CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO
MÉDIO: ÂNGULO DE VISÃO DAS CORES DO ARCO-ÍRIS
Profª. Drª. Vanilde Bisognin
UNIFRA
[email protected]
Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira
UNIFRA
[email protected]
Prof. Clandio Timm Marques
UNIFRA
[email protected]
Prof. Claiton Timm Marques
UNIFRA
[email protected]
Resumo
Neste artigo objetiva-se descrever uma experiência de sala de aula, realizada na disciplina
de Fundamentos de Cálculo do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e
de Matemática do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA, utilizando-se a
Modelagem Matemática como metodologia de ensino. O tema escolhido foi o ângulo de
visão das cores do arco-íris. Com a utilização dos conceitos de geometria plana, da
trigonometria e da física, para o ensino médio, e recursos computacionais foi possível
estabelecer os ângulos de visão de todas as cores que compõem o arco-íris. A experiência
realizada pode ser utilizada nas aulas de Matemática do Ensino Médio, como proposta
didática. Com o resultado da experiência é possível inferir que a Modelagem Matemática,
quando utilizada em sala de aula, pode contribuir para a melhoria do processo de ensino e
aprendizagem da Matemática.
Palavras chave: arco-íris, Modelagem Matemática, Ensino Médio.
Introdução
A Matemática é uma ciência que está presente no dia a dia de todos os cidadãos.
Na natureza ela aparece sempre de uma forma interdisciplinar, principalmente, associada
aos fenômenos físicos, químicos e outros.
Por outro lado, na escola a Matemática é ensinada de forma desvinculada dos
fenômenos que aparecem na natureza, como a questão do arco-íris.
Propomos o presente trabalho no sentido de contribuir com a associação da
Matemática à vida das pessoas em sala de aula. Nosso objetivo é descrever os resultados de
uma experiência concreta realizada na disciplina de Fundamentos de Cálculo, utilizando-se
a Modelagem Matemática como metodologia de ensino.
O tema escolhido foi o fenômeno físico do arco-íris. A partir do tempo escolhido a
pergunta proposta foi a seguinte: quais os ângulos de visão das cores que compõem o arcoíris? Com dados sobre a refração e reflexão da luz, nos meios de condução ar e água, foram
obtidos os ângulos de visão de cada uma das suas cores.
Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática é um método de investigação científica oriunda da
matemática aplicada e, por isso mesmo, muito antiga. Ela envolve equipes de
pesquisadores de diferentes áreas de conhecimento, sendo que o objetivo maior é encontrar
um modelo que descrevesse determinados fenômenos da natureza. A transposição didática
desse método de investigação para a sala de aula é recente e tem sido realizada por
diferentes pesquisadores preocupados com o processo de ensino e aprendizagem da
matemática.
Existem várias concepções sobre a modelagem, todas mantendo como base a
relação realidade/modelo/realidade. Na expressão de D`Ambrósio (2002) “realidadereflexão sobre a realidade”, ou seja, a criação de um modelo que auxilie o indivíduo no
entendimento, criação do modelo e ação sobre essa realidade. Desta maneira, o modelo
deve permitir inferências capazes de transformar a realidade.
O modelo pode ser encarado como unidade básica da Modelagem Matemática e se
caracteriza por abordar um problema inicialmente não matemático, por meio de estruturas
matemáticas, a fim de delimitar, entender, resolver e validar o modelo do problema inicial.
As pesquisas em Educação Matemática definem Modelagem Matemática sob
diferentes perspectivas, quando tratada como uma opção didática da sala de aula.
Para Bassanezi (2004, p.16), Modelagem Matemática é “transformar problemas da
realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real”.
Para Burak (2004), Modelagem é uma metodologia de ensino e o autor descreve
os passos que devem ser seguidos:
Escolha do tema: em nosso caso o tema escolhido é o fenômeno físico arcoíris. Essa é uma etapa que traz algumas tensões aos alunos/professores, pois,
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muitas vezes, a tendência é escolher um tema de difícil modelação devido a
sua amplitude ou complexidade.
Pesquisa exploratória: nessa etapa buscam-se dados para compreender o
tema proposto. Em nosso caso, buscaram-se dados e informações na área da
física para compreender o fenômeno do arco íris.
Levantamento dos problemas: os problemas surgem a partir dos dados e
informações obtidos na pesquisa exploratória. Em nosso caso, buscou-se
responder a questão: quais os ângulos da visão das cores do arco-íris?
Resolução dos problemas e desenvolvimento da matemática necessária para
a resolução do problema: ao colocar nessa fase o desenvolvimento da
matemática necessária à compreensão do problema proposto, Burak (2004)
deixa claro que o conteúdo matemático aparece como uma necessidade para
a resolução do problema. Em nosso caso, os conteúdos necessários para a
resolução do problema envolvem a geometria plana e a física em nível
médio.
Análise crítica das soluções propostas: todo modelo apresenta um objetivo
fora da matemática pura a qual lhe serviu de ferramenta.
Estas são as etapas propostas por Burak (2004) e foram usadas nesse trabalho.
Essas etapas não são estanques, mas podem ser modificadas ou tomadas em diferentes
ordens, de acordo com as necessidades da criação do modelo quando aplicado em outras
perspectivas.
Para Barbosa (1999), Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem em
que os alunos são convidados a investigar, por meio da matemática, situações da realidade.
Essas diferentes concepções não são antagônicas, pois ao se trabalhar a
Modelagem na sala de aula, como metodologia de ensino, pesquisas como encontradas nos
trabalhos de Santos e Bisognin (2007) tem mostrado que cria-se um ambiente favorável à
aprendizagem.
Nesse trabalho seguimos as etapas da Modelagem Matemática conforme descrito
por Burak (2004). Como professores da Educação Básica e Superior, concluímos que é
importante que o professor experimente a metodologia antes de aplicá-la, para que possa
conduzir com mais eficiência e segurança as atividades propostas, as quais serão realizadas
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por seus alunos. Nesta pesquisa pretende-se contribuir sobre a utilização da Modelagem
Matemática na sala de aula que pode ser usada por professores do ensino médio.
A experiência em ação
A experiência foi realizada na disciplina de Fundamentos de Cálculo do Curso de
Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática da UNIFRA, composta
de seis alunos que são professores da Educação Básica e Superior. Os alunos foram
divididos em dois grupos de três alunos. Descreve-se aqui o trabalho desenvolvido pelo
grupo de alunos que escolheu o tema: arco-íris.
Aspectos históricos
O primeiro passo dado pelo grupo foi estudar os aspectos históricos da descoberta
do arco-íris.
A primeira explicação teórica precisa do arco-íris foi feita por Descartes em 1637.
Sabendo que o tamanho das gotas de chuva não parecia afetar o arco-íris observado, ele fez
uma experiência incidindo raios de luz através de uma grande esfera de vidro cheia d'água.
Ao medir os ângulos que os raios emergiam, ele concluiu que o primeiro arco era causado
por uma única reflexão interna dentro da gota de chuva e que o segundo arco (arco-íris
secundário) podia ser causado por duas reflexões internas. Ele foi capaz de chegar aos seus
resultados a partir da lei de refração e calculou corretamente os ângulos de ambos os arcos.
Entretanto, ele não foi capaz de explicar as cores.
Como se forma o arco-íris?
Para o arco-íris ser visto, o sol deve estar brilhando numa parte do céu e as gotas
de água existentes numa nuvem, ou caindo na forma de chuva, devem estar presentes na
parte oposta do sol. Quando viramos de costa para o sol vemos o espectro das cores
formando um arco. Todos os arco-íris seriam completamente redondos se o chão não
estivesse no caminho.
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Por que e como isso pode ser explicado?
Inicialmente, é preciso notar que o arco-íris é produzido por gotas de chuva que
desviam parte da luz solar em direção aos nossos olhos.
Podemos simplificar a análise nos restringindo ao estudo do desvio (ou
espalhamento, falando em linguagem técnica) da luz em uma única gota d'água, que produz
ela sozinha um pequeno arco-íris.
Decomposição da luz solar que atravessa um prisma, realizada por Newton
O experimento da decomposição da luz solar, realizada por Newton, é
extraordinariamente simples. Um prisma de vidro é suficiente.
Ao passar por um prisma, a luz solar, que é branca, decompõe nas cores do arcoíris. No caso do arco-íris, são as gotículas de água que fazem o papel do prisma.
Newton demonstrou que, combinando adequadamente dois ou mais prismas, é
possível decompor e recompor a luz branca. A separação é possível porque cada cor tem
um índice de refração diferente, isto é, apresenta um desvio diferente quando passa de um
meio para outro.
Podemos calcular a abertura angular dos raios do arco-íris mediante as leis
da reflexão e da refração.
A figura 1 mostra um raio de luz incidente numa gota de água esférica (A).
O ângulo de refração que forma com a normal θ2 está relacionado ao ângulo de incidência
θ1 pela lei de Snell:
n ar . sen θ1 = n água . sen θ 2
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Normal
θ1
Raio de luz
incidente
A
θ2
Refrata
θ2
O
Reflete
Refrata
θ2
β
Bβ
P
φd
C
FIGURA 1 - Descrição da incidência e refração de um raio solar em uma gota esférica.
O raio refratado atinge a parte posterior da gota em B. No ponto B, o
ângulo com a reta radial OB é θ2 e o raio é refletido sob esse mesmo ângulo. O raio é
refratado uma outra vez no ponto C, onde emerge da gota. O ponto P é a intersecção da
trajetória inicial do raio incidente com a reta suporte do raio emergente.
O ângulo φd é o ângulo de desvio do raio. Este ângulo está
relacionado com o ângulo β .
φd + 2β = , sendo que 2β é a abertura angular do arco-íris. Queremos
relacionar o ângulo de desvio φd ao ângulo de incidência θ1.
Pelo ∆ AOB, que é isósceles, temos:
2θ2 +
= , logo:
=
- 2θ2 (1)
Pelo ∆ AOP, temos:
θ1 +
+β=
(2)
Substituindo (1) em (2) temos:
θ1 +
- 2θ2 + β = , ficando com: β = 2θ2 - θ1
Levando a expressão acima, na equação φd + 2β =
temos:
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φd =
- 2β =
- 2(2θ2 - θ1) =
- 4θ2 + 2θ1
Para eliminar o θ2 e se ter o ângulo de desvio φd, em termos do
ângulo de incidência θ1 temos que relacionar com lei de Snell: nar.sen θ1 = nágua.sen θ2
sen θ 2 =
n ar .sen θ1
n água
θ 2 = arc sen
n ar .sen θ1
n água
Na equação acima combinada com a lei de Snell, podemos eliminar o
θ2 e ficar com o ângulo de desvio φd em termos do ângulo de incidência θ1, como mostra a
equação abaixo:
ϕ d = π - 4arc sen
nar . sen θ1
+ 2θ1
n água
Assim, temos a equação que relaciona os raios que entram na gota
sob um ângulo θ1 e emergem da gota sob um ângulo φd.
Ressaltamos que não são todos os raios que emergem da gota que
formam o arco-íris, mas somente aqueles que entram sob um ângulo de desvio φd mínimo.
Vamos encontrar este desvio mínimo:
O gráfico mostra θ1 x φd, em radianos, com nar = 1,004 e nágua =
1,3300:
FIGURA 2 - Gráfico de θ1 x φd para a luz branca, com o cálculo do valor mínimo obtidos pelo software
Winplot.
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φd mínimo = 2,38586 rd, atingido em θ1 = 1,04534 rad, em graus temos φd mínimo =
o
136,7 , atingido em θ1 = 59,89o .
Com esses valores, determinamos a abertura angular: 2β =
- φd
mínimo
logo 2β =
180º - 136,7º = 42,3º .
Assim, o observador deve estar a um ângulo de mais ou menos 42º em relação aos
raios incidentes do sol, sob as gotículas de água, para poder enxergar o arco-íris.
Mas e as cores?
As concentrações de raios próximas ao ângulo mínimo provocam o fenômeno da
dispersão da luz, tal como Newton o descreveu, e é somente em torno do ângulo mínimo
que a gotícula de água funciona como o prisma de Newton.
A separação das cores é conseqüência do índice de refração da água ser
ligeiramente dependente do comprimento de onda da luz, assim, nos arredores do ângulo
mínimo, os diferentes comprimentos de onda das cores, possuem índices de refração na
água diferentes da luz branca.
Desta forma é possível calcular a angulação de cada cor conhecidos os respectivos
índices de refração na água, como mostra a figura 4.
FIGURA 3 – Índices de refração de cada uma das cores entre os meios ar/água. Fonte:
www.philiplaven.com/p20.html em 07/08/2008.
Embora o índice de refração da luz seja sempre igual para os diversos meios, as
cores que compõem a luz branca têm índices levemente variados quando incidente sobre o
extremo da gota, o que justifica a dispersão da luz branca nas diversas cores do arco-íris.
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Da tabela acima, temos:
nvermelho = 1,33141
nlaranja = 1,33322
namarelo = 1,33472
nverde = 1,33659
nazul = 1,34055
nindigo = 1,34235
nvioleta = 1,34451
De forma análoga ao que foi feito para a luz branca, a luz vermelha, nos trás os
seguintes dados:
φd = 2,38676 rad = 136,75º
2β = 43,24º
ângulo de visualização da luz
vermelha
Procedendo da mesma maneira para as demais cores, obtemos os seguintes
resultados:
COR
φd
2β = 180o - φd
Vermelho
136,75º
43,25º
Laranja
137,01º
42,98º
Amarelo
137,24º
42,76º
Verde
137,5º
42,49º
Azul
138.08º
41,92º
Índigo
138,34º
41,65º
Violeta
138,65º
41,34º
TABELA 1 - Ângulo de visualização (2β) de cada uma das cores a partir de φd.
O presente trabalho trouxe uma possibilidade de tratamento computacional das
funções da necessidade de se calcular o seu valor mínimo. O computador, nesse caso,
possibilita o trabalho, no Ensino Médio, de um conteúdo comumente tratado no Ensino
Superior, que são os máximos e mínimos de função não quadrática. Pensando no Ensino
Superior, será feito o cálculo do valor mínimo usando as ferramentas da derivada.
Seja a função,
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φd =
- 4 arc sen
n ar . sen θ1
+ 2θ1
n água
Para achar o desvio mínimo basta encontrar a d(φd)/d(θ1) = 0 e usar os métodos de
análise de pontos de máximo e mínimos de funções.Assim , derivando encontramos que
cos θ = 0,509175 o que significa que,aproximadamente, o valor de θ = 59 0 .
Considerações Finais
O trabalho envolveu todos os participantes do grupo que são professores da
Educação Básica e Superior. Como professores, acreditamos que é possível trabalhar esta
proposta metodológica na sala de aula, pois conseguimos vivenciar, em atividades desse
tipo, mudança dos alunos de uma atitude passiva para ativa e comprometidos com todo o
trabalho que foi realizado. Houve, de fato, um trabalho colaborativo.
Acreditamos que o uso da Modelagem Matemática não é a única solução para as
mudanças necessárias no ensino de Matemática, mas é uma estratégia que pode e deve ser
utilizada, em alguns momentos na sala de aula e em diferentes níveis de ensino.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Campinas, v.7, n.11, p.67-85, 1999.
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Paulo: Contexto, 2004.
______, Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: Uma nova estratégia.
São Paulo: Contexto, 2002.
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Básica e Superior, 2007. (Apresentação de Trabalho/Conferência ou palestra).
BURAK, Dionísio. Modelagem matemática e a sala de aula. In: Encontro Paranaense de
Modelagem em Educação Matemática, 1., Londrina. Anais. Londrina: UEL, 2004.
D´AMBROSIO, U. . Etnomatematica. 1. ed. Bologna: Pitagoras Editrice, 2002. v. 1. 198 p.
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SANTOS, L. M. M.; BISOGNIN, V. Experiências de ensino por meio da Modelagem
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ARAÚJO, J. de L. (orgs). In: BARBOSA, J. C. et al. (Org). Modelagem na Educação
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