Física
Física – Módulo 1
Vetores, escalares e
movimento em 2-D
Física
Vetores, Escalares....
O que são?
Para que servem?
Por que aprender?
Física
Escalar
• Definição:
– Escalar – Grandeza sem direção associada.
• Exemplos:
•
•
•
•
•
Massa de uma bola, 0.25 kg.
Tempo para a massa se mover uma distância
Temperatura (lida no termômetro)
Energia de um corpo.
Carga elétrica.
• Algumas grandezas escalares são sempre
positivas (massa). Outras podem ter os dois
sinais.
Física
Definindo um Vetor...
• Algumas grandezas não podem ser descritas por
escalares.
• A velocidade, por exemplo, é uma grandeza
física em que a direção do movimento é tão
importante quanto seu valor (magnitude).
•As quantidades descritas por uma magnitude
(sempre positiva) e uma direção (sentido implícito)
são chamadas de VETORES.
Física
Definindo sua posição em um mapa
• Você está no ponto A do mapa.
T
• Deve andar 20 passos na
direção nordeste, até o ponto T.
• Isto é um vetor!
deslocamento.
O
*
B
vetor
• Este vetor é representado por B
(negrito) ou por .
B
•A Magnitude de B é ; B ou |B|
A
A *
Física
Soma de Vetores
A soma dos deslocamentos A e B
B
A
é dada por um deslocamento R
R=A+B
A
R
B
B
R
B
A
A
Note que
A+B=B+A
Propriedade comutativa...
Física
Soma de Vetores
C
Como somar mais de um vetor?
B
S=A+B+C
A
Note que
S = (A + B) + C = A + (B + C)
S
S=A+B+C
R
S
R=A+B
S=R+C
C
Física
Subtração de Vetores
A subtração dos vetores A e B
A
R = A - B = A + (-B)
-B
R
Um vetor cuja resultante é 0 (zero) é chamado vetor nulo
B + (- B) = 0
B
-B
Multiplicação por escalar
B
C
2B
B=B
C = 2B
-0.5 B
C = - 0.5 B
Física
Decompondo um vetor
O vetor A pode ser decomposto em
uma soma da forma
y
j
A = Ax + Ay
i
Se definimos vetores unitários
i e j podemos escrever
Ay
A
A = Ax i + Ay j
onde Ax e Ay são escalares definidos
como as componentes do vetor A.
Ax
Os vetores unitários também são conhecidos como versores e
podem ser representados por iˆ e ˆj . Logo,
A = Ax iˆ + A y ˆj
X
Física
Decompondo um vetor em coordenadas cartesianas
y
Ay
j
A
i
Ay
θ
A
Ax
Ax
X
O vetor A pode ser decomposto
em uma soma da forma
A = Ax + Ay
Sabendo que
senθ = Ay / A
cosθ = Ax / A
Ax = A cosθ
Ay = A senθ
Física
Representação polar
As componentes Ax e Ay são as chamadas coordenadas cartesianas
do vetor A.
Podemos ainda definir um outro conjunto de coordenadas para
descrever um vetor no plano.
Estas são as coordenadas polares, dadas pelo módulo do vetor A
A = Ax2 + Ay2
e pelo seu ângulo polar como
 Ay 
θ = tan  
 Ax 
−1
y
A
Ay
θ
j
i
Ax
x
Física
Soma de vetores usando suas componentes
Queremos somar os vetores A e B
C=A+B
Isto é somar as suas componentes
C
By
B
C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j)
Ay
ou
A
C = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
C = Cx i + Cy j
Ax
Bx
Física
Produto escalar
O produto escalar de dois vetores A e B é o resultado do
produto do comprimento (também chamado de norma ou
módulo) de A pela projeção escalar de B em A.
A . B = A B cosθ
Geometricamente, projeta-se A na
direção de B e multiplica-se por B.
Então,
(A cosθ) B ou (B cosθ) A
Note que
A.B=B.A
A
θ
A cosθ
B
B
Importante: O produto escalar nos fornece um número, não um vetor.
Física
Produto escalar
Devido à distributividade do produto escalar, podemos escrevê-lo
em termos das suas componentes cartesianas como
A ⋅ B = ( Axi + Ay j + Az k ) ⋅ ( B xi + B y j + B z k ) =
= Ax B xi ⋅ i + Ax B y i ⋅ j + Ax B zi ⋅ k +
= AyBx j ⋅ i + AyB y j ⋅ j + Ay Bz j ⋅ k +
= Az B xk ⋅ i + Az B y k ⋅ j + Az B z k ⋅ k
Mas como
i.i = j.j = k.k =1
e
i.j = i.k = j.k = 0
teremos
em termos das componentes cartesianas (em 3 dimensões)
A . B = AxBx + AyBy + Az Bz
Física
Produto vetorial
Definição; C = A x B, cujo
módulo é dado por
C
C = |A x B| = A B sin θ
B
e que tem
i) a sua direção perpendicular ao
plano formado por A e B;
ii) o seu módulo igual à área do
paralelogramo formado por A e B.
iii) e obedece a regra da mão direita
Note que o produto vetorial não
é comutativo
AxB=-BxA
θ
A
B
θ
-C
Física
Produto vetorial
Devido à distributividade do produto vetorial, podemos escrevê-lo
em termos das suas componentes cartesianas como
A × B = ( Axi + Ay j + Azk ) × ( B xi + B y j + B zk ) =
= Ax B xi × i + Ax B y i × j + Ax B z i × k +
= AyBx j × i + AyB y j × j + AyBz j × k +
= Az B xk × i + Az B y k × j + Az B zk × k
Mas como
i×i = j× j = k×k = 0
i × j = k , k × i = j, j × k = i
e
teremos
A × B = ( Ay Bz − Az By )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k
Física
Produto vetorial
Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois vetores A e
B é através do determinante da matriz formada pelos unitários i,
j e k e pelas componentes cartesianas dos vetores A e B ao longo
das suas linhas
i
Ax
j
Ay
k
Az =
Bx
By
Bz
= ( Ay Bz − Az By )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k
Física
Vetores dependentes do tempo
Na natureza há inúmeros exemplos de grandezas
vetoriais que variam no tempo!
No momento estamos interessados nos seguintes
exemplos;
• Posição e deslocamento de um corpo em movimento
(bi ou tri-dimensional)
• Velocidade e aceleração deste corpo ou partícula
Física
Posição e deslocamento
A trajetória é o caminho
percorrido por um objeto
(planeta , cometa, foguete,
carro..). Qualquer ponto da
trajetória pode ser descrito
pelo vetor posição que
denotamos por r(t).
O deslocamento ∆r entre os
pontos rP e rQ é dado por
∆ r = rQ – rP
Note que ∆r não depende da origem e que o vetor deslocamento
não nos dá nenhuma informação sobre a trajetória.
Física
Posição e deslocamento
O vetor posição, num plano 2-D (x
e y, por exemplo) é definido em
termos das suas coordenadas
cartesianas por
r(t) = x(t)i + y(t)j
No caso espacial, 3-D, temos
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
Física
O Vetor Deslocamento – Um exemplo simples...
Um carro anda 3 km para leste e depois 4 km para o norte. Qual o
deslocamento resultante e qual sua direção?
Como os deslocamentos formam um triângulo
retângulo, podemos encontrar o deslocamento
utilizando o Teorema de Pitágoras...
N
4km
C2 = A2 + B2 = (3 km)2 + (4 km)2 = 25 km2
C = 25 km = 5 km
2
θ
3 km
E
Encontramos o módulo do vetor resultante…
Agora precisamos encontrar sua direção. Se θ for o ângulo entre o eixo leste e o
deslocamento, temos que
4 km
tgθ =
=1,33
3km
θ = tg −1 1,33 = 53,1o
O deslocamento resultante é de 5 km dirigido a 53,1o ao norte da direção leste.
Física
O Vetor Deslocamento – Um exemplo simples...
Uma pessoa anda 3 km para leste e depois 4 km numa direção ao norte do
leste. Qual o deslocamento resultante?
Ax = 3 km
Ay=0
Bx = (4 km) cos 600 = (4 km)(0,5) = 2 km
By = (4 km) sen 600 = (4 km)(0,866) = 3,46 km
Cx = Ax + Bx = 3 km + 2 km = 5 km
Cy = Ay + By = 0 km + 3,46 km = 3,46 km
C 2 = Cx2 + C y2 = (5km) 2 + (3, 46km) 2 = 37km 2
C = 37km 2 = 6,1km
Cy
3, 46 km
tgθ =
=
= 0, 692
Cx
5 km
θ = tg −1 0, 692 = 34, 7 o
Física
O Vetor Velocidade
Quando estamos em um carro e este marca 50km/h no velocímetro
este valor é o módulo da velocidade naquele instante. No entanto,
este valor não indica a direção do movimento.
Se a partícula estiver num ponto (x,y), o vetor posição é
com origem em 0
r = xi + yj
O vetor deslocamento é a
variação do vetor posição
y
∆r = r2 − r1
P1 em t1
P2 em t2
A razão entre o vetor
deslocamento e o intervalo
de tempo ∆t é o vetor
velocidade média:
∆r
vm =
∆t
∆s
∆r
r1
r2
0
x
Física
O Vetor Velocidade
A velocidade média pode ser escrita em termos de suas componentes
r (t + ∆t ) − r (t ) ∆r ∆x
∆y
vm =
=
=
i+
j
∆t
∆t ∆t
∆t
A velocidade instantânea é o limite do vetor vm quando ∆t tende a zero
r (t + ∆t ) − r (t ) dr
v = lim
=
∆t →0
dt
∆t
y
P1
Neste limite, podemos escrever
∆r’’ P’’2
∆r
dx
dy
v = ι+ j
dt
dt
P’2
∆r’
P2
r1
r2
ou
v = vx i + v y j
O
x
Física
O Vetor Velocidade – Outro exemplo simples...
A componente da velocidade na direção x é dada por:
A componente da velocidade na direção y é dada por:
Assim, o módulo do vetor velocidade média é
E a direção da velocidade média é obtida tomando
Física
O Vetor Aceleração
O vetor aceleração média é definido como a razão entre a
variação do vetor velocidade instantânea ∆v e o intervalo de tempo
∆t.
∆v y
v (t + ∆t ) − v (t ) ∆v ∆vx
am =
=
=
i+
j
∆t
∆t
∆t
∆t
O vetor aceleração instantânea, por sua vez, é definido como o
limite do vetor aceleração média quando o intervalo de tempo ∆t
tende a zero.
v (t + ∆t ) − v (t ) dv
=
∆t → 0
∆t
dt
a = lim
Física
O Vetor Aceleração
dr (t )
Lembrando que v =
dt
, podemos escrever
dv d  dr (t )  d 2 r (t )
a=
= 
=

dt dt  dt 
dt 2
Podemos ainda escrever o vetor aceleração em termos de suas
componentes
dv y
d v (t ) dvx
a=
=
i+
j
dt
dt
dt
ou
a = ax i + a y j
Física
Componentes da aceleração
Componentes cartesianas
Componentes tangencial e
perpendicular
Física
O problema inverso
Conhecida a aceleração,
podemos integrá-la e
a (t )
t
obter a velocidade, que se
integrada
v (t ) − v0 = ∫ a (t ′) dt ′
t0
t
nos fornece a posição
r (t ) − r0 = ∫ v (t ′) dt ′
t0
Este processo deve ser efetuado para cada componente
cartesiana do vetor considerado
Física
O Vetor Aceleração
É importante observar que o vetor velocidade pode variar em
módulo, em direção, ou em ambos.
Se o vetor velocidade variar, de qualquer forma, a partícula
sofrerá uma aceleração.
Isto significa que uma partícula pode estar em movimento com
velocidade de módulo constante (valor constante) e ainda assim
estar acelerada, se a direção do vetor velocidade estiver se
alterando.
Um caso especial dessa situação é o do movimento circular, que
veremos mais a frente.
Física
O Vetor Aceleração – Um exemplo simples...
Um carro está viajando a 60 km/h para leste. Entra numa curva e, 5s depois,
está viajando para o norte, a 60 km/h. Achar a aceleração média do carro.
N
A figura ao lado mostra os vetores velocidade inicial
v1 e velocidade final v2. A variação em v é dada por
v2
A aceleração é dada por
v1
Dados:
v1 = 60 km/h i
v2 = 60 km/h j
O módulo da aceleração média é
Observe que o carro sofre uma aceleração mesmo tendo |v| constante.
E
Física
Para o próximo encontro...
Atenção:
Estudem os exemplos dados nesta aula.
Refaçam-os no caderno. Estudem, estudem, estudem...