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E d u c a ç ã o M a t e má t i c a e m R e v i s t a
Relato de Experiência
Número de diagonais de um
polígono: Relato de uma
Experiência
Marcelo Dias Pereira12
Resumo: O número de diagonais de um polígono é um dos conteúdos relacionados do eixo
Números e Operações dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental, anos
finais. Este relato de experiência, apesar de abordar uma atividade realizada em um Curso
de Pedagogia, apresenta uma possibilidade para a contagem das diagonais de um polígono,
proposta por alunos daquele curso, que pode servir como estímulo para levar um aluno, inclusive da Educação Básica, a generalizar esse conteúdo por meio de uma expressão equivalente à expressão que, geralmente, é conhecida. Ao mesmo tempo, convida o leitor a refletir sobre a prática docente,frente a uma aula em que os alunos são solicitados a construir
estratégias para a resolução de atividades cujo objetivo não é a simples aplicação ou fixação
de fórmulas.
Introdução
restrita ao curso de Licenciatura em
Trabalhando desde 1998 com a
Matemática.
de
Ao trazer para as aulas do curso de
Matemática, no início de 2009, pela
Pedagogia as práticas que há alguns anos
primeira vez e a convite da gestora do
utilizo
Curso de Pedagogia da Universidade em
especialistas em Matemática, vivenciei
que
de
algo que me chamou atenção e que
Metodologia e Prática de Ensino de
compartilho neste relato, cujo objetivo é
Matemática daquela graduação. Até então,
apresentar uma expressão equivalente à
minha experiência como formador de
expressão
professores no ensino superior estava
número de diagonais em um polígono,
formação
inicial
leciono,
de
assumi
professores
as
aulas
na
formação
(n − 3).n
2
para
12
Universidade Municipal de São Caetano do Sul
[email protected]
[email protected]
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
de
professores
calcular
o
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Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
proposta no ano de 2010, por então futuros
generalização (quando possível), entre
pedagogos
uma
outras.Tais atividades, que exigem, na
Universidade Municipal no Estado de São
maioria das vezes, a combinação de
Paulo, e que pode contribuir para o ensino
conhecimentos e a decisão pela melhor
desse conteúdo na Educação Básica.
maneira de utilizá-los em busca de
terceiranistas
de
Além desse, é também objetivo do
soluções de problemas, são denominadas
texto convidar o leitor a refletir sobre a
por
Diniz
prática docente em sala de aula quando se
problema.
Não
propõem atividades em que os alunos são
(2001)
é
como
objetivo,
situações-
neste
relato,
solicitados a construir estratégias para
abordar os conceitos e as classificações
obter algumas respostas, o que leva o
dos problemas em Matemática, mas cabe
professor a lidar com situações, muitas
ressaltar que a resolução de problemas,
vezes,
não
inesperadas,
contribuir
para
mas
abordar
que
podem
conceitos
e
como
simples
aplicação
da
aprendizagem por meio da escolha de
conteúdos indiretamente relacionados ao
técnicas
ou
formas
de
assunto em que se está trabalhando.
memorizadas, mas como desenvolvimento
Porém, antes de iniciar este relato,
de estratégias para resolver situações
apresento o que, a grosso modo, entendo
desafiadoras, é indicada nos Parâmetros
como aprendizagem em Matemática e
Curriculares
como ela pode ocorrer.
“[...] ponto de partida da atividade
Nacionais
resolução
como
o
D’Amore (2005) defende que a
matemática” (BRASIL, 1998, p.39). Por
aprendizagem em Matemática não se
outro lado, Onuchic (2008) enfatiza que,
constitui apenas na aquisição de conceitos,
além de ponto de partida, um problema é
mas sim no saber fazer, que engloba,
também
também, a aprendizagem de estratégias
aprendizagem,
(como o saber resolver e o saber
conhecimento far-se-á através de sua
demonstrar) e a aprendizagem algorítmica
resolução”. Essa autora também destaca
(como o saber calcular e o saber operar).
que a resolução de problemas é um
Dessa forma, entendo a aprendizagem em
trabalho que deve ser realizado por
Matemática
professor e alunos, de modo colaborativo.
como
a
construção
do
“[...]
orientação
e
a
para
construção
a
do
conhecimento pelo aluno e mediado pelo
Utilizando o entendimento sobre a
professor, por meio de atividades que
aprendizagem em Matemática apresentado
exploram a comparação, a dedução, a
acima como pano de fundo em minhas
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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E d u c a ç ã o M a t e má t i c a e m R e v i s t a
Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
práticas de aula, no segundo semestre de
Após solicitar aos alunos que
2010, após abordar, em aulas anteriores,
formassem grupos de, no máximo, 5
alguns conceitos da Geometria Plana,
integrantes, as únicas instruções colocadas
propus que os alunos do 3º ano do Curso
na lousa foram:
de Pedagogia tentassem generalizar o
Os polígonos representados nas folhas
número
são convexos, conforme já estudamos.
de
diagonais
em
polígonos
convexos, por meio de uma atividade de
(1)Com o auxílio de uma régua,
construção e contagem das diagonais de
construir e contar todas as diagonais
vários desses polígonos.
desses
Nada havia sido comentado nas
aulas anteriores sobre o assunto que seria
abordado naquela aula, pois um dos meus
polígonos.
Iniciar
pelos
triângulos, depois passar para os
quadriláteros, para os pentágonos e
assim por diante, em ordem crescente
de número de lados. Registrar as
objetivos era identificar os conhecimentos
conclusões sobre os números de
que os alunos traziam a respeito do
diagonais de todos os triângulos, de
número de diagonais, em polígonos.
todos os quadriláteros, de todos os
Ao iniciar a aula, foram entregues
pentágonos,
até
chegar
aos
aos estudantes folhas com representações
decágonos.
de
de
(2) Conferir as conclusões quanto aos
pentágonos, e assim por diante, até
números de diagonais com os demais
decágonos, todos convexos, os quais, em
grupos.
triângulos,
de
quadriláteros,
minha opinião, são mais acessíveis à
construção, à visualização e à contagem
das diagonais, quando possuem.
(3) Responder as questões:
I)
um dodecágono convexo?
II)
Ao todo, estavam representados 21
Quantas diagonais existem em
Quantas diagonais existem em
um icoságono convexo?
polígonos: 3 triângulos (um retângulo,
III)
outro acutângulo e outro obtusângulo), 6
um polígono convexo com n lados?
Quantas diagonais existem em
quadriláteros (dentre eles, um retângulo,
um
quadrado,
paralelogramo13
um
e
um
losango,
um
trapézio),
2
Os
objetivos
das
atividades
relacionadas ao item (1) eram:
pentágonos, 2 hexágonos, 2 octógonos, 2
(a) identificar se os alunos haviam
eneágonos, 2 decágonos (sempre um
compreendido a definição de diagonais em
regular e um não regular) e 2 heptágonos.
polígonos (na aula anterior tínhamos visto
13
Nomes relacionados às figuras e não à classificação dos quadriláteros.
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Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
que as diagonais dos polígonos eram os
de diagonais em polígonos, da aula
segmentos de reta com extremidades em
anterior, passaram a compreendê-la.
dois
vértices
não
consecutivos
do
polígono);
Quanto aos objetivos (c) e (b),
observei que todos os grupos chegaram
(b) levar os alunos a concluírem
aos números corretos de diagonais e todos
que o número de diagonais, em polígonos
concluíram que, em polígonos com a
com a mesma quantidade de lados, é
mesma quantidade de lados, esse número é
sempre o mesmo.
sempre o mesmo. A maioria dos grupos
(c) fazer com que os alunos
construiu todas as diagonais de todos os
obtivessem, por traçados, contagens e
exemplares de polígonos para chegar a
comparações, o número de diagonais de
essa conclusão e aos números corretos.
polígonos convexos, até 10 lados.
Apenas três grupos não o fizeram.
Já
o
objetivo
da
Qu esti on ado s
atividade
so b re
com o
relacionada ao item (2) era o de, apenas,
responderam ao item (1), um desses três
levar os alunos a constatarem se as
grupos, que chamarei de α, respondeu
conclusões obtidas no item (1) estavam de
que
acordo com as dos demais grupos.
obtida através de um notebook com
Quanto às atividades relacionadas
ao
item
(3),
seus
objetivos
eram
identificar:
a
expressão
(n − 3 ).n
2
conexão à internet que um dos seus
componentes estava utilizando. Quanto
aos outros dois, que estavam um ao lado
(d) se os alunos, através das
atividades
utilizaram
relacionadas
encontrariam
uma
ao
item
regularidade
(1),
justificaram as respostas dizendo que se os
para
polígonos têm o mesmo número de lados,
calcular o número de diagonais e, assim,
responder as perguntas (I) e (II);
número de diagonais em um polígono.
os
nove
então têm o mesmo número de diagonais.
Ao
(e) se os alunos generalizariam o
Observando
do outro e os chamarei de β e γ,
grupos
observar
as
estratégias
utilizadas pelos grupos para responder à
questão (I), identifiquei que três, dos nove
grupos,
construíram
um
dodecágono
formados, pude perceber que a interação
convexo e traçaram suas diagonais, para
entre os estudantes propiciou a troca de
contá-las; quatro grupos utilizaram a
(n − 3).n
expressão 2 obtida via internet pelo
informações e, dessa forma, alguns alunos
que não haviam compreendido a definição
grupo α; e dois (o β e o γ), resolveram,
(n − 3).n
não diretamente pela expressão 2
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
Dentre
mas da seguinte forma: multiplicaram 12
os
encaminhamentos
por 9 e dividiram o resultado por 2, porém,
apresentados, chamou-me atenção a forma
não haviam desenhado o dodecágono para
como os grupos β e γ (os únicos que não
contar as 9 diagonais possíveis, por
aproveitaram a expressão da internet)
vértice. Questionados por que 12 × 9 ÷ 2 ,
responderam à questão (II), pois utilizaram
eles responderam que o 12 correspondia
um procedimento diferente do que haviam
aos 12 vértices em um dodecágono, o 9
utilizado
porque eram 9 diagonais por vértice e o 2
responderam corretamente170 diagonais,
porque observaram que multiplicando 12
mas chegaram a esse resultado da seguinte
por 9, as diagonais eram contadas duas
maneira:
vezes.
17+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7
Não satisfeito, perguntei: por que 9
na
questão
anterior.
Eles
+6+5+4+3+2+1 = 170
diagonais cada vértice? A resposta foi
Curioso
para
entender
tal
porque com os 12 vértices, não há como
resolução, pois até então, aluno algum
contar 3 segmentos como diagonal: aquele
havia
com uma extremidade no vértice da frente,
questionei aqueles grupos sobre o porquê
outro com uma extremidade no vértice de
daquela resolução.
trás
(referindo-se
algo
parecido,
vértices
Em resposta, eles afirmaram ter
consecutivos) e o outro com extremidade
“descoberto”, pelos casos anteriores, um
nele mesmo (referindo-se que não havia
procedimento que fornecia o mesmo
como construir um segmento de reta tendo
resultado quando utilizada a fórmula que o
um único ponto como extremidades).
grupo α havia conseguido na internet: para
Com
relação
aos
apresentado
à
questão
(II),
o quadrilátero, fizeram a operação 1+1 = 2,
percebendo o trabalho que daria para
pois sendo 4 vértices (A, B, C e D), pelo
construir e contar todas as diagonais de um
vértice A pode-se construir apenas uma
icoságono,
sete grupos utilizaram a
expressão (n − 3).n obtida na internet pelo
diagonal, pelo vértice B, pode-se construir
grupo α. Dessa forma, o objetivo (d) não
se construir apenas uma diagonal para
foi atingido pela maioria dos alunos e o
cada vértice, porém elas já foram contadas.
objetivo (e) já não fazia mais sentido para
Sendo assim, tem-se 1+1 = 2 diagonais.
2
esses sete grupos.
apenas outra, pelos vértices C e D, podem-
E continuaram: para o heptágono
com vértices A, B, C, D, E, F e G, pelo
vértice A pode-se construir 4 diagonais;
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Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
pelo vértice B, também 4 diagonais; pelo
fora obtida da internet, geravam o mesmo
vértice C, pode-se construir 4 diagonais,
número; tarefa que foi cumprida em outra
mais uma delas já foi contada; pelo vértice
aula, pelo avançar das horas e, também,
D, também 4 diagonais, mas duas já foram
por eu não ter uma resposta previamente
contadas; pelo vértice E, das 4 diagonais
esboçada.
possíveis, três já foram contadas; pelos
Passados alguns dias, mostrei que
vértices F e G, todas as diagonais já foram
as
contadas.
constituíam formas diferentes que eram
Dessa
forma,
tem-se
4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 14 diagonais.
Eles
forneceram
a
duas
expressões,
na
verdade,
utilizadas para expressar a mesma ideia.
mesma
Antes, porém, abordei como obter uma
explicação para o decágono, ao contarem
generalização da soma N dos n primeiros
35 diagonais como 7 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 +
números naturais positivos. Para isso,
2 + 1 = 35.
utilizei alguns exemplos até que os alunos
O procedimento apresentado foi
chegassem, intuitivamente, à conclusão de
entendido pelos demais colegas que,
que o valor de N não se modifica ao
rapidamente, foram conferi-lo com o
escrevermos
as
número de diagonais dos pentágonos, dos
desordenada
ou,
hexágonos,
dos
crescente ou decrescente. Tivemos, então,
eneágonos, conforme eu solicitara. Dessa
a oportunidade de abordar a justificativa
forma, apenas os grupos β e γ atingiram o
para tal fato: as propriedades comutativa e
objetivo
associativa da adição. A partir dessa
(d),
dos
octógonos
mas
não
e
conseguiram
conclusão,
generalizar esse procedimento.
Sendo assim, assumi, então, essa
parcelas
ainda,
generalizei
N
de maneira
nas
na
ordens
ordem
crescente e decrescente de parcelas e
tarefa e, juntamente com os alunos da sala,
adicionei as duas formas:
chegamos à expressão:
Em que
N = 1 + 2 + ... + (n −2) + (n −1) + n
N = n + (n −1) + ... + 3 + 2 + 1
n representa o número de lados de um
Somando-se termo a termo essas
2 .(n − 3 ) + (n − 4 ) + (n − 5 ) + ... + 2 + 1
duas formas e representando-se as somas
polígono.
a
das finitas parcelas iguais por produtos,
responsabilidade de mostrar para os alunos
tem-se que 2 N = (n + 1).n e, dessa forma,
chega-se a N = (n + 1 ). n .
Restava-me
agora,
do 3º ano do Curso de Pedagogia, porque
que a generalização encontrada a partir da
ideia dos grupos β e γ e a expressão que
2
A
seguir,
de
maneira
mais
resumida da que fora utilizada em sala de
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Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
aula, eu compartilho uma explicação para
Considerações finais
Mais que uma metodologia para o
a validade da expressão proposta pelos
ensino de Matemática, Onuchic (2008)
grupos β e γ.
defende que a resolução de problemas é
Tomemos a expressão:
2 . (n − 3 ) +
(n
− 4 )+
(n
uma
− 5 ) + ... + 2 + 1
Metodologia
de
Ensino-
Com n natural positivo.
Aprendizagem-Avaliação e Diniz (2001)
Se adicionarmos a ela a expressão
destaca que ela corresponde a um modo de
− (n + (n − 1 ) + (n − 2 )) + (n + (n − 1 ) + (n − 2 ))
organização do ensino que inclui, além de
e,
aspectos metodológicos, uma postura do
consequentemente, seu valor não se altera.
significado de ensino e de aprendizagem.
Teremos, assim:
Nessas perspectivas, entendo que as
(n−3) −(n+(n−1) +(n−2)) +n+(n−1) +(n−2) +(n−3) +(n−4) +(n−5) +...+2+1
situações-problema têm papel relevante
Mas,
para a aprendizagem em Matemática.
estaremos
adicionando
zero
Dessa forma, na construção dessas
n + (n − 1) + (n − 2 ) + (n − 3) + (n − 4 ) + (n − 5) + ... + 2 + 1
corresponde à soma dos n primeiros
atividades, alguns fatores precisam ser
números naturais positivos e, portanto,
pode ser representada por (n + 1 ). n .
considerados, como, por exemplo, a
2
conhecimentos provenientes de sua própria
Sendo assim, teremos:
(n
− 3 ) − (n + (n − 1 ) + (n − 2 )) +
possibilidade de os alunos aplicarem
(n
+ 1 ). n
2
Reduzindo os termos semelhantes
experiência, a interação entre os alunos
para
a discussão
utilizados
ou
dos
dos
procedimentos
possíveis
erros
e escrevendo as parcelas com um mesmo
cometidos e a possibilidade da utilização
denominador, podemos chegar em:
de tecnologias.
− 4 n
+
2
Colocando
reduzindo,
(n
n
em
novamente,
semelhantes, teremos:
(n − 3 ). n
2
Cada um desses e de outros fatores
+ 1 ). n
2
requererá do professor uma reflexão
evidência e
durante a ação desenvolvida na sala de
os
aula, e até mesmo após essa ação, o que
termos
contribuirá, também, para a aprendizagem
do professor.
ou seja,
(n − 3).n
2 .(n − 3 ) + (n − 4 ) + (n − 5 ) + ... + 2 + 1 =
2
para qualquer valor de n, natural positivo.
Particularmente
nesse
caso
relatado, mesmo com a interferência da
internet, o que confesso não ter sido
considerado no planejamento, avalio que a
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Número de diagonais de um polígono: Um relato de experiência
atividade foi proveitosa. Essa interferência
Bibliografia
pôde, talvez, ter estimulado a maioria dos
alunos a utilizar um caminho mais rápido
para a solução das questões propostas, o
que
contribuiu
atingissem
para
alguns
que
eles
objetivos
não
traçados.
Porém, mesmo com a expressão obtida
através internet, novos conteúdos foram
abordados
(como
as
propriedades
comutativa e associativa da adição e a
soma dos n primeiros números naturais)
dada a criação, pelos próprios colegas
daqueles alunos, de situações que não
estavam previstas no meu plano de aula.
Além disso, a proposta da atividade
também
contribuiu
para
a
minha
aprendizagem, pois fui “convidado” a
encontrar uma explicação para justificar
duas formas diferentes de generalizar o
BRASIL. Secretaria de Educação
Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática/Secretaria de
Educação Fundamental. Brasília: MEC/
SEF, 1998.
D’AMORE, Bruno. Epistemologia e
Didática da Matemática. São Paulo:
Escrituras Editora, 2005.
DINIZ, Maria Ignez. Resolução de
Problemas e Comunicação. In: SMOLE,
Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez (Org.).
Ler, escrever e resolver problemas.
Porto Alegre: Artmed, 2001.
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa.Uma
História da Resolução de Problemas no
Brasil e no Mundo. In: SEMINÁRIO DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, 1.,
2008, Rio Claro. Anais eletrônicos... Rio
Claro: UNESP, 2008. Disponível em
<http://www.rc.unesp.br/serp/
trabalhos_completos/completo3.pdf>.
Acesso em: 15 de junho de 2012.
mesmo número de diagonais em um
polígono.
Professor(a),
Publique conosco suas experiências e
socialize com colegas no Brasil e exterior
suas conquistas em sala de aula!
Saiba mais em:
http://www.sbembrasil.org.br
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Regionais da Sociedade Brasileira de Educação Matemática
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