FRACTAIS
José Júlio Martins Tôrres1
A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot,
1983), o criador da Teoria dos Fractais, insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a
geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos do mundo real.
A palavra Fractal vem do Latim “fractus” que quer dizer fragmentado, fracionado. E mais: “Frac”
dá a idéia de fração (parte), e “tal” dá a idéia de total (todo). É a idéia de que a parte está no todo e
o todo está na parte. Fractais são objetos e estruturas de dimensão espacial fracionária, com a
propriedade de auto-similaridade.
Vejamos o que é um Fractal matemático. Benoit Mandelbrot
(Mandelbrot, 1983) criou uma fórmula matemática: Zn = Z2n –1 +
C, onde C é do número dos complexos. Colocando-se esta
fórmula num computador, da bolha-mãe, começam a surgir bolhas
com as mesmas características da bolha-mãe (figura 01). E você
começa a dar cores aos pontos da figura, e vai criando imagens
muito bonitas (figura 02).
Fig. 01: Fractal de Mandelbrot
Fig. 02: Fractal de Mandelbrot
Fig. 03: Fractal de Mandelbrot
E o que é a figura 03? É a mesma figura 01 e 02 se reproduzindo tal e qual. Isto pode ser imaginado
como o processo de mudança de uma organização. Não é de uma vez que as coisas acontecem.
É aos poucos. É a organização se expandindo de forma Fractal. Mas isto é um Fractal matemático.
A figura 04 é o mesmo Fractal de Mandelbrot. O bom é que
Mandelbrot resolveu isto com uma única equação matemática.
Antes dele, o grande matemático francês Gaston Julia (18931978) criou várias figuras fractais com várias fórmulas
matemáticas. As figuras fractais de Julia estão todas contidas nos
Fractais gerados pela fórmula de Mandelbrot.
Fig. 04: Fractal de Mandelbrot
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José Júlio Martins Tôrres é Consultor (aposentado) do Banco do Nordeste, com formação em Consultoria em Método de Processo; Economista
pela UFC; Especialista em Computação pela UFC; Especialista em Educação Biocêntrica pela UVA; Mestre em Informática pela PUC/Rio de
Janeiro; Professor do Departamento de Computação da UFC – Universidade Federal do Ceará e do Departamento de Informática da UNIFOR –
Universidade de Fortaleza; Instrutor de Desenvolvimento de Equipe e Estratégia Corporativa no Banco do Nordeste; Ministra treinamentos e facilita
grupos de desenvolvimento humano em empresas; Estudioso da Teoria da Complexidade aplicada à Educação e às Organizações.
Vejamos a figura original, figura 05 – Fractal de Mandelbrot. Ao darmos um “zoom” no retângulo
pequeno da figura 05, vamos ter a figura 06.
Fig.05: Fractal de Mandelbrot
Fig. 06: Fractal de Mandelbrot
– Zoom de parte da figura 05
Ao darmos um “zoom” no retângulo pequeno da figura 06, vamos ter a figura 07. E ao darmos um
“zoom” no retângulo pequeno da figura 07, vamos ter a figura 08.
Fig. 07: Fractal de Mandelbrot
– Zoom de parte da figura 06
Fig. 08: Fractal de Mandelbrot
– Zoom de parte da figura 07
Ao darmos um “zoom” no retângulo pequeno da figura 08, vamos ter a figura 09. E ao darmos um
“zoom” no retângulo pequeno da figura 09, vamos ter a figura 10.
Fig. 09: Fractal de Mandelbrot
– Zoom de parte da figura 08
Fig. 10: Fractal de Mandelbrot
– Zoom de parte da figura 09
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Ao darmos um “zoom” no retângulo pequeno da figura 10,
vamos ter a figura 11. Está aí, no centro da figura 11, a
imagem original, depois de se dar “zoom” milhares de vezes,
utilizando um programa de computador, mostrando que o todo
está na parte.
Fig. 11: Fractal de Mandelbrot
– Zoom de parte da figura 10
Vejamos outro exemplo de Fractal matemático. A figura 12 é
um pentágono, formado de pentágonos, formados de
pentágonos, formados de pentágonos, formados de pentágonos,
e assim por diante, até chegar no âmbito elementar do ponto
indivisível.
Podemos ver a idéia de Fractal no nosso corpo. Se tomarmos
uma célula da nossa pele e a levarmos para um microscópio,
veremos nessa célula todas as características da nossa pele.
Examinando com mais cuidado, veremos lá a cor dos olhos;
veremos se o cabelo é louro, se é preto, se é enrolado ou
estirado. Veremos lá uma característica que o nosso avô teve,
que não se manifestou em nós, mas vai se manifestar no nosso
neto. Uma célula tem a nossa história, a história dos nossos
ascendentes e dos nossos descendentes.
Fig. 12: Fractal Geométrico
Vejamos, agora, Fractais naturais. A natureza tem uma
exuberância fractal muito bonita. A figura 13 mostra a
cordilheira do Himalaia vista da Gemini IV. Vejamos o
padrão de cada montanha... Tudo igualzinho, mas diferente.
Fig. 13: Fractal Natural
- Cordilheira do Himalaia vista da Gemini IV
Examinemos a foto de um “Brócolis romanesco” (figura 14).
Se dermos um “zoom” em cada parte, vamos ter a imagem do
todo; e na parte da parte, da parte; e assim por diante...
Vejamos as flores da figura 15. Cada flor é igualzinha à outra,
mas é diferente. Vejamos as folhas de samambaia da figura 16.
Cada folha é igualzinha à outra, mas é diferente.
Fig. 14: Fractal Natural
- Brócolis Romanesco
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O Universo é todo irregular. Mas existe uma regularidade nesta forma de ser irregular. Existe um
padrão fractal.
Fig. 15: Fatalidade nas flores
Fig. 16: Fatalidade numa samambaia
Às vezes olhamos, olhamos, olhamos e não vemos certas coisas. E outras pessoas olham e vêem,
assim, na maior naturalidade, certas coisas que não vemos. A visão fractal nos fará ver melhor a
beleza existente no Universo.
Principais Características dos Fractais
Extensão infinita dos limites fractais: depende da unidade padrão de medida.
A extensão de um Fractal tende ao infinito quando a unidade padrão de medida tende a zero.
O nosso cérebro é tão grande porque ele é todinho irregular, vai lá e volta. Se pegássemos a
membrana que envolve o cérebro e conseguíssemos espalhá-la, iríamos ver que é bem maior do que
pensamos que seja. Qual é o tamanho da copa de uma árvore? Não dá para medir. Está lá na ponta e
está lá no tronco. Os passarinhos entram e até fazem ninho... É Fractal. Não dá para medir.
Ou melhor, depende da unidade padrão de medida. Quanto mais você reduzir a unidade padrão de
medida, mais aumentará a extensão medida.
A noção de um limite fractal pode ser
demonstrada
considerando-se
o
litoral
geográfico de uma massa de terra. Dependendo
do comprimento da medida padrão utilizada pelo
medidor, pode-se demonstrar que, ao se reduzir a
unidade de medição, o comprimento do litoral
aumentará sem limite. Esse resultado é
totalmente contrário à crença comum de que,
com a redução da unidade de medição, dever-seia obter uma medida mais exata do comprimento
“correto” do litoral.
Na figura 17 temos um Fractal geográfico –
fronteira entre Espanha e Portugal. Se chegarmos
Fig. 17: Fractal Natural – Fronteira Portugal-Espanha
à Espanha e perguntarmos qual é a extensão da
fronteira entre Espanha e Portugal, o espanhol
vai dizer – está nos livros de Geografia deles – que é 987 Km. Vamos a Portugal, e o português diz
que a extensão é de 1.214 Km. Como é que pode, se é a mesma fronteira? É porque o português é
sabido, não é burro nada – e os países pequenos normalmente fazem isso: eles usam uma unidade de
medida padrão menor. O espanhol mede com uma vara mais comprida. Então, deixa de medir
algumas partes. Ele mede com uma vara que mede 2x, 2 Km, por exemplo. O português mede com
a varinha menor. A varinha pequena dá para medir mais curvas.
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Qual a lição que podemos tirar disso para as organizações e para as pessoas? É que devemos reduzir
a unidade padrão de medida. E como é que medimos a qualidade de uma organização e de uma
pessoa? É pelo conhecimento que ela tem e é capaz de gerar, pela sabedoria que ela tem e é capaz
de gerar. Então, reduzimos a unidade de medida padrão cognitiva, ou seja, passamos a entender, nos
mínimos detalhes, tudo aquilo que fazemos. Nós somos Fractais, as organizações são Fractais.
A empresa pode aumentar seus limites pela maior atenção aos pequenos detalhes e pelo
desenvolvimento de dados mais específicos de seus padrões (redução da medida do padrão
cognitivo). Pode ainda reformular, de forma retrospectiva, um padrão existente, pelo
desenvolvimento de novas interpretações de eventos passados.
Permeabilidade dos limites fractais: Os limites dos fractais não são rígidos, são permeáveis.
A permeabilidade dos limites permite o intercâmbio de dados para a geração de informação e
conhecimento, intercambio de energia e de matéria no meio ambiente, desde a menor escala – a do
indivíduo dentro da organização –, até as escalas maiores. As tecnologias de hoje não percorrem
caminhos paralelos e distintos. Elas se cruzam a toda hora. (Interconexões).
As plantas são permeáveis, se entrelaçam. As organizações, se não forem permeáveis, ficam
isoladas, vão morrer.
O amor é fractal. Quanto mais você compartilha, mais ele se multiplica porque, em cada parte está o
todo.
Uma organização não tem mais limites. Ela tem que incluir, no seu processo, os clientes, os não
clientes, que são mais importantes ainda, que são em maior número ainda. E os fornecedores
também...
E na Educação? Todos nós somos aprendizes. O verdadeiro mestre aprende muito mais com os
educandos do que os educandos aprendem com ele. Conhecimento não se transmite. Não se
compra, não se vende, nem se troca conhecimento. Conhecimento, a gente é que tem que gerar.
O meu conhecimento, quando eu passo para alguém, eu não estou passando conhecimento; eu estou
passando apenas dados. Cada um é que tem que pegar esse dado que eu passei e remoer, significar
e/ou re-significar e criar informação e conhecimento, que pode ser até maior do que o meu.
Temos que fazer com que a pessoa não somente aprenda, mas aprenda a aprender. Então ele
aprenderá qualquer coisa. Mas se ele morrer, o processo morre. Temos que fazer com que a pessoa
aprenda a aprender e a criar condições para os outros aprenderem. Mas, aprenda a aprender e a criar
condições para os outros aprenderem o quê? Aprenderem a aprender e a criarem condições para os
outros aprenderem a aprender e a criarem condições para os outros aprenderem... Cada um que
aprender com ele, vai aprender a aprender e a criar condições para os outros aprenderem, e assim, o
processo de aprendizagem vira Fractal. Vira semente. Por falar em semente, uma pergunta Fractal
seria: Quantas maçãs existem numa semente de maçã?
O professor é também aluno. O aluno é também professor. Não existe limite rígido de fronteiras.
Todos estão se autodesenvolvendo.
Auto-similaridade dos fractais: Semelhança nas formas e características.
Ao se dividir o todo em partes iterativamente, as partes, por menores que sejam apresentam formas
e características semelhantes ao todo. A parte reflete a estrutura do todo. Diz-se, então, que o todo
está na parte e que a parte está no todo. Anaxágoras (500-428 a.C.) já dizia: “Tudo pode ser
dividido em partes ainda menores, mas, mesmo na menor das partes existe um pouco de tudo”
(Gaarder, 1995, p. 51). A auto-similaridade proporciona um sentido de ordem a estruturas
aparentemente irregulares.
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A organização formal das organizações é Fractal. A visão fractal da organização é a iterativa
reflexão de toda a organização em cada uma de suas partes. Não é uma visão hierárquica, para cima
e para baixo e sim uma visão em zoom. A célula-mãe de uma organização, como na figura 18, é
composta por Propósito, Princípios, Participantes e Conceitos Organizacionais. As relações entre os
componentes que definem uma unidade composta formam a Organização – determinante de
definição. A maneira como os componentes interconectados interagem sem que mude a
organização forma a Estrutura (Constituição) – determinante operacional. Os Processos (prática)
devem ser criados e implementados de forma a permitir o Acoplamento Estrutural (coerência
interna e correspondência com a estrutura do ambiente) (Maturana, 1987). Tudo isso, tendo a Ética
como um componente transdimensional – é o mais essencial –, forma uma estrutura fractal de uma
célula-mãe de uma organização.
Fig. 18: Estrutura Fractal da Célula-mãe de uma Organização
– Fractal criado por Júlio Tôrres
Essa organização vai crescendo e vai abrindo unidades que têm as mesmas características da célula
mãe, até se chegar no âmbito de cada colaborador, cada mestre, cada discípulo. Cada um é a
organização. É Fractal!
Uma organização qualquer, é complexa em todos os níveis. Cada um tem o seu valor, porque cada
um sabe onde é que a coisa está acontecendo. É lá que ele está sentindo a coisa. Onde quer que
esteja alguém da organização, lá está a organização. Uma Organização Fractal é onipresente. Numa
Organização Fractal cada colaborador se manifesta na sua dimensão partícula e na sua dimensão
onda. As coisas acontecem localmente, mas se propagam como ondas (círculos concêntricos) a
partir de cada ponto e para todos os âmbitos da organização, como na figura 19.
Fig. 19: Estrutura Fractal de uma Organização
– Fractal criado por Júlio Tôrres
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Com a idéia de Fractal, deixamos de ver as coisas somente quantitativamente e passamos a vê-las
também com um olhar qualitativo. Não é porque a coisa é pequenina, que vai deixar de ter um valor
talvez até maior do que uma coisa grande. Quando é que nós vamos ter exames médicos que vão
medir a qualidade e não só a quantidade? Quando é que nós vamos ter avaliação nas escolas que vai
avaliar o aluno como um todo e não apenas quantitativamente? O aluno que tirou um cinco numa
avaliação pode ter elaborado um processo mental de muito mais qualidade do que aquele que tirou
um dez.
É a semelhança das formas que faz com que cada parte de uma planta seja igualzinha a ela mesma.
Nós também somos parecidíssimos, iguaizinhos. Os fractais mantêm as características
independentes da escala. Se dermos um “zoom” de dez milhões de vezes numa nuvem, usando
computador, nós ainda a reconheceremos como nuvem. Uma costa, como a costa da Inglaterra, se
dermos um “zoom” de milhares de vezes, ainda reconhecemos como uma costa. Então, damos um
“zoom” e reconhecemos as coisas, porque cada parte contém realmente a imagem do todo.
Devemos ver qualquer organização, não com essa visão hierárquica, porque não existe hierarquia
no Universo. Não existe um neurônio mais importante e mais inteligente do que o outro. O que faz a
nossa inteligência não é o número de neurônios que nós temos. O que faz a gente inteligente são as
sinapses. São as conexões que existem entre os neurônios. Os relacionamentos é que são
importantes, é neles que temos que investir.
Na natureza, não existe uma coisa mais importante do que outra. Nós é que começamos a dar valor
a certas coisas e achar que uma é mais importante, principalmente a se achar mais importante que os
outros.
Existem organizações, existem empresas e escolas por aí em que o quociente intelectual coletivo, o
quociente intelectual da organização, está limitado pela burrice do dono ou dos gestores. Se chega
alguém dando idéias, sendo inteligente, o dono diz: “Ah, vá procurar outro lugar. Aqui quem manda
sou eu, aqui quem sabe sou eu e desde o tempo do meu avô que é feito deste jeito, por que você
quer fazer diferente?”
Então, uma organização tem que ser vista em “zoom” e, neste caso, cada um é importante, todo
mundo é importante, ninguém é mais importante do que o outro. Todo mundo tem o seu valor.
BIBLIOGRAFIA
GAARDER, J. O mundo de Sofia: romance da história da filosofia. São Paulo: Companhia das
Letras, 1995.
MANDELBROT B. B. The fractal geometry of nature. New York: Freeman, 1983.
TÔRRES, J. J. M. Desenvolvimento organizacional na perspectiva das teorias da complexidade
– um estudo de caso. Fortaleza: UVA, 2001.
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