UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CFM
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FSC 5107 – FÍSICA GERAL IA– Semestre 2012.2
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VETORES


1) Quais são as propriedades de dois vetores a e b , tais que












a) a  b  c
b) a  b  c

e
a b  c
e
a b  c
c) a  b  a  b
d) a  b  c
e
a 2  b 2  c2
2) Um deslocamento possui módulo s1 = 30 cm. Outro deslocamento possui módulo s2 = 40 cm. (a)
Calcule o módulo do deslocamento resultante supondo que os deslocamentos componentes sejam

perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de s for igual a 70 cm, qual será a orientação relativa dos
deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm? (d) Calcule a orientação
relativa dos dois deslocamentos, s1 e s2, se o módulo do deslocamento resultante for igual a 20 cm. (e)
Calcule a orientação relativa dos dois deslocamentos, s1 e s2, se o módulo do deslocamento resultante for
igual a 65 cm.
3) Um carro percorre uma distância de 30,0 km no sentido Oeste-Leste; a seguir percorre 10,0 km no
sentido Sul-Norte e finalmente percorre 5,00 km numa direção que forma um ângulo de 30,0° com o
Norte e 60,0° com o Leste. Usando o método geométrico (ou gráfico) e o método analítico, calcule: (a) O
módulo do deslocamento resultante. (b) O ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido
Oeste-Leste.


4) Um vetor a tem módulo de 10,0 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b tem módulo de
 
20,0 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos seguintes vetores: (a) a  b ,


(b) a  b .
5) Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola
6,0 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2,0 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2,0 m para o
Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido
com uma única tacada.
  
6) (a) Determine os componentes escalares dos vetores A, B e C
  
indicados na figura ao lado. (b) Escreva os vetores A, B e C
utilizando os vetores unitários. (c) Calcule o módulo, direção e
sentido do vetor S  A  B  C .

 
 

7) Dois vetores são dados por: a  3iˆ  2 ˆj  kˆ e b  3iˆ  ˆj  2kˆ . Determine: (a) a  b , (b) a  b ,
 
(c)  a  b .
8) Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo  entre si. Prove, considerando os componentes
escalares ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante dos dois vetores é:
r  (a 2  b2  2ab cos )




 
9) Dados dois vetores a  2iˆ  ˆj e b  iˆ  ˆj , determine o módulo e a direção de a , de b , de (a  b ) , de
 
 
(a  b ) e de (b  a ) .


y
10) Os vetores a e b estão orientados
conforme indica a figura. A resultante

b
da soma destes vetores vale R .Temos:
a = b = 5,0 unidades. Determinar:

105
a
(a) Os componentes de R segundo Ox
30

e segundo Oy, (b) O módulo de R ,
O

x
(c) O ângulo que R forma com o eixo Ox.
11) Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2,0 m de Norte para Sul, 4,0 m
de Oeste para Leste e 12,0 m numa direção que forma um ângulo de 60,0° com o Leste e de 30,0° com o
Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a
origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: (a) os componentes escalares de cada

deslocamento, (b) os componentes escalares do deslocamento R resultante, (c) o módulo, a direção e o
sentido do deslocamento resultante.
12) Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km de oeste
para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e depois uma certa distância em direção desconhecida. No final
do trajeto ela se encontra a 5,80 km diretamente a leste de seu ponto de partida. Determine o módulo, a
direção e o sentido do terceiro deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma vetorial dos
deslocamentos e mostre que ele concorda aproximadamente com o resultado mediante a solução
numérica.
13) Uma estação de radar observa
um avião aproximando-se vindo do
leste. Na primeira observação, a
posição do avião é de 360 m a
uma altura de 40,0° acima do horizonte.
O avião é rastreado por 123° no plano
leste-oeste e a distância final é
de 791 m. Determine o módulo
do deslocamento do avião
durante o período de observação.
v
791m
m
O
123
360m
40
L
14) Você deseja programar
o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem. Seu primeiro


deslocamento é A ; seu segundo deslocamento é B , cujo módulo é igual a 6,40 cm, orientado formando
um ângulo de 63,0o, medido considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo –Oy. A resultante
  
C  A  B dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a 6,40 cm , porém formando um
ângulo de 22,0o, medido considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy. (a) Desenhe
 um
diagrama em escala aproximada para estes vetores. (b) Calcule os componentes escalares de A . (c)
calcule o módulo direção e sentido de A .
y
c
15) Os três vetores mostrados têm módulos
a = 3, b = 4 e c =10.
(a) Calcule os componentes escalares destes vetores.



(b) Ache os números p e q tais que c  p a  q b .
c
b
30°
a
x
a
16) Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. Os
componentes (x ; y) de quatro corridas consecutivas em linha reta são os seguintes, todos em
centímetros: (30,0; 40,0), (bx ; -70,0), (-20,0; cy); (-80,0; -70,0). O deslocamento resultante das quatro
corridas tem componentes (-140; -20,0). Determine (a) bx e (b) cy. Determine (c) o módulo e (d) o
ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento total.

17) Um vetor v possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-Leste no sentido


anti-horário. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) v / 2 , (b) 2 v .

18) Dois vetores são dados por a  3iˆ  2 ˆj  kˆ


Determine o vetor 3a  2b .
e

b  3iˆ  ˆj  2kˆ
19) Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja perpendicular à sua
diferença.
20) A resultante de uma soma vetorial de dois vetores possui módulo igual a 4,0 m. O módulo de um dos
vetores componentes é igual a 2,0 m e o ângulo entre os dois vetores componentes é igual a 60°. Calcule
o módulo do outro vetor componente.

 


21) Mostre que, para qualquer vetor, a , temos que a . a  a 2 e que a x a  0 .


22) Um vetor a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades apontam
para direções que fazem um ângulo de 60° entre si. (a) Determine o produto escalar entre os dois vetores
e (b) o produto vetorial entre eles.

   

23) (a) Determine os componentes e o módulo de r  a  b  c se a  5iˆ  4 ˆj  6kˆ , b  2iˆ  2 ˆj  3kˆ


e c  4iˆ  3 ˆj  2kˆ . (b) Calcule o ângulo entre r e o eixo z positivo.
24) Mostre que a área do triângulo


compreendido entre os vetores a e b


da figura, é igual a (1/2) | a x b | onde as
barras verticais indicam o módulo.
25) Determine o valor de m para que o vetores
perpendiculares entre si.

b

bsen

a


c  3iˆ  5 ˆj  9kˆ e a  7iˆ  mˆj  4kˆ sejam
26) Três vetores, a , b e c somam zero, como no triângulo retângulo
da figura ao lado. Sabendo-se que os módulos dos três vetores são,
respectivamente, 4, 3 e 5, calcule:
 
 
 
 
 
 
(a) a  b ; (b) a  c ; (c) b  c ; (d ) a  b ; (e) a  c ; (f) b  c .

c

b

a

27) O vetor a está no plano yz a 63,0° do eixo +Oy, com uma componente z positiva e tem módulo 3,20

unidades. O vetor b está no plano xz a 48,0° do eixo +Ox, com uma componente z positiva e tem
 
 
 
módulo de 1,40 unidade. Ache (a) a . b , (b) a x b e (c) o ângulo entre a e b .
RESPOSTAS - VETORES


1) (a) a e b devem ser colineares e de mesmo sentido.


(b) a e b devem ser colineares e de sentidos opostos.
(c) b = 0


(d) a e b devem ser perpendiculares entre si.
2) (a) 50 cm
(b) os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido.
(c) os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários.
(d) 151°
(e) 44°
3) (a) 35,5 km
(b) 23,8°
4) (a) 22,4 unidades
(b) 22,4 unidades
5) módulo: 8,2 m; direção: formando um ângulo de 65° com o Leste e 25° com o Norte.
6) (a) Ax = 7,2 m; Ay = 9,6 m; Bx = 11,5 m, By = -9,6 m; Cx = -3,0 m, Cy = -5,2 m
(b) A  7,2 iˆ  9,6 ˆj(m); Bˆ  11,5 iˆ  9,6 ˆj(m); C  3,0 iˆ  5,2 ˆj(m)
(c ) módulo=16,5 m; faz um ângulo de 342° com o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário.
7) (a) 6iˆ  3 ˆj  3kˆ

9) a 

b 
 
a b
 
a b
 
b a
(b)  ˆj  kˆ
(c) ˆj  kˆ
5 ; 27° com eixo OX positivo, medido no sentido horário.
2 ; 45° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.
 1; paralelo ao eixo OX positivo.

13 ; 34° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.
= 1; 180° com o eixo OX positivo, medido no sentido antihorário.
10) (a) Rx = 0,79 unidades; Ry = 6,0 unidades.
(b) R = 6,1 unidades.
(c) 82° no sentido antihorário.
11) (a) ax = 0; ay = -2,0 m ; bx = 4,0 m; by = 0 ; cx = 6,0 m; cy = 10,4 m.
(b) Rx = 10 m; Ry = 8,4 m.
(c) R = 13,1 m; direção: 40,0° com o eixo OX positivo, medido no sentido antihorário.
12) 2,81 km; 61,8o do leste para o norte.
13) 1032 m.
14) (b) Ax = 3,03 cm; Ay = 8,10 cm.
(c) 8,65 cm; 69,5o medido no sentido do eixo +Ox para o eixo +Oy (medido no sentido antihorário a
partir do eixo +Ox).
15) (a) ax= 3, ay= 0;
bx=2 3 , by= 2;
cx = -5, cy = 5 3 .
5 3
20
, q=
.
3
2
16) (a) -70,0 cm;
(b) 80,0 cm;
(c) 141 cm;
(d) 188° com o eixo OX positivo, medido no sentido antihorário.
(b) p = 
17) (a) 2 m, 45° com a direção Oeste-Leste medido no sentido antihorário.
(b) 8 m, 225° com a direção Oeste-Leste medido no sentido antihorário.
18) 3iˆ  4 ˆj  kˆ
20) 2,6 m
22) (a) 30 unidades2
(b) 52 unidades2; direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Sentido: regra de mão
direita.


23) (a) r  11i  5 ˆj  7kˆ ; r = 14
(b) 120°
25) m= 3
26) (a) 0 (b) -16 (c) -9 (d) 12k̂ (e)  12k̂ (f) 12k̂
27) (a) 2,97 unidades2 (b) (1,51iˆ  2,68 ˆj  1,36 kˆ) unidades 2 (c) 48,5°
Problemas compilados dos livros:
-"Fundamentos da Física - 1"; David Halliday , Robert Resnick e Jearl Walker; Livros Técnicos e Científicos Editora.
-“Física-Vol.1"; David Halliday, Robert Resnick e K.S. Krane; 4a Edição; Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
- “Física-Mecânica”, vol. 1, Paul Tipler, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.