APENDICE
NUMERO NATURAL
Deus fez os numeros
o
resto
e obra
naturais,
dos homens,
Leopold Kronecker
No decorrer
m e os numeros
destas notas, mostramos
racionais
podem
como os inteiros modulo
ser construidos
a partir dos intei-
ros, Da mesma forma, pode-se dar uma construs;ao dos numeros reais
a partir dos racionais e dos numeros complexos a partir dos reais,
Mas, e os nlimeros inteiros? Mostraremos neste apendice que eles
proprios podem ser construidos a partir do conjunto, mais simples, dos
numeros naturais (isto e, os numeros do conjunto (O, I, 2, 3, ... }).
Finalmente, os numeros naturais podem ser apresentados como
urn conjunto, cuja existencia admitimos, em que vale urn reduzido
Ol1mcro de axiom as. Isso justifica a citas;ao de Kronecker acima.
IId: I,Od0 de iu~eppe Peano que apresentamos aqui se baseia
110 1':110!II' '1\1(' oS 1I(1I11('I'OS
1I:lllll'tlis pod '111sel' ordcnados nUl11a seq(\ }I( 1.1 11.1(111:11
(' 111:1
('1('111('1110
1('11111111
",Sll('(;SSOI'''
h(;111dcl'illido. POl'
r:llisa disso, diz-se uma teoria ordinal. Uma ou tra fundamen tac;:aopos.~ivd ~cria construir uma teoria cardinal, isto e, formalizar a ideia in tuiIiV:1- que foi tambem a primeira a ser concebida
('xl)J'cssa quantidade:
Esse caminho,
0
numero
porem, nos levari a a introduzir
('Oil 'ci tos da Teoria dos Conjun tos, estendendo
Na sua fundamentac;:ao,
- de que
formulada
em demais estas notas.
em 1879 na linguagem
da
pOI' N+ 0 conjunto de todos os naturais diferentes
Indicaremos
de zero. Note que
o t: 0(0)
0(0)
E
N+ e, conforme
0
axioma P.2, tern os que
; isso mostra que N+ e nao-vazio.
Ainda, podemos
provar que todo natural diferente
sucessor de algum numera,
de zero e
Mais formalmente:
"'po 'a, Peano admite tres conc'eitos primitivos: numero natural, zero
(. S/lccssor, relacionados
entre si pOI' cinco axiomas. Indicaremos
(/I) 0 "sucessor" do numero
holo 0 para indicar 0 zero.
n e, como e usual, utilizaremos
pOI'
0
sim-
Com essas notac;:6es, os axiomas sac os seguintes:
DEMONSTRACAo
(1)
0 e urn numero
oE
(2)
Todo numera
natural.
natural
n tern urn "sucessor" s(n) .
(3)
0 nao e "sucessor" de nenhum
(4)
Se 0(n)
0(n),
=
entao
n
=
como n
numera,
Principio da Induc;:ao Completa: Seja Sum conjunto
(;1)
numeros naturais tal que:
0E S
(I»
Se n
Entao,
S e
0
0(n)
conjunto
pOI' N
Dcnotaremos
r Tqje em
S, entio
0
E
lir:ls ('In Icrrnos de conjuntos
Dado urn natural n t: 0,
chama-se
a expressar as ideias matemaentio,
as
conceito primitivo de sucessor nada
III:ds (, do qll<: urna fUI;\I;:ao,quc a cada numero associa Dutro; 0 axioma
:I(H'II:IS:111
1'1 na Cjuc ~~safunc;:a.oesta definida
em todo N .
!\dlllilirCll1os, ~JllaO, quc cxiSlC urn conjunto
numero natural m tal que 0(m)
finir as operac;:6es de soma e produto
propriedades
0
sucessorde
=
/I
m.
N e uma func;:ao
' (III('
a seguir que se pod IIIr!t"
e demonstrar
que elas 101i1:I,
que admitimos no primeiro capitulo. Em contrap'lI'lid:!,
0
maior inconvenien te e a quan tidade de traba III (I
(I
Ill'
cessaria para obter resultados que nos parecem in tuitivam en lC 6hvi(l, ,
Comec;:aremos pOI' definir a soma. Queremos
dar urn Sigllilir:1
do ao simbolo m+n, para todo par de numeros m, n EN. Par:! isso,
procederemos em duas etapas. Primeiro considerarcmos urn 1/1 lix(l (.
('111,J<'IOr(l.
S,;j:l /111111sl!lJ('Olljl!lllO d(' N 1:11(!'It":
o
•
indicaremos 0 que entendemos pOI' m+l1 para qualqucr JJ - N. Ik
pois, verificarcmos que a soma esl<'ibcm ddinida, p;1I"1.todo P:II' dt·
nluneros nalurais.
N V('rifiC<llldo:
!\ rill! ':io
0
antecessor de n, e n chama-se
leitor notaci que
'I
I: N
0
nela admitimos muito pouco. Mostraremos
d<'-i:l.~
d<: P<:ano nessa linguagem.
'I
Im(0).
A vantagem da apresentac;:ao que estamos desenvolvendo
naturais.
e func;:6es; vamos "traduzir",
0
E
S.
conjunto dos numeras
Nniall'l0S inicialrnente que
A e n t: 0, devemos tel" n
de
de todos os numeros naturais.
dia estamos acostumados
E
m.
(5)
E
Basta considerar 0 conjunto
A= (O} u Im(0).
Obviamente,
A e, se n E A, entao 0(n) E A (pois 0(n) E 1m (0» .
Logo, pelo axioma P.3, A = N. Assim, dado urn naturaln E N,
/1.
III I
0
III I II /I
III,
11 III I /I
,
Note que sabemos somar
m com 0 e que a segunda
condi~ao
IIOSpermite somar m com 0 sucessor de 0" com 0 sucessor do sucessor
(1(,() ete. Temos, entao:
Ainda, suponhamos
Stja
mEN
um numero natural dado. Entao, a soma
m
m+n
+
(n
+ p) =
(m
que pES,
isto e, que
+ n) + p.
'.\'1:; Icfinida para todo numero natural n EN.
1 )1':MONSTRACAo
Seja A 0 conjunto
de naturais
para os quais a soma
m + (n + 0 (p»
m+n esta
+ 0 (n + p) = 0 (m + ( n + p» =
=0 (( m + n ) + p) = ( m + n) + 0 (p ) .
=m
(lI'fillida.
A,
Temos
m + 0(n)
5.1.3.
onforme a condi~ao (i) da defini~ao anterior, temos que 0
(' (1:1<'Ondi~ao (ii) temos que, se m+n esta definido,
1:1I111){;111
csta definido
ou, em simbolos, se n E A, entao
NOl.al11OSagora que, para cada
I /I
,~tii, definida
/1111/ csla dcfinida
mEN,
para todo natural
n
para todo par de numeros
Como 0 leitor deve estar come~ando
!('Ol'i:l a p'ntir
EN,
dos axiomas
sabemos
1ll('l'('Ssa(lo
qll
,
naturais
como podem
temos c'~rteza, nao encontrara
a condi~ao
(ii) da defini~ao
•
que a soma
m, n .
a suspeitar, elaborar
e deixaremos
repetidamente,
0 que quer dizer que
toda a
DEMONSTRACAo
A primeira
(' (,.dl·in de indu~ao.
1I,I(I:i.~:t1gllll1'~,Sdas propriedades,
aqui,
•
de Peano nao passa agora de urn Ion go
MOsll'arCl110s, a titulo de ilustra~ao,
usado
0(n) E A.
temos que A = N e segue a tese.
Do axioma de indu~ao
III
entao
E
segue da propria
Para provar a segunda,
ser demons-
as restantes
igualdade
consideramos
defini~ao.
0 conjunto
de naturais
ao leitor
maiores dificuldades.
Obviamente,
0 EA.
Ainda, se O+m= m,
logo, verifica-se tambem
temos que 0 + 0(m)
=
0(0 + m)
=
0(m),
a partir de (ii) do axioma P.3, e temos que
A=N.
Ainda precisariamos
demonstrar
tro, pois, a priori, nada impede
1.1
Illr.~IIINII'I'I\I\(,:A(
)
,'1'111 Sp (OIlJIIIIIO do, lIillll!'I'(\, 1I:11l1I~1i,
I) I:d,
/11111
111111111
II',
p,ll.llo(lOp:1I
111,11111.11.1
pili
,II
lilli'
11/I
(II
I I)
.11'11111111:111/11,11,1',11.1<1,'1110111111:11:1
IIIit'
.'1'
I ,
+m
=
m +
lJ
=
que 0 e
0
unico e1emento neu-
que algum outro natural
m, para todo m.
uverifique
•
I )1':MONS1'RACAo
DEMONSTRACAo
eja u urn elemento neutro, e consideremos
Como
a soma O+u,
u e neutro, por hip6tese, temos 0 + u = 0 ,
Ainda, como provamos que
Logo, 0
=
0
Mais uma vez, usaremos uma tecnica semelhante
proposic;:oes anteriores, Consideremos
0
aquela das
conjunto
0 e neutro, temos tambem O+u = u,
u,
Pa.ra evitar algumas dificl,ll<;iadesna demonstrac;:ao da propried:ldl' cornutativa, introduziremos
primeiro
0
Da proposic;:ao 5,1.6 temos que 0 EA.
elemento 1.
Seja entio
mEA.
Provaremos que tambem a(m) EA.
Com
efeito, temos
Ilidicaremos por 1 0 numero natural que e
0
sucessor de 0, isto
Assim, do axioma P.3 segue, mais uma vez, que A = N .
(0) .
A definic;:io de produto sera feita de forma analoga a soma.
m· 0= 0
m . a(n)
I)I':MON,"I'1(i\(;AO
St:i"
Il =
I mEN
I a(m) = 1 + m }
Ol>vi'uo 'nte, 0 E A,
S(:j",
:( III
CIII~lO,
mEA.
pois a(O)
=
m .n+m .
= 1+0 = 1
Mostraremos que a(m)
'/'cito, como a(m)
=
•
1 + m, temos que
E
Deixaremos a cargo do leitor provar que
A
0
produto
m· n esta
de fato definido para todo par de numeros naturais e demonstrar
propriedades
do produto
Indicaremos
as
(veja os exercfcios 1, 2 e 3).
a seguir como se pode definir a relac;:io ::;em N.
Sejam men
numeros naturais. Diremos que m e men or ou
igual a n se existir urn outro numero natural
r tal que m + r= n .
Em sfmbolos,
NOV:IIIII'ltI(·,
11101
It I
dl'ix:IIIIOS
«1111
0, ('
:1 CII'g'0
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do kiior vnifioll'
I I' (\
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prO( ri 'clacks
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