Cálculo II
Método da Substituição
Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma função aplicando uma das fórmulas básicas
depois de ser feita uma mudança de variável. Esse processo é análogo à regra da cadeia para derivação e
pode ser justificado como segue.
Sejam
e
duas funções tais que
=
. Suponhamos que g seja outra função
derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de . Podemos considerar a função composta
de
.
Pela regra da cadeia, temos:
Então, temos:
[1]
Fazendo u = g(x), du = g’(x)dx e substituindo em [1], vem:
Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal forma que a integral obtida seja
mais simples.
Exemplos:
1)
Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis:
Se substituirmos estas expressões na Equação [1], obtemos;
Assim resolvendo esta integral teremos:
Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos:
Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando
e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ].
Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração por substituição.
Aplicação:
Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal Instrumentos projeta que,
após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à
taxa de
unidades por mês.
Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos t meses após
se tornarem disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá no primeiro ano em que
eles estiverem no mercado?
Solução:
Denotemos por N(t) o número total de computadores que se espera que sejam vendidos t meses após sua
introdução no mercado. Então, a taxa de crescimento de vendas é dada por N’(t) unidades por mês.
Assim:
Calculando a segunda integral pelo método da substituição temos:
Para determinarmos o valor de C notemos que o número de computadores vendidos ao final do mês 0 é
nulo, donde N(0) = 0. Isto fornece:
O número de computadores que a Universal espera vender no primeiro ano á dada por
Outros exemplos:
2) Calcular as integrais:
Fazemos u = 1 +
Fazendo
Então,
Temos
Então
Podemos escrever
Fazendo
Fazendo
Portanto,