Ensino Superior
Cálculo 2
4. Volume de Sólidos – Integral Simples
Amintas Paiva Afonso
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Introdução:
Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R
do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a
determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução
gerado pela rotação da região R em torno da reta r.
a
Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos
como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).
Volume de Sólidos
Volume de um sólido
quando é conhecida a
área de qualquer secção
transversal.
Volume de Sólidos
Exemplo 1:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide
reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a
altura da pirâmide – é 1 b 2 h.
3
Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular
à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:
Para cada corte transversal na altura h - y,
temos que a secção obtida é um quadrado,
paralelo à base, cuja área é (2x)2.
Examinando o corte longitudinal ao lado,
por semelhança de triângulos, podemos
escrever:
e daí
2x
Volume de Sólidos
Exemplo 1:
e daí
A( y)  (2 x) 2  4 x 2
Logo, o volume da pirâmide é dado por:
Volume de Sólidos
Exemplo 2:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro
reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja
no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do
cilindro, temos:
Para cada corte transversal na altura x, temos
que a secção obtida é um círculo, paralelo à
base, cuja área é r2.
h
Logo, o volume do cilindro é dado por:
Sólidos de Revolução
Exemplo 3: Considere a região delimitada por
, o eixo x e
as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido
originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é
.
O volume da esfera gerada é:
Sólidos de Revolução
Exemplo 3:
Volume de Sólidos
Exemplo 4:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto,
de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h/3.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja
no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone,
temos:
Volume de Sólidos
Exemplo 4:
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é
um círculo, paralelo à base, cuja área é y2.
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos,
podemos escrever:
e daí
ou seja, a área de cada secção transversal é.
Logo, o volume do cilindro é dado por:
Sólidos de Revolução
Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do
cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY.
Para cada y  [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado
pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área
A = x2 e o volume do cone é igual a:
Usando semelhança de triângulos temos:
Portanto:
Sólidos de Revolução
Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o
eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em
torno do eixo de OX.
A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1.
Para cada x  [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela
rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o
volume do sólido é igual a:
y
Portanto:
Sólidos de Revolução
Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas
Determinar o volume do sólido obtido com a rotação
de R em torno do eixo de OY.
Na figura temos representada a região R.
Como R é simétrica em relação OY, uma das
duas regiões R1 ou R2 girando em torno de
OY gera todo o sólido. Vamos considerar a
região R1.
Para cada y  [1/4, 4] a seção transversal
ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação
do segmento horizontal de comprimento x.
Logo, possui área A = x2 e o volume do
sólido é igual a:
Sólidos de Revolução
Exemplo 7:
Portanto:
Sólidos de Revolução
Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas
8.1. Esboce a curva.
Usando as derivadas
obteremos a curva abaixo.
Sólidos de Revolução
8.2. Seja R a região do plano limitada pela
ciclóide e pela reta y = -1. Determinar
uma
expressão
em
integrais
que
represente o volume do sólido obtido com
a rotação de R em torno do eixo de OX.
Seja a função y = f(x) tal que seu
gráfico é a ciclóide. Para cada x  [-4, 0]
a seção transversal ao eixo OX é um anel
circular de raio interno igual a 1 e raio
externo igual a y. Logo possui área igual a:
A = y2 - .12 = y2 -  e o volume do sólido é igual a:
Sólidos de Revolução
Substituindo x em função de t na integral anterior temos:
Sólidos de Revolução
8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume
do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1.
Sejam as funções x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são
respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t  [ , 2 ] e para
t  [0,  ]. Para cada y  [-5 , -1] a seção transversal ao eixo OY é
um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x1 e 1 – x2 .
Sólidos de Revolução
Logo, a seção transversal tem área A = (1- x1)2 - (1- x2 )2
e o volume do sólido é igual a:
Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:
Sólidos de Revolução
Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do
eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0).
Tomemos as equações paramétricas do círculo:
Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente
os semi–círculos obtidos para t  [-/2, /2] e para t  [/2, 3/2]. Para
cada y  [-1 , 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios
externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seção
transversal tem área A =  .x12 -  x2 2 e o volume do sólido é igual a:
Volume de Sólidos
ou usando simetria
Substituindo por t temos:
Volume de Sólidos
Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido
entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção
transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos
inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por
ou
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos,
podemos escrever:
conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y,
respectivamente.
Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido,
quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.
Volume de Sólidos
Volume de um sólido de
revolução, obtido pela
rotação em torno ao eixo x
- ou y - de um conjunto A.
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x)  0 para
todo x, tal que a  x  b. Considere o conjunto A, delimitado pelo
eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do
eixo x:
A
B
x1=a
x2=b
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2,
..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
- Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].
- Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci.
- Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi
e altura f(ci).
- Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido
de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:
V  Abase .altura
V    f (ci ) .xi
2
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn,
é dada por:
Vn   [ f (c1 )]2 x1   [ f (c2 )]2 x2  ...  [ f (cn )]2 xn
n
Vn   [ f (ci )]2 xi
i 1
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
–
A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito
pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do
que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B.
Definição
–
Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja
R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B,
gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:
n
Vn  lim   [ f (ci )]2 xi
máx xi 0
i 1
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
–
A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo
símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o
limite existe. Logo:
A
B
x1=a
x2=b
b
Vn    [ f ( x )] dx
2
a
–
Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos
em certas situações especiais.
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].
- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.
(a)
O sólido gerado pela rotação da figura (a)
é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).
(b)
(b)
Sólidos de Revolução
Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela
revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no
intervalo [1, 2].
b

De acordo com a definição: V   [ f ( x )] 2 dx
a
Sólidos de Revolução
Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado
ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no
intervalo [-1, 1].
b

- De acordo com a definição: V   [ f ( x )] 2 dx
1
V    [ x  1] dx
2
2
a
1
1
   ( x 4  2 x 2  1)dx
1
1 5 2 3  1
   x  x  x
3
5
 1
 1 2    1 2  56
     1     1 
 5 3   5 3  15
Sólidos de Revolução
Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido
gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região
delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = .
O volume do sólido é dado por:


V 
0
sen 2 x dx
2
sen
 x
V 


0
0

0
x sen 2x

C
2
4

2
x
sen
2
x

0





sen 2 x dx    
   

4 0
2
 2 4 2

Integral Indefinida
Revisão
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sejam as identidades trigonométricas:
sen 2 x 
1  cos2x
2
cos 2 x 
1  cos2x
2
Assim,
2
sen
 x dx  
1  cos2x
1
1
dx   dx   cos2x dx
2
2
2
1  x 01  1  sen2x
 
 
2  0  1 2  2 
2
 sen x 
x sen 2x

C
2
4
 cos2xdx
u  2x
du
du
2 
 dx
dx
2
1
cos2xdx 
cos u du
2
1
 sen u  C
2


Sólidos de Revolução
Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A
gira em torno do eixo dos y.
d
- Neste caso, temos:

V   [ g ( y)] dy
c
2
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.
Sólidos de Revolução
Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o
gráfico de y = x, para 0  x  2, sendo girada primeiro ao redor do
eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois
sólidos gerados.
a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de
é girada ao redor do eixo x:
, para
O volume do sólido é dado por:
0
2
0
2
Sólidos de Revolução
Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de
é girada ao redor do eixo y:
2
2
0
0
 y  dy  
2
O volume do sólido é dado por:
, para
0
2 2
0
2
y 4 dy
Sólidos de Revolução
Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de
é girada ao redor do eixo y:
2
2
0
0
O volume do sólido é dado por:
, para
Sólidos de Revolução
Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela
rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de
y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do
sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y.
a)
S1
1
S2
1/2 1
V1
V2
3
Sólidos de Revolução
Exemplo 6:
Logo, o volume do sólido é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
Sólidos de Revolução
Exemplo 6:
b)
S1
1
S2
1/2 1
3
Sólidos de Revolução
Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método
das cascas, é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
Sólidos de Revolução
Quando a região A está entre os gráficos de duas funções
f(x) e g(x) de a até b:
Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo
[a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno
do eixo x, é dado por:
A( x)    f ( x)   g ( x)
2
  f ( x)  g ( x) dx
b
V ( x)  
2
2
a
2
Volume de Sólidos
A( x)    f ( x)   g ( x)
2
  f ( x)
b
V ( x)  
a
2
2

 g ( x) dx
2
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região
limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.
Sólidos de Revolução
Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em
torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola y  1 (13  x 2 )
4
1
e pela reta y  ( x  5)
2
b
1
a
De acordo com a definição: V    [ f ( x )] 2  [ g ( x)] 2 dx
1
1
V   {[ (13  x 2 )]2  [ ( x  5)]2 } dx
4
2
3

1
169 26x 2 x 4
x 2 10x 25
V   {[(

 )]  [ 
 ]} dx
16
16
16
4
4
4
3

1
169  26x 2  x 4  4 x 2  40x  100
V   {[
]} dx
16
3

1
x 4  30x 2  40x  69
V  [
] dx
16
3

Sólidos de Revolução
Exercício 7: V 

1

( x 4  30x 2  40x  69) dx
16 3
  x5
1
30x 3 40x 2
V   

 69x  |  F (1)  F (3)
16  5
3
2
 3
  x5
1
V    10x  20x  69x  | 
16  5
 3
3
2
 1
5

  (3)
3
2
V    10  20  69  
 10(3)  20(3)  69(3) 
16  5
  5

  1
   243

V    30  69  
 270 180 207
16  5
  5

V
  1
243


39


117


16  5
5

Sólidos de Revolução
Exercício 7: V    244  156
16  5

V
V
  244 780

16 
5


  1024 1024


16  5 
80
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução
Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo
dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o
volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:
d
V    [ g ( y )] 2 .dy
c
8
V    [3 y ] .dy
2
0
8
2
3
V    y .dy
0
5 8
3
3
V   . y |  F (8)  F (0)
5 0
3
V
5
5
.(8) 3
3 3 85
0

5
3 3 (25 ) 3 3 .32 96



5
5
5
Sólidos de Revolução
Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a
um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução
y = f(x)
for a reta y = L, temos:
b

V   [ f ( x)  L]2 dx
A
L
a
a
b
Sólidos de Revolução
Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a
um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução
d
for a reta x = M, temos:
A
d

V   [ g ( y)  M ]2 dy
y = f(x)
c
M
c
Sólidos de Revolução
Volume de Sólidos
Volume de um sólido pelo
método dos invólucros
cilíndricos.
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas
cilíndricas.
O volume de cada uma das
cascas é dado por:
ou ainda, colocando
e
,
Sólidos de Revolução
Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a  x < b.
Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as
retas x1 = a e x2 = b.
Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um
sólido D, cujo volume queremos calcular.
onde
indica o raio de cada invólucro
e
indica sua altura.
Sólidos de Revolução
Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre
o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano
delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0  x  2, ao redor
do eixo y.
Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:
Sólidos de Revolução
Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da
região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0  x  1,
ao redor do eixo y.
As duas funções se encontram
nos pontos (0,0) e (1,1).
O volume do sólido pode ser
calculado pelo método das
cascas e, portanto, é igual a:
Sólidos de Revolução
Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em
torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que
0  x  y e x2 + y2  2.
Sólidos de Revolução
Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira
figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a
circunferência, sendo x  0:
Logo, x = 1:
Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é
dado por:
Sólidos de Revolução
Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em
torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2)  1.
Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.
Sólidos de Revolução
Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos
gráficos das funções:
Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:
Sólidos de Revolução
Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros
cilíndricos:
Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral: