Os métodos de Descartes e Fermat para determinar a tangente
a uma curva
Geovane A. Haveroth∗
Elisandra Bar de Figueiredo
Rogério de Aguiar
Depto. de Matemática, CCT, UDESC,
89219-710, Joinville, SC
E-mail: [email protected], [email protected]
[email protected]
RESUMO
O estudo das tangentes teve inı́cio na Grécia antiga com Euclides (300 A.C), Apolônio (225
A.C.) e Arquimedes (225 A.C). Nessa época, a tangente servia como auxı́lio na construção de
objetos geométricos, como o polı́gono circunscrito a uma circunferência. O registro formal mais
antigo é a primeira Definição de tangente apresentada no terceiro livro de “Os Elementos” de
Euclides, conforme [2], como sendo a reta que toca o cı́rculo de modo que não o corta ao ser
prolongada.
Durante muitos anos o problema de determinar tangentes ficou estacionado, ressurgindo
apenas no século XVII com os franceses Descartes (1596-1650) e Fermat (1602-1665). A seguir
descreveremos três métodos para encontrar a tangente a uma curva, dois desenvolvidos por
Descartes e um por Fermat.
De acordo com [3], para primeiro método de Descartes considere a curva C, descrita por
f (x, y) = 0, e M um ponto qualquer sobre C onde pretendemos traçar a tangente. Consideremos, como curva auxiliar, a circunferência de centro N e raio N M que corta C no ponto M1
conforme indicado na Figura 1, onde AP = x, P M = y, M N = s, AN = v.
Figura 1: Primeiro método de Descartes.
Figura
√ 2: Primeiro método de Descartes na curva
y=
2x + 3.
Esse método consiste basicamente em encontrar a posição de N quando o segmento M N é
normal a C no ponto M. Se a posição de N for aproximada, então a circunferência com mesmo
centro cortará num outro ponto M1 , próximo a M , que Descartes obriga a coincidir com M
usando um processo posteriormente denominado por método dos coeficientes indeterminados.
De acordo com a Figura 1, a equação da circunferência deslocada é equacionada por
s2 = y 2 + (x − v)2 ,
∗
Graduando em Licenciatura em Matemática - Bolsista de Iniciação Cientı́fica PIVIC/UDESC
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que pode ser reescrita como y =
a seguinte forma
√
s2 − v 2 + 2vx − x2 . Logo, a curva assume, no ponto M (x, y),
f (x,
√
s2 − v 2 + 2vx − x2 ) = 0.
(1)
O método de Descartes força a Equação (1) a ter uma raiz de multiplicidade dois para obter
um único ponto de interseção que garantirá a reta normal no ponto M . Para compreender
melhor esse método apresentamos o exemplo a seguir.
√
Exemplo 1. Determine a reta normal à curva y = 2x + 3 quando a abscissa for x = 3.
Para satisfazer a condição de Descartes, a curva auxiliar será tangente à curva f (x, y) = 0
apenas em um ponto.
√
Note que a função y = 2x + 3, para y ≥ 0, pode ser escrita da forma y 2 − 2x − 3 = 0.
Utilizando a Equação (1) com s = M N e v = AN , conforme Figura 2, temos
−s2 + (x − v)2 + 2x + 3 = 0.
Impondo a existência de uma raiz dupla a, obtemos
−s2 + (x − v)2 + 2x + 3 = (x − a)2 ⇔ x2 + x(−2v + 2) − s2 + v 2 + 3 = x2 − 2xa + a2 .
Logo, pela igualdade de polinômios,
{
2v − 2
= 2a
2
2
s − v − 3 = −a2
{
⇒
v = a
√+ 1
s =
−a2 + (a + 1)2 + 3
Atribuindo √
a = 3 como o ponto de abscissa onde queremos determinar a reta normal, obtemos
v = 4 e s = 10. Então, tem-se os pontos M = (3, 3) e N = (4, 0), cuja reta normal é
y = −3x + 12. Com as ferramentas atuais podemos verificar facilmente essa solução.
O terceiro método de Descartes é semelhante ao utilizado atualmente e, para referência,
consideremos a Figura 3. Para determinar a reta tangente, traçamos a reta secante à curva
f (x, y) = 0 usando como referência o ponto de tangência. De acordo com [3], nesse processo é
dada a abscissa do ponto de contato N e a tangente será a posição da secante T N N1 quando
N1 coincidir com N pela curva.
Figura 3: Terceiro método de Descartes.
Figura 4: Tangente à parábola.
Definindo AI = x, N I = y, T I = a, II1 = e e N1 I1 = h, temos, por semelhança de
triângulos,
(
(
(
a
e ))
y
e)
= . Logo, h = y 1 +
e buscamos a solução para f x + e, y 1 +
= 0.
a+e
h
a
a
Simultaneamente a Descartes, Fermat apresenta seu primeiro método das tangentes, descrito
a seguir. Sejam (x, y) as coordenadas do ponto B da parábola x = y 2 e (x − e, y1 ) as do ponto
B1 nas proximidades de B, como mostra a Figura 4. De acordo com [1], temos
y1 2 = (x − e) ⇒ y1 2 y 2 = (x − e)y 2 ⇒ y1 2 x = (x − e)y 2 ⇒
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y2
x
=
.
y1 2
x−e
Como OI > y1 , então
y2
OI
2
<
Por semelhança de triângulos, segue que
x
.
x−e
(2)
y
CE
=
e, tomando CE = a, obtemos
OI
IE
CE
y
a
.
=
=
a
−
e
OI
IE
Agora, substituindo em (2), segue que
a2
x
2 < x−e
(a − e)
⇒ a2 (x − e) < x(a2 − 2ae + e2 ) ⇒ a2 x − a2 e < a2 x − 2xae + e2 x
e, desconsiderando-se os termos em e2 , temos, por adégalité 1 , a = 2x, o que determina a subtangente.
Foi em meio a crı́ticas que os dois franceses, Descartes e Fermat, descobriram outros métodos
de obtenção de tangentes a curvas. Por exemplo, Descartes numa de suas cartas à Fermat, propôs
a construção da tangente ao “folium de Descartes”. Fermat, por sua vez, deu a solução desse
problema, de acordo com [1], numa carta entregue por Mersenne à Descartes, por um método
geral que, em uma linguagem mais moderna, resumidamente descrevemos a seguir.
Na Figura 5 seja CA uma curva dada cuja equação é f (x, y) = 0 e sejam (x, y) as coordenadas
do ponto A dessa curva.
Figura 5: Curva para o método geral de Fermat.
Por um ponto E da tangente, que supomos já construı́da, tiremos a reta EF paralela a BA
e sejam BF
( = e)e BD = a. Como o ponto E não pertence à curva, por triângulos semelhantes,
a−e
EF = y
será diferente de F I, mas, se fizermos tender e para zero, o ponto F no limite
a
confunde-se com o ponto B e devemos ter
(
(
e ))
f x − e, y 1 −
(3)
= 0.
a
Assim, Fermat chega a uma equação análoga a obtida por Descartes.
Palavras-chave: História da Tangente, Métodos das tangentes, Descartes, Fermat
Referências
[1] S.G. Carvalho, “A teoria das tangentes antes da invenção do cálculo diferencial”, Imprensa
da Universidade, Coimbra, 1919.
[2] Euclides, “Os Elementos”, Editora UNESP, São Paulo, 2009.
[3] J.A.L. Pires, “Cálculo diferencial- Estudo histórico sobre a evolução do Cálculo Diferencial
no século VXII”, Vila Real, 2004.
1
Na realidade Fermat não iguala a princı́pio as duas expressões. Compara-as por adégalité o que quer dizer
que só considera o sinal igual quando faz tender e para zero.
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