UNIFESO – Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Matemática
Exercícios do Ensino Médio
Respostas dos Exercícios para o dia 27/03/2013
Obs.: Estes exercícios foram adaptados do livro Círculos Matemáticos: A Experiência
Russa (Fomin, Genkin, Itenberg), publicado pelo IMPA.
1. Não: a soma de um número ímpar de números ímpares é sempre ímpar.
2. Não: cada vez que um dos segmentos do caminho intersecta a reta, os
dois vértices estão em lados opostos da reta; começando em um vértice
de um dos lados da reta e seguindo pelo caminho, se a reta pudesse
intersectar os 11 segmentos terminaríamos no lado oposto da reta e o
caminho não poderia ser fechado.
3. Se o círculo contém cinco meninos, quantas meninas estão neste
círculo? Cinco: a única possibilidade é as meninas alternarem com os
meninos.
4. Não: o tabuleiro 5 × 5 tem 25 quadradinhos, um número ímpar e, como
cada dominó tem um número par (2) de quadradinhos, qualquer
quantidade de dominós sempre cobrirá um número par de quadradinhos.
5. Não: como foram separados todos os dominós sem bolinhas, cada
algarismo de 1 a 6 irá aparecer em 7 dominós; mas só podemos ter dois
algarismos nas pontas e todos os algarismos no meio da cadeia têm que
aparecer um número par de vezes; como são seis algarismos, tirando os
dois nas pontas sobram quatro algarismos, ou seja, vão sobrar pelo
menos dois dominós (contendo quatro algarismos diferentes).
6. Depois de 59 segundos: pensando a partir do final, vemos que, se o
vidro está cheio depois de 60 segundos, ele tinha que estar pela metade
um segundo antes.
7. Basta um pagar para todos: por exemplo, Alex pode dar uma moeda de
15 e pagar para todos os três; os outros podem pagar Alex facilmente,
por exemplo, dando uma moeda de 20 para Alex e recebendo uma
moeda de 15 de troco.
8. 136: a ideia básica aqui é que a última página é par, já que não é
possível rasgar apenas uma página ― rasga-se uma folha que tem duas
páginas, começando com uma página ímpar; dos números com três
algarismos contendo os algarismos 1, 3 e 8, 318 é o único maior do que
183 que é par, logo o número de páginas é 318 − 183 + 1 = 136.
9. Sim: o problema só nos permite dividir um conjunto de pregos dado em
duas partes com o mesmo peso; então, por exemplo, podemos fazer
pilhas com 1 kg, 500 g e com 250 g dividindo diversas vezes o conjunto
de pregos; três pilhas com 250 g irão fornecer 750 g de pregos.
10.Domingo: os dias 1, 8, 15, 22 e 29 de qualquer mês caem no mesmo dia
da semana; como janeiro tem 31 dias, se o mês começar em um
determinado dia da semana, então ele terá cinco desses dias e cinco dos
próximos dois dias da semana; logo janeiro não pode ter começado em
um sábado, domingo ou segunda-feira (caso contrário, teria cinco
segundas), nem em uma quarta, quinta ou sexta-feira (caso contrário,
teria cinco sextas), de modo que o primeiro dia de janeiro caiu em uma
terça-feira e não é difícil ver que o dia 20 de janeiro caiu no domingo.
11.1189: podemos supor, sem perda de generalidade, que a diagonal dada
vai do canto superior à esquerda para o canto inferior à direita; vamos
colorir de preto todos os quadrados cruzados pela diagonal; como o
número de colunas é muito maior, algumas linhas terão mais de um
quadrado preto; é claro também que toda linha e toda coluna tem pelo
menos um quadrado preto; vamos marcar o quadrado preto que esteja
mais à esquerda em cada linha com a letra E; analogamente, vamos
marcar o quadrado preto que esteja mais acima em cada coluna com a
letra A; é possível mostrar que cada um dos quadrados pretos foi
marcado pelo menos uma vez e que só o quadrado no canto superior à
esquerda foi marcado mais de uma vez, logo o número de quadrados
pretos é igual à soma do número de quadrados marcados com E com o
número de quadrados marcados com A menos 1, ou seja, 199 + 991 − 1
= 1189.
Vamos tentar agora provar a afirmação que fizemos acima. Em primeiro
lugar, por que cada um dos quadrados pretos foi marcado pelo menos
uma vez? Se um dos quadrados pretos não estiver marcado com
nenhuma letra, então seus vizinhos à esquerda e em cima também terão
que ser pretos; ou seja, eles também têm interseção com a diagonal, o
que é impossível. Em segundo lugar, se um quadrado preto estiver
marcado com ambas as letras E e A, então não poderão existir
quadrados pretos na mesma linha à sua esquerda nem na mesma coluna
acima dele. Isto significa que a diagonal intersecta o canto esquerdo
superior deste quadrado, o que também é impossível, embora a
justificativa seja mais complicada (é porque 199 e 991 são primos entre
si, mas não achamos apropriado entrar neste tipo de detalhe técnico ao
discutir esses problemas elementares).
12.553451234512345: gostaríamos de ter o maior número possível de
algarismo iguais a 5 à esquerda; para isso, podemos retirar a sequência
inicial 1234, deixando um 5, depois retirar a próxima sequência 1234; é
claro que, se tivéssemos deixado algum algarismo diferente de 5 à
esquerda, o nosso número seria menor; entretanto, não podemos obter
outro 5, já que só podemos retirar mais dois algarismos; então retiramos
os dois próximos algarismos pequenos, 1 e 2.
13.Sim: Pedro falou isto no dia primeiro de janeiro e fez aniversário no dia
31 de dezembro; neste caso ele fez 11 anos no dia anterior à sua
afirmação e fará 13 anos no final do ano seguinte.
14.Não: o fato de que o evento A (a chuva) sempre causa o evento B (o
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espirro da gata) não significa que o evento B causa o evento A; este é
um exemplo de um tipo de erro lógico muito comum, confundir uma
proposição lógica com sua recíproca.
15.Ele pensou o seguinte: “Se minha face estivesse limpa, então um dos
meus colegas, vendo que o terceiro está rindo de alguma coisa,
compreenderia que seu rosto também está preto de fuligem. Como ele
ainda está rindo, minha face também está preta.”
16.95125.
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