Progressões aritméticas
e geométricas
Prof. Jorge
Quem levou vantagem?
 Denise e Pedro são colegas. No ano
passado, cada um recebia 200,00 reais de
mesada. Este ano, eles fizeram aos pais
propostas diferentes. A mesada começaria
pequena e aumentava mês a mês.
Prof. Jorge
Quem levou vantagem?
 Denise queria receber 10,00 reais em
janeiro e, a cada um dos meses seguintes,
30,00 reais a mais que no mês anterior.
 Já a proposta de Pedro era receber só 1 real
em janeiro e, em cada um dos meses
seguintes, o dobro do mês anterior.
Prof. Jorge
Quem levou vantagem?
 Os pais acharam as propostas interessantes
e toparam. No acumulado do ano, Denise e
Pedro levaram vantagem?
 A resposta a essa pergunta você
encontrar no estudo das progressões.
Prof. Jorge
vai
Sucessão ou seqüência
Prof. Jorge
Sucessão ou seqüência
 O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista
dos seis primeiros classificados no campeonato
brasileiro de futebol, edição 2007.
Classificação
Time
1
Primeiro lugar
São Paulo (SP)
2
Segundo lugar
Cruzeiro(CZ)
3
Terceiro lugar
Grêmio (GE)
4
Quarto lugar
Palmeiras (PA)
5
Quinto lugar
Fluminense (FL)
6
Sexto lugar
Santos (SN)
(SP,
CZ, GE,
GE, PA,
PA, SN,
FL, SN)
(CZ, FL,
SP)
Prof. Jorge
Sucessão ou seqüência
 Veja os elementos da sucessão ou seqüência.
(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)
 Cada time é um termo da seqüência;
 O critério ordem de classificação identifica qual
é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o
sexto;
 Na representação de uma sucessão, os termos
aparecem entre parênteses, ordenados e
separados por vírgulas.
Prof. Jorge
Sucessão ou seqüência
 Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número
de alunos do 1º. Ano que perderam média em
Matemática, em cada uma das três etapas de 2007.
1
2
3
Etapa
1.ª
2.ª
3.ª
No. de alunos
18
15
11
Os números da última linha formam a seqüência ou
sucessão (18, 15, 11)
 O critério ordem cronológica identifica qual é o
primeiro, o segundo e o terceiro termo;
Prof. Jorge
Definição

Sucessão ou seqüência é toda lista de
termos em que se distinguem, a partir de
um determinado critério bem definido, o
primeiro, o segundo, o terceiro, etc.
Numa seqüência, duas coisas são importantes:
 Os termos que a compõem;
 A ordem em que eles aparecem, a partir de um
critério pré-estabelecido;
Prof. Jorge
Seqüências numéricas
 Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São
aquelas cujos termos são números reais.
Uma seqüência pode ser finita e infinita.
 A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência
numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro).
 A seqüência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números
naturais pares é uma seqüência infinita. Não
existe o maior número natural par.
Prof. Jorge
Seqüências numéricas - representação
 De modo geral os termos consecutivos de uma
seqüência numérica são indicados por uma letra
minúscula, acompanhada de um índice.
 a1 → primeiro termo
 a2 → segundo termo
 a3 → terceiro termo
 a4 → quarto termo
........................................
O índice indica a
posição do elemento
na seqüência.
 an → enésimo termo ou termo geral
Prof. Jorge
Seqüências numéricas - representação
 De modo geral os termos consecutivos de uma
seqüência numérica são indicados por uma letra
minúscula, acompanhada de um índice.
 (a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma sucessão
finita
 (a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma sucessão
infinita
Prof. Jorge
Exemplo
 Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos
números naturais ímpares, temos:
a1 = 1
a3 = 5
a6 = 11
Prof. Jorge
Sucessão definida pelo
seu termo geral
Prof. Jorge
Definição
 Uma sucessão numérica é uma função de variável
natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos
números reais. O domínio da variável n é
 O conjunto N*, se a sucessão é infinita;
 O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é
finita, com n termos.
Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an.
Prof. Jorge
Exemplo
 Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos
números naturais ímpares, temos:
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)
n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1
n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3
n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5
n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7
n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9
..................................................
Prof. Jorge
Termo geral
 Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu
termo geral an. No caso, o enésimo termo é
expressão em função da variável natural n ≠ 0.
Prof. Jorge
Exemplo
 O termo geral de uma sucessão é an = n2 + 2n. Obter
os termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus
termos e identificar a posição.
Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7.
n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2.2
⇒ a2 = 4 + 4 = 8
n = 7 ⇒ a2 = 72 + 2.7
⇒ a2 = 49 + 14 = 63
Fazendo an = 48,
n2 + 2n = 48
⇒ n2 + 2n – 48 = 0
⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6
⇒ 48 é o sexto termo.
Prof. Jorge
⇒ a6 = 48.
Sucessão definida por
uma lei de recorrência
Prof. Jorge
Lei de recorrência
 Seqüências numéricas costumam ser definidas, às
vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são
dados.
 Um dos termos (em geral, o primeiro);
 Uma lei que permita obter cada um dos demais
termos, recorrendo-se a termos anteriormente
calculados.
Prof. Jorge
Exemplos
 Obter os cinco primeiros termos da sucessão
numérica infinita, definida pela lei de recorrência.
a1 = 3
an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1
n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1 ⇒ a2 = 7
n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒ a3 = 15
n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 + 1 ⇒ a4 = 31
n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 + 1 ⇒ a5 = 63
(3, 7, 15, 31, 63)
Prof. Jorge
Exemplos
 Descubra uma lógica de formação em cada sucessão,
e ache seus dois próximos termos.
a) (2, 7, 12, 17, ...)
22 e 27.
b) (1, 8, 27, 64, ...)
125 e 216.
c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...) 1 e 162.
d) (3, 6, 12, 24, ...) 48 e 96.
e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 21 e 34.
f) (0, 3, 8, 15, 24, ...)
Prof. Jorge
35 e 48.
Exemplos
 Descubra uma lógica de formação em cada sucessão,
e ache seus dois próximos termos.
g)
1 , 2 , 3 , 4 , ...
4 9 16 25
5 , 6
36 49
h)
1 , 4 , 11 , 29 , ...
3 7 18 47
76 , 199
123
322
i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna, ...)
João, Camila
Prof. Jorge
Progressões aritméticas
Prof. Jorge
Progressão aritmética
 Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou
apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia
pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção.
15
19
+4
23
+4
27
+4
31
+4
35
+4
(15, 19, 23, 27, 31, 35, ...)
Prof. Jorge
...
+4
A constante 4 é
a razão da
seqüência.
Definição
 Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica
em que cada termo (a partir do segundo) é a soma
do antecessor com uma constante r, chamada razão
da P.A.
 Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência
an = an - 1 + r
⇒
an – an - 1 = r
 Portanto, a razão r é a diferença entre um termo
qualquer e o anterior.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...
Prof. Jorge
Exemplos
 (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente,
porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão
é:
r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3
Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente.
Prof. Jorge
Exemplos
 (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é
decrescente, porque cada termo é menor que o
anterior. Sua razão é:
r = 5,5 – 6 = 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5 = –0,5
Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente.
Prof. Jorge
Exemplos
 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque
tem todos os termos iguais. Sua razão é:
r=3–3=0
Em geral, se r = 0 a P.A. é constante.
Prof. Jorge
Exemplos
 Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m
e a razão da P.A.
Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4
Se ela é uma P.A., deve ser:
a 2 – a 1 = a3 – a 2
⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1)
⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1
⇒
⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4
m – 1 = 2m – 5
⇒
m=4
Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3.
Prof. Jorge
Observação
 Da definição de P.A. decorre que, de três termos
consecutivos o termo do meio é a media aritmética
dos outros dois.
Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,
a 2 – a1 = a3 – a2
a2 =
Prof. Jorge
⇒
2a2 = a1 + a3
a1 + a3
2
Termo geral de uma P.A.
Prof. Jorge
Termo geral da P.A.
 Numa progressão aritmética o primeiro termo e a
razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil
escrever toda a progressão.
 Vamos analisar um processo geral para se obter um
termo qualquer de uma progressão aritmética, a
partir do primeiro termo e da razão.
Prof. Jorge
Termo geral da P.A.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1
a2
+r
a3
+r
a4
+r
a5
+r
a6
+r
...
+r
Note que “saltar” de um termo para o seguinte significa somar a razão.
 De a1 até a2 temos 1 salto ⇒
a2 = a1 + r
 De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1 + 2r
 De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1 + 3r
E assim por diante.
Prof. Jorge
Termo geral da P.A.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1
a2
+r
a3
+r
a4
+r
a5
+r
a6
+r
...
+r
De maneira geral, de a1 até um termo genérico an,
são (n – 1) saltos.
an = a1 + (n – 1)r
Prof. Jorge
an é o enésimo termo
n é a posição do termo
Observação
 O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se
tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o
esquema a seguir.
–r
a8
–r
a9
+r
–r
a10
+r
–r
a11
+r
–r
a12
+r
–r
a13
+r
...
+r
 Saltar para o termo seguinte é somar a razão;
saltar para o termo anterior é subtrair a razão.
Prof. Jorge
Exemplos
–r
a8
–r
a9
+r
–r
a10
+r
–r
a11
+r
–r
a12
+r
–r
a13
+r
 De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos
a15 = a1 + 14r
ou
a1 = a15 – 14r
 De a8 para a12 são 12 – 8 = 4 saltos
a12 = a8 + 4r
Prof. Jorge
ou
a8 = a12 – 4r
...
+r
Exemplos
–r
a8
–r
a9
+r
–r
a10
+r
–r
a11
+r
–r
a12
+r
–r
a13
+r
...
+r
 De a10 para a13 são 13 – 10 = 3 saltos
a13 = a10 + 3r
ou
a10 = a13 – 3r
 De a23 para a37 são 37 – 23 = 14 saltos
a37 = a23 + 14r
Prof. Jorge
ou
a23 = a37 – 14r
Exemplos
 Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo
e o termo geral an.
Na sucessão, a1 = –2 e r = 4 – 1 = 3
a15 = a1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42
an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3
⇒ an = –2 + 3n – 3
Prof. Jorge
⇒ an = –5 + 3n
⇒ a15 = 40
Exemplos
 A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma
P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir
deles, a razão da P.A.
Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10.
a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8
a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43
a10 = a3 + 7.r
⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43
⇒ –7r = + 35 ⇒
Prof. Jorge
r = –5
Exemplos
 Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e
que têm dois algarismos?
O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior
é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99)
Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99.
an = a1 + (n – 1)r
⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3
⇒ 99 = 12 + 3n – 3
⇒ 90 = 3n
Prof. Jorge
⇒ 99 = 9 + 3n
⇒ n = 30
Soma dos termos na P.A.
Prof. Jorge
Soma dos termos na P.A.
 O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes
contribuições
ao
desenvolvimento
das
idéias
matemáticas.
 Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um
fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de
dez anos de idade.
 Certo dia, numa aula de matemática, o professor
pediu que seus alunos obtivessem a soma dos
números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava
Gauss.
Prof. Jorge
Soma dos termos na P.A.
 S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100?
1 +
2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
101
101
101
101
S = 101 . 50 = 5 050
 Observe que as parcelas da soma de Gauss formam
uma P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1).
Prof. Jorge
Soma dos termos na P.A.
 Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é
válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n
termos,
(a1
a2
a3
a4
...
an-3
an-2
an-1
an)
n termos
a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ...
Sn = (a1 + an). n
2
Prof. Jorge
Sn =
a1 + an
.n
2
Exemplos
 Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares,
sem adicioná-los um a um.
Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da
P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...)
a30 = a1 + 29r
S30
⇒ a30 = 1 + 29.2 ⇒ a30 = 59
a1 + a30
.n =
=
2
Prof. Jorge
1 + 59
2
. 30 ⇒ S30 = 900
Exemplos
 Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que
as parcelas formam uma P.A.
Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A.
an = a1 + (n – 1).r
⇒
62 = 2 + (n – 1).3
⇒
62 = 2 + 3n – 3
⇒
63 = 3n
S21
a1 + a21
.n =
=
2
Prof. Jorge
2 + 62
2
⇒
n = 21
. 21 ⇒ S21 = 672
Exemplos
 Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira
fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante.
Sempre ele planta uma roseira a mais na fila
seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras.
Determinar o total de filas e o número de roseiras na
última fila.
A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A.
(3, 4, 5, ..., x).
an = a1 + (n – 1).r
⇒
x = 3 + (n – 1).1
⇒
⇒
x=n+2
x=3+n–1
Prof. Jorge
Exemplos
 Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira
fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante.
Sempre ele planta uma roseira a mais na fila
seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras.
Determinar o total de filas e o número de roseiras na
última fila.
A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A.
(3, 4, 5, ..., x).
a1 + an
.n
2
Sn =
⇒
⇒
3+n+2
. n = 150
2
Prof. Jorge
3+x
2
. n = 150
⇒ n = 15
e
x = 17
Progressões geométricas
Prof. Jorge
Progressão aritmética
 Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias,
em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia
apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a
quantidade delas dobrava.
05
10
.2
.2
20
.2
40
80
.2
160
.2
(5, 10, 20, 40, 80, 160, ...)
Prof. Jorge
...
.2
A constante 2 é
a razão da
seqüência.
Definição
 Progressão geométrica (PG) é toda sucessão
numérica de termos não-nulos em que cada termo (a
partir do segundo) é produto do seu antecessor com
uma constante q, chamada razão da P.G.
 Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência
an = an - 1 . q
⇒
an/an - 1 = q
 Portanto, a razão q é o quociente entre um termo
qualquer e o anterior.
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ...
Prof. Jorge
Exemplos
 (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente,
porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão
é:
q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3
 Em geral, se a1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente.
 Em geral, se a1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente.
Prof. Jorge
Exemplos
 (40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente,
porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão
é:
q = 20/40 = 10/20 = 5/10 = 0,5
 Em geral, se a1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é
decrescente.
 Em geral, se a1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente.
Prof. Jorge
Exemplos
 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante,
porque tem todos os termos iguais. Sua razão é:
q = 3/3 = 1
Em geral, se q = 1 a P.G. é constante.
Prof. Jorge
Exemplos
 (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante,
porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua
razão é:
q = –6/3 = 12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2
Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante.
Prof. Jorge
Exemplos
 Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x.
Na sucessão, a1 = x, a2 = x + 3 e a3 = 2x + 14
Se ela é uma P.G., deve ser:
x+3
2x + 14
=
x
x+3
⇒
⇒
a2/a1 = a3/a2
(x + 3)2 = x(2x + 14)
x2 + 6x + 9 = 2x2 + 14x ⇒
(1, 4, 16)
q=4
⇒ x’ = –9 ou x” = 1
Prof. Jorge
x2 + 8x – 9 = 0
(–9, –6, –4)
q = 2/3
Observação
 Da definição de P.G. decorre que, de três termos
consecutivos o termo do meio é a media geométrica
dos outros dois.
Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,
a2
a1
Prof. Jorge
=
a3
a2
⇒
(a2)2 = a1 . a3
Termo geral de uma P.G.
Prof. Jorge
Termo geral da P.G.
 Numa progressão geométrica o primeiro termo e a
razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil
escrever toda a progressão.
 Vamos analisar um processo geral para se obter um
termo qualquer de uma progressão geométrica, a
partir do primeiro termo e da razão.
Prof. Jorge
Termo geral da P.G.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1
a2
.q
a3
.q
a4
.q
a5
.q
a6
.q
...
.q
Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa
multiplicar pela razão.
 De a1 até a2 temos 1 salto ⇒
a2 = a1.q
 De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1.q2
 De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1.q3
E assim por diante.
Prof. Jorge
Termo geral da P.G.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1
a2
.q
a3
.q
a4
.q
a5
.q
a6
.q
...
.q
De maneira geral, de a1 até um termo genérico an,
são (n – 1) saltos.
an = a1.qn–1
Prof. Jorge
an é o enésimo termo
n é a posição do termo
Observação
 O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se
tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o
esquema a seguir.
:q
a8
:q
a9
.q
:q
a10
.q
:q
a11
.q
:q
a12
.q
:q
a13
.q
...
.q
 Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela
razão;
 saltar para o termo anterior é dividir pela razão.
Prof. Jorge
Exemplos
:q
a8
:q
a9
.q
:q
a10
.q
:q
a11
.q
:q
a12
.q
:q
a13
.q
 De a1 para a18 são 18 – 1 = 17 saltos
a18 = a1.q17
ou
a1 = a18:q17
 De a5 para a11 são 11 – 5 = 6 saltos
a11 = a5.q6
Prof. Jorge
ou
a5 = a11:q6
...
.q
Exemplos
:q
a8
:q
a9
.q
:q
a10
.q
:q
a11
.q
:q
a12
.q
:q
a13
.q
...
.q
 De a13 para a16 são 16 – 13 = 3 saltos
a16 = a13.q3
ou
a13 = a16:q3
 De a11 para a37 são 37 – 11 = 26 saltos
a37 = a11.q26
Prof. Jorge
ou
a11 = a37:q26
Exemplos
 Na P.G. (3, 6, 18, ...) achar o oitavo termo e o termo
geral an.
Na sucessão, a1 = 3 e q = 6/3 = 2
a8 = a1.q7 = 3.27
an = a1.qn–1
Prof. Jorge
= 3 . 128
⇒ an = 3.2n–1
⇒ a8 = 384
Exemplos
 Obter a razão q e o termo a12 da P.G. crescente na
qual a6 = 12 e a10 = 48.
De a6 até a10 são 10 – 6 = 4 saltos.
⇒
a10 = a6.q4
⇒ 48 = 12.q4 ⇒ q4 = 4
⇒ q = ± √2
para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2
⇒
a12 = a10.q2 = 48.(√2 )2 ⇒
Prof. Jorge
a12 = 96
Exemplos
 Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de
fevereiro,
cada
sócio
do
clube
inscreve,
mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano
haverá, 81 920 sócios?
Veja o que ocorre, por exemplo, até março.
mês
antigos
novos
1. Janeiro
20
–
20
a1
2. Fevereiro
20
60
80
a2
3. Março
80
240
320
a3
Prof. Jorge
Total
Exemplos
 Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de
fevereiro,
cada
sócio
do
clube
inscreve,
mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano
haverá, 81 920 sócios?
Os totais de sócios mês a mês formam a P.G.
(20, 80, 240, ...), de razão q = 4.
an = a1.qn–1
⇒
81 920 = 20.4n–1
⇒ 4n–1 = 4 096 ⇒ 4n–1 = 46 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7
O clube terá 81 920 sócios em julho (mês 7).
Prof. Jorge
Exemplos
 Numa P.G. oscilante, a4 + a6 = 40 e a2 + a4 = 10.
Calcular o primeiro termo e a razão.
Vamos escrever cada termo em função do primeiro
termo a1 e da razão q.
a4 + a6 = a1.q3 + a1.q5 = 40 ⇒ a1.q3(1 + q2) = 40
a2 + a4 = a1.q + a1.q3 = 10
a1.q3(1 + q2) = 40
a1.q(1 +
q 2)
= 10
⇒ a1.q(1 + q2) = 10
⇒ q2 = 4
⇒ q = ±2
P.G. oscilante q = –2, então a1 = –1.
Prof. Jorge
Soma dos termos na P.G.
Prof. Jorge
Soma finita dos termos de uma P.G.
 Podemos obter, também, a soma dos n termos de
uma P.G. finita, de forma bem simples. Não
precisamos para isso, conhecer os valores de todos
os seus termos a serem somados.
Prof. Jorge
Soma finita na P.G. constante (q = 1)
 Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos
iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a
soma dos n primeiros termos.
 Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a
soma dos 8 primeiros termos é
S8 = 8.3 = 24
 A soma dos 20 primeiros termos é
S20 = 20.3 = 60
Prof. Jorge
Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
 Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das
potências de 2, com expoentes naturais de um até
dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.
A expressão (21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210) representa a
soma dos dez termos de uma P.G., onde a1 = 2 e q = 2.
S = 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210
(A)
2.S = 2.21 + 2.22 + 2.23 + ... + 2.29 + 2.210
2.S = 22 + 23 + 24 + ... + 210 + 211
Prof. Jorge
(B)
Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
 Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das
potências de 2, com expoentes naturais de um até
dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.
Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A).
2.S – S = 211 – 21
⇒
⇒
S = 2048 – 2 = 2046
Prof. Jorge
S = 211 – 21
Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
 De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de
uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an
(1)
q.Sn = a1.q + a2.q+ a3.q+ ... + an–1.q + an.q
q.Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an + 1
q.Sn – Sn = an+1 – a1
Sn =
Prof. Jorge
(2)
⇒ Sn.(q – 1) = a1.qn – a1
a1.(qn – 1)
q–1
(q ≠ 1)
Exemplos
 Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G.
(2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um.
Na P.G., temos a1 = 2 e q = 3. queremos S8.
S8 =
a1.(q8 – 1)
Prof. Jorge
q–1
=
2.(38 – 1)
3–1
= 38 – 1 = 6 560
Exemplos
 Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades
de um certo produto. Nos meses seguintes, a
produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção
acumulada de janeiro a abril?
A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%),
logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a1 = 20 000.
S4 =
=
a1.(q4 – 1)
q–1
=
20 000.(1,14 – 1)
20 000.(1,4641 – 1)
Prof. Jorge
0,1
1,1 – 1
= 92 820
Somas convergentes
numa P.G. infinita
Prof. Jorge
Somas convergentes na P.G. infinita
 Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento
era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.
Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços
de 8 m cada um e colocou-os lado a lado.
8m
8m
Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente,
obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado.
8m
Prof. Jorge
4m
4m
Somas convergentes na P.G. infinita
 Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento
era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.
Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio,
mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m,
uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas
foram postas lado a lado.
8m
4m
2m
2m
Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com
ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores
era dividido ao meio.
Prof. Jorge
Somas convergentes na P.G. infinita
 Continuando infinitamente esse processo, observamos:
 O total de pedaços obtidos é infinito;
 O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a
metade do anterior).
A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos
termos de uma P.G. infinita:
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...
a1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas,
cada vez mais a soma se aproxima de 16.
Prof. Jorge
Somas convergentes na P.G. infinita
 Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos
termos tender para um determinado número.
 Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim Sn.
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...
 Lim Sn = 16
 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... = 16
A soma dos termos de uma P.G. infinita é
convergente ⇔ 0 < | q | < 1.
Prof. Jorge
Exemplos
 A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... É convergente a
razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1.
 A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0,125 + ... É convergente
a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1.
 A soma 1 + 3 + 9 + 27 + ... Não é convergente a
razão da P.G. q = 3, q > 1.
Prof. Jorge
Somas convergentes na P.G. infinita
 De maneira Geral. O limite da soma dos termos de
uma P. G. infinita é dado por
Sn =
n
qn
q–1
1
0,51 = 0,5
2
0,52 = 0,25
a1.(0 – 1)
3
0,53 = 0,125
q–1
4
0,54 = 0,0625
5
0,55 = 0,03125
a1
...
....
1–q
n→
qn → 0
⇒
a1.(qn – 1)
Sn =
⇒
Lim Sn =
∞
Prof. Jorge
Exemplos
 Na soma infinita 18 – 12 + 8 – 16/3 + ..., as parcelas
estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente
e calcular seu valor.
Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é
convergente
Lim Sn =
a1
1–q
= 18 .
Prof. Jorge
=
3
5
18
1 + 2/3
= 10,8
=
18
5/3
Exemplos
 Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a
fração geratriz da dízima periódica 2,533333...
A dízima é igual à seguinte soma infinita:
2,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ...
P.G. infinita: a1 = 0,03 e q = 0,1.
Lim Sn =
a1
1–q
=
0,03
1 – 0,1
=
0,03
0,9
2,53333... = 2,5 + 1/30 = 38/15
Prof. Jorge
= 1/30
Exemplos
 Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de
um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura.
A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada
caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente
à anterior.
Qual deve ser a largura mínima da parede do
depósito, para que eu possa colocar lado a lado,
quantas caixas eu quiser?
Prof. Jorge
Exemplos
 Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de
um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura.
A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada
caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente
à anterior.
Qual deve ser a largura mínima da parede do
depósito, para que eu possa colocar lado a lado,
quantas caixas eu quiser?
As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...)
convergente de a1 = 90 e q = 0,85.
Lim Sn =
Prof. Jorge
a1
1–q
=
90
1 – 0,85
=
90
0,15
= 600 cm