Sequências de números reais
Sequências de números reais
Ana Carolina Boero
E-mail: [email protected]
Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero
Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André
Ana Carolina Boero
Bases Matemáticas
Sequências de números reais
Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Sequências de números reais
Uma sequência de números reais é uma regra que associa cada número
natural n > 0 a um único número real an , denominado o n-ésimo termo
da sequência.
Notações: (a1 , a2 , a3 , . . .) ou (an )∞
n=1 ou, simplesmente, (an ).
Exemplos:
(a) (1, 1, 1, . . .);
(b) (n), (−n) e (1/n);
(c) (an ) onde an = n(−1)n ;
(d) (bn ) onde bn = sen(nπ/2);
(e) (cn ) onde cn = (1 + 1/n)n .
Atenção: (a1 , a2 , a3 , . . .) e {a1 , a2 , a3 , . . .} são objetos diferentes!
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Sequências recursivas
É possı́vel definir uma sequência dando:
• o primeiro termo;
• uma “regra” que nos permita obter o (n + 1)-ésimo termo, desde
que conheçamos os n primeiros termos.
Uma sequência assim definida é denominada recursiva.
Exemplos:
(a) potenciação com expoente natural;
(b) progressões aritméticas e geométricas: a, r e q números reais.
I
I
PA: a1 = a e an+1 = an + r
PG: a1 = a e an+1 = an · q
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Outros exemplos
(c) A sequência denominada fatorial é definida por
I
I
1! = 1
(n + 1)! = (n + 1) · n!
Na prática, n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1.
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Outros exemplos
(d) A produtória associada à sequência (an ) é definida por
Q1
I
ai = a1
Qk
Qi=1
k+1
I
i=1 ai · ak+1
i=1 ai =
Na prática,
Qk
i=1 ai
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= a1 · a2 · . . . · ak .
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Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Sequências de números reais
Outros exemplos
(d) A produtória associada à sequência (an ) é definida por
Q1
I
ai = a1
Qk
Qi=1
k+1
I
i=1 ai · ak+1
i=1 ai =
Na prática,
Qk
i=1 ai
= a1 · a2 · . . . · ak .
(e) A somatória associada à sequência (an ) é definida por
P1
I
1
i=1 ai = aP
Pk+1
k
I
a
=
i=1 i
i=1 ai + ak+1
Na prática,
Pk
i=1 ai
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= a1 + a2 + . . . + ak .
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Sequências monótonas
Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que:
• (an ) é crescente se an ≤ an+1 para todo n;
• (an ) é estritamente crescente se an < an+1 para todo n;
• (an ) é decrescente se an ≥ an+1 para todo n;
• (an ) é estritamente decrescente se an > an+1 para todo n.
(an ) é dita monótona se é crescente ou decrescente.
Observações:
• as definições acima são compatı́veis com as dadas anteriormente;
• se (an ) é estritamente crescente, então (an ) é crescente;
se (an ) é estritamente decrescente, então (an ) é decrescente.
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Exemplos
(a) (1, 1, 1, . . .) é monótona (crescente e decrescente);
(b) (n) é monótona (estritamente crescente);
(−n) e (1/n) são monótonas (estritamente decrescentes);
(c) (an ) dada por an = n(−1)n não é monótona (a1 < a2 e a2 > a3 );
(d) (bn ) dada por bn = sen (nπ/2) não é monótona (b1 > b2 e b3 < b4 );
(e) (cn ) dada por cn = (1 + 1/n)n é monótona (estritamente crescente).
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Cálculo de limites
Limites infinitos
Sequências limitadas
Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que:
• (an ) é limitada superiormente se existe um número real c tal que
an ≤ c para todo n;
• (an ) é limitada inferiormente se existe um número real c tal que
an ≥ c para todo n;
• (an ) é limitada se é limitada superior e inferiormente;
• (an ) é ilimitada se não é limitada.
Observações:
• (an ) é limitada se, e somente se, existe um número real k tal que
|an | ≤ k para todo n;
• se (an ) é crescente, então (an ) é limitada inferiormente por a1 ;
se (an ) é decrescente, então (an ) é limitada superiormente por a1 .
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Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Exemplos
(a) (1, 1, 1, . . .) é limitada;
(b) (n) é ilimitada (limitada inferiormente, mas não superiormente);
(−n) é ilimitada (limitada superiormente, mas não inferiormente);
(1/n) é limitada (por 0 e 1, por exemplo);
(c) (an ) dada por an = n(−1)n é ilimitada;
(d) (bn ) dada por bn = sen (nπ/2) é limitada;
(e) (cn ) dada por cn = (1 + 1/n)n é limitada (por 2 e 3, por exemplo).
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
A ideia de limite num exemplo
Considere (xn ) a sequência de números reais dada por xn = 1 + (−1)n /n.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
..
.
= 0
= 3/2
= 2/3
= 5/4
= 4/5
= 7/6
..
.
Observe que:
• seus termos vão se aproximando de 1 conforme n aumenta;
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Limites infinitos
A ideia de limite num exemplo
Considere (xn ) a sequência de números reais dada por xn = 1 + (−1)n /n.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
..
.
= 0
= 3/2
= 2/3
= 5/4
= 4/5
= 7/6
..
.
Observe que:
• seus termos vão se aproximando de 1 conforme n aumenta;
• a menos de uma quantidade finita, eles permanecem tão próximos
de 1 quanto se queira.
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Cálculo de limites
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A ideia de limite num exemplo
O que significa “a menos de uma quantidade finita, eles (os termos da
sequência) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira”?
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Limites infinitos
A ideia de limite num exemplo
O que significa “a menos de uma quantidade finita, eles (os termos da
sequência) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira”?
Significa que se eu fixo uma vizinhança do 1 (a que eu quiser) então, a
partir de um determinado termo da sequência, todos os termos seguintes
pertencerão à vizinhança previamente fixada.
A tı́tulo de esclarecimento: por “vizinhança do 1” entendemos um
intervalo aberto ao qual 1 pertence.
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A ideia de limite num exemplo
O que significa “a menos de uma quantidade finita, eles (os termos da
sequência) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira”?
Significa que se eu fixo uma vizinhança do 1 (a que eu quiser) então, a
partir de um determinado termo da sequência, todos os termos seguintes
pertencerão à vizinhança previamente fixada.
A tı́tulo de esclarecimento: por “vizinhança do 1” entendemos um
intervalo aberto ao qual 1 pertence.
Exemplos:
1 13 (a) fixada a vizinhança 10
, 10 do 1, observamos que os termos x3 , x4 ,
x5 , x6 , etc. pertencem a ela;
(b) fixada a vizinhança 23 , 65 do 1, observamos que xn ∈ 23 , 65 para
todo n > 4.
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Cálculo de limites
Limites infinitos
A ideia de limite num exemplo
Dizer que 1 é limite da sequência (xn ) ou, em outras palavras, que a
sequência (xn ) converge para 1 é o mesmo que dizer que, a menos de
uma quantidade finita, os termos de (xn ) permanecem tão próximos de 1
quanto se queira
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Cálculo de limites
Limites infinitos
A ideia de limite num exemplo
Dizer que 1 é limite da sequência (xn ) ou, em outras palavras, que a
sequência (xn ) converge para 1 é o mesmo que dizer que, a menos de
uma quantidade finita, os termos de (xn ) permanecem tão próximos de 1
quanto se queira (isto é, que fixada qualquer vizinhança do 1, pode-se
obter um número natural N tal que todos os termos xn com ı́ndice n > N
pertencem à vizinhança em questão).
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Limite de sequências
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A ideia de limite num exemplo
Dizer que 1 é limite da sequência (xn ) ou, em outras palavras, que a
sequência (xn ) converge para 1 é o mesmo que dizer que, a menos de
uma quantidade finita, os termos de (xn ) permanecem tão próximos de 1
quanto se queira (isto é, que fixada qualquer vizinhança do 1, pode-se
obter um número natural N tal que todos os termos xn com ı́ndice n > N
pertencem à vizinhança em questão).
Portanto, para mostrar que 1 é limite de (xn ):
(1) fixamos uma vizinhança arbitrária de 1, a qual podemos supor (por
quê?) “simétrica” (isto é, da forma ]1 − , 1 + [ para algum > 0);
(2) em seguida, justificamos a existência de um número natural N tal
que xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N.
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A ideia de limite num exemplo
Mãos à obra:
(1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança
“simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1.
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A ideia de limite num exemplo
Mãos à obra:
(1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança
“simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1.
(2) Justificaremos, agora, a existência de um número natural N tal que
xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N.
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Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
A ideia de limite num exemplo
Mãos à obra:
(1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança
“simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1.
(2) Justificaremos, agora, a existência de um número natural N tal que
xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N.
Para que tenhamos xn < 1 + (isto é, 1 + (−1)n /n < 1 + ), basta
que (−1)n /n seja menor que .
Para que tenhamos xn > 1 − (isto é, 1 + (−1)n /n > 1 − ), basta
que (−1)n /n seja maior que −.
Portanto, basta que |(−1)n /n| = 1/n < (ou seja, que n > 1/).
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A ideia de limite num exemplo
Mãos à obra:
(1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança
“simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1.
(2) Justificaremos, agora, a existência de um número natural N tal que
xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N.
Para que tenhamos xn < 1 + (isto é, 1 + (−1)n /n < 1 + ), basta
que (−1)n /n seja menor que .
Para que tenhamos xn > 1 − (isto é, 1 + (−1)n /n > 1 − ), basta
que (−1)n /n seja maior que −.
Portanto, basta que |(−1)n /n| = 1/n < (ou seja, que n > 1/).
Ora, a propriedade Arquimediana garante a existência de um número
natural N > 1/. Além disso, se n > N então n > 1/. Portanto,
para todo n > N, xn pertence à vizinhança ]1 − , 1 + [.
Acabamos de demonstrar que 1 é limite de (xn ).
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Cálculo de limites
Limites infinitos
Limite de sequências
Seja (an ) uma sequência de números reais.
Dizemos que o número real a é limite de (an ) se para cada > 0 pode-se
obter um número natural N tal que todos os termos an com ı́ndice n > N
cumprem a condição an ∈ ]a − , a + [.
Observações:
• an ∈ ]a − , a + [ se, e somente se, |an − a| < ;
• (an ) tem no máximo um limite;
• se a > c então an > c a partir de um certo n;
se a < c então an < c a partir de um certo n.
Notação: a = lim an
n→∞
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Limites infinitos
Outros exemplos
(a) lim 1 = 1 (isto é, 1 é limite da sequência (1, 1, 1, . . .)).
n→∞
1
n→∞ n
(b) lim
= 0.
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Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Outros exemplos
(a) lim 1 = 1 (isto é, 1 é limite da sequência (1, 1, 1, . . .)).
n→∞
1
n→∞ n
(b) lim
= 0.
Em geral:
(c) lim a = a, qualquer que seja a número real fixado;
n→∞
1
k
n→∞ n
(d) lim
= 0, qualquer que seja k > 0 número natural fixado.
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Sequências convergentes e divergentes
Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que:
• (an ) é convergente se existe um número real a tal que lim an = a;
n→∞
• (an ) é divergente se não é convergente.
Observação: se lim an = a, dizemos que (an ) converge para a.
n→∞
Exemplos:
(a) se a = 1, então (an ) converge para 1;
(b) se a = −1, então (an ) é divergente.
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Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Uma proposição importante
Proposição
Toda sequência de números reais convergente é limitada.
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Uma proposição importante
Proposição
Toda sequência de números reais convergente é limitada.
Observações:
• (−1, 1, −1, 1, . . .) é limitada, porém divergente;
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Uma proposição importante
Proposição
Toda sequência de números reais convergente é limitada.
Observações:
• (−1, 1, −1, 1, . . .) é limitada, porém divergente; este exemplo nos
leva a pensar que se uma sequência possui duas “subsequências”
com limites distintos, então ela é divergente...
• ... e, consequentemente, se uma sequência (an ) é convergente, então
toda “subsequência de (an )” deve convergir para o limite de (an ).
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Limites infinitos
Uma proposição importante
Proposição
Toda sequência de números reais convergente é limitada.
Observações:
• (−1, 1, −1, 1, . . .) é limitada, porém divergente; este exemplo nos
leva a pensar que se uma sequência possui duas “subsequências”
com limites distintos, então ela é divergente...
• ... e, consequentemente, se uma sequência (an ) é convergente, então
toda “subsequência de (an )” deve convergir para o limite de (an ).
A tı́tulo de esclarecimento: por “subsequência de (an )” entendemos uma
sequência (bm ) de números reais tal que
(i) para cada m, existe n tal que bm = an e
(ii) se bm = an , então bm+1 = an0 para algum n0 > n.
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Limites infinitos
Exemplos
(a) (n) é divergente, pois é ilimitada.
(b) (−n) é divergente, pois é ilimitada.
(c) (an ) dada por an = n(−1)n é divergente, pois é ilimitada.
(d) (bn ) dada por bn = sen(nπ/2) é divergente, embora limitada.
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Outra proposição importante
Proposição
Seja (an ) uma sequência limitada de números reais. Valem:
(1) se (an ) é crescente, então (an ) é convergente e
lim an = sup{an : n ∈ N∗ };
n→∞
(2) se (an ) é decrescente, então (an ) é convergente e
lim an = inf{an : n ∈ N∗ }.
n→∞
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Outra proposição importante
Proposição
Seja (an ) uma sequência limitada de números reais. Valem:
(1) se (an ) é crescente, então (an ) é convergente e
lim an = sup{an : n ∈ N∗ };
n→∞
(2) se (an ) é decrescente, então (an ) é convergente e
lim an = inf{an : n ∈ N∗ }.
n→∞
Em suma, toda sequência limitada e monótona é convergente.
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Exemplos
(a) Se 0 < a < 1, então (an ) é convergente (pois é decrescente e
limitada) e
lim an = inf{an : n ∈ N∗ } = 0.
n→∞
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Cálculo de limites
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Exemplos
(a) Se 0 < a < 1, então (an ) é convergente (pois é decrescente e
limitada) e
lim an = inf{an : n ∈ N∗ } = 0.
n→∞
(b) A sequência (cn ) dada por
cn =
1
1+
n
n
é convergente (pois é crescente e limitada).
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Exemplos
(a) Se 0 < a < 1, então (an ) é convergente (pois é decrescente e
limitada) e
lim an = inf{an : n ∈ N∗ } = 0.
n→∞
(b) A sequência (cn ) dada por
cn =
1
1+
n
n
é convergente (pois é crescente e limitada).
Definição (do número e)
n
1
1+
n→∞
n
e = lim
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Proposição (Propriedades aritméticas dos limites)
Sejam (an ) e (bn ) tais que lim an = a e lim bn = b. Valem:
n→∞
n→∞
(1) lim (an + bn ) = a + b;
n→∞
(2) lim (an − bn ) = a − b;
n→∞
(3) lim (an · bn ) = a · b (em particular, lim (a · bn ) = a · b);
n→∞
n→∞
(4) lim (an /bn ) = a/b, se b 6= 0.
n→∞
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Exemplos:
(a) lim
n→∞
n+1
n
= 1;
2
2n +1
2
n→∞ n +3
(b) lim
(c) lim
n→∞
3
n +3n−1
4n3 +2
(d) lim 1 −
n→∞
= 2;
= 14 ;
1 n
n
= e1 .
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Cálculo de limites
Limites infinitos
Cálculo de limites
Proposição
Seja m > 1 um número natural e seja (an ) tal que lim an = a. Valem:
n→∞
√
√
m
m
(1) se m é par e a > 0, então lim
an = a;
n→∞
√
√
(2) se m é ı́mpar, então lim m an = m a.
n→∞
Exemplos:
(a) lim
q
n→∞
(b) lim n
n→∞
4n+1
n
q
= 2;
3+
1
n
−
√
3
=
1
√
.
2 3
Ana Carolina Boero
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Sequências de números reais
Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Cálculo de limites
Teorema do confronto (ou do sanduı́che)
Se (an ), (bn ) e (cn ) são tais que
(i) an ≤ bn ≤ cn a partir de um certo n e
(ii) lim an = a = lim cn
n→∞
n→∞
então
lim bn = a.
n→∞
Exemplos:
(a) lim sen
1
n
= 0 (e, consequentemente, lim cos
n→∞
n→∞
(b) lim n · sen n1 = 1.
n→∞
Ana Carolina Boero
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1
n
= 1);
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Limites infinitos
Cálculo de limites
Proposição
Sejam (an ) e (bn ) tais que lim an = 0 e (bn ) é limitada. Vale:
n→∞
lim (an · bn ) = 0.
n→∞
Exemplos:
(a) lim
n→∞
(b) lim
n→∞
sen n
n
= 0;
cos(n2 +2n )
2
n4
= 0.
Ana Carolina Boero
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Limite de sequências
Cálculo de limites
Limites infinitos
Limites infinitos
Seja (an ) uma sequência de números reais. Escrevemos:
• limn→∞ an = +∞ para indicar que, para cada número real b,
pode-se obter um número natural N tal que todos os termos an com
ı́ndice n > N cumprem a condição an > b.
• limn→∞ an = −∞ para indicar que, para cada número real b,
pode-se obter um número natural N tal que todos os termos an com
ı́ndice n > N cumprem a condição an < b.
Observação: se lim an = ±∞ então (an ) é ilimitada (logo, divergente).
n→∞
Exemplos:
(a) lim n = +∞ e lim −n = −∞;
n→∞
n→∞
(b) (an ) dada por an = n(−1)n é ilimitada, mas não vale lim an = ±∞.
n→∞
Ana Carolina Boero
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Limites infinitos
Limites infinitos
Proposição
Sejam (an ) e (bn ) tais que lim an = +∞. Valem:
n→∞
(1) se (bn ) é limitada inferiormente, então
lim (an + bn ) = +∞;
n→∞
(2) se existe c > 0 tal que bn > c a partir de um certo n, então
lim (an · bn ) = +∞.
n→∞
Exemplo:
2n5 +3n
3
n→∞ 3n +2
(a) lim
= +∞.
Ana Carolina Boero
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Limites infinitos
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Proposição
Se lim an = +∞ então lim (1/an ) = 0.
n→∞
n→∞
Exemplo:
3n3 +2
5
n→∞ 2n +3n
(a) lim
= 0.
Ana Carolina Boero
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Limites infinitos
Limites infinitos
Proposição
Se (an ) é tal que
(i) lim an = 0 e
n→∞
(ii) an > 0 a partir de um certo n
então
lim (1/an ) = +∞.
n→∞
Exemplo:
1
n→∞ 1−cos(1/n)
(a) lim
= +∞.
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Observação
Para lidar com “−∞”, use
• as regras de sinal,
• as três proposições anteriores e
• o seguinte fato:
lim an = +∞ se, e somente se, lim −an = −∞.
n→∞
n→∞
Exemplo:
1
n→∞ cos(1/n)−1
(a) lim
= −∞.
Ana Carolina Boero
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Limites infinitos
Uma palavrinha sobre “expressões indeterminadas”
Se (an ) e (bn ) tais que
lim an = +∞ e lim bn = −∞
n→∞
n→∞
então (an + bn ) pode:
• divergir (an = n + (−1)n e bn = −n);
• divergir para +∞ (an = 2n e bn = −n);
• divergir para −∞ (an = n e bn = −2n);
• convergir para qualquer número real a (an = n + a e bn = −n).
Ana Carolina Boero
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Limites infinitos
Uma palavrinha sobre “expressões indeterminadas”
Se (an ) e (bn ) tais que
lim an = +∞ e lim bn = −∞
n→∞
n→∞
então (an + bn ) pode:
• divergir (an = n + (−1)n e bn = −n);
• divergir para +∞ (an = 2n e bn = −n);
• divergir para −∞ (an = n e bn = −2n);
• convergir para qualquer número real a (an = n + a e bn = −n).
Devido a este comportamento imprevisı́vel, dizemos que +∞ − ∞ é uma
“expressão indeterminada”.
Ana Carolina Boero
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Sequências monótonas e limitadas
Limite de sequências
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Uma palavrinha sobre “expressões indeterminadas”
Se (an ) e (bn ) tais que
lim an = +∞ e lim bn = −∞
n→∞
n→∞
então (an + bn ) pode:
• divergir (an = n + (−1)n e bn = −n);
• divergir para +∞ (an = 2n e bn = −n);
• divergir para −∞ (an = n e bn = −2n);
• convergir para qualquer número real a (an = n + a e bn = −n).
Devido a este comportamento imprevisı́vel, dizemos que +∞ − ∞ é uma
“expressão indeterminada”.
Outras “expressões indeterminadas”: ∞ · 0, ∞/∞, 0/0, ∞0 , 1∞ e 00 .
Ana Carolina Boero
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