LIMPÍADA CAPI
ABA DE MATE
ÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE/UFES
Nível 1 – 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental
2a Fase – 30 de agosto de 2003
SOLUÇÕES DAS QUESTÕES*
1ª Questão.
Quando um barril cheio de água é esvaziado de 30% ele contém 30 litros a mais do que quando é
enchido até 30% de sua capacidade. Quantos litros de água contêm o barril quando ele está
totalmente cheio?
Solução 1: O barril contém 75 litros.De fato, se o barril é esvaziado de 30% ele fica com 70% de sua
capacidade. Logo 30 litros correspondem a 40% (=70% - 30%). Portanto o barril cheio contém 30X
100/40 = 75 litros.
Solução 2: Usando equação do primeiro grau:
Se x é a capacidade do barril em litros então x – 0,3x = 30 + 0,3x. Logo x = 75.
2ª Questão.
É dado um retângulo. Por um ponto da diagonal foram traçadas paralelas a seus lados obtendo-se
dois outros retângulos, conforme a figura. Mostre que as áreas dos retângulos sombreados são iguais.
A
A
B
.
B
Solução: Cada um dos triângulos retângulos (A ou B) não sombreados que estão acima da diagonal
do retângulo é congruente ao triângulo retângulo correspondente que está abaixo da diagonal. Eles
têm os mesmos lados. Os retângulos sombreados têm a mesma área, pois elas são iguais à área do
retângulo maior menos a soma das áreas de A e de B.
3ª Questão.
Um grilo dá saltos numa linha reta. A cada instante ele salta 1 cm para frente ou 1 cm para trás. É
possível que depois de 2003 saltos ele volte à posição inicial?
Solução: Não é possível.
Caso ele voltasse à posição inicial, o número de saltos para frente seria igual ao número de saltos
para trás. Portanto 2003 seria a soma de dois números inteiros iguais. Como 2003 é ímpar isto é
impossível.
4ª Questão.
1
Numa sala de aula o número de alunos ausentes é /6 do número de alunos presentes. Depois que um
1
aluno deixa a sala, o número de ausentes se torna /5 dos presentes. Quantos alunos há nesta turma?
Solução 1: A sala tem 42 alunos.
Com efeito, se o número de alunos ausentes é 1/6 do número de alunos presentes então os ausentes
correspondem a 1/7 da turma. Saindo um aluno da sala, os ausentes aumentam e passam a ser 1/6 da
turma. Logo 1 aluno corresponde a 1/6 - 1/7 = 1/42 da turma. Portanto a turma tem 42 alunos.
Solução 2: (Usando equação do primeiro grau)
Seja x o número de alunos ausentes. Então o número de presentes é 6x. Saindo um aluno da sala
ficarão 6x-1 presentes e x+1 ausentes. Assim 6x-1 = 5(x+1). Resolvendo encontramos x = 6, isto é,
inicialmente há 36 alunos presentes na sala e 6 ausentes. Portanto nessa turma há 42 alunos.
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5ª Questão.
Num bairro de 100 casas numeradas de 1 a 100, os moradores resolveram fazer uma festa. Eles se
dividiram em grupos de acordo com a soma dos algarismos de suas casas. Por exemplo, a casa 17
ficou no grupo 8 e a casa 39 no grupo 12. Cada casa contribuiu com um prato de comida. Casas do
mesmo grupo levaram para a festa o mesmo tipo de comida. Grupos diferentes levaram comidas
diferentes. Quantos tipos de comida havia na festa? Qual o maior número de comidas repetidas?
Solução: Havia 18 tipos de comida na festa. O maior número de comidas repetidas é 10 que
corresponde à dos moradores das casas 9, 90, 81, 72, 63, 54, 45, 36, 27 e 18. Para mostrar isto,
façamos uma tabela separando as casas e os grupos de moradores:
Grupos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Números da casas
1, 10 e 100
2, 20 e 11
3, 30, 21 e 12
4, 40, 31, 22 e 13
5, 50, 41, 32, 23 e 14
6, 60, 51, 42, 33, 24 e 15
7, 70, 61, 52, 43, 34, 25 e 16
8, 80, 71, 62, 53, 44, 35, 26 e 17
9, 90, 81, 72, 63, 54, 45, 36, 27 e 18
91, 82, 73, 64, 55, 46, 37, 28 e 19
92, 83, 74, 65, 56, 47, 38 e 29
93, 84, 75, 66, 57, 48 e 39
94, 85, 76, 67, 58 e 49
95, 86, 77, 68 e 59
96, 87, 78 e 69
97, 88 e 79
98 e 89
99
Quantidade repetida
3
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
6ª Questão.
Um monte de 29 palitos está sobre uma mesa. Fábio e Antônio realizam o seguinte jogo. Em cada
jogada é permitido retirar um ou dois palitos do monte. Perde o jogo quem ficar sem jogada, isto é, na
sua vez de jogar não houver mais palitos. Qual a estratégia para Fábio ganhar, se é ele quem inicia o
jogo?
Solução: Para ganhar, com certeza o jogo, Fábio deve aplicar a seguinte estratégia: Retirar 2 palitos
e a cada jogada, se Antônio retirar 1 palito Fábio deve retira 2 e vice-versa. De fato, desse modo Fábio
sempre entrega para Antônio um monte contendo um número de palitos que é múltiplo de 3. Ao final,
depois da 15ª jogada, o monte de palitos acaba na jogada de Fábio, que ganha o jogo. Caso Fábio
retire 1 palito, Antônio pode retirar 1 palito e aplicar a mesma estratégia anterior e ganhar de Fábio na
16ª jogada
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