Assuntos à Conjuntos Numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais. Dízimas
Periódicas. Divisibilidade, número de divisores, MMC, MDC e suas propriedades. Frações:
tipos de fração e operações com frações: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Noções de Conjuntos:
I) Conjunto dos números naturais (N):
É formado pelos números inteiros não negativos.
0
1
2
3
4 ...
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Excluindo o zero formamos o conjunto dos naturais não nulos, que é dado por:
N* = {1, 2, 3, 4, ...}.
Logo, N* = N – {0}
II) Conjunto dos números inteiros (Z):
É formado pelos números inteiros, positivos e negativos.
... –3
–2
–1
0
1
2
3 ...
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Alguns subconjuntos de Z, são:
• Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
• Conjunto dos inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...}
• Conjunto dos inteiros negativos: Z*- = {..., –3, –2, –1}
• Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Conjunto dos inteiros não positivos: Z - = {..., –3, –2, –1, 0}
Observe que:
a) Z*+ = N*
b) Z+ = N
c) Z ⊃ N (o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais)
III) Conjunto dos números racionais (Q):
Números racionais são aqueles que podemos obter pela divisão de dois inteiros, ou seja, são
números que podem ser expressos através de uma razão.


a
b
Q =  X | X = ; a ∈ Z, b ∈ Z * 


Exemplos:
1) 0,7 ∈ Q, pois 0,7 =
7
10
2) –2,31 ∈ Q, pois –2,31 =
3) 5 ∈ Q, pois 5 =
−231
100
5
1
4) 2,333... ∈ Q, pois 2,333.... =
7
3
Observe que:
a) Um número racional, quando escrito na forma decimal, pode apresentar um número
finito de casas decimais (decimal exato) ou um número infinito de casas decimais (dízimas
periódicas).
b) Q ⊃ Z (o conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números inteiros)
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IV) Conjunto dos números reais (R):
O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais (conjunto Q) com
os números irracionais (I). Enquanto os números racionais são os números que podem ser
expressos por uma razão, os números irracionais são os números que não podem ser expressos
por uma razão.
Exemplos de números irracionais:
1) O número π (pi), que usamos como aproximadamente 3,1416, mas na realidade tem um
número de casas decimais infinito sem formar uma dízima periódica. Uma aproximação
mais precisa do número π é: π = 3,1415926535897932384626433832795...
2) O número e (número de Euler), que é base do ln (logaritmo neperiano ou log de base e),
podemos considerar como aproximadamente igual a 2,7182818, mas seu número de
casas decimais também é infinito sem formar uma dízima periódica.
3) Qualquer raiz não exata é um número irracional, seu valor não poderá ser expresso por
uma razão, como exemplos podemos citar: 2 , 3 , 3 4 , 4 27 , etc...
Observe que R ⊃ Q (o conjunto dos números reais contém o conjunto dos números racionais)
e que R = Q + I.
V) Conjuntos – Relações:
1) Relação de Pertinência:
Usamos uma relação de pertinência quando estivermos relacionando um elemento com um
conjunto.
Exemplo:
para indicar que um elemento a pertence a um conjunto X, escrevemos:
a ∈ X (leia-se a pertence a X)
Quando a não pertence a X, escrevemos:
a ∉ X (leia-se a não pertence a X)
2) Relação de Inclusão:
Usamos uma relação de inclusão quando relacionamos um conjunto (ou subconjunto) com
outro conjunto.
Exemplo:
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}
Podemos dizer que:
B ⊃ A (B contém A) ou A ⊂ B (A está contido em B)
Podemos dizer ainda que {3, 4} ⊂ B (o subconjunto formado pelos elementos 3 e 4 está
contido em B)
Dízimas Periódicas:
São números decimais infinitos. Exemplo: 4/9 = 0,444...
O algarismo que se repete sucessivamente após a vírgula, no caso o algarismo 4, é o
período da dízima. A fração 4/9 é a fração geratriz da dízima periódica 0,444...
As dízimas periódicas podem ser:
Simples à quando o período vem logo após a vírgula. O exemplo acima é uma dízima
periódica simples;
Composta à quando o período não vem logo após a vírgula e antes do mesmo há
algarismos que não se repetirão (parte não periódica).
Exemplo: 164/225 = 0,72888...
Neste caso, o período é 8 e a parte não periódica é formada pelos algarismos 7 e 2 (que não se
repetem). Podemos também ter dízimas em que há uma parte inteira.
Exemplo: a dízima periódica 5,7888... é uma dízima periódica composta com: parte inteira = 5,
parte não periódica = 7 e período = 8.
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Como determinar a fração geratriz de uma dízima?
O NUMERADOR da fração será formado pela diferença entre: (o número formado pelos
algarismos da parte inteira, algarismos da parte não periódica, algarismos do período) e (o
número formado pelos algarismos da parte inteira, algarismos da parte não periódica).
O DENOMINADOR da fração será formado por: tantos noves quantos forem os algarismos
do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
OBSERVAÇÃO: No caso de dízima periódica simples não haverá parte não periódica, por isso no
denominador só teremos noves.
No exemplo da dízima 5,7888... temos:
Parte Inteira = 5;
Parte Não Periódica = 7;
Período = 8.
Calcularemos a fração geratriz da dízima fazendo:
NUMERADOR = 578 – 57 = 521
DENOMINADOR = 90 (apenas um nove, pois o período tem um algarismo, acrescido de
apenas um zero, pois a parte não periódica também tem um algarismo).
Logo a fração geratriz será: F.G. =
521
= 5,7888...
90
Repare que o valor do numerador pode ser resumido como sendo:
TUDO COM O PERÍODO (−) TUDO SEM O PERÍODO.
Exemplo: Calcular a fração geratriz da dízima 2,75656...
Parte Inteira = 2;
⇒ TUDO COM PERÍODO = 2756
Parte Não Periódica = 7
⇒ TUDO SEM PERÍODO =
27 (–)
Período = 56
⇒ NUMERADOR = 2729
DENOMINADOR = 990
Parte Não Periódica com 1 algarismo
Período com 2 algarismos
Logo, a fração geratriz da dízima será: F.G. =
2729
= 2,7565656...
990
Divisibilidade:
Quando um número a pode ser dividido exatamente (sem deixar resto) por um número b,
dizemos que a é divisível por b. Exemplo: a divisão de 10 por 2 é exata, logo 10 é divisível por 2.
Já a divisão de 10 por 3 não será exata, logo 10 não é divisível por 3.
Critérios de divisibilidade:
Com o conhecimento destes critérios, podemos saber se um número é divisível ou não por
outro, sem efetuar a divisão.
Um número é divisível por:
2 è Quando o último algarismo for par (2, 4, 6, 8, 0). Exemplo: 2374
3 è Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um múltiplo de 3. Exemplo:
2517.
2 + 5 + 1 + 7 = 15
4 è Quando o número formado pelos dois últimos algarismos for múltiplo de 4 ou terminar em 00.
Exemplos: 2528; 2100.
5 è Quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: 3215; 2440.
6 è Quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, ou seja, quando é par e é divisível por 3.
Exemplos: 2514; 13746.
7 è Esta é uma REGRA ESPECIAL. Vamos demonstrar através de exemplos:
1º Exemplo: O número 22.778 é divisível por 7?
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1) Separe o último algarismo do número (8) e subtraia o dobro (16) do número que restou
(2277) após separar o último algarismo.
2277 – 16 = 2261
2) Repita a operação com esse resultado (2261):
226 – 2 = 224
3) Repita a operação com o novo resultado (224):
22 – 8 = 14
O resultado final encontrado (14) é múltiplo de 7, logo 22.778 é divisível por 7.
2º Exemplo: O número 2.537 é divisível por 7?
1) Separe o último algarismo do número (7) e subtraia o dobro (14) do número que restou (253)
após separar o último algarismo.
253 – 14 = 239
2) Repita a operação com esse resultado (239):
23 – 18 = 5
O resultado final encontrado (5) não é múltiplo de 7, logo 2.537 não é divisível por 7.
8 è Quando o número formado pelos três últimos algarismos for múltiplo de 8 ou terminar em 000.
Exemplos: 171648; 23000.
9 è Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um múltiplo de 9. Exemplo:
23769.
2 + 3 + 7 + 6 + 9 = 27
10 è Quando terminar em 0. Exemplo: 2340.
11 è Quando o valor absoluto da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar (SI) e a
soma dos algarismos de ordem par (SP) for igual a zero ou onze. Veremos alguns exemplos:
1º Exemplo: O número 359.194 é divisível por 11?
Algarismo que ocupa a 1ª ordem à 4 (ordem ímpar-1ª)
Algarismo que ocupa a 2ª ordem à 9
(ordem par-2ª)
Algarismo que ocupa a 3ª ordem à 1 (ordem ímpar-3ª)
Algarismo que ocupa a 4ª ordem à 9
(ordem par-4ª)
Algarismo que ocupa a 5ª ordem à 5 (ordem ímpar-5ª)
Algarismo que ocupa a 6ª ordem à 3
(ordem par-6ª)
⇒ SI = 4 + 1 + 5 = 10
⇒ SP = 9 + 9 + 3 = 21
⇒ |SI – SP| = |10 – 21| = 11. Logo, o número 359.194 é divisível por 11.
2º Exemplo: O número 236.016 é divisível por 11?
ORDENS ÍMPARES
ORDENS PARES
1ª ordem = 6
2ª ordem = 1
3ª ordem = 0
4ª ordem = 6
5ª ordem = 3
6ª ordem = 2
SI = 9
SP = 9
⇒ |SI – SP| = |9 – 9| = 0. Logo, o número 236.016 é divisível por 11.
Números primos:
Um número é primo quando é divisível apenas por si mesmo e pela unidade. O único
número par que é primo é apenas o número 2. Os números primos menores do que 100 são:
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 –
43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97.
Números primos entre si à São números que, mesmo não sendo primos, serão primos
entre si quando o único divisor comum entre eles for a unidade (1).
Exemplo: 15 (não é primo, pois é divisível por 1, 3, 5 e 15);
28 (não é primo, pois é divisível por 1, 2, 4, 7, 14 e 28);
O único divisor comum entre 15 e 28 é a unidade (1), logo são primos entre si.
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Quantidade de divisores de um número:
Para encontrar a quantidade de divisores de um número, basta fatorar o número e
fazermos o produto de cada expoente acrescido de uma unidade.
Exemplo: Quantos divisores o número 300 possui?
300
150
75
25
5
1
300 = 22 ⋅ 3 ⋅ 52
2
2
3
5
5
Expoente do fator 2 à 2 (+1) = 3
Expoente do fator 3 à 1 (+1) = 2
Expoente do fator 5 à 2 (+1) = 3
⇒ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 18
Logo, o número 300 possui 18 divisores
Conjunto dos divisores de um número:
Suponha que a pergunta do exemplo anterior fosse: Quais são os divisores de 300?
Para encontrarmos esse conjunto, que é finito, basta fazermos as seguintes operações:
1) Fatorar o número:
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
2) Fazer um traço vertical à direita dos fatores primos e escrever o número 1 acima do 1º fator
primo:
1
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
3) Multiplicar os fatores primos pelos números acima da coluna da direita, escrevendo o resultado
à direita sem repeti-los:
300
150
75
25
5
2
2
3
5
5
1
2
4
3 – 6 – 12
5 – 10 – 20 – 15 – 30 – 60
25 – 50 – 100 – 75 – 150 300
1
Portanto, o conjunto dos divisores de 300 será:
D(300) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}
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MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM:
Para dois ou mais números, poderão existir divisores comuns (além do 1). O MDC será o
maior desses divisores comuns.
Exemplo: Qual o MDC entre 20 e 50?
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
D(20) ∩ D(50) = {1, 2, 5, 10}. Desses divisores comuns, o maior é o 10. Logo o MDC (20, 50) = 10.
Processos para encontrar o MDC:
1) Processo das divisões sucessivas utilizando o Algoritmo de Euclides à Escrevemos os
números colocando o maior à esquerda (dividendo) e o menor à direita (divisor). Depois iremos
colocando o quociente acima do divisor e o resto abaixo do dividendo. Assim, no exemplo dado,
MDC (20,50), teríamos:
50
10
2
20
Passando o resto encontrado para a direita do divisor e prosseguindo o processo, temos:
50
10
2
20
0
2
10
MDC
Obtivemos resto zero. Paramos o processo e o último divisor utilizado será o MDC (20,50) = 10.
Nem sempre o processo é tão rápido assim, pois temos que continuar repetindo os passos até que
encontremos resto zero. Mas geralmente é o melhor processo quando os números são muito
grandes.
2) Fatoração em separado à Fatoramos cada número separadamente, e o MDC será o produto
dos fatores primos comuns, tomados com os menores expoentes.
Assim, no exemplo dado, temos:
20
10
5
1
2
2
5
50
25
5
1
2
5
5
20 = 22 ⋅ 5
50 = 2 ⋅ 52
⇒ MDC (20,50) = 2 ⋅ 5 = 10
3) Fatoração simultânea à Fatoramos os números ao mesmo tempo, usando apenas os fatores
primos que sejam divisores comuns aos dois números.
Assim, no exemplo dado, temos:
20, 50
10, 25
2, 5
2
5
(ambos são pares)
(ambos são divisíveis por 5)
⇒ MDC (20,50) = 2 ⋅ 5 = 10
MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM:
Para dois ou mais números, poderão existir infinitos múltiplos comuns a esses dois
números. O MMC será o menor desses infinitos múltiplos comuns.
Exemplo: Qual o MMC entre 20 e 50?
M(20) = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, ...}
M(50) = {50, 100, 150, 200, 250, 300, ...}
M(20) ∩ M(50) = {100, 200, 300, ...}. Desses infinitos múltiplos comuns, o menor é o 100.
Logo o MMC (20, 50) = 100.
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Processos para encontrar o MMC:
1) Fatoração em separado à Fatoramos cada número separadamente, e o MMC será o produto
dos fatores primos comuns e não comuns, tomados com os maiores expoentes.
Assim, no exemplo dado, temos:
20
10
5
1
2
2
5
50
25
5
1
20 = 22 ⋅ 5
50 = 2 ⋅ 52
⇒ MMC (20,50) = 22 ⋅ 52 = 100
2
5
5
2) Fatoração simultânea à Fatoramos os números ao mesmo tempo, usando os fatores primos
independentemente de os dois serem divisíveis pelo mesmo fator, basta que ao menos um seja.
Assim, no exemplo dado, temos:
20, 50
10, 25
5, 25
1, 5
1, 1
2
2
5
5
⇒ MMC (20,50) = 22 ⋅ 52 = 100
PROPRIEDADES DO MMC E DO MDC:
Quando os números forem:
O MDC será:
O MMC será:
CONSECUTIVOS
1
Exemplo: 8 e 9
1
PRIMOS ENTRE SI
1
O produto deles
Exemplo: 15 e 28
1
15 ⋅ 28 = 420
MÚLTIPLOS ENTRE SI
O produto deles
8 ⋅ 9 = 72
O menor deles
Exemplo: 6 e 24
O maior deles
6
24
Outra propriedade importante é a seguinte:
O produto do MDC pelo MMC de dois números dados é sempre igual ao produto dos
números, ou seja, MDC (a, b) ⋅ MMC (a, b) = a ⋅ b
Exemplo: 12 e 30
MDC (12, 30) = 6
⇒ 12 ⋅ 30 = 6 ⋅ 60 = 360
MMC (12, 30) = 60
FRAÇÕES:
Quando dividimos o todo em partes iguais, cada uma dessas partes será uma fração da
unidade.
Exemplo: Podemos representar a fração
1
3
2
como sendo:
3
1
3
1
3
O denominador (3) indica o número de partes iguais em que o todo foi dividido.
O numerador (2) indica quantas partes estão sendo consideradas.
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CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES:
2 3
; .
3 7
4 13
2) Impróprias: Quando o numerador é maior que o denominador. Exemplos: ;
.
3 5
1) Próprias: Quando o numerador é menor que o denominador. Exemplos:
OBS.: Toda fração imprópria pode ser transformada em um número misto e vice-versa. Número
misto é o número que tem uma parte inteira e uma parte fracionária. Nos exemplos dados de
fração imprópria, podemos fazer:
4
1
=1
(número misto)
3
3
13
3
=2
(número misto)
5
5
Fração imprópria
Fração imprópria
3) Aparentes: Embora esteja representada por uma fração, sua quantidade expressa um número
inteiro. Exemplos:
8
15
= 2;
= 5.
4
3
7
11
13
;
;
.
10 100 1000
2 47 23
;
.
5) Ordinárias: Frações cujo denominador não é uma potência de 10. Exemplos:
;
21 43 52
4) Decimais: São as frações cujo denominador é uma potência de 10. Exemplos:
6) Homogêneas: Quando um conjunto de frações tem denominadores iguais. Exemplos: São
homogêneas as frações:
8 2
7
,
e .
3 3
3
7) Heterogêneas: Quando um conjunto de frações não tem denominadores iguais. Exemplos:
São heterogêneas as frações:
3 8
2
,
e .
7 3
5
8) Equivalentes: Quando têm o mesmo valor, mas os termos são diferentes. Exemplo:
3
9
=
.
5 15
9) Frações redutíveis: São as frações que ainda podem ser simplificadas, dividindo-se os seus
6
12
dividindo-se ambos os
pode ser reduzida para
18
9
6
2
termos por 2. A fração
ainda pode ser reduzida para
dividindo-se ambos os termos por 3.
9
3
2
A fração
não pode ser simplificada (numerador e denominador são primos), portanto já está na
3
termos por um divisor comum. Exemplo:
forma irredutível.
10) Frações irredutíveis: São as frações que não podem ser simplificadas, pois seus termos são
primos ou primos entre si. Exemplos:
5 12 15
;
;
.
7 25 28
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:
1) Adição e subtração:
Temos que considerar duas hipóteses:
1ª Hipótese: Os denominadores são iguais (frações homogêneas).
denominador e somar ou subtrair os numeradores.
Exemplos:
Basta conservar o
9 2 9 + 2 11
+ =
=
;
4 4
4
4
9 2 9−2 7
2) − =
=
4 4
4
4
1)
2ª Hipótese: Os denominadores não são iguais (frações heterogêneas). Neste caso,
temos que encontrar primeiramente o MMC dos denominadores das frações para reduzi-las a um
mesmo denominador.
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Exemplos:
1)
2)
6
5
12
+
5
7
72 25 14 111 37
+
⇒ MMC (5, 12, 30) = 60 ⇒
+
+
=
=
12
30
60 60 60
60
20
5
2
5
3
1
−
−
6
8
12
4
3
2
⇒ MMC (6, 8, 12) = 24 ⇒
20 9
2
9
3
−
−
=
=
24 24 24 24 8
2) Multiplicação: Na multiplicação não importa se as frações são homogêneas ou heterogêneas.
A fração resultante terá como numerador o produto dos numeradores e como denominador o
produto dos denominadores.
Exemplo:
3 5 15
× =
8 7 56
3) Divisão: Para dividir uma fração por outra, mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso
da segunda fração.
Exemplos:
1)
7 8 7 5 35
: = × =
8 5 8 8 64
4
4 7 28
9
= × =
2)
3 9 3 27
7
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