Matemática e
Suas Tecnologias
Matemática
Prof.: Arnaldo Torres
nº
28
MODELOS MATEMÁTICOS
Há quem diga que tudo que existe ao nosso redor, que
tem certo padrão, pode ser explicado através dos números.
Bem, de certa forma, isto é verdade, uma vez que é possível
um padrão gerar uma certa equação que, por sua vez, gera
certo gráfico.
Na prática, quando queremos identificar o modelo
matemático mais adequado ao modelo empírico, usamos o
chamado diagrama da dispersão, onde fazemos a marcação
dos pontos no sistema de coordenadas cartesianas e depois,
através de uma técnica chamada de regressão, que pode ser
linear ou não linear, verificamos qual o modelo matemático
mais adequado. Abaixo temos alguns gráficos que nos dão
uma ideia aproximada de como seria o comportamento dos
pontos. Os valores acima dos gráficos são os coeficientes de
correlação.
Valores iguais a 0.0 indicam que o modelo matemático
que se adequa ao comportamento dos pontos não é linear
e valores próximos de 1.0 ou –1,0 indicam que o modelo é
linear.
1.0
0.8
0.4
1.0
1.0
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
–0.4
–0.8
–1.0
–1.0
–1.0
–1.0
0.0
0.0
0.0
Destacamos, a seguir, os quatro principais modelos
estudados no ensino médio e mais cobrados em vestibular.
O modelo linear, representado pela função de primeiro grau,
o modelo da função quadrática, o modelo exponencial e
logarítmo e o modelo das funções trigonométricas.
O primeiro modelo é o da função linear, que normalmente
é explorado em questões envolvendo lucro, custo, receita,
depreciações e outros. A seguir temos um exemplo de
aplicação do modelo linear.
“
Há quem diga
que tudo que
existe ao
nosso redor,
que tem certo
padrão, pode
ser explicado
através dos
números.
”
Matemática e Suas Tecnologias
A figura mostra os gráficos
das funções custo total
C(x) e receita total R(x) de
uma empresa produtora
de CDs. Se, produzindo e
comercializando 960 CDs,
o custo e a receita são
iguais, o lucro pela venda
de 2000 CDs é:
Solução
y
y = R(x)
Sendo x e y as dimensões do retângulo, temos:
2x + 2y = 84 ∴ x + y = 42 ∴ y = – x + 42 (I)
y = C(x) = 2400 + 5,52x
0
(I)
x
números de CDs
960
A área A do retângulo é dada por:
A = x · y = x · (–x + 42) = –x2 + 42x
A representação gráfica de A em função de x é dada por:
y
A) 1400
C) 3000
E) 1580
B) 2500
D)2600
Solução
C(960) = 2400 + 5,5 · 960 ∴ C(960) = 7680
Existe uma constante k, tal que R(x) = k · x.
De R(960) = C(960), temos:
k · 960 = 7680
k=
0
Os modelos das funções exponenciais e logarítmicas
estão associados a comportamentos em que o crescimento ou
o decrescimento sejam muito acelerados, mais comumente
envolvendo capitais e populações.Temos, a seguir, alguns
exemplos clássicos:
Logo, R(x) = 8x.
Com x > 960, o lucro é R(x) – C(x).
R(2000) = 8 · 2000 ∴ R(2000) = 16000
C(2000) = 2400 + 5,5 · 2000 ∴ C(2000) = 13400
R(2000) – C(2000) = 2600
Resposta: D
O modelo da função quadrática é mais adequado aos
comportamentos que se caracterizam pela presença de um
valor máximo ou mínimo. Abaixo temos um exemplo que
mostra como está sendo essa nova abordagem.
Um terreno retangular tem 84 m de perímetro. O gráfico que
descreve a área y do terreno como função de um lado x é:
B)
y
y
400
0
300
– 100
200
– 200
100
20
30
40
x
O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por
P(t) = α4λt onde t ≥ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a
população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a
população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número
de bactérias da colônia será:
A) 6α
B) 8α
C) 9α
D)8α – 4
E) α + 8
Solução
A população inicial é dada por P(0) = α · 4λ · 0 = α. Após
4 horas, a população é de P(4) = α · 4λ · 4 bactérias.
Do enunciado, temos:
P(4) = 3P(0)
α · 44λ = 3(α)
44λ = 3 (*)
Em 8 horas, a população será:
– 300
0
10
20
30
40
x
C)
(*)
P(8) = α · 48λ = α · (44λ)2 = α · (3)2 = 9α
– 400
D)
Resposta: C
y
Um empresário comprou um apartamento com intenção de
investir seu dinheiro. Sabendo-se que esse imóvel valorizou
12% ao ano, é correto afirmar que seu valor duplicou em,
aproximadamente:
40
40
30
30
20
20
10
10
10
0
20
E)
40
60
80
y
10
20
30
40
x
Sendo V o valor do imóvel e t em anos, temos:
2V = V · (1 + 0,12)t
2 = (1,12)t
300
200
100
2
0
Dados: log102 ≅ 0,30 e log107 ≅ 0,84
A) 3 anos.
B) 4 anos e 3 meses.
C) 5 anos.
D)6 anos e 7 meses.
E) 7 anos e 6 meses.
Solução
400
0
x
Resposta: A
7680
∴k = 8
960
A)
42
10
20
30
40
x
 112 
log 2 = log 
 100 
t
FB NO ENEM
Matemática e Suas Tecnologias
2. Um terreno possui o formato de um triângulo retângulo
cujos catetos medem 60 m e 30 m. O proprietário
pretende construir nesse terreno uma casa de planta
retângular, de modo que dois lados do retângulo fiquem
sobre os catetos e um vértice do retângulo pertença à
hipotenusa, como na figura abaixo. Nessas condições,
obtenha:
log2 = t(log112 – log100)
0,30 = t(log24 · 7 – 2)
0,30 = t(log24 + log7 – 2)
0,30 = t(4 log2 + 0,84 – 2)
0,30 = t(4 · 0,3 + 0,84 – 2)
0,30 = t(0,04)
t = 7,5 anos = 7 anos e 6 meses
A) A área do retângulo cuja base x mede 30 m.
Resposta: E
E, por fim, os modelos das funções trigonométricos
que estão associados aos comportamentos que são
repetitivos, ou seja, periódicos, tais como o comportamento
das marés, comportamento de temperatura de caldeiras,
comportamento de populações, comportamento de receitas
e outros.Temos, a seguir, um exemplo clássico:
x
Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel seja
 πt 
,
 6 
B) A expressão que fornece a área do retângulo em função da
medida variável x.
C) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior área.
dada (em milhares de reais) por R(t) = 3000 + 1500 cos 
em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de
fevereiro e assim por diante.
A receita de março será inferior à de fevereiro em:
A) R$ 800 000,00
B) R$ 750 000,00
C) R$ 700 000,00
D)R$ 650 000,00
E) R$ 850 000,00
Solução
A receita de março será:
R (3) = 3000 + 1500 ⋅ cos
π
= 3000.
2
A receita de fevereiro será:
R (2) = 3000 + 1500 ⋅ cos
π
= 3750
3
Assim, a receita de março será infeiror à de fevereiro em 750
milhares de reais, ou seja, R$ 750 000,00.
Resposta: B
EXERCÍCIOS
1. O sistema de telefonia no Brasil vem crescendo a cada
ano. Dados mostrados na Folha de São Paulo, em 25
de abril de 2004, apontam a empresa X como uma das
maiores prestadoras desse serviço. O gráfico abaixo,
publicado nesse jornal, mostra o preço de cada celular,
em função da quantidade vendida.
Considerando-se a venda de 3650 aparelhos telefônicos,
determine o preço de cada unidade.
Preço em R$
700
TRÂNSITO
Uma das consequências da concentração urbana é o
trânsito caótico e o agravamento da poluição ambiental.
Com apenas 0,01% do território brasileiro, a cidade de São
Paulo concentra 12% de todos os veículos existentes no país.
3. Em São Paulo, a lentidão no trânsito é medida em
quilômetros. Em uma determinada via de alto fluxo
estão sendo realizadas inúmeras obras visando à
diminuição dos congestionamentos. Um engenheiro
do departamento de trânsito prevê que o número
de quilômetros de lentidão dessa via irá diminuir
segundo a lei n(t) = n(0) · 4–t/3, em que n(0) é o número
de quilômetros de lentidão no início das obras e n(t)
é o número de quilômetros de lentidão existentes t
anos depois. O tempo necessário para que o número
de quilômetros de lentidão seja reduzido à medade
daquele existente no início das obras será igual a:
A) 16 meses.
B) 17 meses.
C) 18 meses.
D) 20 meses.
E) 24 meses.
4. A taxa anual, em porcentagem, de um investimento
que rendeu 60% em cinco anos é dada pela expressão
( 5 1, 6 - 1) ⋅ 100 . Considerando log2 = 0,30 e utilizando os
dados da tabela, pode-se concluir que essa taxa anual
vale, aproximadamente:
A
600
500
A) 10%
B) 11%
C) 12%
D) 14%
E) 15%
B
400
300
200
100
0
Nº de aparelhos
1000
2000 3000
4000
5000
100,040 ≈ 1,10
100,045 ≈ 1,11
100,050 ≈ 1,12
100,055 ≈ 1,14
100,060 ≈ 1,15
6000
FB NO ENEM
3
Matemática e Suas Tecnologias
5. Um usuário pagou R$ 2000,00 para adaptar o motor
do seu carro, originalmente movido à gasolina, para
funcionar também com gás natural. Considerando que
este carro faz, em média, 10 km por litro de gasolina,
cujo preço é de R$ 2,00 o litro, e 15 km por metro cúbico
de gás, cujo preço é de R$ 0,90 o metro cúbico, assinale a
alternativa em que o gráfico descreve corretamente os
custos totais (C) em função da distância percorrida (d).
A)
GABARITO (V. 27)
1
2
3
4
5
D
C
C
A
A
Professor Colaborador: Marcus Antonio
C
(mil reais)
4
gasolina
3
2
gás
1
0
B)
5 10 15 20 25
d(mil km)
C
(mil reais)
4
gás
3
2
NÚCLEO CENTRAL
gasolina
1
FB CENTRAL
0
5 10 15 20 25
d(mil km)
C)
NÚCLEO ALDEOTA
C
(mil reais)
4
FB ALDEOTA
Rua 8 de Setembro, 1330
PABX: 3486.9000 – FAX: 3267.2969
gasolina
3
gás
2
NÚCLEO SEIS BOCAS
1
0
D)
Rua Senador Pompeu, 2607
PABX: 3464.7788 – FAX: 3221.4400
5 10 15 20 25
d(mil km)
C
(mil reais)
Rua Salvador Correia de Sá, 1111
PABX: 3064.2850 – FAX: 3064.2830
NÚCLEO SOBRAL
gás
4
FB SEIS BOCAS
FB SOBRALENSE
gasolina
3
Praça Quirino Rodrigues, 326 – Centro - Sobral - CE
PABX: (88)3677.8000 – FAX: (88)3677.8010
2
1
0
E)
5 10 15 20 25
d(mil km)
C
(mil reais)
4
Disque Ouvidoria: 3221.4411
gás
3
gasolina
2
www.fariasbrito.com.br
1
0
4
5 10 15 20 25
d(mil km)
FB NO ENEM
OSG: 50235/11 Paulo - REV.: MHC