ISSN 2238-0264
SADEAM
2012
Sistema de Avaliação do
Desempenho Educacional
do Amazonas
REVISTA PEDAGÓGICA
Matemática
Ensino Médio Regular e EJA
SEÇÃO 1
Avaliação: o ensino-aprendizagem
como desafio
SEÇÃO 2
Interpretação de resultados e
análises pedagógicas
SEÇÃO 3
Os resultados desta escola
SEÇÃO 4
Desenvolvimento de habilidades
EXPERIÊNCIA EM FOCO
Secretaria de
Estado de Educação
ISSN 2238-0264
Revista Pedagógica
Matemática
Ensino Médio Regular e EJA
Sistema de Avaliação do Desempenho
Educacional do Amazonas
govERnADoR Do ESTADo Do AmAzonAS
OMAR ABDEL AZIZ
viCE-govERnADoR
JOSÉ MELO DE OLIVEIRA
SECRETáRio DE ESTADo DA EDUCAção E QUAliDADE Do EnSino
ROSSIELI SOARES SILVA
SECRETáRiA ExECUTivA DE ESTADo DE EDUCAção
CALINA MAFRA HAGGE
SECRETáRio ExECUTivo ADJUnTo DE gESTão
MARCELO HENRIQUE CAMPBELL FONSECA
SECRETáRiA ExECUTivA ADJUnTA PEDAgógiCA
MAGALY PORTELA RÉGIS
SECRETáRiA ExECUTivA ADJUnTA DA CAPiTAl
MARIA DE NAZARÉ SALES VICENTIM
SECRETáRiA ExECUTivA ADJUnTA Do inTERioR
OCEANIA RODRIGUES DUTRA
DEPARTAmEnTo DE PlAnEJAmEnTo E gESTão finAnCEiRA
DiREToRA
MARIA NEBLINA MARÃES
gERÊnCiA DE AvAliAção E DESEmPEnHo
gEREnTE
JANE BETE NUNES RODRIGUES
EQUiPE TéCniCA
SHIRLENE NORONHA GUIMARÃES - ESTATíSTiCo
ANA PAULA GOMES TAVARES - mATEmáTiCA
CLAUDIA MARIA PEREIRA DA COSTA - PEDAgogA / PSiCólogA
JOABE ARAÚJO DA SILVA - CiÊnCiAS DA ComPUTAção
JANDER FREITAS DA SILVA - mATEmáTiCA
ESTAgiáRio
MARCOS AUGUSTO DE SOUZA PINTO - CiÊnCiAS DA ComPUTAção
Rossieli Soares da Silva, Secretário de Estado de Educação do Amazonas
AmigoS EDUCADoRES,
Com grata satisfação podemos dizer que o Amazonas tem avançado a passos largos em direção
à qualidade do ensino. o retrospecto de nossa rede frente às crescentes demandas educacionais e
os resultados tangíveis obtidos por nossas escolas no cenário nacional indicam que nosso projeto de
educação é promissor e revela-se um modelo eficaz a ser seguido.
Somados ao comprometimento de nossos professores e demais educadores, são vários os projetos que
acreditamos estar impulsionando o Amazonas a patamares de referência no cenário nacional. Dentre
estes projetos estão, sem dúvida, os mecanismos institucionais de avaliação que permitem o diagnóstico
constante de nossas ações com vistas a melhorias.
o Sistema de Avaliação do Desempenho Educacional do Amazonas (SADEAm), criado em 2008 pelo
governo do Estado, via Secretaria de Estado de Educação (SEDUC), é um destes imprescindíveis
mecanismos que estão corroborando com a qualidade do ensino local e impulsionando nossa rede
pública a buscar resultados cada vez mais satisfatórios, favorecendo o desenvolvimento pleno do alunado
amazonense, razão de nossas ações.
Solidificando-se a cada ano, na última edição (2012) o SADEAm foi aplicado em todos os 62 municípios do
Amazonas, abrangendo um total de 201.258 estudantes do 3º, 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental, 1ª
e 3ª séries do Ensino médio, Anos iniciais, finais do Ensino fundamental EJA e Ensino médio EJA e ainda
uma amostra na rede municipal em todos os municípios. A amplitude da última edição é notada com mais
propriedade ao observarmos que, no primeiro ano de sua aplicação (2008), o SADEAm avaliou 81.469,
menos de 41% do atual contingente de participantes.
Além de ser, como já citamos, um instrumento de diagnóstico, os dados apontados pelo SADEAm revelamse também uma ferramenta eficaz e útil aos que, no cotidiano do ofício pedagógico e do magistério, estão
focados no aprimoramento diário de suas ações.
Parabenizando a vocês, educadores, pelos significativos resultados nunca antes constatados em nossa
rede pública, aproveitamos a oportunidade em que divulgamos os dados atualizados de nossa avaliação
institucional para renovarmos o compromisso em prol do ensino de qualidade, pois somos capazes de,
juntos, alcançarmos resultados ainda maiores. E vamos alcançá-los!
1. avaliação:
o ensino-aprendizagem
como desafio
página 10
sumário
2. interpretação
de resultados e
análises pedagógicas
página 16
3. OS RESULTADOS
DESTA ESCOLA
página 61
EXPERIÊNCIA
EM FOCO
página 72
4. desenvolvimento
de habilidades
página 63
1
avaliação:
o ensino-aprendizagem como desafio
Caro(a) Educador(a), a Revista Pedagógica apresenta os fundamentos, a metodologia e os resultados da avaliação,
com o objetivo de suscitar discussões para que as informações disponibilizadas possam ser debatidas e utilizadas
no trabalho pedagógico.
Um importante movimento em busca da qualidade da educação vem
ganhando sustentação em paralelo às avaliações tradicionais: as
avaliações externas, que são geralmente em larga escala e possuem
objetivos e procedimentos diferenciados daquelas realizadas pelos
professores nas salas de aula. Essas avaliações são, em geral,
organizadas a partir de um sistema de avaliação cognitiva dos alunos
e aplicadas, de forma padronizada, a um grande número de pessoas.
Os resultados aferidos pela aplicação de testes padronizados têm
como objetivo subsidiar medidas que visem ao progresso do sistema
de ensino e atendam a dois propósitos principais: prestar contas à
sociedade sobre a eficácia dos serviços educacionais oferecidos
à população e implementar ações que promovam a equidade e a
qualidade da educação.
A avaliação em larga escala deve ser concebida como instrumento
capaz de oferecer condições para o desenvolvimento dos alunos
e só tem sentido quando é utilizada, na sala de aula, como uma
ferramenta do professor para fazer com que os alunos avancem.
O uso dessa avaliação de acordo com esse princípio demanda o
10 seguinte raciocínio: por meio dos dados levantados, é possível que
o professor obtenha uma medida da aprendizagem de seus alunos,
contrapondo tais resultados àqueles alcançados no estado e até
mesmo à sua própria avaliação em sala de aula. Verificar essas
informações e compará-las amplia a visão do professor quanto ao
seu aluno, identificando aspectos que, no dia a dia, possam ter
passado despercebidos. Desta forma, os resultados da avaliação
devem ser interpretados em um contexto específico, servindo para a
reorientação do processo de ensino, confirmando quais as práticas
bem-sucedidas em sala de aula e fazendo com que os docentes
repensem suas ações e estratégias para enfrentar as dificuldades
de aprendizagem detectadas.
A articulação dessas informações possibilita consolidar a ideia
de que os resultados de desempenho dos alunos, mesmo quando
abaixo do esperado, sempre constituem uma oportunidade
para o aprimoramento do trabalho docente, representando um
desafio a ser superado em prol da qualidade e da equidade
na educação.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 11
o SADEAm
o Sistema de Avaliação do desempenho Educacional do Amazonas foi criado em 2008 e tem
seguido o propósito de fomentar mudanças em busca de uma educação de qualidade. Em 2012, os
alunos das escolas estaduais do Amazonas foram avaliados no 3º, 5º, 7º, 9º anos e EJA (anos iniciais
e anos finais) do Ensino fundamental em língua Portuguesa e Matemática. Já no Ensino Médio
Regular e EJA, além dessas duas disciplinas, foram avaliados em ciências da Natureza, ciências
humanas e em Produção de texto. Na linha do tempo a seguir, pode-se verificar a trajetória do
Sadeam e, ainda, perceber como tem se consolidado diante das informações que apresenta sobre
o desempenho dos alunos.
TRAJETóRiA
Estadual
Estadual
2008
2009
81.469
57.192
alunos avaliados*
alunos avaliados*
língua Portuguesa e
Matemática - 5º e 9º anos
do Ensino fundamental
todas as disciplinas - 3ª
série do Ensino Médio
(Regular e EJA).
língua Portuguesa, Produção
de texto, Matemática,
ciências humanas
(geografia, história, filosofia
e Sociologia) e ciências da
Natureza (biologia, física e
Química) - 3ª série do Ensino
Médio (Regular e EJA).
(*) O número de alunos avaliados é referente à disciplina de Língua Portuguesa.
12 Estadual
Estadual
Estadual e Municipal
2010
2011
2012
151.673
91.623
201.258
alunos avaliados*
alunos avaliados*
alunos avaliados*
língua Portuguesa e
Matemática - 5º e 9º anos
do Ensino fundamental
(Regular e EJA)
língua Portuguesa e
Matemática - 3º e 7º anos do
Ensino fundamental, Anos
Iniciais EJA, Anos finais EJA
língua Portuguesa, Produção
de texto, Matemática,
ciências humanas
(geografia, história, filosofia
e Sociologia) e ciências da
Natureza (biologia, física e
Química) - 3ª série do Ensino
Médio (Regular e EJA).
língua Portuguesa, Produção
de texto, Matemática, ciências
humanas (geografia, história,
filosofia e Sociologia)
e ciências da Natureza
(biologia, física e Química)
1ª e 3ª séries do Ensino Médio
e Ensino Médio EJA
língua Portuguesa e
Matemática - 3º, 5º, 7º
e 9º anos do Ensino
fundamental, Anos Iniciais
EJA e Anos finais EJA
língua Portuguesa, Produção
de texto, Matemática, ciências
humanas (geografia, história,
filosofia e Sociologia)
e ciências da Natureza
(biologia, física e Química)
1ª e 3ª séries do Ensino Médio
e Ensino Médio EJA
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 13
A AVALIAÇÃO EDUCACIONAL EM LARGA ESCALA
O diagrama a seguir apresenta, passo a passo, a lógica do sistema de avaliação de forma sintética,
indicando as páginas onde podem ser buscados maiores detalhes sobre os conceitos apresentados.
A educação apresenta um grande
desafio: ensinar com qualidade e
de forma equânime, respeitando
a individualidade e a diversidade.
A avaliação em larga escala
surge como um importante
instrumento para reflexão
sobre como melhorar o ensino.
Para realizar a avaliação, é
necessário definir o conteúdo
a ser avaliado. Isso é feito por
especialistas, com base em
um recorte do currículo e nas
especialidades educacionais.
Esse recorte se traduz em
habilidades consideradas
essenciais que formam a
Matriz de Referência para
avaliação.
(Matriz de Referência)
Página 18
Para ter acesso a toda a
Coleção e a outras informações
sobre a avaliação e seus
resultados, acesse o site
www.sadeam.caedufjf.net.
14 (Composição dos cadernos)
Página 22
Através de uma metodologia
especializada, é possível obter
resultados precisos, não sendo
necessário que os alunos
realizem testes extensos.
As habilidades avaliadas são
ordenadas de acordo com a
complexidade em uma escala
nacional, a qual permite verificar o
desenvolvimento dos alunos.
(Padrões de Desempenho)
Página 32
Com base nos objetivos e
nas metas de aprendizagem
estabelecidas, são definidos
os Padrões de Desempenho.
A análise dos itens que compõem
os testes elucida as habilidades
desenvolvidas pelos alunos que
estão em determinado Padrão de
Desempenho.
(Intervalos da Escala de Proficiência)
Página 23
As informações disponíveis
nesta Revista devem ser
interpretadas e usadas como
instrumento pedagógico.
(Experiência em foco)
Página 72
(Itens)
Página 36
Os resultados da avaliação
oferecem um diagnóstico do
ensino e servem de subsídio
para a melhoria da qualidade
da educação.
(Resultados desta Escola)
Página 61
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 15
2
interpretação
de resultados e análises pedagógicas
Esta seção traz os fundamentos da metodologia de avaliação externa do Sadeam 2012, a Matriz de Referência e a Teoria
de Resposta ao Item (TRI).
MATRIZ DE REFERÊNCIA
Para realizar uma avaliação, é necessário definir o
Diante
conteúdo que se deseja avaliar. Em uma avaliação
em nosso país, as orientações curriculares
em larga escala, essa definição é dada pela
do
construção de uma MATRIZ DE REFERÊNCIA,
características próprias, como concepções e
que é um recorte do currículo e apresenta as
objetivos educacionais compartilhados. Desta
habilidades definidas para serem avaliadas. No
forma, o estado visa a desenvolver o processo de
Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais
ensino-aprendizagem em seu sistema educacional
(PCN) para o Ensino Fundamental e para o Ensino
com qualidade, atendendo às particularidades de
Médio, publicados, respectivamente, em 1997 e
seus alunos. Pensando nisso, foi criada uma Matriz
em 2000, visam à garantia de que todos tenham,
de Referência específica para a realização da
mesmo em lugares e condições diferentes, acesso
avaliação em larga escala do Sadeam.
da
autonomia
Amazonas
garantida
apresentam
legalmente
conteúdos
com
a conhecimentos considerados essenciais para o
16 exercício da cidadania. Cada estado, município e
A Matriz de Referência tem, entre seus fundamentos,
escola tem autonomia para elaborar seu próprio
os conceitos de competência e habilidade. A
currículo, desde que atenda a essa premissa.
COMPETÊNCIA corresponde a um grupo de
habilidades que operam em conjunto para a obtenção
de escolaridade avaliado e por serem passíveis
de um resultado, sendo cada HABILIDADE entendida
de medição por meio de testes padronizados
como um “saber fazer”.
de desempenho, compostos, na maioria das
vezes, apenas por itens de múltipla escolha. Há,
Por exemplo, para adquirir a carteira de motorista
também, outras habilidades necessárias ao pleno
para dirigir automóveis é preciso demonstrar
desenvolvimento do aluno que não se encontram na
competência na prova escrita e competência na
Matriz de Referência por não serem compatíveis com
prova prática específica, sendo que cada uma
o modelo de teste adotado. No exemplo acima, pode-
delas requer uma série de habilidades.
se perceber que a competência na prova escrita
para habilitação de motorista inclui mais habilidades
A
competência
na
prova
escrita
demanda
algumas habilidades, como: interpretação de
que podem ser medidas em testes padronizados do
que aquelas da prova prática.
texto, reconhecimento de sinais de trânsito,
memorização, raciocínio lógico para perceber
A avaliação em larga escala pretende obter
quais regras de trânsito se aplicam a uma
informações gerais, importantes para se pensar a
determinada situação etc.
qualidade da educação, porém, ela só será uma
ferramenta para esse fim se utilizada de maneira
A competência na prova prática específica, por
coerente, agregando novas informações às já obtidas
sua vez, requer outras habilidades: visão espacial,
por professores e gestores nas devidas instâncias
leitura dos sinais de trânsito na rua, compreensão
educacionais, em consonância com a realidade local.
do funcionamento de comandos de interação
com o veículo, tais como os pedais de freio e de
CARTEIRA DE
O
HABILITAÇÃ
acelerador etc.
É importante ressaltar que a Matriz de Referência
não abarca todo o currículo; portanto, não deve ser
confundida com ele nem utilizada como ferramenta
para a definição do conteúdo a ser ensinado em
sala de aula. As habilidades selecionadas para
AUTO
ESCOLA
a composição dos testes são escolhidas por
serem consideradas essenciais para o período
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 17
MATRIZ DE REFERÊNCIA DE Matemática
Ensino Médio Regular e EJA
Elementos que compõem a Matriz
Matriz de Referência - SADEAM - Matemática - 1ª série eM regular
TEMA
TEMA/
TÓPICO/
DOMÍNIO
Agrupam por
afinidade um conjunto
de habilidades
indicadas pelos
descritores.
I -Espaço
e Forma
II -GRANDEZAS E
MEDIDAS
III -NÚMEROS E
OPERAÇÕES/
ÁLGEBRA E
FUNÇÕES
DESCRITOR
HABILIDADE
D1
Resolver problemas que envolvam a localização de pontos no plano cartesiano.
D2
Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões entre os lados de um triângulo retângulo.
D3
Resolver problemas envolvendo a lei dos senos e dos cossenos.
D4
Relacionar figuras tridimensionais às suas planificações
D5
Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.
D6
Utilizar relações e /ou razões trigonométricas do triângulo retângulo para resolver problemas.
D7
Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas.
D8
Resolver problemas utilizando as propriedades dos polígonos ( soma dos ângulos internos, números de
diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares)
D9
Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.
D10
Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D11
Resolver problema envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas.
D12
Resolver problema envolvendo noção de volume.
D13
Reconhecer números reais representados em diferentes contextos.
D14
Reconhecer intervalos de crescimento/decrescimento, ponto(s) de máximo/mínimo, e/ou zeros de
funções reais representadas em um gráfico.
D15
Identificar a representação algébrica ou gráfica que modela uma situação descrita em um texto.
D16
D17
D18
Resolver problemas com números reais, envolvendo os diferentes significados das operações (adição,
subtração, multipliação, divisão e potenciação)
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função do 1⁰ grau, conhecendo alguns de seus
elementos.
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função do 2⁰ grau, conhecendo alguns de
seus elementos.
Descritores
D19
Associar o gráfico de uma função exponencial à sua representação algébrica ou vice-versa.
D20
Resolver problemas que envolvam porcentagem.
Os descritores associam
o conteúdo curricular a
operações cognitivas,
indicando as habilidades
que serão avaliadas por
meio de um item.
(M090202B1) Para confeccionar 1 000 mL de refrigerante no sabor laranja, a Indústria Refrigerante
Colorido utiliza as quantidades de ingredientes como mostra o gráfico abaixo.
item
100
Para fabricar 3 000 mL de refrigerante sabor laranja, as quantidades, em mL, utilizadas de suco
natural, água e corante são, respectivamente,
A) 1 350, 1 050 e 600.
B) 900, 700 e 400.
C) 600, 1 050 e 1 350.
D) 400, 700 e 900.
18 O item é uma questão
utilizada nos testes de uma
avaliação em larga escala e
se caracteriza por avaliar uma
única habilidade indicada
por um descritor da Matriz
de Referência.
Matriz de Referência - SADEAM - Matemática - 1ª série eM regular
TEMA
I -Espaço
e Forma
II -GRANDEZAS E
MEDIDAS
DESCRITOR
D1
Resolver problemas que envolvam a localização de pontos no plano cartesiano.
D2
Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões entre os lados de um triângulo retângulo.
D3
Resolver problemas envolvendo a lei dos senos e dos cossenos.
D4
Relacionar figuras tridimensionais às suas planificações
D5
Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.
D6
Utilizar relações e /ou razões trigonométricas do triângulo retângulo para resolver problemas.
D7
Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas.
D8
Resolver problemas utilizando as propriedades dos polígonos ( soma dos ângulos internos, números de
diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares)
D9
Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.
D10
Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D11
Resolver problema envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas.
D12
Resolver problema envolvendo noção de volume.
D13
Reconhecer números reais representados em diferentes contextos.
D14
Reconhecer intervalos de crescimento/decrescimento, ponto(s) de máximo/mínimo, e/ou zeros de
funções reais representadas em um gráfico.
D15
Identificar a representação algébrica ou gráfica que modela uma situação descrita em um texto.
D16
D17
D18
III -NÚMEROS E
OPERAÇÕES/
ÁLGEBRA E
FUNÇÕES
Resolver problemas com números reais, envolvendo os diferentes significados das operações (adição,
subtração, multipliação, divisão e potenciação)
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função do 1⁰ grau, conhecendo alguns de seus
elementos.
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função do 2⁰ grau, conhecendo alguns de
seus elementos.
D19
Associar o gráfico de uma função exponencial à sua representação algébrica ou vice-versa.
D20
Resolver problemas que envolvam porcentagem.
D21
Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
D22
Determinar a solução de um sistema de equações do 1⁰ grau.
D23
Resolver problemas que envolvam função do 1º grau
D24
Resolver problemas reconhecendo a progressão aritmética como uma função do 1º grau definida no
conjunto dos números inteiros positivos.
D25
Resolver problemas que envolvam função do 2º grau.
D26
Resolver problemas envolvendo função exponencial.
D27
Associar o gráfico de uma função logaritmica à sua representação algébrica ou vice-versa.
D28
Resolver problemas envolvendo função logaritmica.
D29
Resolver problemas que envolvam progressões aritméticas ou geométricas.
D30
IV- TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO
HABILIDADE
D31
Determinar no ciclo trigonométrico os valores de seno, cosseno e tangente de um arco no intervalo (0,
2π)
Resolver problemas envolvendo interpretação de informações apresentadas em tabelas ou diferentes
tipos de gráficos.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 19
Matriz de Referência - SADEAM - MATEMÁTICA 3ª série em REGULAR E EJA
Espaço e Forma
D1
Identificar a planificação de um poliedro ou corpo redondo.
D2
Reconhecer triângulos semelhantes usando os critérios de semelhança.
D3
Determinar a equação de uma reta no plano cartesiano.
D4
Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas.
D5
Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
D6
Resolver problemas que envolvam a localização de pontos no plano cartesiano.
D7
Calcular o número de faces (ou arestas, ou vértices) de um poliedro, usando a relação de Euler.
D8
Resolver problemas que envolvam a distância entre dois pontos do plano cartesiano.
GRANDEZAS E MEDIDAS
D9
Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D10
Resolver problemas envolvendo medidas de grandezas.
D11
Resolver problema envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas.
D12
Resolver problema envolvendo a área lateral ou total de um sólido.
D13
Resolver problemas que envolvam volume de um sólido (Prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
Números e Operações/Álgebra e Funções
D14
Reconhecer números reais representados em diferentes contextos.
D15
Reconhecer intervalos de crescimento/decrescimento, ponto(s) de máximo/mínimo, e/ou zeros de funções reais
representadas em um gráfico.
D16
Identificar a expressão algébrica de 1º e 2º grau que modela uma situação descrita em um texto.
D17
Identificar a representação algébrica de uma função do 1º grau, conhecendo alguns de seus elementos.
D18
Associar a solução de um sistema de equações lineares com 2 incógnitas à sua representação gráfica.
D19
Resolver problemas que envolvam porcentagem.
D20
Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
D21
Resolver problemas que envolvam progressões aritméticas ou geométricas.
D22
Resolver problemas que envolvam função do 1º grau.
D23
Resolver problemas reconhecendo a progressão aritmética como uma função do 1º grau definida no conjunto dos
números inteiros positivos.
D24
Resolver problemas envolvendo função do 2º grau.
D25
Resolver problemas envolvendo função exponencial.
D26
Resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples
e/ou combinações simples.
D27
Resolver problemas que envolvam sistemas de equações lineares.
D28
Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do primeiro grau.
D29
Resolver problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.
Tratamento da Informação
20 D30
Determinar medidas de tendência central (média, moda, mediana) em uma distribuição amostral.
D31
Resolver problemas envolvendo interpretação de informações apresentadas em tabelas ou gráficos.
D32
Resolver problemas que envolvam a noção de média aritmética.
TEORIA DE RESPOSTA AO ITEM (TRI)
A Teoria de Resposta ao Item (TRI) é, em termos gerais, uma forma de analisar e avaliar os resultados
obtidos pelos alunos nos testes, levando em consideração as habilidades demonstradas e os graus de
dificuldade dos itens, permitindo a comparação entre testes realizados em diferentes anos.
Ao realizarem os testes, os alunos obtêm um determinado nível de desempenho nas habilidades testadas.
Esse nível de desempenho denomina-se PROFICIÊNCIA.
A TRI é uma forma de calcular a proficiência alcançada, com base em um modelo estatístico capaz de
determinar um valor diferenciado para cada item que o aluno respondeu em um teste padronizado de
múltipla escolha. Essa teoria leva em conta três parâmetros:
• Parâmetro "A"
A capacidade de um item de discriminar, entre os alunos avaliados, aqueles que desenvolveram as
habilidades avaliadas daqueles que não as desenvolveram.
• Parâmetro "B"
O grau de dificuldade dos itens: fáceis, médios ou difíceis. Os itens estão distribuídos de forma equânime
entre os diferentes cadernos de testes, possibilitando a criação de diversos cadernos com o mesmo grau
de dificuldade.
• Parâmetro "C"
A análise das respostas do aluno para verificar aleatoriedade nas respostas: se for constatado que ele
errou muitos itens de baixo grau de dificuldade e acertou outros de grau elevado – o que é estatisticamente
improvável, o modelo deduz que ele respondeu aleatoriamente às questões.
O Sadeam utiliza a TRI para o cálculo de acerto do aluno. No final, a proficiência não depende apenas
do valor absoluto de acertos, depende também da dificuldade e da capacidade de discriminação das
questões que o aluno acertou e/ou errou. O valor absoluto de acertos permitiria, em tese, que um aluno
que respondeu aleatoriamente tivesse o mesmo resultado que outro que tenha respondido com base em
suas habilidades. O modelo da TRI evita essa situação e gera um balanceamento de graus de dificuldade
entre as questões que compõem os diferentes cadernos e as habilidades avaliadas em relação ao contexto
escolar. Esse balanceamento permite a comparação dos resultados dos alunos ao longo do tempo e entre
diferentes escolas.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 21
COMPOSIÇÃO DOS CADERNOS
PARA A AVALIAÇÃO
= 1 item
No Ensino Médio Regular e EJA em Língua
Portuguesa e Matemática, são 90 itens,
divididos em 9 blocos, com 10 itens cada.
iiiiiiii iiiiiiii
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Língua Portuguesa
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Matemática
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CADERNO
iiiiiiiiii
iiiiiiiiiii
4 blocos formam um caderno, totalizando
40 itens, sendo 20 itens de Língua
Portuguesa e 20 itens de Matemática.
22 Ao todo, são 36 modelos
diferentes de cadernos.
INTERVALOS DA ESCALA DE PROFICIÊNCIA
Detalhamento das habilidades presentes nos níveis de proficiência
até 300 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Resolver problemas de cálculo de área com base na contagem das unidades de uma
malha quadriculada.
• Localizar objeto em um referencial de malha quadriculada a partir de suas coordenadas.
• Resolver problema com números naturais de até dois algarismos, envolvendo diferentes
significados da adição.
De 300 a 350 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Calcular adição com números naturais de três algarismos, com reserva.
• Reconhecer a decomposição de um número considerando o seu valor posicional na base decimal.
• Reconhecer o valor posicional dos algarismos em números naturais.
• Localizar números naturais (informados) na reta numérica.
• Ler informações em tabela de coluna única.
• Identificar quadriláteros.
De 350 a 400 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Identificar a localização de um número natural representado por um ponto especificado da reta
numérica graduada em intervalos unitários.
• Identificar figuras planas a partir de sua imagem pelos lados e pelo ângulo reto.
• Identificar a forma ampliada de uma figura simples em uma malha quadriculada.
• Calcular o resultado de uma subtração com números de até quatro algarismos, com reserva.
• Reconhecer composição e decomposição de números naturais em dezenas e unidades,
considerando o seu valor posicional na base decimal.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 23
• Efetuar multiplicação com reserva, tendo por multiplicador um número com um algarismo.
• Ler informações em tabelas de dupla entrada.
• Resolver problemas: relacionando diferentes unidades de uma mesma medida para cálculo de
intervalos (dias e semanas, horas e minutos) e de comprimento (m e cm); e envolvendo soma
de números naturais ou racionais na forma decimal, constituídos pelo mesmo número de casas
decimais e por até três algarismos.
• Interpretar um gráfico de colunas, por meio da leitura de valores do eixo vertical.
• Reconhecer a planificação de um cone e de um cubo a partir de sua imagem.
De 400 a 450 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Identificar localização ou movimentação de objetos em representações gráficas, com base em
referencial diferente da própria posição.
• Interpretar dados num gráfico de colunas por meio da leitura de valores no eixo vertical.
• Estabelecer relações entre medidas de tempo (horas, dias, semanas) e efetuar cálculos utilizando as
operações a partir delas.
• Calcular resultado de subtrações mais complexas com números naturais de quatro algarismos e
com reserva.
• Efetuar multiplicações com números de dois algarismos e divisões exatas por números de
um algarismo.
• Diferenciar, entre os diversos sólidos, os que têm superfícies arredondadas.
• Reconhecer o princípio do valor posicional do sistema de numeração decimal.
• Decompor um número natural em suas ordens e vice-versa.
• Resolver problemas simples envolvendo as operações, usando dados apresentados em gráficos ou
tabelas, inclusive com duas entradas.
• Resolver problema de subtração de números racionais escritos na forma decimal com o mesmo
número de casas decimais.
• Identificar gráfico (barra/coluna) correspondente a uma tabela e vice-versa.
• Localizar um ponto no plano cartesiano a partir de suas coordenadas apresentadas através de um
par ordenado.
• Identificar o gráfico de setor correspondente a uma tabela e vice-versa.
24 De 450 a 500 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Reconhecer a lei de formação de uma sequência de números naturais, com auxílio de
representação na reta numérica.
• Identificar os lados e, conhecendo suas medidas, calcular a extensão do contorno de uma figura
poligonal dada em uma malha quadriculada.
• Identificar propriedades comuns e diferenças entre sólidos geométricos (número de faces).
• Resolver uma divisão exata por número de até dois algarismos e uma multiplicação cujos fatores
são números de até dois algarismos.
• Localizar informações em gráficos de colunas duplas.
• Resolver problemas que envolvem a interpretação de dados apresentados em gráficos de barras ou
em tabelas.
• Ler gráficos de setores.
• Identificar o número natural que é representado por um ponto especificado da reta numérica
graduada em intervalos.
• Identificar figuras planas, dentre um conjunto de polígonos, pelo número de lados.
• Identificar quadriláteros pelas características de seus lados e ângulos.
• Calcular o perímetro de figuras sem o apoio de malhas quadriculadas.
• Identificar gráfico de colunas que corresponde a uma tabela com números positivos e negativos.
• Localizar dados em tabelas de múltiplas entradas.
De 500 a 550 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Calcular expressão numérica (soma e subtração), envolvendo o uso de parênteses e colchetes.
• Calcular o resultado de uma divisão por um número de dois algarismos, inclusive com o resto.
• Identificar algumas características de quadriláteros relativas aos lados e ângulos.
• Identificar planificações de um cubo e de um cilindro dada em situação contextualizada (lata de
óleo, por exemplo).
• Reconhecer alguns polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos) e círculos.
• Reconhecer que a medida do perímetro de um polígono, em uma malha quadriculada, dobra ou se
reduz à metade, quando os lados dobram ou são reduzidos à metade.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 25
• Calcular porcentagens simples.
• Localizar números racionais na forma decimal na reta numérica.
• Reconhecer o gráfico de colunas correspondente a dados apresentados de forma textual.
• Identificar o gráfico de colunas correspondente a um gráfico de setores.
• Resolver problemas de contagem em uma disposição retangular envolvendo mais de
uma operação.
• Identificar a planificação de um cubo e de um cilindro em situação contextualizada.
• Reconhecer e efetuar cálculos com ângulos retos e não retos.
• Localizar números inteiros e números racionais, positivos e negativos, na forma decimal, na
reta numérica.
•
Resolver problemas:
»»
realizando cálculo de conversão de medidas: de tempo (horas/ minutos e dias/anos), de
temperatura (identificando sua representação numérica na forma decimal), comprimento (m/km)
e de capacidade (mL/L);
»»
de soma, envolvendo combinações, e de multiplicação, envolvendo configuração retangular em
situações contextualizadas.
De 550 a 600 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Identificar as posições dos lados de quadriláteros (paralelismo).
• Identificar poliedros e corpos redondos, relacionando-os às suas planificações.
• Resolver problemas que envolvem proporcionalidade requerendo mais de uma operação.
• Reconhecer diferentes planificações de um cubo.
• Calcular a medida do contorno (ou perímetro) de uma figura geométrica irregular formada por
quadrados justapostos desenhada em uma malha quadriculada.
• Localizar pontos no plano cartesiano.
• Identificar as coordenadas de pontos plotados no plano cartesiano.
• Identificar equações e sistemas de equações de primeiro grau que permitem resolver problemas.
• Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica simples.
• Reconhecer o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo
(com valores positivos e negativos).
26 • Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, incluindo potenciação.
• Identificar a localização aproximada de números inteiros não ordenados em uma reta cuja escala
não é unitária.
• Solucionar problemas de cálculo de área com base em informações sobre os ângulos de
uma figura.
• Resolver problemas envolvendo o cálculo de uma porcentagem de uma quantidade inteira.
• Identificar as raízes de uma função real através do gráfico dessa função.
•
Resolver problemas:
»»
estimando medidas de grandezas, utilizando unidades convencionais (L);
»»
simples de contagem, envolvendo o princípio multiplicativo;
»»
utilizando o conceito de progressão aritmética (P.A.), calculam uma probabilidade simples.
De 600 a 650 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Realizar conversão e soma de medidas de comprimento e massa (m/km e g/kg).
• Identificar elementos de figuras tridimensionais.
• Calcular o volume de sólidos a partir da medida de suas arestas.
• Ordenar e comparar números inteiros negativos e localizar números decimais negativos com o
apoio da reta numérica.
• Identificar a equação do primeiro grau adequada para a solução de um problema.
•
Solucionar problemas:
»»
envolvendo propriedades dos polígonos regulares inscritos (hexágono), para calcular o
seu perímetro;
»»
envolvendo porcentagens diversas e suas representações na forma decimal;
»»
envolvendo o cálculo de grandezas diretamente proporcionais e a soma de números inteiros.
• Identificar crescimento e decrescimento em um gráfico de função.
• Calcular o resultado de uma divisão em partes proporcionais e conseguem identificar o termo
seguinte em uma sequência dada (P.G.).
• Resolver problema envolvendo o cálculo de volume de um sólido geométrico.
• Resolver problema envolvendo o cálculo de um valor assumido por uma função afim.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 27
De 650 a 700 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Calcular a ampliação, a redução ou a conservação da medida (informada inicialmente) de ângulos,
lados e área de figuras planas.
• Localizar pontos em um referencial cartesiano.
•
Resolver problemas:
»»
envolvendo o teorema sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo.
»»
envolvendo variação proporcional entre mais de duas grandezas.
»»
envolvendo porcentagens diversas e suas representações na forma fracionária (incluindo
noção de juros simples e lucro).
»»
de adição e multiplicação, envolvendo a identificação de um sistema de equações do primeiro
grau com duas variáveis.
Além disso, eles conseguem:
• Classificar ângulos em agudos, retos ou obtusos de acordo com suas medidas em graus.
• Realizar operações e estabelecer relações utilizando os elementos de um círculo ou circunferência
(raio, diâmetro, corda).
• Identificar a inequação do primeiro grau adequada para a solução de um problema.
• Calcular expressões numéricas com números inteiros e decimais positivos e negativos.
• Solucionar problemas em que a razão de semelhança entre polígonos é dada, por exemplo, em
representações gráficas envolvendo o uso de escalas.
• ler informações fornecidas em gráficos envolvendo regiões do plano cartesiano.
• Analisar gráficos de colunas representando diversas variáveis, comparando seu crescimento.
• Resolver problema contextualizado cuja modelagem recai em uma equação do primeiro grau.
• Calcular a medida do perímetro de um polígono formado pela justaposição de figuras geométricas.
• Identificar as coordenadas de três pontos, plotados no plano cartesiano, sendo dois deles
pertencentes a eixos coordenados.
Neste nível, os alunos também:
• Calculam o valor numérico de uma função e conseguem identificar uma função do 1° grau
apresentada em uma situação-problema; identificar o gráfico de uma reta, dada sua equação;
calcular a probabilidade de um evento em um problema simples.
• Resolvem problema envolvendo o cálculo da posição de um termo em uma progressão aritmética.
28 De 700 a 750 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Resolver problemas envolvendo ângulos, inclusive utilizando a lei angular de Tales e aplicando o
teorema de Pitágoras.
• Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais,
relacionando as últimas às suas planificações.
• Identificar o sólido que corresponde a uma planificação dada;
• Reconhecer a proporcionalidade entre comprimentos em figuras relacionadas por ampliação
ou redução.
• Calcular volume de paralelepípedo.
• Calcular o perímetro de polígonos sem o apoio de malhas quadriculadas.
• Calcular ângulos centrais em uma circunferência dividida em partes iguais.
• Calcular o resultado de expressões envolvendo, além das quatro operações, números decimais
(positivos e negativos, potências e raízes exatas).
• Efetuar cálculos de divisão com números racionais (forma fracionária e decimal, simultaneamente).
• Calcular expressões com numerais na forma decimal com quantidades de casas diferentes.
• Obter a média aritmética de um conjunto de valores.
• Analisar um gráfico de linhas com sequência de valores.
• Determinar a razão de semelhança entre dois triângulos, com apoio das figuras.
• Determinar as coordenadas de um ponto de intersecção de duas retas.
• Resolver uma equação exponencial por fatoração de um dos membros.
• Identificar os zeros de uma função quadrática através do gráfico dessa função.
•
Resolver problemas:
»»
utilizando propriedades dos polígonos (número de diagonais, soma de ângulos internos, valor
de cada ângulo interno ou externo), inclusive por meio de equação do 1º grau;
»»
envolvendo o cálculo da área lateral de um prisma triangular;
»»
envolvendo a conversão de metro quadrado em litro;
»»
que recaem em equação do 2º grau;
»»
de juros simples;
»»
usando sistema de equações do primeiro grau.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 29
De 750 a 800 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Calcular o número de diagonais de um polígono.
• Resolver problemas utilizando propriedades de triângulos e quadriláteros.
• Utilizar propriedades de polígonos regulares.
• Calcular a área de figuras simples (triângulo, paralelogramo, retângulo, trapézio).
• Aplicar as propriedades da semelhança de triângulos na resolução de problemas.
• Reconhecer que a área de um retângulo quadruplica quando seus lados dobram.
• Resolver problemas envolvendo círculos concêntricos.
• Resolver problemas com números inteiros positivos e negativos não explícitos com sinais.
• Localizar frações na reta numérica.
• Resolver problemas envolvendo relações métricas no triângulo retângulo.
• Identificar a forma fatorada de um polinômio do segundo grau.
Eles ainda:
• Usam as razões trigonométricas para resolver problemas simples.
• Conhecem e utilizam a nomenclatura do plano cartesiano (abscissa, ordenada, quadrantes) e
conseguem encontrar o ponto de interseção de duas retas.
• Identificam a função linear ou afim que traduz a relação entre os dados em uma tabela.
• Resolvem problemas envolvendo funções afins e resolvem uma equação do 1° grau que requer
manipulação algébrica.
• Resolvem expressões envolvendo módulo.
• Resolvem equações exponenciais simples.
• Identificam no gráfico de uma função, intervalos em que os valores são positivos ou negativos e os
pontos de máximo ou mínimo.
• Reconhecem o grau de um polinômio, identificam suas raízes na forma fatorada e os fatores do
primeiro grau de um polinômio dado.
• Distinguem progressões aritméticas de geométricas.
• Determinam a solução de um sistema de equações lineares com três incógnitas e três equações.
• Identificam a equação reduzida de uma reta a partir de dois de seus pontos.
• Resolvem problemas de contagem envolvendo permutação e calculam a probabilidade de um
evento, usando o princípio multiplicativo para eventos independentes.
30 acima De 800 pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
Neste nível, os alunos do Ensino Médio conseguem:
• Reconhecer a proporcionalidade dos elementos lineares de figuras semelhantes.
• Aplicar o teorema de Pitágoras em figuras espaciais.
• R
esolver problemas envolvendo o ponto médio de um segmento e calculam a distância de dois
pontos no plano cartesiano.
• R
econhecer a equação de uma reta tanto a partir do conhecimento de dois de seus pontos quanto
a partir do seu gráfico.
• Determinar o ponto de interseção de uma reta, dada por sua equação, com os eixos.
• Calcular a área total de uma pirâmide regular.
• Calcular o volume de um cilindro.
• Identificar a expressão algébrica que está associada à regularidade observada em uma sequência
de figuras.
• R
econhecer que o produto de dois números entre 0 e 1 é menor que cada um deles (interpretam o
comportamento de operações com números reais na reta numérica).
• Aplicar proporcionalidade inversa.
• A
ssociar o sinal do coeficiente angular ao crescimento/decrescimento de uma função afim e
interpretam geometricamente o coeficiente linear.
• A
ssociar as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações lineares e
o resolvem.
• Utilizar a definição de P.A. e P.G. para resolver um problema.
• R
econhecer uma função exponencial dado o seu gráfico e vice-versa e aplicam a definição
de logaritmo.
• Distinguir funções exponenciais crescentes e decrescentes.
• Resolver problemas simples envolvendo funções exponenciais.
• Reconhecer gráficos de funções trigonométricas (sen, cos) e o sistema associado a uma matriz.
• R
esolver problemas de contagem mais sofisticados, usando o princípio multiplicativo e
combinações simples.
• Calcular as raízes de uma equação polinomial fatorada como o produto de um polinômio de 1º grau
por outro de 2º grau.
• Identificar a representação algébrica de uma função do 1º grau, dado o coeficiente linear e a
imagem de um ponto.
• Determinar a mediana de uma distribuição amostral simples.
• Utilizar a relação de Euler para determinar o número de faces vértices e arestas.
• Identificar a representação algébrica de uma função do 1º grau, dado o coeficiente linear e as
coordenadas de um ponto da reta.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 31
Abaixo do Básico
Básico
Proficiente
Avançado
PADRÕES DE DESEMPENHO ESTUDANTIL
Os Padrões de Desempenho são categorias
necessárias ao sucesso escolar, evitando, assim, a
definidas a partir de cortes numéricos que
repetência e a evasão.
agrupam os níveis de proficiência, com base nas
metas educacionais estabelecidas pelo Sadeam.
Por outro lado, estar no Padrão mais elevado
Esses cortes dão origem a quatro Padrões
indica o caminho para o êxito e a qualidade da
de Desempenho – Abaixo do Básico, Básico,
aprendizagem dos alunos. Contudo, é preciso
Proficiente e Avançado –, os quais apresentam o
salientar que mesmo os alunos posicionados no
perfil de desempenho dos alunos.
Padrão mais elevado precisam de atenção, pois é
necessário estimulá-los para que progridam cada
Desta forma, alunos que se encontram em um
vez mais.
Padrão de Desempenho abaixo do esperado para
sua etapa de escolaridade precisam ser foco de
São apresentados, a seguir, exemplos de itens*
ações pedagógicas mais especializadas, de modo
característicos de cada Padrão.
a garantir o desenvolvimento das habilidades
*O percentual de respostas em branco e
nulas não foi contemplado na análise.
Além disso, as competências e habilidades agrupadas nos Padrões não esgotam tudo aquilo que os alunos
desenvolveram e são capazes de fazer, uma vez que as habilidades avaliadas são aquelas consideradas essenciais
em cada etapa de escolarização e possíveis de serem avaliadas num teste de múltipla escolha. Cabe aos
docentes, através de instrumentos de observação e registro utilizados em sua prática cotidiana, identificarem outras
características apresentadas por seus alunos que não são contempladas pelos Padrões. Isso porque, a despeito dos
traços comuns a alunos que se encontram em um mesmo intervalo de proficiência, existem diferenças individuais
que precisam ser consideradas para a reorientação da prática pedagógica.
32 Abaixo do Básico
1ª Série do Ensino Médio
até 450 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
Neste Padrão de Desempenho as habilidades matemáticas que se evidenciam são as relativas aos
significados dos números nos diversos contextos sociais.
Constata-se que neste Padrão esses alunos reconhecem um número maior de figuras bidimensionais,
além de identificar a localização e movimentação de objetos em representações do espaço, tomando
como referência a própria posição.
No campo Grandezas e medidas, esses alunos determinam a medida da área de uma figura poligonal
construída sobre uma malha quadriculada, demonstrando também coordenarem as ações de contar,
bem como estabelecem relações entre as unidades de medidas de comprimento (metro e centímetro) e
entre as unidades de medida de tempo.
No campo Numérico, eles demonstram compreender os algoritmos da adição, subtração e multiplicação,
além de reconhecer e utilizar características do Sistema de Numeração Decimal, tais como princípio do
valor posicional, escrita por extenso de números e sua composição ou decomposição em dezenas e
unidades. Eles, também, identificam na reta numérica esses números.
Percebemos ainda neste Padrão que os alunos já demonstram conhecimentos básicos relativos à
Literacia Estatística. Eles conseguem ler e interpretar informações elementares e explícitas em um gráfico
de colunas, por meio da leitura de valores do eixo vertical, além de identificar um determinado gráfico de
barras (ou colunas) com a tabela de dados correspondentes e vice-versa.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 33
Básico
1ª Série do Ensino Médio
de 450 a 550 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
Neste Padrão de Desempenho, constata-se uma ampliação
das habilidades relativas aos quatro campos da Matemática
(Geométrico, Medidas, Numérico e Tratamento da informação).
No campo Geométrico, esses alunos identificam propriedades
comuns e diferenças entre sólidos geométricos (número de
faces); identificam a localização ou movimentação de objetos em
representações gráficas, situadas em referencial diferente da
própria posição; identificam quadriláteros pelas características de
seus lados e ângulos; identificam planificações de um cubo e de
um cilindro dada em uma situação contextualizada; reconhecem e
efetuam cálculos com ângulos retos e não retos, além de associarem
uma trajetória representada em um mapa à sua descrição textual
e reconhecer alguns polígonos e o círculo. Esses alunos também
identificam pontos no plano cartesiano, dado o par ordenado.
No que tange os conhecimentos relativos a Grandezas e medidas,
os alunos deste Padrão determinam a medida do perímetro de
figuras em malhas quadriculadas, mas avançam na direção de
calcular essa medida para figuras sem o apoio da malha. Também
realizam conversões entre metros e quilômetros; comparam
áreas de figuras poligonais em malhas quadriculadas, mas não
conseguem determinar a medida da área de uma figura sem
34 o apoio da malha. No trabalho com capacidade, estabelecem
relações entre litros e mililitros, mas ainda não conseguem resolver
problemas envolvendo a ideia de volume. Em relação à grandeza
tempo, esses alunos realizam transformações entre as unidades
de medida de tempo (dias, meses, anos); determinam intervalos de
tempo e realizam cálculos simples com essas medidas.
Neste Padrão os alunos demonstram atribuir significado ao conjunto
dos números racionais. Eles compreendem o significado de fração;
localizam números racionais na forma decimal na reta numérica;
resolvem problemas envolvendo porcentagem e subtração de
decimais em diversos contextos sociais, além de demonstrarem
uma maior compreensão das ações operatórias envolvendo o
algoritmo da divisão e da multiplicação de números naturais de até
dois algarismos.
Ainda neste Padrão, os alunos localizam dados em tabelas
de múltiplas entradas e leem dados em gráficos de setores,
demonstrando um ganho neste Padrão em relação ao Padrão
anterior. Além disso, com a compreensão da relação existente
entre dados e informações, são capazes de resolver problemas
que envolvem a interpretação de dados apresentados em gráficos
de barra ou em tabelas.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 35
(M090327C2) Para transportar seu bichinho de estimação, Carolina construiu com o seu pai uma casinha
conforme o desenho abaixo.
A forma que melhor representa a planificação dessa casinha é
A)
B)
C)
36 D)
Este item avalia se os alunos sabem "relacionar uma figura espacial
dada com sua possível planificação". Este conhecimento envolve
A
B
C
D
6,6%
20,7%
18,3%
53,4%
a habilidade de visualização (processo mental) e ainda noções
relativas aos elementos constituintes da figura dada.
Os 53,4% que optaram pela alternativa D (correta), reconheceram a
figura como um prisma pentagonal – consideraram as duas bases
pentagonais e os cinco retângulos que formam a lateral do prisma.
A alternativa A foi procurada por 6,6% dos alunos. Estes consideraram
que a figura possui apenas uma base pentagonal e a superfície
lateral formada por cinco retângulos.
53+47
percentual
de acerto
53,4%
Do total de alunos avaliados, 20,7% optaram pela alternativa B,
visualizando corretamente a planificação da lateral do prisma, mas
errando no posicionamento dos pentágonos da base, não percebendo
que ficarão sobrepostos na reconstituição dessa casinha.
Apenas 18,3% de alunos optaram pela alternativa C, visualizando
corretamente a planificação das bases do prisma, mas errando na
planificação lateral, considerando somente quatro retângulos e
não cinco.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 37
(M090202B1) Para confeccionar 1 000 mL de refrigerante no sabor laranja, a Indústria Refrigerante Colorido
utiliza as quantidades de ingredientes como mostra o gráfico abaixo.
100
Para fabricar 3 000 mL de refrigerante sabor laranja, as quantidades, em mL, utilizadas de suco natural,
água e corante são, respectivamente,
A) 1 350, 1 050 e 600.
B) 900, 700 e 400.
C) 600, 1 050 e 1 350.
D) 400, 700 e 900.
38 Este item visa avaliar se os alunos possuem a habilidade de "resolver
problemas envolvendo dados apresentados por meio de um gráfico
A
B
C
D
45,2%
22,2%
19,9%
11,3%
de colunas".
Os 45,2% que escolheram a letra A, a alternativa correta,
possivelmente perceberam que as quantidades dos ingredientes
deveriam ser triplicadas, já que o volume de refrigerante também
está sendo triplicado, efetuando 450.3 = 1350 mL (suco), 350.3 =
1050 mL (água) e 200.3 = 600 mL (corante).
Os alunos que optaram pela alternativa B totalizaram 22,2% do
total avaliado. É provável que esses alunos tenham considerado
45+55
percentual
de acerto
45,2%
erroneamente que a quantidade de refrigerante foi duplicada (ao
invés de triplicada), e assim calcularam o dobro todos os ingredientes,
efetuando 450.2 = 900 mL (suco), 350.2 = 700 mL (água) e 200.2 =
400 mL (corante).
Do total de alunos, 19,9% optaram pela alternativa C. Talvez esses
alunos tenham calculado os valores corretamente, mas erraram ao
colocar as respostas fora da ordem solicitada no comando do item.
A alternativa D foi escolhida por 11,3% dos alunos. É possível que
eles tenham confundido e calculado o dobro das quantidades de
ingredientes, colocando ainda a resposta fora da ordem solicitada.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 39
Proficiente
1ª Série do Ensino Médio
de 550 a 650 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
As habilidades pertinentes ao campo Geométrico aparecem neste Padrão, demonstrando que os alunos
identificam elementos de figuras tridimensionais, resolvem problemas envolvendo as propriedades dos
polígonos regulares, além de identificarem figuras geométricas por meio das coordenadas cartesianas
de seus vértices, apoiadas em representações gráficas.
Os alunos demonstram também neste Padrão determinar a medida do perímetro de figuras em malhas
quadriculadas com ou sem esse suporte, inclusive com figuras compostas por outras figuras. Também
sabem determinar a medida do perímetro do hexágono regular, e estabelecem relações entre metros e
quilômetros. Conseguem determinar a medida da área de quadrados e retângulos, mas não de outras
figuras planas.
Em relação ao conceito de volume, esses alunos conseguem determinar a medida do volume do cubo
e do bloco retangular pela contagem de cubos ou pela multiplicação das medidas de suas arestas.
Fazem estimativas utilizando o litro como unidade e realizam conversões entre litro e mililitro e também
relacionam as unidades de massa: grama e quilograma.
Evidencia-se também neste Padrão uma expansão do campo Numérico. Os alunos localizados neste
Padrão de Desempenho demonstram compreender o significado de números racionais em situações
mais complexas, que exigem deles uma maior abstração em relação a esse conhecimento. Eles resolvem
problemas com números racionais envolvendo as operações aritméticas fundamentais, estabelecem
relações entre frações próprias e impróprias, além de resolverem problemas envolvendo porcentagem
ou o conceito de proporcionalidade. No que tange o conhecimento algébrico, os alunos neste Padrão
demonstram calcular o valor numérico de uma expressão algébrica e identificar equações e sistemas
de equações de primeiro grau que permite resolver um problema, e ainda, identificam as raízes de uma
função real, dado o gráfico dessa função.
O ganho desse nível no campo Tratamento da informação consiste basicamente na familiarização com
outros tipos de gráficos e não somente os de barras, de colunas ou de setores. O gráfico de linhas passa
a ser reconhecido como a forma gráfica mais apropriada para apresentar uma sequência de valores ao
longo do tempo. Esses alunos também determinam a moda de uma distribuição amostral simples.
40 (M120030ES) Uma doceira armazenou os doces que fez em uma caixa, dispondo-os em 7 camadas da seguinte
maneira: na primeira camada ela colocou 50 doces, na segunda camada colocou 45 doces, na terceira
camada 40 doces, e assim por diante.
Quantos doces, no total, essa doceira armazenou nessa caixa?
A) 490
B) 455
C) 315
D) 245
E) 135
Dados:
an = a1 + (n – 1) . r
Sn =
( a1 + an) $ n
2
Este item avalia a habilidade de "identificar uma progressão aritmética
(PA) no contexto de uma situação-problema" com vistas a calcular a
A
B
C
7%
11,2%
14,3%
D
E
33,2% 33,6%
soma de seus termos, sendo dadas as fórmulas do termo geral e da
soma dos n primeiros termos de uma PA.
Os alunos que escolheram, acertadamente, a alternativa D (33,2%)
resolveram este item calculando o sétimo termo da sequência, através
( )
da fórmula do termo geral a 7= 50 + 6 ⋅ −5 = 20 e, em seguida,
=
aplicando a fórmula da
soma: S 7
50 + 20 ) ⋅ 7
(=
2
245 doces.
É possível que os alunos que escolheram a letra A (7%) tenham
33+67
percentual
de acerto
33,2%
( )
encontrado o sétimo termo, fazendo a 7= 50 + 6 ⋅ −5 = 20 , e
errado ao aplicar a soma de todos os termos de uma PA, fazendo
S 7=
( 50 + 20 ) ⋅ 7=
490 doces.
Os 11,2% dos alunos que optaram pela alternativa B talvez tenham
encontrado corretamente o valor do último termo (a7), mas
erraram ao aplicar a soma de todos os termos da PA, fazendo
S 7=
( 50 + 20 ) ⋅ 7=
490 doces e também retiraram 35 doces, que
seria a quantidade da próxima camada, obtendo 455 doces.
Já os alunos que optaram pela alternativa C (14,3%), provavelmente,
calcularam corretamente os valores do sétimo termo da PA e da
soma dos termos, mas a esse último adicionaram a1 e a7, obtendo
245 + 50 + 20 = 315 doces.
Os 33,6% que escolheram a letra E devem ter calculado corretamente
o valor do sétimo termo, multiplicado esse valor pelas 7 camadas,
obtendo 140 e diminuindo a quantidade de doces que são reduzidos
a cada camada, calculando 140 - 5 = 135 doces.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 41
Um adulto gasta, em média, 15 litros de água para tomar banho.
Esse consumo de água corresponde a
A) 15 mL
B) 150 mL
C) 1 500 mL
D) 15 000 mL
(M090519ES)
Este item avalia se os alunos possuem a habilidade de "resolver
problemas envolvendo a transformação de unidades de volume",
A
B
C
D
14,2%
23,3%
28%
33,4%
neste caso litros para mililitros.
A alternativa correta é a letra D, escolhida por 33,4% dos alunos. Eles
consideraram 1 L = 1.000 mL e multiplicaram cada termo da igualdade
por 15, obtendo assim 15 L = 15.000 mL.
33+67
percentual
de acerto
33,4%
Os 14,2% que escolheram a letra A, presumivelmente, consideraram
1L = 1 mL, fazendo em seguida: 15 L = 15 mL.
Os alunos que optaram pela alternativa B formam 23,3% do total
avaliado. Esses alunos provavelmente consideraram 1L =10 mL e
operaram o produto de cada termo por 15, concluindo que 15 L =
150 mL.
Do total de alunos, 28% optaram pela alternativa C. Talvez estes
alunos tenham considerado que 1 L = 100 mL, multiplicando cada
termo da igualdade por 15 e, assim, obtendo 15 L = 1.500 mL.
42 Uma geladeira cujo preço de tabela é de 1 800 reais está sendo vendida, em uma promoção,
com 20% de desconto.
Por quanto está sendo vendida essa geladeira?
(M090679ES)
A) 360 reais.
B) 900 reais.
C) 1 440 reais.
D) 1 780 reais.
Este item visa avaliar se os alunos possuem a habilidade de "resolver
problemas envolvendo cálculo de porcentagem", neste caso
A
B
C
D
13,4%
16,4%
37,7%
31,2%
calculando o valor final de um produto, depois da incidência de um
desconto percentual.
Do total de alunos, 37,7% optaram pela alternativa C, a alternativa
correta. Estes alunos devem ter calculado corretamente 20% de 1.800
= 360 e efetuaram o desconto, operando 1800 - 360 = 1.440 reais.
Os 13,4% que escolheram a letra A, possivelmente, calcularam
somente os 20% de 1.800, obtendo 0,2 1.800 = 360 reais.
38+62
percentual
de acerto
37,7%
Os alunos que optaram pela alternativa B totalizaram 16,4% do total
avaliado. Esses alunos, provavelmente, consideraram que 20%
equivalem à metade do preço de tabela da geladeira, efetuando
1.800:2 = 900 reais.
A alternativa D foi escolhida por 31,2% dos alunos. É possível que
eles tenham considerado 20% = 20 reais e, em seguida, efetuado o
desconto, 1.800 - 20 = 1.780 reais.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 43
(M090022A8)
Pedro desenhou o pentágono regular abaixo e assinalou na figura um ângulo x.
Qual é a medida desse ângulo x?
A) 72°
B) 90°
C) 108°
D) 120°
Este item tem o objetivo de avaliar se os alunos possuem a habilidade
de "reconhecer a medida do ângulo externo de um pentágono
A
B
C
D
34%
46,7%
9,3%
9,1%
regular".
Do total de alunos avaliados, 34% escolheram a letra A (correta). Na
resolução deste item, pode-se calcular a soma dos ângulos internos
(
)
do pentágono, empregando a fórmula S n = n − 2 ⋅ 180 ° para
n = 5 e, em seguida, obter a media de um ângulo interno, dividindo
essa soma por 5 para, finalmente, obter a medida do suplemento
de um ângulo interno. Alternativamente, pode-se calcular a medida
do ângulo externo simplesmente dividindo 360°, que é a medida da
soma dos ângulos externos de um polígono, por 5, para se chegar
à medida 72.
Os alunos que optaram pela alternativa B totalizaram 46,7% do total
avaliado; possivelmente, não fizeram cálculos e analisaram apenas
0
visualmente, entendendo que a medida de x é 90 .
Do total de alunos avaliados, apenas 9,3% optaram pela alternativa
C. Talvez esses alunos tenham se confundido ao considerar x como
sendo o ângulo interno (ao invés de externo), e calcularam x= 180º.
A alternativa D foi escolhida por 9,1% dos alunos avaliados.
É possível que eles tenham considerado o pentágono como
hexágono, e ainda calculado a medida do ângulo interno, fazendo:
( 6 − 2 ) ⋅ 180 °=
44 6 120 ° .
4 ⋅ 180 ° = 720 ° e 720 ° ÷=
34+66
percentual
de acerto
34%
Avançado
1ª Série do Ensino Médio
acima de 650 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
As habilidades matemáticas características deste Padrão envolvem a resolução de problemas envolvendo
o campo Algébrico e Geométrico.
No campo Geométrico há um avanço significativo, os alunos resolvem problemas envolvendo: as relações
métricas do triângulo retângulo, propriedades dos polígonos regulares, Lei angular de Tales, triângulos
semelhantes usando os critérios de semelhança. Eles também identificam sólidos correspondentes a
uma planificação dada e reconhecem figuras geométricas por meio das coordenadas cartesianas de
seus vértices, sem o apoio de representação gráfica.
No que tange o campo Grandezas e medidas, eles, também conseguem determinar a medida da área
de quadrados e retângulos e de outras figuras planas, tais como triângulo, paralelogramo e trapézio. Em
relação ao conceito de volume, esses alunos conseguem determinar a medida do volume do cubo e
do paralelepípedo pela multiplicação das medidas de suas arestas, e realizam conversões entre metro
cúbico e litro.
Neste Padrão os alunos demonstram resolver problemas envolvendo equação do 2° grau; identificam
o gráfico de uma função quadrática dada a forma algébrica dessa função e os zeros de uma função
do 2º grau dado o seu gráfico, além de identificar a expressão algébrica correspondente ao gráfico de
uma função do 2º grau que possui uma única raiz real. Resolvem problemas envolvendo o sistema de
equações do 1° grau e modelagem de inequação do 1° grau e problemas envolvendo juros simples, além
de localizar frações na reta numérica. Esses alunos identificam o intervalo de decrescimento de uma
função afim definida por várias sentenças; identificam a representação algébrica de uma função do 1º
grau dado o coeficiente linear e as coordenadas de um ponto da reta ou o coeficiente linear e a imagem
de um ponto, bem como a razão correspondente ao seno ou a tangente de um ângulo, dados os lados
de um triângulo retângulo.
No nível Avançado, os alunos utilizam o raciocínio matemático de forma mais complexa, conseguindo
identificar e relacionar os dados apresentados em diferentes gráficos e tabelas para resolver problemas
ou fazer inferências. Analisam gráficos de colunas representando diversas variáveis e conseguem calcular
a média aritmética de um conjunto de valores e determinar a mediana de uma distribuição amostral
simples. Embora o cálculo da média aritmética requeira um conjunto de habilidades já desenvolvidas
pelos alunos em séries escolares anteriores, que utilizam, na prática, essa ideia para compor a nota
bimestral ou em outros contextos extra-escolares, esse conceito básico de estatística, combinado com o
raciocínio numérico, só é desempenhado pelos alunos neste nível.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 45
(M120413A9)
Resolva o sistema linear abaixo.
Z
]] x + y + z = 6
[y + z = 5
]
\ 2z = 6
A solução desse sistema é
A) {(3,2,1)}
B) {(1,8,– 3)}
C) {(1,1,4)}
D) {(1,2,3)}
E) {(5,2,– 3)}
Este item avalia a habilidade em "determinar o conjunto solução
de um sistema linear com três incógnitas e três equações", já
apresentado em linguagem matemática.
Os alunos que escolheram a alternativa D (22,4%), o gabarito,
resolveram o sistema, encontrando na última equação o valor de z =
3 e, por substituição, o valor de y, fazendo y = 5 – z→y = 2 e o valor
de x, efetuando x + 2 + 3 = 6→x = 1.
Ao marcar a alternativa A (27,1%), é possível que os alunos tenham
encontrado os valores de x, y e z corretamente, mas errado na
montagem do terno ordenado.
Os 15,5% dos alunos que optaram pela alternativa B, provavelmente,
erraram ao fazer 2z=6→z=6/(-2)→z=-3; y-3=5→y=8 e x+8-3=6→x=1.
Já os alunos que optaram pela alternativa C (17,1%), provavelmente
,efetuaram 2z=6→z=6-2→z=4; y=5-4→y=1 e x=6-4-1=1, encontrando a
seguinte resposta para a solução do sistema dado: (1, 1, 4).
Os alunos que optaram pela alternativa E (17,2%) podem ter efetuado
os seguintes cálculos: 2z=6→z=6/(-2)→z=-3; y+3=5→y=2 e x+23=6→x=6-1=5.
46 A
B
C
D
E
27,1%
15,5%
17,1%
22,4%
17,2%
22+78
percentual
de acerto
22,4%
(M120419A9)
Veja os pontos P, Q e R representados no plano cartesiano abaixo.
y
P
Q
x
R
Para formar um triângulo, devem-se unir os pontos
A) (– 1, 2) e (1, 3).
B) (– 1, 1) e (1, 3).
C) (– 1, 0) e (1, 0).
D) (2, 0) e (3, 0).
E) (2, – 1) e (3, 1).
O item visa avaliar se os alunos possuem a habilidade de "reconhecer
as coordenadas de pontos representados no plano cartesiano".
Os alunos que optaram pela alternativa correta E (25,3%)
reconheceram corretamente os pontos que devem ser ligados
(pontos R e Q) e distinguiram corretamente as coordenadas
desses pontos.
Os 29,4% de alunos que marcaram a alternativa A, provavelmente,
reconheceram corretamente os pontos que devem ser ligados
(pontos R e Q), mas inverteram suas abscissas e ordenadas ao
representá-los por meio de um par ordenado.
A
B
C
D
E
29,4%
16%
11,1%
17,5%
25,3%
25+75
percentual
de acerto
25,3%
Já os 16% de alunos que marcaram a alternativa B, provavelmente,
reconheceram corretamente os pontos que devem ser ligados
(pontos R e Q), mas erraram ao inverter abscissas e ordenadas do
ponto Q. No ponto R, também houve essa inversão, além da troca da
abscissa 2 por 1.
Os alunos que marcaram a alternativa C (11,1%) talvez tenham
considerado a ordenada do ponto R como sua abscissa e a ordenada
como zero, enquanto, para o ponto Q, talvez tenham considerado a
ordenada como abscissa e a ordenada como zero.
Os alunos que optaram pela alternativa D (17,5%), provavelmente,
observaram corretamente as abscissas dos pontos R e Q, mas
buscaram identificar esses pontos somente pela abscissa, pois
consideraram a ordenada como zero para ambos os pontos.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 47
Abaixo do Básico
3ª Série do Ensino Médio Regular e EJA
até 500 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
As habilidades matemáticas evidenciadas neste Padrão de Desempenho demonstram
o salto cognitivo percebido em relação à identificação de figuras geométricas planas
e espaciais. Os alunos além de reconhecer as formas geométricas, identificam suas
propriedades através de seus atributos, como o número de lados em figuras planas e o
número de faces em figuras espaciais. É consolidado também neste nível a localização
de pontos no plano cartesiano através das coordenadas dos pontos dados.
No campo do Tratamento da informação, a diferença reside no fato de que, neste nível,
ele é capaz de ler informações não somente em tabela de coluna única ou de dupla
entrada, mas também quando essas são compostas de múltiplas entradas. Os alunos
conseguem ler dados em gráficos de setores e em gráficos de colunas duplas. Além
de identificar, o aluno neste nível interpreta os dados ao resolver problemas utilizando
os dados apresentados em gráficos de barras ou em tabelas.
No domínio Grandezas e medidas, o aluno demonstra estimar medidas usando
unidades convencionais e não convencionais. Desenvolvem tarefas mais complicadas
em relação à grandeza ‘tempo’ como, por exemplo, as relacionadas com mês,
bimestre, ano, bem como estabelecem relações entre segundos e minutos, minutos
e horas, dias e anos. Em se tratando do Sistema Monetário, resolvem problemas de
trocas de unidades monetárias que envolvem um número maior de cédulas e em
situações menos familiares. Calculam a medida do perímetro em uma figura poligonal
dada em uma malha quadriculada ou mesmo sem o apoio da mesma quando todas
as suas medidas são explicitadas. Compara e calcula área de figuras poligonais em
malhas quadriculadas.
No campo Numérico, o aluno neste nível consegue resolver problemas com mais
de uma operação, além de resolver problemas envolvendo subtração de números
decimais com o mesmo número de casas.
48 Básico
3ª Série do Ensino Médio Regular e EJA
de 500 a 600 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
O aluno neste Padrão de Desempenho resolve problemas mais complexos envolvendo
as operações, usando dados apresentados em gráficos e tabelas de múltiplas entradas.
O gráfico de linhas passa a ser reconhecido como a forma gráfica mais apropriada para
apresentar uma sequência de valores ao longo do tempo.
No campo Geométrico, o aluno é capaz de identificar poliedros e corpos redondos e
os relacionam com suas planificações. Eles Identificam também as coordenadas de
pontos plotados no plano cartesiano.
Neste nível, o aluno reconhece que a medida do perímetro de um polígono, em uma
malha quadriculada, é proporcional às medidas dos lados e consegue calcular a medida
do perímetro de uma figura poligonal irregular, cujos lados se apóiam em uma malha
quadriculada. Ele sabe, também, estabelecer relações entre metros e quilômetros.
Resolve problemas de cálculo da medida de área com base na contagem das unidades
não inteiras (meio “quadradinho” da malha) de uma malha quadriculada, além de
determinar a medida da área de quadrados e retângulos. Em relação às medidas
de capacidade, consegue estimar medidas de grandezas utilizando o litro, e fazer a
conversão entre litros e mililitros. Consegue resolver problemas envolvendo o cálculo
de intervalos de tempo em horas e minutos.
No domínio Números e operações, os alunos são capazes de resolver problemas com
um grau de complexidade um pouco maior, envolvendo mais operações. Os alunos
reconhecem e aplicam em situações simples o conceito de porcentagem e calculam
o resultado de uma expressão algébrica, com parênteses e colchetes, inclusive com
potenciação. Calculam uma probabilidade simples e identificam fração como parte do
todo, sem apoio da figura.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 49
O desenho que melhor representa uma das planificações de uma pirâmide reta de base
quadrada é
(M120003B1)
A)
B)
C)
D)
E)
50 Este item avalia a habilidade em "relacionar uma pirâmide reta, de
base quadrada, com uma de suas possíveis planificações".
Os 55,8% que escolheram a alternativa C (opção correta),
provavelmente, observaram que a planificação de uma pirâmide de
base quadrada deveria apresentar um quadrado para ser a base da
pirâmide e quatro triângulos isósceles, que seriam a planificação de
A
B
C
D
E
4,2%
9,4%
55,8%
17,8%
12,3%
55+45
percentual
de acerto
55,8%
sua superfície lateral.
Os 4,2% dos alunos que optaram pela alternativa A escolheram uma
planificação adequada a uma pirâmide de base pentagonal, já que
esta planificação é formada por um pentágono e cinco triângulos.
Já 9,4% dos alunos que marcaram a alternativa B escolheram uma
planificação adequada a uma pirâmide de base hexagonal.
Do total de alunos avaliados, 17,8% optaram pela alternativa D. Esses
alunos escolheram a planificação de uma pirâmide de base triangular.
Dos
alunos
avaliados
12,3%
escolheram
a
alternativa
E,
possivelmente observando apenas que a base da pirâmide é um
quadrilátero, desconsiderando as informações adicionais de que
esse quadrilátero deveria ser um quadrado e que as faces laterais
deveriam ser triângulos isósceles, já que a pirâmide é reta.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 51
(M120543ES) O custo dos serviços de um trabalhador autônomo é dado por uma taxa fixa de 40 reais referente
ao orçamento do serviço, e mais 50 reais por cada hora de serviço.
Quanto esse trabalhador recebeu por um serviço que durou 6 horas?
A) 90 reais.
B) 96 reais.
C) 300 reais.
D) 340 reais.
E) 540 reais.
Este item avalia a habilidade em "resolver problema envolvendo
duas grandezas que se relacionam por meio de uma função linear".
A
B
C
13,2%
7,9%
24,1%
D
E
38,5% 15,6%
Do total de alunos, 38,5% optaram pela alternativa D, a
alternativa correta. Ao resolver esse item, pode-se formular
a
função
C ( h ) = 40 + 50 ⋅ h , para, em seguida, calcular
reais
ou
calcular
diretamente:
C ( 6 ) = 40 + 50 ⋅ 6 = 340
40 + 50 ⋅ 6 =
340 reais, sem formular explicitamente a função afim.
Dos
alunos
avaliados,
13,2%
escolheram
a
alternativa
A,
possivelmente, efetuando a soma da taxa fixa e do preço cobrado por
hora, efetuando 40 + 50 = 90 reais, desconsiderando a quantidade
de horas trabalhadas.
Apenas 7,9% dos alunos avaliados optaram pela alternativa
B; provavelmente, somaram os três valores apresentados no
enunciado, fazendo 40 + 50 + 6 = 96, sem atribuir significado ao
problema proposto.
Do total avaliado, 24,1% optaram pela alternativa C. É possível que
estes alunos tenham desconsiderado a taxa fixa, efetuando somente
o produto entre o número de horas de trabalho e o preço da hora de
trabalho: 6x50 = 300 reais.
É possível que os 15,6% que optaram pela alternativa E tenham
considerado a soma entre a taxa fixa e o preço de cada hora
trabalhada, 40 + 50 = 90, e multiplicado este resultado pela
quantidade de horas, 90x6 = 540 reais.
52 38+62
percentual
de acerto
38,5%
Proficiente
3ª Série do Ensino Médio Regular e EJA
de 600 a 700 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
Neste Padrão de Desempenho, os alunos reconhecem figuras planas fora da posição prototípica e
elementos de figuras tridimensionais, tais como vértices, faces e arestas; além de estabelecer relações
utilizando os elementos de um círculo ou circunferência (raio, diâmetro, corda). Eles também solucionam
problemas em que a razão de semelhança entre polígonos é dada, como por exemplo, em representações
gráficas envolvendo o uso de escalas. Classificam os ângulos de acordo com suas medidas e resolvem
problemas envolvendo o cálculo da ampliação, redução ou conservação de ângulos, lados e área de
figuras planas.
Neste Padrão, fica evidenciado o trabalho com a Matemática dentro do contexto escolar. Esses alunos
resolvem problemas evolvendo a soma dos ângulos internos do triângulo e identificam o gráfico de uma
reta, dada sua equação.
No campo Grandezas e medidas, as habilidades que se evidenciam são as relativas às soluções de
problemas envolvendo as operações com horas e minutos, incluindo transformações de diferentes
unidades de medida. O aluno também calcula a medida do perímetro de figuras retangulares sem o
apoio de figuras, bem como de polígonos formados pela justaposição de figuras geométricas, inclusive
nos casos em que nem todas as medidas aparecem explicitamente. Ele também calcula a medida da
área de figuras retangulares sem o apoio de figuras, além de solucionar problemas envolvendo o cálculo
de volume de um sólido geométrico através de suas arestas.
Além das habilidades descritas nos níveis anteriores sobre o domínio Tratamento de informação, os
alunos analisam gráficos de colunas representando diversas variáveis, comparando seu crescimento.
No campo Números e operações, os alunos calculam o valor numérico de uma função e a identificam
em uma situação-problema, além de identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma
função a partir de seu gráfico. Resolvem problema envolvendo o cálculo da posição de um termo em uma
progressão aritmética. Efetuam cálculos de raízes quadradas e reconhecem as diferentes representações
de um número fracionário. Resolvem problemas envolvendo porcentagem, incluindo situações de
acréscimos e decréscimos e calculam expressões numéricas com números inteiros e decimais positivos
e negativos.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 53
(M120369C2) Um professor de Educação Física mediu todos os alunos do 2º e 3º anos do ensino fundamental
de uma escola. Os resultados obtidos por ele foram representados no gráfico abaixo.
45
Quantidade de alunos
40
35
30
25
20
15
10
5
0
121 a 125
126 a 130
131 a 135
136 a 140
141 a 145
Altura dos alunos (em centímetros)
Quantos desses alunos têm altura superior a 130 centímetros?
A) 21
B) 28
C) 72
D) 79
E) 92
Este item avalia a habilidade "resolver problema
Do total de alunos, 19,1% optaram pela alternativa
envolvendo interpretação de dados apresentados
C, considerando, possivelmente, os valores das
por meio de um gráfico de colunas".
alturas das duas colunas maiores, efetuando: 40 +
Do total de alunos avaliados, 25,2% optaram pela
32 = 72 alunos.
alternativa D, que é a alternativa correta. Eles
Apenas 8,9% dos alunos avaliados que optaram
devem ter somado os valores que correspondem
pela alternativa E; talvez tenham somado todas as
às alturas das colunas que representam alunos
colunas, exceto a primeira, fazendo: 13 + 40 + 32 +
que medem mais de 130 cm, no caso, as três
7 = 92 alunos.
últimas colunas do gráfico: 40 + 32 + 7 = 79 alunos.
A
Dos alunos avaliados, 21,8% escolheram a
B
21,8% 24,2%
C
D
E
19,1%
25,2%
8,9%
alternativa A, possivelmente, considerando os
alunos que medem menos que 130 cm, somando
os valores das alturas das duas primeiras colunas,
13 + 8 = 21 alunos.
Já 24,2% dos alunos optaram pela alternativa B.
É presumível que tenham considerado somente
os valores referentes às três colunas menores,
efetuando a soma: 8 + 13 + 7 = 28 alunos.
54 25+75
percentual
de acerto
25,2%
(M120037ES) Dentro de uma gaveta, há 12 blusas brancas, 5 verdes e 3 azuis. Pega-se nessa gaveta uma
blusa ao acaso.
Qual é a probabilidade dessa blusa ser branca ou azul?
15
A) 20
12
B) 20
8
C) 20
5
D) 20
3
E) 20
Este item avalia a habilidade em "calcular a
Os alunos que optaram pela alternativa C (17,1%),
probabilidade de ocorrência um evento em
possivelmente, consideraram a probabilidade
um
de a blusa ser verde ou azul, pois calcularam
espaço
de
probabilidade
equiprovável".
.
Apenas 30,2% dos alunos avaliados escolheram a
Os 12,6% que optaram pela alternativa D
alternativa A, respondendo corretamente o item.
consideraram a quantidade de blusas verdes
Para resolver este item, deve-se considerar que
como casos favoráveis, ao invés das azuis
o número total de blusas que se pode extrair da
e
das
brancas,
obtendo
gaveta é 12 + 5 + 3 = 20 e que, dessas 20 blusas,
equivocadamente
.
somente 12 + 3 = 15 são brancas ou azuis. Portanto,
se conclui que a probabilidade de se extrair
Já os 17,6% dos alunos que escolheram a alternativa
uma blusa branca ou azul dessa gaveta é dada
E acertaram o número de casos possíveis, mas
pela razão entre o número de casos favoráveis
para o número de casos favoráveis consideraram
à ocorrência do evento e o número de casos
somente o número de blusas azuis, pois calcularam
.
15
possíveis, ou seja,
.
20
Do total de alunos avaliados, 22,1% optaram pela
A
B
C
D
E
30,2%
22,1%
17,1%
12,6%
17,6%
alternativa B. É possível que tenham considerado
corretamente ser 20 o número de casos
possíveis, mas em relação ao número de casos
favoráveis, consideraram somente as camisetas
brancas, desconsiderando as azuis, e fazendo
30+70
percentual
de acerto
30,2%
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 55
(M120490A9) Na última prova do ENEM, João e Maria acertaram juntos 77 questões, Maria e Pedro acertaram
juntos 73 questões e João e Pedro acertaram juntos 100 questões.
Quantas questões João, Maria e Pedro acertaram cada um, respectivamente?
A) 25, 52 e 48.
B) 27, 50 e 23.
C) 52, 25 e 48.
D) 48, 25 e 52.
E) 57, 20 e 53.
Este item visa avaliar a habilidade em "resolver problemas envolvendo
a modelagem e a resolução de sistemas de equações lineares com
A
B
C
D
E
13,5%
27,6%
26,7%
17,3%
14,3%
três equações e três incógnitas".
Do total de alunos avaliados, 26,7% optaram pela alternativa C, que é
a resposta certa. Estes, possivelmente, montaram um sistema linear
J + M =
77

a partir das informações do texto, chegando a:  M + P =
73 e o
J + P =
100

resolveram de forma a obter J = 52 , w M = 25 , c P = 48 .
Apenas 13,5% dos alunos avaliados escolheram a alternativa A e
outros 17,3% escolheram a opção D. Esses dois grupos de alunos,
provavelmente, montaram e resolveram corretamente o sistema,
mas erraram na ordem de apresentação dos valores encontrados
para as incógnitas.
Talvez os 27,6% que optaram pela alternativa B tenham considerado
que João, Pedro e Maria tenham acertado, juntos, 100 questões.
Então, subtraíram 100 - 77 = 23 para encontrar o número de
questões acertadas por Pedro; 73 - 23 = 50 para encontrar o número
de questões acertadas por Maria; e 77 - 50 = 27 para encontrar o
número de questões acertadas por João.
Somente 14,3% do total de alunos marcaram a opção E. Esse alunos,
provavelmente, montaram corretamente o sistema, mas erraram ao
resolvê-lo, pois teriam feito:
e substituíram a primeira e a terceira equações na segunda, obtendo:
(77 - J) + 100 - J = 73 → -2J = 73 - 177 → -2J = -114 → J = 57. Depois,
obtiveram os outros dois valores substituindo 57 na primeira e na
terceira equações, para encontrar M = 20 e P = 53.
56 26+74
percentual
de acerto
26,7%
Uma toalha de mesa retangular, com 20 cm de largura e 56 cm de comprimento, foi contornada
com bordado inglês.
Em quantos centímetros dessa toalha, no mínimo, foi feito esse tipo de bordado?
(M120267ES)
A) 76
B) 80
C) 152
D) 224
E) 304
Este item avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo o
perímetro de um retângulo, dados sua largura e seu comprimento,
A
B
C
D
E
52,5%
16%
21,3%
5,9%
3,6%
em um contexto que favorece a compreensão do termo perímetro,
ao tratar de um bordado contornando uma toalha.
Dos alunos avaliados, 21,3% marcaram a alternativa correta ao
optarem pela alternativa C. Esses alunos devem ter considerado que
o perímetro da toalha, em formato retangular, é dado pela soma das
medidas de seu contorno: 56 + 56 + 20 + 20 = 152 cm.
A maioria dos alunos avaliados,52,5%, escolheu a alternativa A.
Possivelmente, esses alunos consideraram somente o semiperímetro:
21+79
percentual
de acerto
21,3%
20 + 56 = 76 cm.
Talvez os 16% que optaram pela alternativa B tenham considerado a
mesa como um quadrado de lado medindo 20 cm, já que calcularam
4 x 20 = 80 cm.
Do total de alunos, 5,9% optaram pela alternativa D. Estes,
possivelmente, consideraram a mesa como um quadrado de lado 56
cm, já que calcularam 4 x 56 = 224 cm.
É presumível que os 3,6% dos alunos que optaram pela alternativa E
também tenham considerado, erroneamente, quatro lados medindo
56 cm e quatro lados medindo 20 cm, pois efetuaram: 4 x (56 + 20)
= 4 x 76 = 304 cm.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 57
Avançado
3ª Série do Ensino Médio Regular e EJA
acima de 700 pontos
0
50
100
150
200 250 300 350
400 450
500 550 600 650 700
750
800 850
No nível Avançado, o que se percebe como salto qualitativo em relação às habilidades descritas para
os alunos posicionados neste nível da escala, quando comparadas aos níveis anteriores e às das séries
escolares mais baixas, é a ampliação da capacidade de análise do aluno e maior discernimento e
perspicácia na leitura dos dados e informações explícitos, conduzindo para a interpretação e inferências
de informações implícitas.
Neste Padrão, os alunos demonstram habilidade em analisar gráficos de linha e conseguem estimar
quantidades baseadas em diferentes tipos de gráficos; além disso, conseguem obter a média aritmética
de um conjunto de valores.
No campo das medidas, os alunos conseguem calcular a medida do perímetro de polígonos sem o apoio
de malhas quadriculadas, resolver problemas de cálculo da medida de área com base na contagem das
unidades de uma malha quadriculada, cuja unidade de medida de área é uma fração do “quadradinho” da
malha, além de calcular a medida da área de figuras simples e de figuras formadas pela composição das
mesmas sem uso da malha quadriculada. Eles também calculam a medida do volume de paralelepípedos
e de cilindros, bem como a área total de alguns sólidos, além de relacionar corretamente metros cúbicos
com litros.
No campo Algébrico e Numérico, esses alunos calculam o resultado de expressões numéricas mais
complexas. Resolvem equações do 1º grau, 2º grau e exponenciais, além de problemas que recaem
em equações do 1º e 2º graus. Identificam o gráfico de uma função, intervalos em que os valores são
positivos e negativos e pontos de máximo ou mínimo. Interpretam geometricamente o significado do
coeficiente angular e linear de uma função afim e associam as representações algébricas e geométricas
de um sistema de equações lineares. Calculam probabilidades de um evento usando o princípio
multiplicativo. Resolvem problemas envolvendo: grandezas inversamente proporcionais, juros simples,
PA e PG, princípio multiplicativo e combinações simples.
No campo Geométrico, o aluno é capaz de calcular o número de diagonais de um polígono, além de
utilizar as diferentes propriedades de polígonos regulares. Resolvem problemas envolvendo semelhança,
relações métricas e razões trigonométricas no triângulo retângulo. Identificam a equação da reta a partir
de dois pontos num plano cartesiano, além de determinar o ponto de intersecção entre duas retas.
58 (M110020A9) Rita tem um porta-lápis na forma de prisma regular hexagonal, em que a aresta da base mede
5 cm e a aresta lateral mede 10 cm.
Quantos centímetros quadrados de cortiça Rita precisará para revestir as faces laterais desse porta-lápis?
A) 350
B) 300
C) 200
D) 60
E) 50
Este item avalia a habilidade em "resolver problema envolvendo o
cálculo da área lateral de um prisma hexagonal regular, sem o apoio
A
B
C
D
7,9%
13,2%
13,9%
E
20,4% 43,9%
de figuras", esperando, assim, que sejam considerados os elementos
do sólido através de seus nomes.
O item foi respondido corretamente por 13,2% dos alunos que marcaram
a alternativa B. A resolução desse item pressupõe o reconhecimento
dos elementos do sólido, considerando que se o prisma é hexagonal
ele possui seis faces laterais cujas dimensões serão 5 cm e 10 cm. A
partir dessa observação, é possível calcular a medida da área lateral
(
)
desse prisma fazendo: 6 × 5 × 10 =
300 cm².
13+87
percentual
de acerto
13,2%
Apenas 7,9% dos alunos avaliados escolheram a alternativa A. Estes
alunos, possivelmente, calcularam a área do retângulo de uma das
faces, fazendo (5 cm).(10 cm) = 50 cm2, e multiplicaram esse resultado
por 7 (número de faces laterais mais a base), obtendo 350 cm2.
Somente 13,9% optaram pela alternativa C. Possivelmente,
consideraram a área do retângulo de uma das faces, fazendo (5 cm).
(10 cm) = 50 cm2, e multiplicaram esse resultado por 4 (considerando
como se só fossem 4 faces), obtendo 200 cm2.
Do total de alunos 20,4% optaram pela alternativa D. Talvez tenham
considerado a área como o produto do número de arestas da base
pela medida da aresta lateral, fazendo (6 arestas).(10 cm)= 60 cm2.
É presumível que os 43,9% que optaram pela alternativa E
tenham considerado somente a área de uma das faces, fazendo
(5 cm).(10 cm)= 50 cm2.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 59
(M120539ES) No
dia de seu aniversário Mariana ganhou um cristal com a forma de um poliedro com 5 vértices e
10 arestas.
O número de faces desse cristal é
A) 5
B) 7
C) 10
D) 15
E) 17
Este item avalia se os alunos sabem aplicar a relação de Euler, que
relaciona o número de vértices (V), número de faces (F) e número de
A
B
C
D
E
18,4%
12,8%
16,2%
47%
5,1%
arestas (A) de um poliedro convexo.
Os 12,8% que optaram pela alternativa B, a alternativa correta, devem
ter aplicado corretamente a relação de Euler: V + F – A = 2 → 5 + F –
alunos
avaliados,
18,4%
escolheram
a
alternativa
A,
possivelmente, considerando que o número de faces deve ser igual
ao número de vértices (V = 5).
Do total de alunos, 16,2% optaram pela alternativa C. Possivelmente,
esses alunos devem ter considerado o número de faces como sendo
igual ao número de arestas (F = A = 10).
O maior percentual dos alunos avaliados, 47%, optaram pela
alternativa D. Talvez tenham considerado erroneamente a relação
de Euler, fazendo F = A + V → F = 10 + 5 → F = 15.
É presumível que os 5,1% dos alunos que optaram pela alternativa
E também tenham considerado erroneamente a relação de Euler e
se equivocaram nas operações: V + F + A = 2 →5 + F + 10 = 2 →F = 2
+ 15 = 17.
60 12+88
12,8%
10 = 2 → F = 2 + 5 → F = 7.
Dos
percentual
de acerto
3
OS RESULTADOS DESTA ESCOLA
Os resultados desta escola no Sadeam 2012 são apresentados sob seis aspectos, sendo que quatro deles estão
impressos nesta revista. Os outros dois, que se referem aos resultados do percentual de acerto no teste, estão
disponíveis no CD que compõe a coleção e no Portal da Avaliação, pelo endereço eletrônico www.sadeam.caedufjf.net.
O acesso aos resultados no Portal da Avaliação é realizado mediante senha enviada ao gestor da escola.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 61
Resultados impressos nesta revista
• Proficiência média
Apresenta a proficiência média desta escola. É possível comparar a proficiência com
as médias do estado e de sua coordenadoria. O objetivo é proporcionar uma visão das
proficiências médias e posicionar sua escola em relação a essas médias.
• Participação
Informa o número estimado de alunos para a realização do teste e quantos, efetivamente,
participaram da avaliação no estado, na sua coordenadoria e na sua escola.
• Percentual de alunos por Padrão de Desempenho
Permite acompanhar o percentual de alunos distribuídos por Padrões de Desempenho
na avaliação realizada pelo estado.
• Percentual de alunos por nível de proficiência e Padrão de Desempenho
Apresenta a distribuição dos alunos ao longo dos intervalos de proficiência no estado,
na sua coordenadoria e na sua escola. Os gráficos permitem identificar o percentual
de alunos para cada nível de proficiência em cada um dos Padrões de Desempenho.
Isso será fundamental para planejar intervenções pedagógicas, voltadas à melhoria do
processo de ensino e à promoção da equidade escolar.
Resultados disponíveis no
Portal da Avaliação e no cd
• Percentual de acerto por descritor
Apresenta o percentual de acerto no teste para cada uma das habilidades avaliadas.
Esses resultados são apresentados por coordenadoria, escola, turma e aluno.
• Resultados por aluno
É possível ter acesso ao resultado de cada aluno na avaliação, sendo informado o
Padrão de Desempenho alcançado e quais habilidades ele possui desenvolvidas em
Matemática para o Ensino Médio Regular e EJA. Essas são informações importantes
para o acompanhamento de seu desempenho escolar.
62 4
desenvolvimento de habilidades
O artigo a seguir apresenta uma sugestão para o trabalho de uma competência em sala de aula. A proposta é que
o caminho percorrido nessa análise seja aplicado para outras competências e habilidades. Com isso, é possível
adaptar as estratégias de intervenção pedagógica ao contexto escolar no qual atua para promover uma ação
focada nas necessidades dos alunos.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 63
A aplicação de relações
e propriedades das
figuras geométricas
no Ensino Médio
Conhecimentos
sobre
“Espaço
e
forma”,
um
dos
temas
desenvolvidos no ensino da Matemática, são fundamentais para
o desenvolvimento intelectual do aluno. O ensino dos conteúdos
geométricos corresponde a uma relação entre as situações práticas
e o conhecimento de definições e teoremas, que possibilita, ao
aluno, interpretar e aplicar seu raciocínio teórico e prático nas
situações em que se encontre. Dentro desse tema, as habilidades
relacionadas à competência “Aplicar Relações e Propriedades”,
ao serem apresentadas aos alunos, muitas vezes mostram-se
desprendidas da realidade, sem uma integração significante com
outras disciplinas do currículo ou até mesmo com outros conteúdos
da disciplina Matemática.
Em estudos da área de Educação, vemos que uma parcela
considerável dos alunos que ingressam em um curso superior tem
uma base insuficiente sobre o tema. Os resultados das avaliações
em larga escala realizados pelo CAEd também têm mostrado que, de
modo geral, o aluno não consegue desenvolver de forma satisfatória
as habilidades relativas a essa competência, pois os itens de teste
referentes a ela são pouco acertados. Deste modo, consideramos
apropriado abordar alguns aspectos referentes ao desenvolvimento
desta competência, a qual representa uma lacuna a ser preenchida
na prática pedagógica dos professores.
Apesar de o foco ser dado para a aplicação de relações e
de propriedades em Matemática, o desenvolvimento desta
competência inicia-se com o conhecimento dos entes geométricos
− ponto, reta e plano − e seus conceitos, formas e aplicações.
A aprendizagem de conceitos associados a medidas de ângulos
64 se faz igualmente essencial nesse trabalho, onde o aluno deve,
no decorrer do processo educacional, saber diferenciar medidas
de ângulos, calcular suas medidas e conhecer suas respectivas
nomenclaturas (agudo, reto, obtuso e raso). O estudo de
figuras planas poligonais e do círculo também se refere a esta
competência, no que diz respeito ao estabelecimento de relações
entre medidas de lados, ângulos, raio, diâmetro e corda, como
ainda os conceitos de semelhança. Para isso, o aluno deve
conhecer as figuras geométricas poligonais e o círculo, suas
propriedades e suas partes.
Com conhecimentos sólidos dessas habilidades de menor
complexidade considera-se a possibilidade de trabalhar soma dos
ângulos internos de um triângulo, a abordagem da lei angular de
Tales e, em seguida, a aplicação do teorema de Pitágoras. Esses
conteúdos matemáticos representam conceitos fundamentais para
o aluno no Ensino Médio que, em um grau de dificuldade mais
avançado, ainda desenvolverá conhecimentos acerca das relações
métricas no triângulo retângulo.
O aprendizado da Geometria Espacial também representa certa
progressão no desenvolvimento cognitivo para esta competência.
Ela é trabalhada a partir de objetos manipulativos, planificações
e cálculo de volumes até a formalização de algumas relações e
propriedades, principalmente por meio da utilização da relação
de Euler (relacionado ao número de faces, vértices e arestas dos
polígonos). Na Geometria Analítica, o desenvolvimento refere-se à
identificação, por exemplo, da equação de uma reta e a sua equação
reduzida a partir de dois pontos dados, e reconhecer os coeficientes
linear e angular de uma reta dado o seu gráfico.
Em referência à Trigonometria, são apresentados seus conceitos
e são feitas relações entre seus elementos e as razões
trigonométricas no triângulo retângulo, sempre tomando o
cuidado de abordar este procedimento em diversos contextos,
formalizando seus conceitos.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 65
A aprendizagem em sala de aula:
desenvolvimento de habilidades por meio
de estratégias, hipóteses e resultados
De acordo com os Parâmetros Curriculares estipulados para a
educação, o aluno do Ensino Fundamental deve ter uma visão dos
diversos campos do conhecimento matemático, sendo que, no Ensino
Médio, ele utilizará esses conhecimentos e poderá desenvolvê-los
de modo mais amplo. Isso significa o desenvolvimento em um grau
de complexidade maior das capacidades de abstração, raciocínio,
resolução de situações -problema, bem como a compreensão e a
interpretação do contexto em que o aluno está inserido.
Sendo assim, buscamos repensar o desenvolvimento cognitivo
da habilidade Reconhecer aplicações das relações métricas do
triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou
espaciais1 relativa à competência “Aplicar Relações e Propriedades”,
explicitando a progressão cognitiva e as atividades didáticas que
poderiam ser aplicadas neste contexto.
Nos estudos em Educação Matemática, percebemos a preocupação
com o aspecto sociocultural dos conteúdos, referente à necessidade
de contextualizar o conhecimento, buscando aspectos históricos e
sociais, e a relação de seus objetivos de ensino. Neste caso, cabe
ressaltar que não há uma proposta de abandono da compreensão
teórica ou da aquisição de técnicas, mas de buscar expandir
o conhecimento do aluno, com uma visão completa sobre o
conteúdo abordado.
O Teorema de Pitágoras requer habilidades desenvolvidas desde
as séries iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino Médio,
onde inicialmente é dado um enfoque para a utilização de objetos
manipulativos e, após, são abordadas a formalização da fórmula
utilizada para resolução dos problemas.
A ordem de apresentação de tópicos de Matemática pode ser
diversificada, tanto pelos livros didáticos quanto pela estratégia
1 Em outras palavras, esta habilidade refere-se à capacidade que
um aluno tem para reconhecer, em um dado problema com figuras
geométricas planas ou espaciais, ocasiões nas quais serão usadas as
relações métricas de um triângulo retângulo. Neste caso, com foco em
problemas que requerem o uso do Teorema de Pitágoras.
66 didática do professor e, deste modo, procuramos apontar algumas
propostas de ensino que o educador poderá utilizar em sala de aula.
Em um dos primeiros momentos de desenvolvimento dessa
competência na escola, consideramos a importância em trabalhar
a condição de existência dos triângulos. Assim, desde o 5º ano do
Ensino Fundamental (EF), por exemplo, pode-se disponibilizar diversos
materiais manipulativos – como no caso de “varetas” (Figura 1) − com
medidas diferenciadas, para que os alunos façam combinações
com três delas, percebendo, por meio da experimentação, que nem
sempre é possível formar uma figura triangular e que há elementos
que têm relação com a existência ou não de triângulos.
Figura 1
Cabe notar, assim, que com as três varetas apresentadas no alto da
figura (Figura 1) pode-se formar um triângulo, mas com as outras três
varetas, apresentadas na parte inferior desta mesma figura, não há a
possibilidade de combinação para a formação de um triângulo.
Após a percepção de existência dos triângulos, podem ser
trabalhados os seus tipos (acutângulo, retângulo, obtusângulo),
utilizando, ainda, objetos manipulativos. Isso permite, ao aluno,
perceber que a condição de existência, abordada anteriormente,
não garante a construção do triângulo retângulo.
O “esquadro de cordas egípcio” (Figura 2), recurso utilizado pelos
antigos egípcios e que pode ser apresentado na sala de aula, é um
rico material a ser utilizado na construção do triângulo retângulo,
possibilitando, ao aluno, verificar a relação de existência dessa
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 67
figura. Os egípcios tinham o conhecimento do triângulo retângulo
com medidas de 3, 4 e 5 unidades de comprimento para cada lado.
Com base nessa informação, eles usavam um pedaço de corda, na
qual davam nós com intervalos de mesmo distância. Deste modo,
construíam um esquadro na forma do triângulo retângulo reservando
três, quatro e cinco espaços entre os nós para representar,
respectivamente, os três lados do triângulo. Com este instrumento,
era possível verificar em diversas situações, se os elementos
medidos estavam “no esquadro” ou se possuíam ângulos maiores
ou menores que 90º (por exemplo: medidas de cantos de paredes
e mesas, medidas angulares de quadrados e outras figuras, entre
outros).
Figura 2
Como apontado nos Parâmetros Curriculares, o material concreto
deve ser desencadeador de conjecturas e processos que levem às
justificativas formais, e neste caso, mostramos que podemos pensar
nessa abordagem também para o Teorema de Pitágoras.
Após esse trabalho de reconhecimento do triângulo retângulo, o
aluno já apresenta condições para chegar à forma do teorema (anos
finais do EF). Vamos pensar em uma atividade!
Podemos solicitar, inicialmente, que o aluno construa um triângulo
com um ângulo de 90º. Com base nesse triângulo, pede-se que sejam
feitos esboços de quadrados sobre os catetos e a hipotenusa desse
triângulo (Figura 3), isto é, cada quadrado é construído sobre cada
lado do triângulo. Em seguida o aluno calcula as medidas dos lados
do triângulo (utilizando a régua ou outro instrumento de medidas) e
68 as medidas da área de cada quadrado, buscando relacionar os dados
encontrados. Esse procedimento pode ser repetido para outros
triângulos retângulos e registrados seus resultados (Figura 4) até que
se possa apresentar alguma relação entre os dados encontrados
para cada triângulo. A observação das relações e experimentação
dos resultados podem ser aplicadas em outras situações a fim de
testar o modelo matemático encontrado nessa situação. Neste caso,
cabe ressaltar que procedimento aplicado e o modelo matemático
encontrado não se referem a uma prova do Teorema de Pitágoras,
mas a uma suposição por meio de tentativa e teste.
Q3
b
Q1
3
A
5
4
c
Área dos
Q2
Cateto b
Cateto c
Hipot. a
quadrados
Q1 Q2 Q3
Figura 3 / Figura 4
Para aplicar este teorema em situações-problema, pode-se iniciar o
estudo com atividades de menor grau de complexidade até alcançar
as mais complexas. Por exemplo, o professor pode solicitar que o
aluno trabalhe situações em um triângulo retângulo que, dado a
medida de dois lados, pede-se para encontrar a medida do terceiro
lado. Isso permite iniciar a utilização do teorema como ferramenta
para resolução de problemas mais básicos, veja (Exemplo 1):
Exemplo 1
De acordo com as medidas indicadas na figura (Figura 5), calcule x.
Figura 5
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 69
Esse tipo de situação pode ser dificultada de acordo com as variáveis
didáticas envolvidas (letras, rotação do triângulo, dados decimais), pois
o trabalho com o triângulo em uma posição não usual ou com dados
não inteiros interfere diretamente na dificuldade que o aluno encontrará
para resolver um dado problema.
Podemos notar que aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver
um problema representa uma das fases do desenvolvimento dessa
competência, pois o aluno, ao final do Ensino Médio, deverá saber aplicar
o teorema a qualquer situação semelhante. Ressaltamos, portanto, que
este trabalho pode ser iniciado com grau de complexidade mais baixa,
com a apresentação de problemas para alunos do 8º ano do EF, veja o
exemplo abaixo (Exemplo 2):
Exemplo 2
O portão de entrada de uma casa tem o formato retangular (ABCD) com
3 metros de comprimento e 2,5 metros de altura. Para que o portão
não perca seu formato original, sugere-se pregar uma trave de madeira
na posição diagonal (ponto B ao D), percorrendo todo o portão, como
temos na figura a seguir:
Qual comprimento essa trave deve ter?
Entretanto, ao abordar este conteúdo com alunos do 9º ano do EF,
e todo o Ensino Médio, o grau de complexidade para resolução de
situações- problema − baseada no Teorema de Pitágoras − vai crescendo,
culminando em aplicações semelhantes ao exemplo apresentado em
seguida (Exemplo 3).
70 Exemplo 3
O problema de Hipócrates.
A figura a seguir mostra um triângulo retângulo e três semicircunferências
tendo os lados como diâmetros. Mostre que a soma das áreas das duas
"lúnulas" sombreadas é igual à área do triângulo.
Como podemos perceber, a linguagem e o conjunto de habilidades
requisitadas em cada um desses dois problemas são diferenciados,
sendo mais fácil para o aluno resolver o Exemplo 1 do que o Exemplo
2, sendo esses dois problemas, mais fáceis que o Exemplo 3.
Com
essas
atividades,
ressaltamos
de
forma
implícita,
o
desenvolvimento de habilidades importantes, tais como a soma
dos ângulos internos de um triângulo (em um trabalho posterior
a existência de triângulos) e a abordagem da lei angular de Tales
(complementando o trabalho com o “esquadro de cordas egípcio”),
o que facilita o conhecimento e aplicação do Teorema de Pitágoras.
Cabe ressaltar ainda, a aplicação desse teorema com figuras
espaciais e relações métricas no triângulo retângulo, as quais
também utilizarão habilidades sobre semelhanças de triângulos e
Teorema de Pitágoras.
O trabalho realizado pelo professor, associado aos aspectos
apontados por nós, seja na utilização de objetos manipulativos ou
utilização de conceitos relacionados à modelagem matemática
e à resolução de problemas, pode contribuir no desenvolvimento
de algumas habilidades relacionadas ao tema “Espaço e forma”.
Permitir a aplicação e uso de diversos recursos e metodologias na
sala de aula, permite, ao aluno, construir conceitos mais densos e
significativos relacionados, por exemplo, à aplicação do Teorema
de Pitágoras.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 71
EXPERIÊNCIA EM FOCO
Alçando novos voos
Avaliação externa ajuda a aprimorar metodologia de
ensino e estimula participação dos alunos
O interesse pelos números é uma vocação
a carência de conhecimentos prévios para o
que entrou cedo na vida da professora Claudia
acompanhamento das aulas pelos alunos, o sistema
Chaves Costa. Graduada em Licenciatura Plena
avaliativo contribui para a criação de estratégias
em Matemática, a educadora completa cinco
que minimizam esse quadro. “Observando os
anos de experiência na docência. Atuando nas
pontos que devem ser melhorados, a avaliação
Redes de Ensino Público e Particular, Claudia
permite elaborarmos ferramentas como o Plano de
observa a necessidade de trabalhar o interesse
Intervenção, através do qual aplicamos simulados
dos alunos pela matéria. Ela defende, ainda, o
focados nas necessidades dos alunos”, argumenta.
acompanhamento da família para que o aluno
tenha maior dedicação aos estudos e consiga
Além disso, os resultados da avaliação são
apreender o conteúdo dado.
utilizados para o planejamento das atividades em
sala de aula. “Trabalhamos junto aos descritores
Para acompanhar o rendimento dos aprendizes,
que apresentam menor rendimento”, enfatiza.
a professora sustenta a importância da avaliação
Observando a Escala de Proficiência, a escola
externa no contexto escolar. “É através dela que
identifica as habilidades e competências dos
percebemos o crescimento da produtividade
alunos. “Organizamos, então, um plano focado no
da nossa escola”. Com o desafio de superar
objetivo almejado: a progressão dos alunos para
O trabalho interdisciplinar fez com que nossos alunos
obtivessem maior participação e, consequentemente,
melhor desempenho e rendimento Claudia Chaves Costa,
Professora de Matemática
72 um nível mais elevado”. Uma das ações realizadas
melhorar a qualidade do ensino”. Buscando esse
a partir dessa análise é a implementação de
aperfeiçoamento,
trabalhos em grupo, onde os alunos trocam
método pouco comum em suas aulas: propôs a
informações a respeito da resolução das questões
resolução de exercícios envolvendo questões de
propostas e, dessa forma, interagem e socializam.
múltipla escolha, seguindo o padrão do Sadeam,
Claudia
experimentou
um
que se diferencia das propostas vivenciadas pelos
alunos no cotidiano.
Diversidade de informações
As revistas pedagógicas apresentam os resultados
da avaliação de forma clara e objetiva. Mas, muito
além do caráter informativo, as análises que a
revista propõe auxiliam o trabalho pedagógico
da
professora.
“Aprendemos
com
outras
Com 1.230 alunos e 48 professores, a escola onde
Claudia atua desenvolve projetos e intervenções
pedagógicas com o objetivo de aprimorar o
processo de ensino-aprendizagem. “Oferecemos
reforço escolar para o acompanhamento dos
informações a respeito do Sistema de Avaliação
alunos que apresentam maior grau de dificuldade,
do Desempenho Educacional do Amazonas, como
tomando
as questões comentadas, por exemplo”, revela.
realizadas”, explica. Uma atividade considerada
como
referência
as
avaliações
de sucesso pela professora foi uma apresentação
Outra informação trazida pelo Sadeam que
cultural
possibilita a criação de novas práticas são os
curriculares. “O trabalho interdisciplinar fez com
Padrões de Desempenho determinados pelo
que nossos alunos obtivessem maior participação
estado.
e, consequentemente, melhor desempenho e
“Ciente
da
nossa
situação,
somos
estimulados a apurar nossa metodologia para
envolvendo
todos
os
componentes
rendimento”, comemora.
Sadeam 2012
Revista Pedagógica 73
REiToR DA UnivERSiDADE fEDERAl DE JUiz DE foRA
HENRIQUE DUQUE DE MIRANDA CHAVES FILHO
CooRDEnAção gERAl Do CAEd
LINA KÁTIA MESQUITA DE OLIVEIRA
CooRDEnAção TéCniCA Do PRoJETo
MANUEL FERNANDO PALÁCIOS DA CUNHA E MELO
CooRDEnAção DA UniDADE DE PESQUiSA
TUFI MACHADO SOARES
CooRDEnAção DE AnáliSES E PUBliCAçÕES
WAGNER SILVEIRA REZENDE
CooRDEnAção DE inSTRUmEnToS DE AvAliAção
RENATO CARNAÚBA MACEDO
CooRDEnAção DE mEDiDAS EDUCACionAiS
WELLINGTON SILVA
CooRDEnAção DE oPERAçÕES DE AvAliAção
RAFAEL DE OLIVEIRA
CooRDEnAção DE PRoCESSAmEnTo DE DoCUmEnToS
BENITO DELAGE
CooRDEnAção DE DESign DA ComUniCAção
JULIANA DIAS SOUZA DAMASCENO
RESPonSávEl PElo PRoJETo gRáfiCo
EDNA REZENDE S. DE ALCÂNTARA
AMAZONAS. Secretaria de Estado da Educação e Qualidade do Ensino.
Sadeam – 2012/ Universidade Federal de Juiz de Fora, Faculdade de Educação, CAEd.
v. 1 ( jan/dez. 2012), Juiz de Fora, 2012 – Anual.
ARAÚJO, Carolina Pires; MELO, Manuel Fernando Palácios da Cunha e; OLIVEIRA, Lina Kátia Mesquita
de; REZENDE, Wagner Silveira.
Conteúdo: Revista Pedagógica – Matemática – Ensino Médio Regular e EJA.
ISSN 2238-0264
CDU 373.3+373.5:371.26(05)