que não pode estar contido em um
único plano. Dentre a infinidade de sólidos geométricos possíveis, 5 deles são muito
importantes e estão apresentados abaixo.
Áreas e volumes de sólidos geométricos:
A área de um sólido geométrico é a área de sua superfície e, geralmente, pode ser
decomposta e calculada pela soma das áreas de todas as suas faces externas.
O volume de um sólido geométrico é dado por uma fórmula que depende da geometria do
sólido. Veremos essas fórmulas caso-a-caso.
Paralelepípedo:
O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui lados planos que se unem formando
90° entre si. Os lados opostos de um paralelepípedo são sempre iguais.
62
At = Área total = soma das áreas de todos os lados
At = 2ab + 2ac + 2bc
V = Volume = área de um lado X altura desse lado até o lado oposto
V = Ab × h = (ab) × c = abc
Educador: você pode propor inicialmente o exemplo abaixo para a classe e, então, corrigir
com eles.
Enfatize com os alunos que a área total é sempre a soma das áreas de todas as faces e
que o volume dos paralelepípedos é sempre o produto das suas três dimensões.
Exemplo: Calcule a área e o volume do paralelepípedo abaixo:
Resolução:
At = 2(12 × 3) + 2(12 × 4) + 2(4 × 3) = 2(36) + 2(48) + 2(12) = 72 + 96 + 24 = 192 ⇒ At = 192
V = (12).(3).(4) = 144 ⇒ V = 144
Resposta: Área total = 192 cm2; volume = 144 cm3.
63
Cilindro:
O cilindro reto possui seu lado perpendicular à base. Sua base é um círculo de raio R. O
eixo do cilindro é a reta imaginária que passa pelo centro do círculo que forma sua base.
Área total = 2 x área da base + área lateral
At = 2 Ab + Al = 2π r 2 + 2π rh = 2π r (r + h)
Volume = área da base x altura
V = Ab .h = π r 2 h
Educador: você pode propor inicialmente o exemplo a seguir e, então, corrigir com eles.
Além do uso direto da fórmula, procure se certificar que os alunos compreenderam que a
área do cilindro é a soma de sua área lateral com as áreas das bases e que o volume é o
produto da área da base pela altura.
Exemplo: Calcule a área total e o volume do cilindro abaixo (use π = 3 ):
Resolução:
At = 2π r 2 + 2π rh = 2(3)(4) 2 + 2(3)(4)(12) = 96 + 288 = 384
⇒
At = 384
V = π r 2 h = (3)(4)2 (12) = (3)(16)(12) = 576 ⇒ V = 576
Resposta: Área total = 384 cm2; volume = 576 cm3.
64
Pirâmide:
A pirâmide regular reta é uma pirâmide que possui sua base perpendicular à reta que
passa por seu vértice e que define sua altura. Ela recebe seu nome conforme o tipo de
base que possui:
A área e o volume dependem do tipo de base que a pirâmide tem.
Área total = área da base + soma das áreas das faces
At = Abase + soma da área das faces
Volume = 1/3 x área da base x altura
V=
1
Ab .h
3
Educador: você pode propor inicialmente o exemplo a seguir para a classe e, então, corrigir
com eles. Certifique-se de que os alunos compreenderam que devem somar as áreas de
todas as faces para encontrar a área total e enfatize que no cálculo do volume é preciso
atentar para o fator “1/3”.
Exemplo: Calcule a área total e o volume pirâmide de base
retangular mostrada na figura, sabendo que a área de cada
face vale, aproximadamente, 47,5 cm2 :
Resolução: Como a pirâmide tem base retangular, então ela
tem 4 faces laterais. Assim:
At = Abase + 4 Aface = (10)(6) + 4(47,5) = 60 + 190 = 250 ⇒ At = 250
V=
1
1
Ab .h = (10 × 6).(15) = 300 ⇒ V = 300
3
3
Resposta: Área total = 250 cm2; volume = 300 cm3.
65
Cone:
O cone reto possui uma base circular e seu vértice está sobre a linha perpendicular que
passa pelo centro de sua base.
A linha que vai do vértice à circunferência de sua base é chamada de “geratriz” do cone
(representada pela letra g na figura).
A área total do cone é a soma da área de sua base com a sua área lateral:
At = Abase + Alateral = π r 2 + π rg = π r (r + g )
Volume = 1/3 x área da base x altura
V=
1
1
Ab .h = π r 2 h
3
3
66
Educador: você pode propor inicialmente o exemplo a seguir para a classe e, então, corrigir
com eles.
Mais uma vez é importante que os alunos percebam a presença do fator “1/3” no cálculo do
volume e que compreendam agora que a área lateral é a área de um setor de um círculo de
raio igual a geratriz do cone (você não precisa se prender a essa terminologia, mas pode
usá-la se quiser).
Exemplo: Calcule a área total e o volume de um cone de sorvete de
altura 10 cm, raio da base 3 cm e geratriz de, aproximadamente, 10,5
cm (use π = 3 ).
Resolução:
At = π r (r + g ) = (3).(3).(3 + 10,5) = 121,5 ⇒ At = 121,5
1
1
V = π r 2 h = (3)(3)2 (10) = 90 ⇒ V = 90
3
3
Resposta: Área total = 121,5 cm2; volume = 90 cm3.
Esfera:
Tanto a área quanto o volume da esfera podem ser calculados conhecendo-se apenas seu
raio.
Área da esfera:
At = 4π r 2
Volume da esfera:
4
V = π r3
3
Educador: você pode propor inicialmente o exemplo abaixo para a classe e, então, corrigir
com eles. No caso da esfera é importante frisar a existência do fator “4/3” no cálculo do
volume.
67
Exemplo: Dada uma esfera de raio 20 cm, calcule sua área total e
seu volume (use π = 3 ).
Resolução:
At = 4π r 2 = 4(3)(20)2 = 4800 ⇒ At = 4800
4
4
V = π r 3 = (3)(20)3 = 32.000 ⇒ V = 32.000
3
3
Resposta: Área total = 4.800 cm2; volume = 32.000 cm3.
1. Resolva os problemas abaixo.
a) Deseja-se colocar uma bola de futebol de salão de raio 10 cm totalmente imersa dentro
de uma caixa cúbica de aresta 20 cm completamente cheia de água. Quantos cm3 de
água extravasarão?
Resolução: o volume de água que extravasará será igual ao volume da bola e não
depende das dimensões da caixa desde que a bola caiba nela. Assim:
4
4
V = π r 3 = (3)(10)3 = 4.000
3
3
Resposta: extravasarão 4.000 cm3 de água.
b) Sabe-se que 1 ml = 1 cm3. Quantos copos de 200 ml são necessários para encher uma
caixa cúbica de 20 cm de lado?
Resolução: Primeiro obtemos o volume da caixa cúbica:
Vcubo = a × a × a = a 3 = (20)3 = 800
Agora podemos calcular o número de copos por regra de três simples e direta:
1copo → 200 cm3 ⎫⎪
800
200.
1.(800)
x
x
⇒
=
⇒
=
= 4 copos
⎬
200
x copos → 800 cm3 ⎪⎭
Resposta: São necessários 4 copos de 200 ml.
c) A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide,
tem cerca de 230 m de aresta na base e altura aproximada
de 147 m. Qual é o seu volume?
Resolução:
V = Ab .h = a 2 h = 2302 ×147 = 53.047
Resposta: O volume da pirâmide de Quéops é de 53.047 m3.
68
d) Joãozinho vai construir um porta-lápis na sua escola usando uma latinha de ervilhas de
diâmetro 8 cm e altura 10 cm. Ele precisará recobrir a parte de fora da latinha com
papel de seda. Quantos cm2 de papel ele precisará? (use π = 3 )
Resolução: A latinha é um cilindro reto e a área que precisará ser recoberta é a soma
da área de sua base e de sua área lateral. Logo, a área total recoberta será:
2
⎛8⎞
⎛8⎞
A = Ab + Al = π r + 2π rh = (3) ⎜ ⎟ + 2(3) ⎜ ⎟ (10) = 48 + 240 = 288
⎝2⎠
⎝2⎠
2
Resposta: Joãozinho precisará de 288 cm2 de papel.
69
Aula 11: Geometria – Ângulos planos
Educador: nessa aula tratamos dos ângulos planos, suas medidas em graus e radianos e a
soma dos ângulos internos do triângulo e dos quadriláteros. Ao final propomos diversos
problemas de aplicação.
Ângulos:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas com origem em um mesmo ponto.
As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas é o vértice do ângulo.
A figura abaixo mostra alguns ângulos e seus nomes:
Exemplo: A figura abaixo mostra duas retas, r e s, que se cruzam no ponto O. Como se
chamam os ângulos â , b̂ , ĉ e d̂ ?
Resolução:
â = agudo
b̂ = obtuso
ĉ = agudo
d̂ = obtuso
Educador: aproveite esse momento para recordar com os alunos alguns
elementos de notação:
Pontos: são representados normalmente por letras maiúsculas.
Retas: são representadas normalmente por letras minúsculas.
Ângulos são representados por letras minúsculas com um acento circunflexo
sobre elas (também existem outras notações, mas não é necessário
apresentar muitas delas nesse momento).
Aproveite também para apontar na figura o que são ângulos opostos pelo
vértice ( â e ĉ , e b̂ e d̂ ).
70
Medindo ângulos:
A medida de um ângulo é um número real associado ao ângulo e que indica o
“tamanho de sua abertura”.
Há duas unidades principais de medidas de ângulos: o grau (símbolo: °) e o
radiano (símbolo: rad).
O grau tem origem remota no tempo e foi definido de maneira que o ângulo
que corresponde a uma volta completa em uma circunferência equivale a
360°. Assim, cada 1° corresponde à abertura de um ângulo que equivale a um
arco de 1/360 de uma circunferência:
Já o radiano foi escolhido como unidade de medida de ângulo oficial no
Sistema Internacional de Unidades (SI) e corresponde ao ângulo cuja abertura
equivale a um arco de circunferência de comprimento igual ao raio:
Para calcular o ângulo em radianos que corresponde a um ângulo que
compreende um arco de circunferência de comprimento L, fazemos:
L
θ rad =
R
Como uma circunferência completa tem comprimento 2π R , então o ângulo
que corresponde a uma volta toda, em radianos, mede 2π rad . Assim,
podemos escrever a relação:
360° → 2π rad ou, equivalentemente, π rad → 180° .
Exemplo 1: Determine a medida em radianos correspondente aos ângulos abaixo, dados
em graus:
a) 360°
b) 180°
c) 90°
d) 60°
e) 45°
71
f) 30°
Resolução: Para converter a medida de um ângulo em graus para radianos (ou vice-versa)
podemos sempre usar regra de três e a relação π rad → 180° . Assim:
a)
π rad → 180°⎫
360π
⇒ x = 2π rad
⎬ ⇒ 180 x = 360π ⇒ x =
x rad → 360° ⎭
180
Também podemos usar uma regra prática obtida a partir da aplicação da regra de três:
θ rad =
θ graus
180
b) θ rad =
×π
θ graus
180
×π =
180
× π ⇒ θ rad = π rad
180
Educador: Vale a pena fazer as resoluções devagar e retomar as técnicas de
simplificação de frações, passo a passo.
c) θ rad =
d) θ rad =
e) θ rad =
f) θ rad =
θ graus
180
θ graus
180
θ graus
180
θ graus
180
×π =
π
90
× π ⇒ θ rad = rad
2
180
×π =
π
60
× π ⇒ θ rad = rad
3
180
×π =
π
45
× π ⇒ θ rad = rad
4
180
×π =
π
30
× π ⇒ θ rad = rad
6
180
Educador: os alunos normalmente têm dificuldade para compreender a definição de ângulo
em radianos e sua utilidade. Uma aplicação prática dessa definição consiste em calcular o
comprimento de um arco de circunferência sabendo-se seu raio e o ângulo em radianos
que corresponde ao arco. Procuraremos explorar isso em alguns exercícios e no exemplo
abaixo.
Exemplo 2: Um pneu de trator com raio de 1 m gira 90° sobre o solo. Que distância esse
pneu andou? (Use π = 3 onde for necessário)
Resolução: A distância que o pneu andou corresponde ao comprimento do arco da
circunferência que equivale em radianos ao ângulo que o pneu girou.
Podemos resolver esse problema encontrando primeiro o ângulo de giro em radianos,
usando regra de três simples:
72
π rad → 180°⎫
π
90π
⇒ x = rad
⎬ ⇒ 180 x = 90π ⇒ x =
x rad → 90° ⎭
2
180
Pela definição de radiano, temos:
arco
π arco
π 3
⇒ =
⇒ arco = = ⇒ arco = 1,5m
x=
2
1
2 2
raio
Resposta: O pneu andou uma distância de 1,5 m.
1. Na figura abaixo, classifique os ângulos â , b̂ , ĉ e d̂ :
Resolução:
â = raso
b̂ = agudo
ĉ = obtuso
d̂ = reto
2. Converta os ângulos de graus para radianos e vive-versa, conforme o caso:
a) 120°
b) 240°
5π
c)
3
3π
d)
2
Resolução:
a) θ rad =
d) θ rad
180
θ graus
×π =
2π
120
rad
× π ⇒ θ rad =
3
180
240
× π ⇒ θ rad =
180
180
θ
5 π θ graus
= graus × π ⇒
=
×π
180
3
180
θ
3 π θ graus
= graus × π ⇒
=
×π
180
2
180
b) θ rad =
c) θ rad
θ graus
×π =
4π
rad
3
5 ×180
⇒ θ graus = 300°
3
3 ×180
=
⇒ θ graus = 270°
2
⇒ θ graus =
⇒ θ graus
73
Operações com ângulos:
Ângulos podem ser somados, subtraídos, multiplicados ou divididos por números reais.
Exemplo: Determine o ângulo â indicado na figura abaixo e dê seu valor em graus e em
radianos:
Resolução: Observando a figura notamos que a soma de 150° com o ângulo â resulta em
um ângulo raso (180°). Assim:
150 + a = 180 ⇒ a = 180 − 150 ⇒ a = 30°
θ rad =
θ graus
180
×π =
π
30
× π ⇒ θ rad = rad
6
180
Ângulos internos de triângulos e quadriláteros:
Triângulos e quadriláteros têm propriedades importantes referentes aos seus ângulos
internos:
•
A soma dos ângulos internos de um triângulo resulta sempre em 180°;
•
A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero resulta sempre 360°.
Exemplo: Determine o valor do ângulo â indicado na figura abaixo:
Resolução: A figura é um quadrilátero (trapézio) que tem dois ângulos retos (90°). Assim:
90 + 90 + 70 + a = 360 ⇒ a = 360 − 250 ⇒ a = 110°
74
3. Determine os ângulos indicados nas figuras abaixo e dê a resposta em graus e em
radianos:
Educador: você pode resolver um ou outro exercício como exemplo e propor
os demais para os alunos, mas é importante que confira as resoluções dos
alunos e, preferencialmente, as refaça em sala, destacando os erros
operacionais mais comuns (principalmente quando os alunos têm que
manipular equações).
a)
Resolução:
x + 30 + 90 = 180 ⇒ x = 180 − 120 ⇒ x = 60°
θ
π
60
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad = rad
3
180
180
b)
Resolução:
x + 65 + 65 = 180 ⇒ x = 180 − 130 ⇒ x = 50°
θ
5π
50
rad
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad =
18
180
180
75
c)
Resolução:
x + 72 + 58 = 180 ⇒ x = 180 − 130 ⇒ x = 50°
θ
5π
50
rad
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad =
18
180
180
d)
Resolução:
x + ( x + 30) + 60 = 180 ⇒ 2 x = 180 − 90 ⇒ x = 45°
θ rad =
θ graus
180
×π =
π
45
× π ⇒ θ rad = rad
4
180
e)
Resolução:
76
a + 82 + 54 = 180 ⇒ a = 180 − 136 = 44
x + 44 = 180 ⇒ x = 180 − 44 ⇒ x = 136°
Educador: aqui vale lembrar que o ângulo externo x é igual à soma dos
ângulos internos dos vértices opostos (54+82).
θ rad =
θ graus
180
×π =
34π
136
rad
× π ⇒ θ rad =
45
180
f)
Resolução:
a + 150 = 180 ⇒ a = 180 − 150 = 30
x + 90 + a = 180 ⇒ x + 90 + 30 = 180 ⇒ x = 180 − 120 ⇒ x = 60°
θ
π
60
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad = rad
3
180
180
g)
Resolução: lembrando que x é a soma dos ângulos dos vértices opostos, temos:
x = 60 + 60 ⇒ x = 120°
θ
2π
120
rad
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad =
3
180
180
77
h)
Resolução:
x + 105 + 98 + 87 = 360 ⇒ x = 360 − 290 ⇒ x = 70°
θ
7π
70
rad
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad =
18
180
180
i)
Resolução:
x + ( x − 14) + 69 + 133 = 360 ⇒ 2 x = 360 − 188 ⇒ x = 86°
θ
43π
86
rad
θ rad = graus × π =
× π ⇒ θ rad =
90
180
180
4. Num triângulo isóscele um de seus ângulos mede 100°. Determine o valor dos outros
dois ângulos.
Resolução: Se o triângulo é isóscele, então ele tem dois ângulos iguais em sua base.
Se o ângulo dado fosse da base, então o outro ângulo da base também mediria 100° e
a soma deles já passaria de 180°. Assim, o ângulo dado é o oposto à base e os ângulos
procurados são os da base:
x + x + 100 = 180 ⇒ 2 x = 180 − 100 ⇒ x = 40°
78
Aula 12: Geometria – Triângulo retângulo
Educador: nessa aula faremos uma revisão de algumas propriedades dos triângulos em
geral e, em especial, dos triângulos retângulos e suas relações métricas.
Triângulos:
Triângulos são polígonos regulares com três lados.
Eles podem ser classificados em três tipos conforme o comprimento de seus lados:
Também podemos classificá-los com base nos seus ângulos internos:
Para qualquer triângulo:
- a soma de seus ângulos internos é sempre 180°.
- a soma dos comprimentos de dois de seus lados é sempre maior do que o comprimento
do terceiro lado.
Exemplo: São dadas as medidas dos três lados de uma figura. Assinale com um “X”
aquelas que podem ser triângulos:
( X ) 20, 30, 40
( ) 10, 50, 20
(10 + 20 < 50, logo, não é triângulo)
( X ) 30, 30, 30
( ) 5, 3, 1
(3 + 1 < 5, logo, não é triângulo)
Educador: a condição de que a soma de dois lados seja sempre maior do que
o terceiro lado é conhecida como “condição de existência do triângulo”.
79
Triângulo retângulo:
O triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90°).
Nesse triângulo os lados recebem nomes especiais:
- lados adjacentes ao ângulo reto: catetos.
- lado oposto ao ângulo reto: hipotenusa.
Existe uma relação entre as medidas dos catetos e a medida da hipotenusa
conhecida como Teorema de Pitágoras:
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
Em símbolos:
c 2 = a 2 + b2
Onde c é a medida da hipotenusa e a e b são as medidas dos catetos.
Exemplo: Determine a medida do lado x nos triângulos abaixo:
a)
Resolução: aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
x 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ⇒ x = 100 ⇒ x = 10
Educador: se julgar necessário, lembre aos alunos que ao extrairmos a raiz
quadrada de um número obtemos dois resultados simétricos (um positivo e um
negativo), mas, que ao tratarmos de comprimentos, apenas a medida positiva
faz sentido. Portanto, estamos omitindo os sinais de + e – que aparecem na
frente do radical e, assim, estamos na verdade escolhendo o sinal positivo na
resposta.
80
b)
Resolução: aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
152 = x 2 + 92 ⇒ x 2 = 152 − 92 = 225 − 81 = 144 ⇒ x = 144 ⇒ x = 12
1. Classifique os triângulos abaixo com relação a seus lados e ângulos:
Escaleno
Escaleno
Retângulo
Obtusângulo
Equilátero
Isósceles
Acutângulo
Acutângulo
2. Calcule a medida x do lado da figura:
Resolução: aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
52 = x 2 + 42 ⇒ x 2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9 ⇒ x = 9 ⇒ x = 3
81
3. Calcule a área e o perímetro do retângulo mostrado na figura:
Resolução: para calcularmos a área e perímetro do retângulo precisamos primeiro calcular
o valor do lado x que falta:
Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
202 = x 2 + 122 ⇒ x 2 = 202 − 122 = 400 − 144 = 256 ⇒ x = 256 ⇒ x = 16
Portanto, o perímetro será:
P = 12 + 16 + 12 + 16 ⇒ P = 56
E a área:
A = 12 × 16 ⇒ A = 192
Seno, cosseno e tangente:
Em triângulos retângulos podemos também estabelecer relações entre os ângulos internos
e os lados do triângulo.
Seno de um ângulo: razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da
hipotenusa:
senθ =
a
c
senφ =
b
c
Cosseno de um ângulo: razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da
hipotenusa:
cos θ =
b
c
cos φ =
a
c
82
Tangente de um ângulo: razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao
ângulo:
tan θ =
a
b
tan φ =
b
a
Note que:
senθ = cos φ =
a
c
senφ = cos θ =
b
c
tan θ .tan φ = 1
Os valores dos senos, cossenos e tangentes de alguns ângulos importantes são dados na
tabela abaixo:
Educador: você pode ensinar aos seus alunos como montar essa tabela de valores a partir
do procedimento abaixo:
1 – partindo da tabela vazia, escreva os números 0, 1, 2, 3 e 4 na primeira linha;
2 – extraia a raiz quadrada de todos esses números;
3 – divida todos os números por 2. Pronto! A primeira linha está terminada.
4 – copie os valores da primeira linha na segunda linha, começando do último para o
primeiro;
5 – na terceira linha, divida o valor da primeira linha (seno) pelo valor da segunda linha
(cosseno).
Exemplo: Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo θ do triângulo retângulo
mostrado na figura:
83
Resolução: o primeiro passo consiste em obter a hipotenusa do triângulo retângulo dado.
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
x 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ⇒ x = 25 ⇒ x = 5
Assim:
3
5
4
cos θ =
5
3
tan θ =
4
senθ =
4. Determine o valor de x nos problemas abaixo:
Educador: os alunos normalmente têm dificuldade para encontrar a relação
correta a ser usada (seno, cosseno ou tangente). Proponha o problema a eles
e discuta com a classe como chegaram à conclusão sobre qual a relação
utilizada em cada caso; isso lhe permitirá consolidar a aprendizagem dos
alunos.
Uma boa sugestão é pedir a eles que “coloquem o dedo sobre o ângulo dado”
e então procurem o “ângulo que está no lado oposto a ele” (cateto oposto) e o
“ângulo que está ao lado dele” (cateto adjacente – “que está nas adjacências,
ao lado, próximo...”).
a)
Resolução: calculando o seno de x, temos:
2 1
sen x = =
4 2
Verificando os valores da tabelas de senos vemos que o seno que resulta em ½ é o seno
do ângulo de 30°. Assim:
x = 30°
84
b)
Resolução: calculando o cosseno de 30°, temos:
x
3 x
cos 30° = ⇒
= ⇒ x= 3
2
2
2
c)
Resolução: calculando a tangente de 45°, temos:
2
2
tan 45° = ⇒ 1 = ⇒ x = 2
x
x
5. Calcule o comprimento da escada mostrada na figura:
15 m
8m
• •
Resolução: usando o teorema de Pitágoras, temos:
x 2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 ⇒ x = 289 ⇒ x = 17
Resposta: A escada mede 17 m.
85
6. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Quando tiver percorrido 500 3 m, a que
altura estará do solo?
Resolução: o problema pode ser ilustrado pela figura abaixo:
Calculando a tangente de 30°, temos:
h
3
h
tan 30° =
⇒
=
⇒ h = 500
3 500 3
500 3
Resposta: O avião estará a 500 m do solo.
86
Aula 13: Geometria – Semelhança de triângulos, razões e
proporções
Educador: nessa aula retomaremos as razões e proporções no contexto das situações de
semelhança entre triângulos. Procuramos dar ênfase à resolução de problemas.
Triângulos semelhantes:
Duas formas geométricas são semelhantes quando possuem a mesma forma, embora
possam ter tamanhos diferentes. Dois quadrados são semelhantes, dois círculos são
semelhantes, etc., porém, para que dois triângulos sejam semelhantes é necessário que
obedeçam algumas condições:
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os ângulos correspondentes iguais ou
seus lados correspondentes são proporcionais.
Em símbolos podemos dizer que os triângulos acima são semelhantes porque:
A=A' , B=B' e C=C'
Ou
AB
AC
BC
=
=
=K
A ' B ' A'C ' B 'C '
Onde K é uma constante denominada razão de semelhança entre os triângulos.
Educador: pode ser necessário recordar com os alunos a notação utilizada:
A = ângulo do vértice A; também pode aparecer como BAC (em função dos lados).
AB = segmento AB.
Exemplo: Os triângulos abaixo são semelhantes?
Resolução: Sim, são semelhantes, pois os ângulos correspondentes são iguais. O triângulo
da esquerda aparece apenas girado na direita (espelhado).
87
1. Em cada caso, determine se os triângulos são semelhantes e justifique sua resposta:
a)
Resolução: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta sempre 180°, então
o ângulo não indicado nas figuras tem mesma medida e, sendo assim, temos os três
ângulos correspondentes de mesma medida. Portanto, os dois triângulos são semelhantes.
b)
Resolução: os ângulos B e E têm mesma medida (90°), o ângulo C é comum aos dois
triângulos e, tendo dois ângulos correspondentes de mesma medida, o terceiro ângulo de
cada um deles ( A e D ) também terá a mesma medida nos dois triângulos. Logo, os dois
triângulos são semelhantes.
c)
Resolução: os ângulos C e R têm mesma medida (90°), mas os ângulos A e B não são
correspondentes aos ângulos P$ e Q . Logo, os dois triângulos não são semelhantes.
88
Educador: proponha aos alunos que calculem os ângulos que estão
faltando na figura para se assegurarem de que não são correspondentes
(eles devem lembrar que a soma dos ângulos internos é 180°).
d)
Resolução: os ângulos M e S$ têm mesma medida (110°), os ângulos C e P$ e os ângulos
D e T são correspondentes. Logo, os dois triângulos são semelhantes.
Educador: proponha aos alunos que calculem os ângulos que estão
faltando na figura para se assegurarem de que os ângulos correspondentes
tem a mesma medida.
Usando proporções em triângulos semelhantes:
Para dois triângulos semelhantes há sempre uma razão de semelhança
entre seus lados.
Podemos usar esse resultado para calcular a medida de um dos lados de
um triângulo se soubermos as medidas de outro lado desse triângulo e as
medidas de dois lados correspondentes de outro triângulo semelhante.
Exemplo: Dados os triângulos semelhantes abaixo, determine as medidas x e y indicadas
nas figuras:
Resolução: para determinar os valores de x e y podemos montar as seguintes proporções:
89
10
=
5
10
=
5
6
30
⇒ x=3
⇒ 10 x = (5).(6) ⇒ x =
10
x
y
40
⇒ (10).(4) = 5 y ⇒ y =
⇒ y =8
4
5
Educador: é importante que os alunos percebam que precisam determinar
primeiro quais são os lados correspondentes e terem certeza de que os
triângulos são semelhantes para, somente depois, estabelecerem a proporção
entre esses lados.
2. As figuras abaixo representam triângulos semelhantes. Determine os valores de x e y
em cada uma delas.
Educador: enfatize sempre a necessidade de estabelecer a proporção entre
lados correspondentes dos triângulos.
a)
Resolução:
10
x 3
(10).(3)
= ⇒x=
⇒ x=
3
10 9
9
y 3
(6).(3)
= ⇒y=
⇒ y=2
6 9
9
b)
Resolução:
x 12
(18).(12)
= ⇒x=
⇒ x = 24
18 9
9
90
27
y
9
(18).(9)
= ⇒y=
⇒ y=
2
18 12
12
c)
Resolução:
x 2
(8).(2)
= ⇒x=
⇒ x=4
8 4
4
y 4
(3).(4)
= ⇒y=
⇒ y=6
3 2
2
d)
Resolução:
7
x
1
( 7).(1)
7
=
⇒x=
=
⇒ x=
3
7
3
3
3
2 3
y
1
2
2 ⎛ 3⎞
. ⎜⎜
=
⇒y=
=
⎟⎟ ⇒ y ==
3
2
3
3
3 ⎝ 3⎠
3. Dois triângulos eqüiláteros são semelhantes? Por quê?
Resolução: Sim, pois ambos possuem lados de mesma medida e ângulos internos iguais.
4. Dois triângulos isósceles quaisquer são semelhantes? Por quê?
Resolução: Não necessariamente, pois os triângulos isósceles possuem dois lados de
mesma medida, mas não possuem ângulos internos sempre iguais, como no caso do
triângulo equilátero.
91
5. Calcule a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de
comprimento quando, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de
2,5 m.
Resolução: A situação descria no problema pode ser representada pela figura abaixo:
x
18
(1,5).(18)
=
⇒x=
⇒ x = 10,8m
1,5 2,5
2,5
6. Se uma haste de um metro projeta uma sombra de 1,5 metro, qual será o comprimento
de uma árvore com uma sombra de 4,5 metros no mesmo instante?
Resolução: A situação descria no problema pode ser representada pela figura abaixo:
x 4,5
(1).(4,5)
=
⇒x=
⇒ x = 3m
1 1,5
1,5
7. Se uma haste de um metro projeta uma sombra de 2 metros, qual será a altura de um
poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 metros?
Resolução: A situação descria no problema pode ser representada pela figura abaixo:
x 15
(1).(15)
⇒ x = 7,5m
= ⇒x=
1 2
2
92
Aula 14: Álgebra – Funções e equações do primeiro grau
Educador: nessa aula faremos uma breve revisão sobre a função do primeiro grau, a
construção e interpretação de seus gráficos e a resolução de equações do primeiro grau a
uma variável. Muitos alunos ainda podem ter dificuldades ao manipular equações e, por
isso, estamos propondo que todos os exercícios e problemas sejam resolvidos e corrigidos
em lousa, passo a passo, sem a omissão de nenhuma passagem.
Função do primeiro grau:
Em matemática uma função é um tipo de relação matemática de duas ou mais variáveis.
Por exemplo, se uma variável y tem um determinado valor para cada valor diferente de
outra variável x, então dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x).
Educador: aqui acreditamos que não seja conveniente entrar em detalhes sobre as funções
de uma forma mais geral, mas apenas de retomar o conceito e passar diretamente à
função do primeiro grau.
Um tipo muito comum de função é a função do primeiro grau, também chamada de função
afim. Nesse tipo de função a variável y depende apenas da variável x.
Matematicamente podemos definir a função do primeiro grau como sendo da forma
y = ax + b , onde a e b são constantes (números fixos).
Exemplo: Quais das funções abaixo são funções do primeiro grau a uma variável?
Educador: aqui é importante que o aluno perceba que as funções do primeiro
grau a uma variável devem sempre poder ser escritas na forma y = ax + b,
com a e b sendo números reais. Por isso, é importante que eles aprendam a
localizar os coeficientes a e b, que verifiquem se o expoente da variável x é 1
e, em expressões mais complexas, se a expressão pode ser reduzida para a
forma y = ax + b (nos exemplos abaixo não apresentamos nenhuma
expressão mais complexa).
( X ) y = 2x + 3
(X)y=-x
( ) y = x2
( ) y = 1/x
( ) y = xz – 2
(X)y=½+x
( ) y= x
(a = 2, b = 3)
(a = -1, b = 0)
(é uma função do segundo grau e não do primeiro grau)
(é uma função de grau -1)
(é uma função do primeiro grau a duas variáveis)
(a = 1, b = ½)
(é uma função de grau ½)
Gráfico da função do primeiro grau:
A função do primeiro grau y = ax + b pode ser representada graficamente como uma reta
no plano cartesiano:
93
A constante a é chamada de coeficiente angular da reta, pois corresponde à tangente do
ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x.
Se a > 0, então a reta é crescente.
Se a < 0, então a reta é decrescente.
A constante b é chamada de coeficiente linear da reta e corresponde ao ponto do eixo y
por onde a reta passa.
Se b > 0, então a reta corta o eixo y acima do eixo x.
Se b = 0, então a reta corta o eixo y no ponto (0, 0).
Se b < 0, então a reta corta o eixo y abaixo do eixo x.
Exemplo: Identifique os coeficientes a e b da função do primeiro grau y = 2x + 4 e construa
seu gráfico.
Educador: sugerimos que construa o gráfico mostrando o passo a passo da
construção e depois aponte, identifique e relacione os coeficientes angular e
linear no gráfico e na equação.
Resolução: Construímos uma tabela de valores de y para valores arbitrários atribuídos a x.
Educador: Como o gráfico resultará em uma reta, podemos construir uma tabela com
apenas dois pontos, mas para tornar claro o método utilizado aqui (uso da tabela de
valores) e, que servirá para a construção de gráficos de outras funções, vamos escolher 5
pontos. Mais adiante usaremos um método mais abreviado e específico para a construção
de gráficos da função do primeiro grau.
Obtemos os pontos com o uso da função dada y = 2 x + 4 :
y (−2) = 2.(−2) + 4 = −4 + 4 = 0
y (−1) = 2.(−1) + 4 = −2 + 4 = 2
y (0) = 2.(0) + 4 = 0 + 4 = 4
y (1) = 2.(1) + 4 = 2 + 4 = 6
y (2) = 2.(2) + 4 = 4 + 4 = 8
y
0
2
4
6
8
x
-2
-1
0
1
2
Marcamos os pontos em um plano cartesiano e os ligamos, desenhando a reta:
Educador: aqui é importante discutir com os alunos a escolha de uma boa
escala para cada eixo, de maneira que os dados fiquem bem acomodados no
espaço onde o gráfico será desenhado. Nesse exemplo o eixo x está em uma
94
escala de 1:1 e o eixo y em uma escala de 1:2. Geralmente os alunos têm
dificuldade em escolher uma boa escala e, portanto, esse é um ponto onde
você deverá sempre focar durante a construção de gráficos.
Os coeficientes a e b são:
a=2
b = 4.
Note que a reta é crescente (a = 2 > 0) e corta o eixo y acima do eixo x (b = 4 > 0).
1. Para cada função do primeiro grau dada abaixo, identifique seus coeficientes a e b e
construa o gráfico.
a) y = 1 – x
Resolução:
y = 1− x
y (−2) = 1 − (−2) = 3
y (−1) = 1 − (−1) = 2
y (0) = 1 − (0) = 1
y (1) = 1 − (1) = 0
y (2) = 1 − (2) = −1
y
3
2
1
0
-1
x
-2
-1
0
1
2
a = -1 (a < 0, reta decrescente).
b = 1 (b > 0, a reta corta o eixo y acima do eixo x).
b) y = x – 3
Resolução:
y = x−3
y (−2) = (−2) − 3 = −5
y (−1) = (−1) − 3 = −4
y (0) = (0) − 3 = −3
y (1) = (1) − 3 = −2
y (2) = (2) − 3 = −1
y
-5
-4
-3
-2
-1
x
-2
-1
0
1
2
a = 1 (a > 0, reta crescente).
b = -3 (b < 0, a reta corta o eixo y abaixo do eixo x).
95
c) y = – 1 – x
Resolução:
y = −1 − x
y (−2) = −1 − (−2) = 1
y (−1) = −1 − (−1) = 0
y (0) = −1 − (0) = −1
y (1) = −1 − (1) = −2
y (2) = −1 − (2) = −3
y
1
0
-1
-2
-3
x
-2
-1
0
1
2
a = -1 (a < 0, reta decrescente).
b = -1 (b < 0, a reta corta o eixo y abaixo do eixo x).
Educador: peça que os alunos observem os quatro gráficos construídos e
notem a relação entre os coeficientes a e b e as posições relativas aos eixos x
e y das retas obtidas em cada caso.
Equações do primeiro grau:
Quando em uma função do primeiro grau a uma variável, y ou x possuem
valores determinados, podemos calcular o valor da outra variável que está
faltando. Nesse caso ficamos com uma equação do primeiro grau.
As equações do primeiro grau a uma variável podem se apresentar de muitas
maneiras, mas todas elas podem ser reduzidas a uma forma compacta como
ax+b=0.
Exemplo 1: Determine o valor de x na equação 4 = 2x – 2.
Educador: Como esse é um primeiro exemplo é recomendável que todos os
passos e as explicações sobre as operações realizadas em cada um deles
sejam apresentados e detalhados. O método apresentado abaixo não é o mais
curto, mas é o “mais seguro” (e matematicamente correto) para se chegar ao
resultado correto. Esse método não faz menção a expressões como: “se está
somando passa subtraindo”, “se está multiplicando passa dividindo”, etc.
Resolução: Para resolvermos uma equação com uma única incógnita (variável), devemos
isolar a variável de forma a obter uma expressão do tipo “x = número”. Assim:
4 = 2x − 2
2x − 2 = 4
(invertemos os lados da equação)
2 x − 2 + 2 = 4 + 2 (somamos 2 aos dois membros da equação)
2x = 6
(efetuamos as operações de soma)
2x 6
(dividimos os dois membros da equação por 2)
=
2 2
x=3
(efetuamos a divisão e encontramos o resultado)
96
Exemplo 2: Determine o valor de x na equação 4x – 2 = x + 4.
Resolução:
4x − 2 = x + 4
4 x − 2 + (− x) = x + 4 + (− x) (somamos –x aos dois membros da equação)
3x − 2 = 4
3x − 2 + 2 = 4 + 2
3x = 6
3x 6
=
3 3
x=2
(efetuamos a operações de soma algébrica)
(somamos 2 aos dois membros da equação)
(efetuamos a soma)
(dividimos os dois membros por 3)
(efetuamos a divisão e encontramos o resultado)
2. Determine o valor de x nas equações abaixo:
e) 10 x − 5 = 15
Resolução:
10 x − 5 = 15
10 x − 5 + 5 = 15 + 5
10 x = 20
10 x 20
=
10 10
x=2
f) 10 − x = 8
Resolução:
10 − x = 8
10 − x + (−10) = 8 + (−10)
− x = −2
(−1) × (− x) = (−1) × (−2)
x=2
g) 5 = 3 x − 1
Resolução:
5 = 3x − 1
3x − 1 = 5
3x − 1 + 1 = 5 + 1
3x = 6
3x 6
=
3 3
x=2
97
h) 2 x − 5 = x − 3
Resolução:
2x − 5 = x − 3
2 x − 5 + (− x) = x − 3 + (− x)
x − 5 = −3
x − 5 + 5 = −3 + 5
x=2
i)
2−
x
=4
3
Resolução:
x
2− = 4
3
x
2 − + (−2) = 4 + (−2)
3
x
− =2
3
x
(−1) × (− ) = (−1) × (2)
3
x
= −2
3
⎛x⎞
( 3 ) × ⎜ ⎟ = (3) × (−2)
⎝3⎠
x = −6
Esboçando gráficos da função do primeiro grau mais rapidamente:
Quando queremos esboçar o gráfico de uma função do primeiro grau de forma
rápida, não precisamos construir uma tabela com diversos valores para x, pois
sabemos que o gráfico é uma reta e que, portanto, bastam dois pontos para
traçarmos essa reta.
Um método prático consiste em usar os pontos em que a reta corta os eixos x
e y.
Já sabemos que a reta corta o eixo y em y = b . É fácil mostrar que a reta corta
−b
o eixo x em x =
. Assim, bastam esses dois pontos para desenharmos a
a
reta:
98
Exemplo: Esboce o gráfico da função do primeiro grau y = 2x + 4.
Educador: sugerimos que construa o gráfico mostrando o passo a passo da
construção e depois aponte, identifique e relacione os coeficientes angular e
linear no gráfico e na equação.
Resolução: A reta corta os eixos nos pontos:
−b −4
=
= −2
x=
2
a
y=4
Assim:
3. Esboce os gráficos das funções abaixo:
a) y = 1 – x
Resolução: A reta corta os eixos nos pontos:
−b −1
=
=1
x=
a −1
y =1
b) y = x – 3
99
Resolução: A reta corta os eixos nos pontos:
−b −(−3)
=
=3
x=
1
a
y = −3
c) y = – 1 – x
Resolução:
−b −(−1)
x=
=
= −1
(−1)
a
y = −1
Educador: peça que os alunos comparem os gráficos esboçados nesse
exercício com aqueles que desenharam (das mesmas funções) no exercício 1.
4. Um retângulo de perímetro 30 cm tem o lado maior medindo o dobro do lado menor.
Determine a área desse retângulo
Educador: pode ser necessário recordar rapidamente com os alunos como se
calcula o perímetro e a área de um retângulo. Além disso, muitos alunos
tentam resolver esse tipo de problema sem desenharem antes o retângulo, e
isso torna a solução mais difícil e aumenta a probabilidade de erro. Portanto,
sugerimos que você oriente os alunos a iniciarem o problema desenhando o
retângulo e indicando suas medidas nos lados.
Resolução:
100
Equacionando o problema a partir do enunciado, temos:
x + 2 x + x + 2 x = 30
6 x = 30
6 x 30
=
6
6
x=5
Assim, o retângulo dado tem dimensões conforme mostrado na figura abaixo:
A área desse retângulo vale:
A = 5 × 10 ⇒ A = 50cm 2
5. A temperatura medida por um termômetro graduado na escala Fahrenheit em uma noite
fria, em Washington (EUA), foi de 14 °F. É possível converter essa temperatura para a
escala Celsius (usada no Brasil) aplicando a fórmula de conversão dada abaixo. Determine
o valor dessa temperatura em °C (graus Celsius).
T
− 32 TCelsius
=
Fórmula de conversão: Fahrenheit
9
5
Educador: é bastante comum que os alunos tenham dificuldade em usar
outras letras para representar variáveis além dos comuns x e y. Aproveite para
reforçar para a classe que podemos representar as variáveis x e y por outras
letras, símbolos, palavras e até por expressões.
Resolução: Como temos a temperatura na escala Fahrenheit, basta substituí-la na fórmula
de conversão e resolver a equação resultante:
TFahrenheit = 14° F
TFahrenheit − 32 TCelsius
=
9
5
14 − 32 TCelsius
=
9
5
−18 TCelsius
=
9
5
101
−2 =
TCelsius
5
TCelsius
= −2
5
⎛T
⎞
(5) × ⎜ Celsius ⎟ = (5) × (−2)
⎝ 5 ⎠
TCelsius = −10°C
6. Um reservatório, com certa quantia inicial de água, tinha seu nível em 10 cm quando
uma torneira foi aberta e assim permaneceu por 10 minutos, elevando o nível da água para
60 cm. Sabendo que a torneira fornece água para o reservatório com um fluxo constante,
determine:
a) o esboço do gráfico da altura do nível de água em função do tempo para esse
reservatório;
b) de quanto aumentou a altura do nível da água nos 10 minutos considerados;
Educador: nesse exercício os alunos deverão interpretar o enunciado e
perceber que o gráfico pedido corresponde ao gráfico de uma função do
primeiro grau.
Se perceber que a turma consegue fazer o gráfico facilmente, proponha como
tarefa extra que descubram a função matemática que descreve essa reta.
Solução para o desafio:
b = 10
H = at + b
H = at + 10
Para t = 10 min, temos H = 60 cm. Então, substituindo na equação acima,
temos:
60 = a(10) + 10
10a + 10 = 60
10a + 10 + (−10) = 60 + (−10) ¨
10a = 50
10a 50
=
10 10
a=5
Assim:
H = at + 10
H = 5t + 10
Resolução:
a) O nível inicial de água corresponde à altura da linha d’água no instante inicial (t = 0).
Sabemos também que após um tempo t = 10 min o nível da linha d’água passou a ser 60
cm e, além disso, o gráfico é uma reta, pois a torneira fornece água para o reservatório
com um fluxo constante. Assim:
102
A reta do gráfico inicia no valor H = 10 cm, portanto essa era a altura do nível de água no
reservatório.
b) A altura final do nível da água no reservatório foi de 60 cm, então, a variação da altura
durante os 10 minutos foi de:
ΔH = 60 − 10 = 50cm
7. Em um teste de retomada de aceleração para ultrapassagem, a velocidade de um
automóvel variou conforme a função v = 10 + 5t , onde v é a velocidade do automóvel
medida em m/s e t é o tempo de aceleração, medido em segundos.
a) esboce o gráfico dessa função;
b) determine depois de quantos segundo a velocidade do automóvel atingirá 60 m/s.
Educador: se necessário sugira aos alunos que façam primeiro a associação
correta entre as letras “v” e “t” e as letras “y” e “x”, respectivamente, usadas
em vários problemas (lembrando que essa é uma dificuldade comum deles
que exige atenção).
Resolução:
a) Podemos determinar dois pontos quaisquer e então traçar a reta que passa por eles:
Para t = 0, temos:
v(t = 0) = 10 + 5(0) = 10
Para t = 10, temos:
v(t = 10) = 10 + 5(10) = 60
Assim:
b) Para v = 60, temos:
v = 10 + 5t
60 = 10 + 5t
10 + 5t = 60
10 + 5t + (−10) = 60 + (−10)
5t = 50
103
5t 50
=
5
5
t = 10 s
104
Aula 15: Revisão geral – Tudo junto e misturado
Educador: nessa aula faremos uma “revisão da revisão” tratando apenas da resolução de
exercícios e problemas. O objetivo é que se possa avaliar até que ponto a revisão
contribuiu para a aprendizagem dos alunos e reforçar a aprendizagem onde for necessário.
Todos os exercícios e problemas podem ser propostos aos alunos e, se possível, corrigidos
em lousa. Essa correção pode ser feita pelos próprios alunos, na lousa, ou, para ganhar
tempo e eficiência na aprendizagem, de forma “cruzada” (os alunos trocam seus cadernos,
o educador faz a correção na lousa e cada aluno faz a correção do caderno que ele
recebeu do colega).
Revisões parciais dos assuntos já revisados nas aulas anteriores podem ser necessárias e,
nesse caso, sugerimos que “metade da lousa” fique reservada para essas revisões,
enquanto a outra metade pode ser usada para as correções.
Também pode ser uma boa idéia trabalhar com os alunos em grupos de 2 a 4 alunos onde
estejam misturados os alunos com maior desempenho e menor desempenho em
matemática.
1. Felisberto Feliz resolveu fazer alguns pães de queijo em sua casa. Pela internet ele
obteve a seguinte receita:
Pão de queijo – 30 porções
• 1/2 copo de óleo de soja
• 1 copo de leite
• 4 ovos
• 250 g de queijo meia-cura
• 1/2 kg de polvilho doce
• 1 colher (sobremesa) de sal
a) Curioso como ele só, Felisberto resolveu calcular o custo dessa receita. Pesquisando
novamente na internet ele encontrou os seguintes preços para os ingredientes:
• óleo de soja: R$ 3,00 (embalagem de 900 ml)
• leite: R$ 2,30 (litro)
• ovos: R$ 2,00 (dúzia)
• queijo meia-cura: R$ 20,00 (embalagem com 600 g)
• polvilho doce: R$ 3,00 (1 kg)
• sal: R$ 1,40 (1 kg)
Supondo que o copo usado como medida tenha capacidade de 200 ml e, que uma colher
de sobremesa de sal tenha massa de 10 g, qual é o custo aproximado da receita de pão de
queijo para 30 porções?
Educador: Esse item da atividade trabalha bastante com a aplicação de regra
de três, mas também envolve o uso de unidades de medida e retoma
operações com frações e resolução de equações do primeiro grau simples.
Resolução:
• 1/2 copo de óleo de soja
105
÷3=1
900ml → 3, 00 ⎫
3
1
⎬ ⇒ 9 00 x = (100 ).(3) ⇒ x = ÷3=3 = ⇒ x = 0,33
100ml → x ⎭
3
9
• 1 copo de leite
1000ml → 2,30 ⎫
4,3
⇒ x = 0, 43
⎬ ⇒ 10 00 x = (2 00 ).(2,3) ⇒ x =
200ml → x
10
⎭
• 4 ovos
÷4 = 2
12ovos → 2, 00 ⎫
8
2
= ⇒ x = 0, 67
⎬ ⇒ 12 x = (4).(2) ⇒ x =
÷4 =3
4ovos → x
3
⎭
12
• 250 g de queijo meia-cura
÷2 = 25
600 g → 20, 00 ⎫
50
25
=
⇒ x = 8,33
⎬ ⇒ 6 00 x = (25 0 ).(2 0 ) ⇒ x =
÷2 = 3
250 → x
3
⎭
6
• 1/2 kg de polvilho doce
1kg → 3, 00 ⎫
⎬ ⇒ x = (0,5).(3, 00) ⇒ x = 1,5
0,5kg → x ⎭
• 1 colher (sobremesa) de sal
1000 g → 1, 40 ⎫
14÷2=7
7
⇒ x = 0, 002
=
⎬ ⇒ 1000 x = (10).(1, 4) ⇒ x =
÷2 = 500
10 → x
1000
500
⎭
Note que o custo do sal nessa receita é desprezível.
Custo da receita = 0,33 + 0,43 + 0,67 + 8,33 + 1,5 + 0 ⇒ R$ 11,26
b) Se Felisberto decidir fazer apenas “meia receita”, como você escreveria essa nova
receita?
Resolução:
Pão de queijo – 15 porções
• 1/4 copo de óleo de soja
• 1/2 copo de leite
• 2 ovos
• 125 g de queijo meia-cura
• 1/4 kg de polvilho doce
• 1/2 colher (sobremesa) de sal
c) Se Felisberto tiver todos os ingredientes em quantidades abundantes, mas apenas meia
dúzia de ovos, quantos pães de queijo ele poderia fazer?
Resolução: Para cada receita de 30 pães ele precisa de 4 ovos, assim:
106
4ovos → 30 pães ⎫
180
⇒ x = 45
⎬ ⇒ 4 x = (6).(30) ⇒ x =
6ovos → x
4
⎭
Resposta: Com meia dúzia de ovos Felisberto poderia fazer 45 pães de queijo (uma receita
e meia).
d) Felisberto teve a idéia de fazer pães de queijo para vender. Por quanto Felisberto deve
vender a dúzia de pães de queijo se ele quiser trabalhar com uma margem de lucro de
50%?
Educador: nesse item os alunos vão trabalhar com regra de três e
porcentagem. Se necessário recorde com eles o método prático de “dar
aumentos ou descontos”.
Resolução: no item “a” descobrimos que cada receita de 30 pães de queijo custa R$ 11,26,
portanto, o custo da dúzia de pães de queijo é:
30 pães → R$11, 26 ⎫
135,12
⇒ x = R$4,50
⎬ ⇒ 30 x = (12).(11, 26) ⇒ x =
12 pães → x
30
⎭
Para ter um lucro de 50% Felisberto deve vender cada dúzia a:
⎛ 100 + 50 ⎞
⎜
⎟ × 4,5 = 6, 75 ⇒ R$ 6,75
⎝ 100 ⎠
e) Ainda pensando em vender seus pães de queijo, Felisberto teve a idéia de embalá-los
em caixas retangulares com uma dúzia cada. Medindo o diâmetro de um pão de queijo
(que é aproximadamente esférico) ele encontrou o valor de 6 cm. Qual deve ser o volume
mínimo do interior de uma caixa retangular que acomode corretamente uma dúzia de pães
de queijo de Felisberto?
Educador: nesse item pode ser necessário recordar com os alunos o conceito
de diâmetro de um círculo/esfera e o volume de um paralelepípedo. Oriente-os
também a construir uma figura que os ajude a interpretar o problema.
Resolução: Com os pães de queijo tendo um diâmetro de 6 cm, a caixa retangular de
menor área da base deve acomodar 3 fileiras de 4 pães em cada uma:
Como os pães são aproximadamente esféricos, então a altura da caixa deve ser de 6 cm e
seu volume total (volume de um paralelepípedo) será, portanto:
V = (6).(18).(24) ⇒ V = 2592cm3
2. Calcule o valor das expressões abaixo:
107
Educador: Reveja com os alunos os passos da resolução e depois faça a
correção do maior número de exercícios possível, sempre passo a passo.
a)
1 2 3 4
− + − =
2 3 4 5
Resolução: calculamos o mmc(2, 3, 4, 5):
2
1
1
1
1
3
3
3
1
1
4
2
1
1
1
5
5
5
5
1
2
2
3
5
2x2x3x5=60
Agora escrevemos a expressão passando as frações para um denominador comum:
1 2 3 4 1× 30 2 × 20 3 × 15 4 × 12
− + − =
−
+
−
=
2 3 4 5 2 × 30 3 × 20 4 ×15 5 × 12
30 40 45 48 30 − 40 + 45 − 48
− + −
=
60 60 60 60
60
−13
=
60
⎛1⎞
⎛ 21 ⎞ ⎛ −1 ⎞
b) ⎜ ⎟ − 2 + 3 32 − 1 − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
⎝ 8⎠ ⎝ 3 ⎠
3
Resolução:
⎛1⎞
⎛ 21 ⎞ ⎛ −1 ⎞
= ⎜ ⎟ − 2 + 3 32 − 1 − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 8⎠ ⎝ 3 ⎠
⎛ 21 ÷3=7 ⎞ ⎛ −1 ⎞
13
3
⎟ ⋅⎜
= 3 − 2 + 9 −1 − ⎜
⎟
⎜ 8 ⎟ ⎜ 3 ÷3=1 ⎟
2
⎠
⎝
⎠ ⎝
1
⎛ 7 ⎞ ⎛ −1 ⎞
= − 2 + 3 8 − ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟
8
⎝8⎠ ⎝ 1 ⎠
1
7
3
= − 2 + 23 +
8
8
1
7
= −2+2+
8
8
1+ 7 8
=
=
8
8
=1
3
c) A soma da metade de um quinto de uma dúzia com o triplo do quadrado de um terço da
metade de meia dúzia.
108
Resolução:
1 1
⎛1 1 ⎞
= × ×12 + 3 × ⎜ × × 6 ⎟
2 5
⎝3 2 ⎠
2
⎛ 1
÷2 = 6
÷3= 2 ⎞
1
1
+ 3 × ⎜ ÷3=1 × × 6
= ÷2=1 × × 12
⎟⎟
⎜3
5
2
2
⎝
⎠
2
1
2
⎛2⎞
6
= + 3× ⎜ ⎟ ¨
5
⎝2⎠
6
= + 3 ×1
5
6 3× 5
= +
5
5
6 15
= +
5 5
21
=
5
3. Para medir a largura de um rio de margens paralelas, sem atravessá-lo, um observador no
ponto A visa um ponto fixo B na margem oposta, perpendicularmente às margens. De A, ele
traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre ela um ponto C, distando 30 m de A. Em
seguida, ele se desloca para C, visa os pontos B e A, e mede o ângulo BCA = 70° . Sabendo
que a distância, sobre AB, de A à margem do rio é de 3 m e, que tg70° = 2,75 , calcule a
largura x do rio.
Resolução: tomando a tangente de 70°, temos:
x+3
30
x+3
2, 75 =
30
tg 70° =
109
(2, 75).(30) = x + 3
x + 3 = 82,5
x = 82,5 − 3
x = 79,5m
4. As figuras abaixo apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água
relativos a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. A máquina
ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente,
menos energia e água. Com base nessas informações, responda:
a) qual a máquina com menor consumo de energia?
Resolução: a máquina III.
b) qual a máquina com menor consumo de água?
Resolução: a máquina I.
c) qual a máquina que pode ser considerada ideal?
Resolução: a máquina com menor consumo de energia e água, simultaneamente, é aquela
cujo produto dos dois itens resulta o menor:
Máquina
I
II
III
E = Energia
1,24
0,94
0,93
A = Água
76,38
99,35
109,31
Produto E x A
94,71
93,39
101,66
110
IV
V
1,53
1,83
215,80
325,80
330,17
596,21
Portanto, a máquina ideal é a máquina II.
d) qual a diferença, em porcentagem, entre o consumo de energia elétrica da máquina mais
econômica e da máquina que mais gasta esse tipo de energia?
Resolução: comparando (calculando a razão entre) a máquina de maior consumo de energia
elétrica (V) coma máquina de menor consumo (máquina III), temos:
100 ×
1,83
= 196,8%
0,93
Portanto, a máquina de maior consumo consome 196,8% mais energia que a máquina de
menor consumo (quase o dobro).
e) supondo que a quantidade de tecido lavado pelas máquinas representadas nos gráficos seja
proporcional à quantidade de água utilizada em cada lavagem, e que todas elas efetuem a
mesma quantidade de lavagens por dia, qual máquina você escolheria para lavar mais roupa
durante um dia?
Resolução: a máquina com maior consumo de água: máquina V.
5. A velocidade com que um tanque de óleo é esvaziado quando suas válvulas são abertas é
dada pela equação v = 5.000 – 10t, onde v é a velocidade de escoamento do óleo, medida em
litros por segundo, e t é o tempo, medido em segundos.
a) qual é o tempo, em minutos e segundos, necessário para esvaziar totalmente esse tanque?
Resolução: substituindo v = 0 na equação de esvaziamento, temos:
v = 5000 − 5t ⇒ 0 = 5000 − 5t ⇒ 5t = 5000 ⇒ t = 1000 s = 16 min 40s
b) Faça um esboço do gráfico que representa a curva de esvaziamento desse tanque.
Resolução: o gráfico será uma reta, pois a função é do primeiro grau a uma variável. O
coeficiente linear dessa reta vale 5.000 e já sabemos, do item anterior, que v = 0 para t = 1000
s. Assim:
111