UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
KLINGER JUCIER TARGINO RODRIGUES
PERDA DE CARGA EM CONDUTOS FORÇADOS
MOSSORÓ
2011
KLINGER JUCIER TARGINO RODRIGUES
PERDA DE CARGA EM CONDUTOS FORÇADOS
Monografia apresentada à Universidade Federal Rural
do Semi-Árido – UFERSA, Departamento de Ciências
Ambientais e Tecnológicas para a obtenção do título
de Bacharel em Ciência e Tecnologia.
Orientador: Prof. D. Sc. Sérgio Weine Paulino Chaves
– UFERSA.
MOSSORÓ
2010
Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e
catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA
R696p Rodrigues, Klinger Jucier Targino.
Perda de carga em condutos forçados. / Klinger Jucier
Targino Rodrigues. -- Mossoró, 2011.
50f.: il.
Monografia (Graduação em Ciência e Tecnologia) –
Universidade Federal Rural do Semi-Árido. Pró-Reitoria
de Graduação.
Orientador: Prof. DSc. Sérgio Weine Paulino Chaves
1. Perda de carga. 2. Conduto sob pressão.3.Equações.
I. Título.
CDD:631.587
Bibliotecária: Vanessa Christiane Alves de Souza
CRB-15/452
KLINGER JUCIER TARGINO RODRIGUES
PERDA DE CARGA EM CONDUTOS FORÇADOS
Monografia apresentada à Universidade Federal
Rural do Semi-Árido – UFERSA, Departamento de
Ciências Ambientais e Tecnológicas para a obtenção
do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia.
APROVADA EM: 07/07/2011
BANCA EXAMINADORA
________________________
Prof. D. Sc. Sérgio Weine Paulino Chaves – UFERSA
Presidente
__________________________
Prof. D. Sc. José Francismar de Medeiros – UFERSA
Primeiro Membro
_________________________
Prof. D. Sc. Indalécio Dutra – UFERSA
Segundo Membro
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço Deus, por ter me dado força durante a elaboração deste trabalho.
Aos meus pais, sem os quais não chegaria até aqui.
Ao meu Irmão, pela compressão e paciência que teve comigo nos momentos de stress.
Ao meu prof. Sérgio Weine Paulino Chaves, pela orientação e motivação durante a realização
do trabalho.
A todos os meus colegas e amigos da graduação, em especial o meu amigo Jandson Tavares e
Stéfano Martins, pois, na hora em que precisei, pude contar com sua ajuda.
RESUMO
Denominam-se condutos forçados ou condutos sob pressão, as tubulações onde o líquido
escoa sob uma pressão diferente da atmosférica. A perda de carga em condutos forçados
refere-se a perca de energia causada pela realização de trabalho quando líquido escoa através
de um diferencial de pressão. Esta perda obedece ao princípio da conservação de energia e
pode ocorrer tanto nos trechos retilíneos do conduto, assim como também, nas suas
singularidades (válvulas, registros e etc.), denominadas, respectivamente, como perda de
carga contínua e localizada. A soma dessas duas fornece a perda de carga total ao longo da
canalização. Diante disso, foi realizada uma pesquisa das principais equações que fornecem a
perda de carga em condutos forçados.
Palavras-chave: Condutos forçados. Perda de carga. Equações.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Tubo de corrente ..................................................................................................... 14
Figura 2 – Tubo de corrente 2 .................................................................................................. 16
Figura 3 – Representação do teorema de Bernoulli .................................................................. 18
Figura 4 – Representação do experimento de Reynouds .......................................................... 20
Figura 5 – Escoamento laminar ................................................................................................ 21
Figura 6 – Escoamento turbulento liso ..................................................................................... 22
Figura 7 – Escoamento turbulento ............................................................................................ 22
Figura 8 – Representação da perda de carga ............................................................................ 25
Figura 9 - Perda de carga entre duas seções de um conduto convergente ................................ 25
Figura 10 –Perda de carga no regime laminar .......................................................................... 27
Figura 11 - Regiões de diferentes velocidades no regime laminar ........................................... 28
Figura 12 – Três regiões do regime turbulento ........................................................................ 29
Figura 13 – Ábaco de Moody ................................................................................................... 31
Figura 14 – Representação dos comprimentos equivalentes .................................................... 41
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Valores de rugosidade (K) dos diversos materiais. ................................................ 32
Tabela 2 – Valores do coeficiente de atrito (C) da formula de Hazen-Williams. .................... 37
Tabela 4 – Valores do coeficiente de atrito (b) da fórmula de Flamant.. ................................. 38
Tabela 5 – Valores do coeficiente (K) da equação da perda de carga localizada. .................... 40
Tabela 6 – Valores de comprimento equivalente (LE), em número de diâmetros dos elementos
mais comuns das canalizações. ................................................................................................. 43
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 11
2 OBJETIVOS ...................................................................................................................... 12
2.1 GERAL ............................................................................................................................ 12
2.2 ESPECÍFICOS ................................................................................................................. 12
3 REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................................ 13
3.1HIDRAULICA .................................................................................................................. 13
3.2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE ................................................................................ 14
3.3 TEOREMA DE BERNOULLI ........................................................................................ 15
3.3.1 Linha de energia (LE) ou de carga (LC) ....................................................................... 18
3.3.2 Linha piezométrica (LP) ............................................................................................... 19
3.4 REGIMES DE ESCOAMENTOS ................................................................................... 19
3.4.1 Escoamento laminar ou turbulento ............................................................................... 21
3.4.2 Regime permanente e uniforme.....................................................................................22
3.4.3 Escoamento compressível ou incompressível ............................................................... 23
3.5 CONDUTOS SOB PRESSÃO ........................................................................................ 23
3.6 PERDA DE CARGA ....................................................................................................... 23
3.6.1 Demonstração experimental para a perda de carga ....................................................... 24
3.6.2 Estudo da perda de carga ............................................................................................... 26
3.6.3 Perda de carga distribuída no regime laminar ............................................................... 26
3.6.4 Determinação do fator de atrito para regime laminar ................................................... 27
3.6.5 Perda de carga distribuída no regime turbulento e a fórmula universal da perda de
carga distribuída ........................................................................................................... 28
3.6.6 Ábaco de moody ........................................................................................................... 30
3.6.7 Equação de Colebrook-White ....................................................................................... 31
3.6.8 Método de resolução de equações implícitas ................................................................ 33
3.6.9 Equações explícitas para a determinação do fator de atrito de Darcy-Weisbach.......... 33
3.6.10 Fórmulas práticas para a determinação da perda de carga .......................................... 35
3.6.11 Perda de carga localizada ............................................................................................ 38
3.6.12 Uma simplificação........................................................................................................43
3.6.13 Perda de carga total ..................................................................................................... 44
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................................................... 45
5 MATERIAL E MÉTODOS.............................................................................................. 47
6 CONCLUSÃO ................................................................................................................... 48
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 49
11
1 INTRODUÇÃO
A hidráulica é uma área de conhecimento de suma importância para estudantes de
diversas áreas da engenharia e seu conhecimento teórico e prático é imprescindível para a
formação acadêmica.
Obras hidráulicas de certa importância remontam à antiguidade. Na Mesopotâmia,
existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigres e Eufrates e,
em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750 a.C. (AZEVEDO NETO,
1973). Com o passar dos tempos, cada vez mais, seu estudo foi sendo desenvolvido graças a
grandes pensadores como Euler que desenvolveu as primeiras equações gerais para o
movimento dos fluidos.
Atualmente, a hidráulica tem ocupado um espaço de grande relevância na engenharia e
é responsável por grandes avanços da indústria e de maquinários em geral. Um caso
específico de sua aplicação é a elaboração de projetos de irrigação, onde para fazer-se o
dimensionamento do sistema de irrigação é necessário o conhecimento de dados técnicos
específicos do comportamento hidráulico do líquido.
Altura manométrica, vazão, canais, perda de carga e qualidade de água utilizada no
sistema, são parâmetros do projeto intimamente relacionados e que justificam a necessidade
de conhecimento hidráulico para a irrigação pressurizada, visto que estes influenciam
diretamente na eficiência do sistema. Tais parâmetros são imprescindíveis quando se deseja
minimizar custos anuais e de implantação de um projeto hidráulico e para isso é necessário
contabilizar de maneira exata as perdas de carga totais, correspondentes às perdas de carga
continua e localizadas, contribuindo assim para uma distribuição uniforme da água
(CARDOSO, 2007).
12
2 OBJETIVOS
2.1 GERAL
O objetivo do presente trabalho é o de contribuir para o entendimento de um ramo
específico da hidráulica, a perda de carga em condutos forçados, onde será apresentada uma
revisão bibliográfica dos princípios e equações matemáticas que regem os seus fenômenos.
2.2 ESPECÍFICOS
Apresentar, didaticamente, as principais equações para perda de carga em condutos
forçados, assim como, demonstrar sua aplicabilidade na resolução de problemas gerais do
tema abordado.
Produzir um material que sirva como ferramenta de estudo sobre o assunto para
estudantes da disciplina de hidráulica.
13
3 REVISÃO DE LITERATURA
3.1HIDRAULICA
A hidráulica é um ramo da ciência que tem por objetivo o estudo dos líquidos em
repouso e em movimento, tendo como base teórica a mecânica dos fluidos (LENCASTRE,
1972). Seu estudo teórico divide-se em Hidrostática, que estuda a condição de líquidos em
repouso, e Hidrodinâmica, que trata dos líquidos em movimento. Num sentido restrito, a
Hidrodinâmica é o estudo da teoria do movimento do fluido ideal, que é um fluido teórico,
sem coesão, viscosidade, elasticidade e, em alguns casos, sem peso, é por assim dizer, a
Mecânica Racional dos fluidos (NEVES, 1979).
A hidráulica pode ser definida como um meio de transmitir energia, para tanto, é
necessária uma energia mecânica inicial, essa energia será transmitida pelo fluido que, através
de um diferencial de pressão no ambiente onde se encontra, deverá realizar algum trabalho em
outro ponto do sistema, a força gerada nesse ponto de trabalho é proporcional à força inicial
aplicada, princípio da conservação de energia (ALVES, 2009). Com base nesse princípio e no
que diz respeito a sistemas conservativos no caso de líquidos perfeitos ou, no caso de líquidos
reais, quando se puderem desprezar as perdas de carga, pode-se dizer que,
.
(1)
onde:
= Energia mecânica inicial;
= Energia mecânica final.
Em um sistema hidráulico ideal, temos um estado puramente conservativo de energia,
onde não há dissipações para o meio e toda a energia aplicada inicialmente é transferida
integralmente ao longo do fluido (ALVES, op. cit.).
14
Na realidade não existe um sistema hidráulico ideal, na prática, todo fluido perde
energia para o sistema devido ao trabalho de atrito, viscosidade e turbilhonamento
(EVANGELISTA, [s.d.]).
3.2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Com base na figura a seguir, Azevedo Neto (1973), faz a seguinte dedução para a
equação da continuidade:
Figura 1 – Tubo de corrente
Fonte: Azevedo Neto, 1973.
Considerando-se o trecho de um tubo de corrente, indicado na figura 1, com as seções
e
e velocidades respectivas
e
, a quantidade de líquido de peso específico 𝛾 que
passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será:
(2)
Uma corrente de dimensões finitas seria integrada por um grande número de tubos de
corrente, de modo que:
=
=
(3)
15
onde
é a velocidade média na seção.
para a outra seção, teríamos:
=
(4)
Tratando-se de movimento permanente, a quantidade de líquido entrando na seção
iguala-se à que sai por
,
=
(5)
e, ainda, praticamente, se o líquido for considerado incompressível (
=
=
),
(6)
De modo geral,
(7)
onde
= vazão (m³/s);
= velocidade média na seção (m/s);
= área da seção de escoamento (m²).
Essa equação é de grande importância em todos os problemas da hidrodinâmica. A
equação da continuidade expressa o fato experimental da vazão ser constante para um fluido
ideal numa tubulação sem derivações.
3.3 TEOREMA DE BERNOULLI
16
O princípio de Bernoulli ou teorema de Bernoulli traduz para os fluidos o princípio da
conservação de energia. A aplicação deste teorema em fluidos reais leva em consideração o
fator perda de carga, tal parâmetro acrescenta a equação de Bernoulli o efeito da perda de
energia entre duas seções.
Considerando a figura 2, no qual escoa um líquido de peso específico 𝛾. Nas duas
seções indicadas, de áreas
respectivamente,
e
e
atuam as pressões
e
, sendo as velocidades,
, Azevedo Neto (1973), faz a seguinte dedução para o teorema de
Bernoulli:
Figura 2 – Tubo de corrente 2
Fonte: Azevedo Neto, 1973.
As partículas, inicialmente em
enquanto que as
líquido passasse de
movem-se para
para
, num pequeno intervalo de tempo, passam a
,
. Tudo ocorre como se, nesse intervalo de tempo, o
.
Serão investigadas apenas as forças que produzem trabalho, deixando-se de considerar
aquelas que atuam normalmente à superfície lateral do tubo.
De acordo com o teorema das forças vivas “variação da força viva em um sistema
iguala o trabalho total de todas as forças que agem sobre o sistema”.
Assim, considerando-se a variação de energia cinética
-
=
.
(8)
17
Sendo o líquido incompressível,
=
=
(9)
e a soma dos trabalhos das forças externas (empuxo e gravidade – não há atrito por se tratar
de líquido perfeito) será:
-
+
(10)
identificando
,
(11)
de modo que, simplificando,
,
(12)
(13)
considerando a perda de carga pelo fluido temos:
(14)
onde
18
e
= altura geométrica;
= altura piezométrica;
= altura cinética;
= perda de carga.
Figura 3 – Representação do teorema de Bernoulli
Fonte: Evangelista, [s.d].
3.3.1 Linha de energia (LE) ou de carga (LC)
Linha de energia ou de carga é a representação gráfica da energia em cada seção de
um escoamento (Figura 4). A energia total, medida em relação a um plano de referencia para
cada seção do escoamento define uma linha que se denomina linha de energia ou de carga.
Esta linha, normalmente se inclina na direção do escoamento (TAKAMI, 2005).
19
A soma das energias de pressão, velocidade e de posição em cada seção do
escoamento é a Cota de Energia (CE). A cota de energia em cada seção é dada por:
CE =
(15)
3.3.2 Linha piezométrica (LP)
É uma linha que se situa abaixo da linha de energia separada por uma distancia igual a
energia cinética para cada seção considerada. É uma linha que também, geralmente se inclina
na direção do escoamento. Ela juntamente com a linha de energia é bastante útil na resolução
de problemas de escoamentos (TAKAMI, 2005).
A soma das energias de pressão e posição em cada seção denomina-se Cota
Piezométrica (CP). A cota piezométrica em cada seção é dada por:
CP =
(16)
3.4 REGIMES DE ESCOAMENTOS
O fato de existirem tipos distintos de escoamento foi demonstrado experimentalmente
por Osborne Reynouds. Ele injetou uma pequena quantidade de fluido colorido na entrada de
uma tubulação de vidro que conduzia água vinda de um tanque. Uma válvula no final da
tubulação permitia variar a vazão do sistema. Quando a velocidade do liquido no tubo era
pequena, o líquido colorido aparecia como uma linha reta ao longo do tubo (regime laminar).
Quando a velocidade da água era gradualmente aumentada através de maior abertura na
válvula, existiria um valor para o qual o regime mudava. Inicialmente a linha do líquido
ficava ondulada e depois disto quebrava com formação de vórtices (Figura 4) difundindo-se
na massa de água (regime turbulento) (MATOS; FALCO, 1992).
20
Figura 5 – Representação do experimento de Reynouds
Fonte: Evangelista, [s.d.].
Reynolds generalizou os resultados do seu experimento com a introdução do termo
adimensional Re, conforme equação abaixo:
(17)
onde:
= número de Reynouds;
= velocidade de escoamento do fluido;
= diâmetro interno da tubulação;
= viscosidade cinemática do fluido na temperatura de bombeamento.
De acordo com Matos e Falco (1992), o escoamento pode ser classificado em:
- Laminar ou turbulento;
- Permanente ou transitório;
21
- Uniforme ou não uniforme;
- Incompressível ou compressível.
Para se caracterizar perfeitamente um escoamento, quanto a sua dinâmica, é necessário
que se estabeleça cada uma das classificações acima.
3.4.1 Escoamento laminar ou turbulento
3.4.1.1 Escoamento laminar
O fluido escoa em blocos ou lâminas, de forma que o perfil de velocidades é
parabólico (Figura 6). Os atritos que ocorrem são de origem viscosa. (Re < 2.000)
(EVANGELISTA, [s.d.]).
Figura 7 – Escoamento laminar
Fonte: Evangelista, [s.d.].
3.4.1.2 Escoamento transição
Representa a passagem do escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa.
(2000 < Re < 4000). O movimento das partículas é caótico, porém a velocidade média
é orientada na direção do eixo do escoamento (Figura 8). Neste regime os atritos são
preponderantemente viscosos. (EVANGELISTA, [s.d.]).
22
Figura 9 – Escoamento turbulento liso
Fonte: Evangelista, [s.d.].
3.4.1.3 Escoamento turbulento
É caracterizado pela ação das asperezas das paredes, que geram vórtices (movimentos
rotacionais) que incrementam a perda de energia (Figura 10). Neste regime os atritos são
gerados pela rugosidade (Re> 4.000) (EVANGELISTA, [s.d.]). O escoamento turbulento
poderá verificar-se em tubos lisos (turbulento liso): quando as asperezas da parede são
menores que a espessura do filme laminar e não influenciam na turbulência; ou em tubos
rugosos (turbulento rugoso): quando as asperezas da parede entram na zona de turbulência do
movimento, acentuando a turbulência e influindo consequentemente na perda de energia
(LENCASTRE, 1972).
Figura 11 – Escoamento turbulento
Fonte: Evangelista, [s.d.].
3.4.2 Regime permanente e uniforme
3.4.2.1 Regime permanente
23
Um regime é dito permanente se as propriedades em cada ponto não variam com o
tempo, podendo variar de um ponto para outro (MATOS; FALCO, 1992).
3.4.2.2 Regime uniforme
Um regime é dito uniforme se a velocidade é a mesma em magnitude e direção a cada
ponto do espaço em um instante qualquer (MATOS; FALCO, op. cit.).
3.4.3 Escoamento compressível ou incompressível
De um modo geral, o escoamento com líquidos é considerado incompressível, isto é,
não há variação de volume e a massa específica é uma constante. Em umas poucas situações
(n° de Mach = M
0,2) um escoamento de gás pode ser considerado incompressível
(MATOS; FALCO, op. cit.).
3.5 CONDUTOS SOB PRESSÃO
Denominam-se condutos sob pressão, ou condutos forçados, as canalizações onde o
líquido escoa sob pressão diferente da atmosférica. As seções desses condutos são sempre
fechadas, e o líquido escoa enchendo-as totalmente; são em geral de seção circular, porém em
casos especiais, como nas galerias das centrais hidrelétricas ou nos grandes aquedutos, são
usadas outras formas (NEVES, 1979).
3.6 PERDA DE CARGA
Na equação de Bernoulli, vista anteriormente, apareceu o termo
que representa a
energia por unidade de peso perdida no trecho da tubulação em estudo, termo este
24
denominado perda de carga. As perdas de energia em um escoamento devem-se, entre outros
fatores, à viscosidade do líquido, a qual se opõe ao movimento das partículas, devendo essa
resistência ser vencida à custa da energia mecânica do líquido (EVANGELISTA, [s.d.]).).
Quando o fluido escoa em contato com as paredes sólidas, costumam-se atribuir as
perdas ao atrito entre o fluido e as paredes; essa hipótese, que é corriqueiramente utilizada na
prática, não é exata; pois está hoje demonstrando que junto às paredes se forma uma película
aderente e imóvel de fluido – que é chamada camada limite, segundo a denominação de
Prandtl - devendo-se o atrito as tensões tangenciais que se desenvolvem entre essa película e
as partículas contíguas. Além disso, se a superfície interna da parede do conduto é rugosa, há
formação de redemoinhos, nos quais o choque das partículas também absorve parte da energia
do líquido. A perda de carga é uma função complexa de diversos elementos, tais como a
rugosidade do conduto, a viscosidade e a densidade do líquido, a velocidade do escoamento, o
grau de turbulência e o comprimento percorrido (NEVES, 1979).
3.6.1 Demonstração experimental para a perda de carga
Na figura 8, inicialmente, a válvula de gaveta encontra-se totalmente fechada (não há
fluxo). Todos os piezômetros estão com água no mesmo nível do reservatório 1 (R1). Em
seguida, abrindo-se a válvula de gaveta passa a escoar uma vazão do reservatório 1 (R1) ao
reservatório 2 (R2) pela tubulação de seção constante. Após estabelecer o regime, observa-se
que os níveis de água nos piezômetros são menores quanto mais distantes estão os
piezômetros do reservatório R1. A diminuição dos níveis de água nos piezômetros são
provocados pela dissipação da energia em forma de calor e de turbilhões que se forma na
corrente liquida. Surgem então as diferenças de níveis entre os piezômetros e o reservatório
R1, que serão indicadas por: Δh0,1; Δh0,2 e Δh0,3.Estas diferenças de níveis é que se
denominam de perdas de carga. Estas perdas de carga correspondem respectivamente aos
trechos dos piezômetros ao reservatório R1. Entre os dois reservatórios existem também uma
diferença de níveis Δh, que também é a perda de carga que ocorre na tubulação que liga estes
reservatórios (TAKAMI, 2005).
25
Figura 12 – Representação da perda de carga
Fonte: Takami, 2005.
A figura 9 mostra um trecho de tubulação que apresenta seção uniformemente
decrescente por onde escoa uma vazão constante Q. Neste caso a perda de carga Δh1,2 é dada
pela diferença das energias de pressões, de velocidades e de cotas das seções (1) e (2).
Figura 13 - Perda de carga entre duas seções de um conduto convergente
Fonte: Takami, 2005.
26
Assim isolando o termo da perda de carga da equação 14, temos:
=(
(18)
3.6.2 Estudo da perda de carga
Segundo Takami (2005), as perdas de carga podem ser divididas em:
a) Perda de carga distribuída (
) – são aquelas que ocorrem ao longo das tubulações.
b) Perda de carga localizadas ou singulares ( ) – causada por peças especiais e
demais singularidades de uma instalação hidráulica.
A soma das perdas distribuídas e localizadas constitui a perda de carga total que será
simbolizada por
:
= +
(19)
3.6.3 Perda de carga distribuída no regime laminar
Dar-se o nome de regime laminar ao tipo de escoamento em que as partículas fluidas
de um líquido apresentam trajetórias bem definidas que não se cruzam (NEVES, 1998). Pode
ser definido também através do número de Reynouds como: Re < 2.000.
Um regime laminar só raramente ocorre na prática, como, por exemplo, no
escoamento de líquidos muitos viscosos, tais como os óleos pesados. Em um regime laminar;
o líquido se desloca em camadas concêntricas que deslizam umas sobre as outras, e como o
movimento é uniforme, deve haver equilíbrio entre as forças que provocam o movimento e
aqueles que tendem a sustá-lo (NEVES, 1979).
O perfil de velocidades que se forma no escoamento em regime laminar é parabólico e
para condutos cilíndricos a expressão da velocidade é dada por: v = Vmáx[1 – (r/R)2], sendo
v uma velocidade genérica quando o raio for r , Vmáx a velocidade máxima do escoamento
que ocorre no centro do conduto e R raio do conduto (TAKAMI, 2005).
27
A equação de Hagen- Poiseuille para perda de carga
, que ocorre entre duas seções
de um conduto cilíndrico de diâmetro D, separadas por uma distância L, por está escoando a
vazão Q, de um fluido de massa específica 𝜌, viscosidade absoluta μ, conforme a figura 10 é
dada por:
Figura 14 –Perda de carga no regime laminar
Fonte: Takami, 2005.
(20)
como: μ = 𝜌.v e 𝛾 = 𝜌.g,
(21)
3.6.4 Determinação do fator de atrito para regime laminar
No regime laminar (
,
é independente da rugosidade relativa, e é
unicamente função do número de Reynolds, e dado pela expressão devida a equação de
Poiseuille:
28
(22)
Observa-se que essa fórmula não envolve fatores empíricos ou coeficientes
experimentais de qualquer natureza, só inclui dados relativos às propriedades do fluido
(viscosidade, peso especifico). Num diagrama logarítmico, esta expressão é representada por
uma reta, chamada reta de Poiseuille (LENCASTRE, 1972).
3.6.5 Perda de carga distribuída no regime turbulento e a fórmula universal da perda de
carga distribuída
No regime do tipo turbulento (Re> 4.000) as partículas fluidas apresentam movimento
desordenado e a velocidade de escoamento apresenta em qualquer instante uma componente
transversal (NEVES, 1998). Para este tipo de escoamento Matos e Falco (1992) faz as
seguintes considerações:
O regime turbulento não permite uma analise exclusivamente teórica, sendo necessária
alguma ajuda de dados experimentais. No regime laminar, a tensão de atrito (ζ =
)é
gerada devido ao movimento de moléculas de uma região de maior velocidade para um de
menor velocidade ou vice-versa, através de uma superfície intermediaria A-C.
Figura 15 - Regiões de diferentes velocidades no regime laminar
Fonte: Matos; Falco, 1992.
O coeficiente de viscosidade μ é uma constante para um determinado fluido a uma
determinada temperatura. Entretanto a tensão ζ varia, devido a variação do gradiente de
velocidade (
). No regime turbulento, um mecanismo similar acontece. Entretanto, o
29
movimento molecular é substituído por um movimento de partículas e flutuações nas
velocidades das partículas que são originadas.
De um modo geral, a tensão de atrito fluido gerada é formada por uma parcela laminar
e uma parcela turbulenta.
,
Onde:
(23)
= viscosidade turbulenta, cujo valor pode variar de zero a valores bem
superiores ao da constante .
Se o regime é laminar,
é zero e a equação anterior reduz-se a ζ =
.
Se o regime é turbulento, três regiões distintas existem (fig. 12).
Figura 16 – Três regiões do regime turbulento
Fonte: Matos; Falco, 1992.
Desde que não podem existir flutuações de velocidade na direção à parede da
tubulação, o regime na região 1 (fig. 12) é laminar, sendo conhecido como subcamada laminar
do regime turbulento.
Na região 3 (fig. 12), o regime é turbulento e a tensão de atrito seria gerada por
sendo o efeito viscoso desprezível.
Entre estas duas regiões previamente descritas, temos uma região de transição (região
2), onde ambos os efeitos , viscoso e turbulento tem importância.
Portanto, as flutuações da velocidade, a variação da viscosidade turbulenta (
)ea
existência de três regiões distintas, entre outros fatores, ocasionam a necessidade de
tratamento teórico-experimental para a perda de carga no regime turbulento.
A forma da função determinada por Darcy-Weisbach é a seguinte:
30
(24)
onde:
= perda de carga, m;
= fator perda de carga, adimensional;
= comprimento da tubulação, m;
= diâmetro interno da tubulação m;
= velocidade de escoamento, m/s;
= aceleração da gravidade, m/s².
O fator
é obtido através de fórmulas teórico-experimentais e é uma função do
número de Reynolds e da rugosidade relativa (ε/D) da tubulação em estudo.
3.6.6 Ábaco de moody
De acordo com Matos e Falco (1992) o coeficiente de atrito
também pode ser
determinado graficamente com o auxilio do gráfico de Moody ou ábaco de Moody figura. 13.
No ábaco de Moody (fig. 13), podemos verificar que:
-
diminui se
aumenta e/ou ε/D diminui
- Existem três zonas demarcadas:
a) zona laminar (
)
b) zona crítica (2000
4000)
c) zona turbulenta (
4000) que compreende duas subzonas: zona de transição e
zona completamente turbulenta.
No regime laminar, o coeficiente de atrito e a perda de carga são independentes da
rugosidade relativa (ε/D).
No regime completamente turbulento, as linhas correspondentes a ε/D tornam-se
horizontais e o coeficiente
é independente do número de Reynouds. A linha pontilhada da
figura 13 a partir do qual o regime é completamente turbulento, pode ser aproximada pela
expressão:
31
Figura 17 – Ábaco de Moody
= 1000/(ε/D).
(25)
Fonte: Evangelista, [s.d.].
3.6.7 Equação de Colebrook-White
A fórmula universal para perda de carga, a equação de Darcy-Weisbach, que foi
proposta em 1845, só teve seu fator de atrito
definitivamente estabelecido em 1939, quase
cem anos depois, através da equação de Colebrook-White, que apresenta a seguinte forma
(CAMARGO, 2011):
(26)
32
onde:
= fator de atrito (adimensional);
K = rugosidade equivalente da parede do tubo (m);
D = diâmetro interno do tubo (m);
Re = número de Reynouds (adimensional).
A equação de Colebrook-White é dedicada aos fluidos em regime turbulento
(Re 4000), onde f é função do diâmetro da tubulação e da rugosidade da parede interna, do
líquido escoado e de sua velocidade de escoamento. A relação entre a rugosidade da parede e
o diâmetro da tubulação (k/D) é denominada rugosidade relativa.
A comparação do valor de rugosidade relativa com a espessura do filme laminar
permite classificar os condutos em escoamentos de regime turbulento em lisos e rugosos. Na
Tabela 1 são apresentados valores de rugosidade (k) dos diversos materiais utilizados na
fabricação de tubos comerciais (AZEVEDO NETO, 1998 apud EVAGELISTA, [s.d.]).
Tabela 1 – Valores de rugosidade (K) dos diversos materiais.
Material
Tubos novos
Tubos velhos
Aço galvanizado
Aço rebatido
Aço revestido
Aço soldado
Chumbo
Menor que
Menor que
Menor que
Menor que
Vidro
Menor que
Menor que
Plastico
Menor que
Menor que
Cimento Amianto
Cobre ou Latão
Concreto bem acabado
Concreto ordinário
Ferro Forjado
Ferro Fundido
Ferro Fundido com
Revestimento asfáltico
Madeiras em aduelas
Manilhas cerâmicas
Fonte: adaptado de Azevedo Neto, 1998.
33
3.6.8 Método de resolução de equações implícitas
Nota-se que se trata de uma equação implícita, onde, a variável
aparece nos dois
lados da equação, não sendo possível explicita-la. Tais equações podem ser resolvidas por
métodos numéricos, que se trata de equações matemáticas repetidas, é o caso dos métodos
iterativos (CAMARGO, 2001).
Camargo (2001) sugere o seguinte procedimento para a resolução de equações
implícitas: inicialmente ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um valor inicial
qualquer para a variável procurada que está no seu segundo membro. Com o valor inicial já
arbitrado, calcula-se um novo valor para esta mesma variável procurada, mas para a que está
no primeiro membro. Se a diferença entre o valor inicial e o novo valor calculado estiver fora
da precisão desejada, repete-se esta operação, porém colocando como valor inicial o novo
valor calculado. Se a diferença aumentar diz-se que os valores estão divergindo, e se diminuir
diz-se que os valores estão convergindo para a solução. O número de repetições, isto é, o
número de iterações poderá ser pequeno ou não, dependendo do método a ser utilizado, e se
sucederá até que a diferença seja suficientemente pequena ou compatível com a precisão
desejada.
O mesmo autor ainda deduz o seguinte esquema, passo-a-passo, para a resolução de
tais problemas:
1- Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável do segundo membro.
2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que está no primeiro membro.
3- Compara-se a diferença entre o valor calculado e o valor inicial com a tolerância
estabelecida.
4- Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e volta-se para o passo (2). Se menor
passa-se para o passo (5).
5- O corrente valor da variável é o valor procurado.
3.6.9 Equações explícitas para a determinação do fator de atrito de Darcy-Weisbach
34
Apesar de ser usada como padrão de referência, a equação de Colebrook-White,
apresenta o inconveniente de ser implícita para o fator de atrito, sendo necessários métodos
iterativos para sua resolução. Alternativamente a esta equação alguns autores desenvolveram
equações explícitas para o mesmo fator.
Azevedo Neto (1998) cita as seguintes equações:
3.6.9.1 Von Kármán
Foi desenvolvida em 1930, e estabeleceu uma fórmula teórica, relacionando os valores
de
e de
para tubos lisos:
(27)
Essa equação é valida para tubos lisos e para qualquer valor de
entre o valor crítico e
(
, compreendido
= o). É teoricamente correta e os seus resultados têm sido
comprovados experimentalmente.
3.6.9.2 Nikuradse
Elaborada para tubos rugosos funcionando na zona de turbulência completa:
(28)
Os valores de
são maiores do que os obtidos pela equação de Von Kármán. Nota-se
que a equação de Nikuradse não inclui o número de Reynouds e que, portanto, para uma
canalização de determinado diâmetro D, o valor de
dependerá apenas da rugosidade.
Camargo (2001) acrescenta as seguintes equações, que apresentam os menores erros
em relação à equação de Colebrook-White:
35
3.6.9.3 Sousa-Cunha-Marques (1999):
(Erro 0,123%)
(29)
3.6.9.4 Haaland (1983):
(Erro 0,220%)
(30)
3.6.9.5 Barr (1972):
(Erro 0,375%)
(31)
3.6.9.6 Swamee-Jain (1976):
(Erro: 0,386%)
(32)
3.6.9.7 Churchill (1973):
(Erro: 0,393%)
(33)
3.6.10 Fórmulas práticas para a determinação da perda de carga
36
3.6.10.1 Fórmula de Hazen-Williams (1903-1920)
É uma fórmula que resultou de um estudo estatístico cuidadoso, no qual foram
considerados os dados experimentais disponíveis, obtidos anteriormente por um grande
número de pesquisadores, bem como dados de observações dos próprios autores. Recomendase a fórmula de Hazen-Williams para canalizações com diâmetro superior a 50 mm (2”). Entre
outras vantagens, essa fórmula pode ser aplicada tanto as tubulações forçadas, como aos
condutos livres. Atualmente é a expressão de emprego mais comum (AZEVEDO NETO,
1973).
A fórmula de Hazen-Williams, com seu fator numérico em unidades SI, é a seguinte:
(34)
onde:
hf = perda de carga, em m;
Q = Vazão, em m³/s;
C = Coeficiente adimensional que depende da natureza (material e estado) das paredes
dos tubos (ver Tabela 2);
L = é comprimento entre os dois pontos da tubulação em que se deseja calcular a perda
de carga hf, em m;
D = diâmetro interno da tubulação, em m.
Através de um grande número de experiências foi possível obter o valor do coeficiente
C dado pela Tabela 2 a seguir.
37
Tabela 2 – Valores do coeficiente de atrito (C) da formula de Hazen-Williams.
MATERIAIS
Aço corrugado (chapa ondulada)
Aço com junta lock-bar (tubos novos)
Aço com junta lock-bar (em serviço)
Aço galvanizado
Aço rebitado novo
Aço rebitado em uso
Aço soldado novo
Aço soldado em uso
Aço soldado com revestimento especial
Chumbo
Cimento amianto
Cobre
Concreto com bom acabamento
Concreto com bom acabamento comum
Ferro fundido novo
Ferro fundido (sem revestimento) após
15-20 anos
Ferro fundido (sem revestimento) usado
Ferro fundido com revestimento de
Cimento
Grês cerâmico vidrado (manilhas)
Latão
Madeira em aduelas
Tijolos condutos bem executados
Vidro
Plástico
COEFICIENTE C
60
130
90
125
110
85
130
90
130
130
140
130
130
120
130
100
90
130
110
120
130
100
140
140
Fonte: adaptado de Takami, 2005.
3.6.10.2 Equação de Flamant (1892)
A fórmula de Flamant tem sido mais comumente usada para encanamentos de pequeno
diâmetro, de ferro, aço e aço galvanizado (instalações prediais, etc.). O limite de emprego
indicado é D de 10 a 1000 mm. No Sistema Internacional de Unidades, a equação de Flamant
tem a seguinte apresentação (AZEVEDO NETO, 1973):
(35)
38
onde:
= perda de carga entre dois pontos da tubulação, em m;
b = coeficiente, adimensional, que depende da natureza (material e estado) das paredes
dos tubos;
V = velocidade média da água, em m/s;
L = é comprimento entre os dois pontos da tubulação em que se deseja medir a perda
de carga, em m;
D = diâmetro interno da tubulação, em m, sendo recomendado observar o limite entre
0,01m e 1,0m.
Os seguintes valores do coeficiente b (Tabela 3) são utilizados na fórmula de Flamant
(AZEVEDO NETO, 1973):
Tabela 4 – Valores do coeficiente de atrito (b) da fórmula de Flamant..
b
Material
0,00023
Tubos de ferro ou aço
0,000185
Tubos novos
0,000185
Canalização de concreto
0,000140
Canos de chumbo
Fonte: adaptado de Azevedo Neto, 1973
3.6.11 Perda de carga localizada
Na prática, as canalizações não são constituídas exclusivamente por tubos retilíneos e
de mesmo diâmetro. Usualmente, incluem ainda peças especiais e conexões que, pela forma e
disposição, elevam a turbulência, provocam atritos e causam o choque de partículas, dando
origem a perdas de carga. Além disso, apresentam-se nas canalizações outras singularidades,
como válvulas, registros, medidores, etc., também responsáveis por perdas dessa natureza
(AZEVEDO NETO, 1973).
Segundo Matos e Falco (1992), as perdas de carga localizadas são aquelas devidas a
distúrbios locais do fluxo ao passar por acidentes (válvulas, joelhos, derivações, etc.). No
caso de tubulações de grande extensão, estas perdas podem ser insignificantes em relação à
39
perda normal; entretanto, em outros casos (tubulação de sucção em um sistema de
bombeamento), elas podem ser representativas em relação às perdas normais.
O mesmo autor ainda afirma que, a perda de carga localizada ( ) pode ser
determinada através de dois métodos: método direto e método do comprimento equivalente.
3.6.11.1 Método direto:
Nesse método a perda de carga localizada é determinada através da expressão geral
das perdas localizadas, que é dada por:
(36)
onde:
V = é a velocidade média do fluxo (m/s) que, no caso das ampliações e reduções
refere-se, geralmente, à secção de maior velocidade ou, no caso das peças especiais (registros,
curvas etc.), refere-se à velocidade média na tubulação;
K = é um coeficiente empírico que é praticamente constante para valores de Número
de Reynolds (Re) maior que 50. 000.
Valores do coeficiente K, para os elementos mais comuns das canalizações, são
apresentados na Tabela 4 a seguir:
40
Tabela 5 – Valores do coeficiente (K) da equação da perda de carga localizada.
PERDA DE CARGA EM PEÇAS ESPECIAIS
Alargamento gradual
K = 0,30
Bocais
K = 2,75
Curva de raio longo
K = 0,25 a 0,40
Curva de raio curto (cotovelo de 90°)
K = 0,90 a 1,50
Curva de 45°
K = 0,20
Cotovelo de 45°
K = 0,40
Curva de 22°
K = 0,10
Curva de retorno
K = 2,20
Crivo
K = 0,75
Redução gradual
K = 0,15
Medidor venturi
K = 2,50
Registro de gaveta aberto
K = 0,20
Registro de globo aberto
K = 10
Registro de ângulo aberto
K=5
Junção
K = 0,40
T de passagem direta
K = 0,60
T de saída lateral
K = 1,30
T de passagem bilateral
K = 1,80
Válvula de retenção
K = 2,50
Válvula de pé
K = 1,75
Comporta aberta
K = 1,00
Fonte: adaptado de Evangelista,[ s.d].
3.6.11.2 Método do comprimento equivalente
Uma canalização que compreende diversas peças especiais e outras singularidades,
sob o ponto de vista da perda de carga, equivale a um encanamento retilíneo de comprimento
41
maior. É nessa simples ideia que se baseia um novo método de grande utilidade na prática
para a consideração das perdas de carga (AZEVEDO NETO, 1973).
Este método consiste em fixar o valor do comprimento reto de tubulação que
reproduziria, nas mesmas condições, a mesma perda de carga que o acessório em questão
(MATOS; FALCO, 1992). A figura abaixo ilustra esse processo:
Figura 18 – Representação dos comprimentos equivalentes
Fonte: Evangelista, [s.d.]
A perda de carga ao longo das tubulações pode ser determinada pela fórmula de
Darcy-Weisbach, dada pela equação 24:
Valores de comprimento equivalentes para os elementos mais comuns das canalizações são
apresentados na Tabela 5 a seguir:
42
Curva de 90° raio longo
Curva de 45° raio longo
Curva de 90° raio curto
Curva de 45° raio curto
T de 90° passagem direta
T de 90° saída lado
T de 90 saída bilateral
Entrada normal
Entrada de borda
Saída de canalização
Válvula de pé e crivo
Válvula de retenção tipo leve
Válvula de retenção tipo pesada
Registro globo aberto
Registro de gaveta aberto
Registro de ângulo aberto
Tabela 5 – Valores de comprimento equivalentes para os elementos mais comuns das
canalizações.
15
1,1
0,4
0,4
0,2
0,7
2,3
2,3
3
0,9
0,8
8,1
2,5
3,6
11,1
O,1
5,9
20
1,2
0,5
0,5
0,3
0,8
2,4
2,4
0,4
1
0,9
9,5
2,7
4,1
11,4
0,2
6,1
25
1,5
0,7
0,6
0,4
0,9
3,1
3,1
0,5
1,2
1,3
13,3
3,8
5,8
15
0,3
8,4
32
2
1
0,7
0,5
1,5
4,6
4,6
0,6
1,8
1,4
15,5
4,9
7,4
22
0,4
10,5
40
3,2
1,3
1,2
0,6
2,2
7,3
7,3
1
2,3
3,2
18,3
6,8
9,1
35,8
0,7
17
50
3,4
1,5
1,3
0,7
2,3
7,6
7,6
1,5
2,8
3,3
23,7
7,1
10,8
37,9
0,8
18,5
60
3,7
1,7
1,4
0,8
2,4
7,8
7,8
1,6
3,3
3,5
25
8,2
12,5
38
0,9
19
75
3,9
1,8
1,5
0,8
2,5
8
8
2
3,7
3,7
26,8
9,3
14,2
40
0,9
20
100
4,3
1,9
1,6
1
2,6
8,3
8,3
2,2
4
3,9
28,6
10,4
16
42,3
1
22,1
125
4,9
2,4
1,9
1,1
3,3
10
10
2,5
5
4,9
37,4
12,5
19,2
50,9
1,1
26,2
150
5,4
2,6
2,1
1,2
3,8
11,1
11,1
2,8
5,6
5,5
43,4
13,9
21,4
56,7
1,2
29,9
mm
Fonte: adaptado de Evangelista, [s.d.]
43
3.6.12 Uma simplificação
Verifica-se que a relação entre o comprimento equivalente (LE) das diversas peças e
seu diâmetro (D) é praticamente constante. Desta forma, o comprimento equivalente (LE) das
diversas peças pode ser expresso em número diâmetros da tubulação (EVANGELISTA, s.d.).
Valores de comprimento equivalente (LE), em número diâmetros dos elementos mais
comuns das canalizações, são apresentados na Tabela 6 abaixo:
Tabela 6 – Valores de comprimento equivalente (LE), em número de diâmetros dos elementos
mais comuns das canalizações.
Perda de carga em peças especiais
Peça
Comprimento
(em número de diâmetro)
Alargamento gradual
12
Curva de 90° de raio longo
30
Curva de 90° de raio curto
45
Curva de 45° de raio longo
15
Cotovelo de 45°
15
Entrada normal
17
Entrada de borda
35
Redução gradual
6
Registro de gaveta aberto
8
Registro de globo aberto
350
Registro de ângulo aberto
170
Saída de canalização
35
T de passagem direta
20
T de saída lateral
50
T de saída bilateral
65
Válvula de pé e crivo
250
Válvula de retanção
100
Fonte: adaptado de Evangelista, [s.d.]
44
3.6.13 Perda de carga total
A perda de carga total ( ) ao longo de uma canalização é o resultado da soma das
perdas de carga ao longo dos trechos retilíneos (perda de carga contínua ) com as perdas de
carga nas conexões e peças especiais (perda de carga localizada) (EVANGELISTA, [s.d.]),
dada pela equação 19.
= +
45
4
RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 – Qual a potência teórica da bomba para a instalação esquematizada a seguir,
considerando-se que a vazão de água transportada é de 10 m3 /h?
Solução:
Cálculo do fluxo de massa:
10 m3 /h / 3600 s = 0,0027 m3/s x 1000 = 2,77 l/s, ou seja, 2,77 kg/s
Cálculo de perdas localizadas – Conforme tabela da apostila para o PVC e para o metal:
Lsucção = Lvalv. pé + Lcurva + Ltrecho reto
Lsucção = 18,3 + 9 + 1,2 = 28,5 m
Lrecalque = Lrg + Lvr + Ltrecho reto + 3 Lcurvas + Lsaída
Lrecalque= 0,4 + 6,4 + 33 + (3 x 0,9) + 1,5 = 44 m
Tendo a área de cada secção e a vazão (0,00277 m3/s), a velocidade de escoamento da água no
ponto 2 (saída) é determinada por:
V2= Vazão / Área 2 = 1,371 m/s
Já a velocidade da sucção é determinada pela equação:
V1= Vazão / Área 1 = 2,43 m/s
Com as velocidades podemos determinar os números de Reynolds para a sucção e para o
recalque:
46
Re = V . D / n onde n = 1,006 x 10-6
Re sucção = 9,2 x 104
Re recalque = 6,9 x 104
Com Reynolds e sabendo que na sucção o tubo é liso e no recalque o tubo tem rugosidade
estimada da forma e/D = 0,03, encontramos os valores dos fatores de atrito f da sucção e do
recalque.
Com os valores de f podemos calcular a perda de energia na sucção e no recalque:
Logo temos que
= 40,85 m e que
= 47,21 m
O valor da perda total de energia é de 88,06 m
Finalmente, após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos calcular a
potência da bomba da seguinte forma:
 V2 2

1,3712


Wb  m 
 gz 2  et   2,77.
 9,81  17  88,06  708,5 W
 2

 2

47
5 MATERIAL E MÉTODOS
Neste trabalho, foram utilizados dados de literaturas de hidráulica além de apostilas e
dissertações sobre perda de carga. Para elaboração do trabalho foi feita uma revisão
bibliográfica do tema abordado incluindo desde os principais autores e equações, como a de
Darcy-Weisback e Colebrook-White, até os menos conhecidos, mas não menos importantes,
como Sousa-Cunha-Marques e Haaland. Também foi levada em consideração para a
elaboração do trabalho, a didática com que são apresentadas as equações e definições a fim de
propiciar uma maior perceptibilidade na compreensão, visando contribuir de maneira efetiva
para o aprimoramento do conhecimento do autor e daqueles que vierem a utilizar-se deste.
48
6 CONCLUSÃO
Neste trabalho, foram apresentadas, de maneira satisfatória, as principais equações e
princípios da perda de carga em condutos forçados, assim como seus respectivos autores e
literaturas. A revisão sobre o tema em questão objetivou-se em complementar as literaturas
pesquisadas fornecendo-lhes dados obtidos em obras diversas, de tal maneira, que cada obra
servisse de complemento à outra, obtendo-se assim, um trabalho que abrangeu as informações
de cada um destes. Desta maneira foi possível cumprir com a proposta principal do presente
trabalho, a de propiciar um material didático e completo que sirva como ferramenta de
pesquisa para aqueles que vierem a se utilizar-se deste.
49
REFERÊNCIAS
ALVES, Felipe dos Santos. Projeto de bancada hidráulica de testes de válvulas
direcionais. 2009. 40 f. Monografia (Graduação em Engenharia Mecânica-Automação e
sistemas)-Universidade São Francisco, Itatiba, 2009.
AZEVEDO NETO, J. M.; ALVARES, G. A. Manual de hidráulica. 6. ed. São Paulo:
Edgard Blücher, 1973.
AZEVEDO NETO, J. M. Manual de hidráulica. 8. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1998.
CAMARGO, Luiz A. Análise de escoamento em condutos forçados: Uso das Equações de
Darcy-Weisbach e Colebrook-White. Disponível em:
<http://www.hidrotec.xpg.com.br/condutos.htm>. Acesso em: 30 Abr. 2011.
CAMARGO, Luiz A. Equações explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach.
Disponível em: < http://www.hidrotec.xpg.com.br/EquExpli.htm>. Acesso em: 02 Maio.
2011.
CARDOSO, Gabriel Greco de Guimarães. Índice geométrico na determinação da perda de
carga localizada em conexão de emissores sobre polietileno de pequeno diâmetro. 2007.
64 f. Dissertação (Mestrado em agronomia) – Escola Superior de Agricultura Luiz de
Queiroz, Piracicaba, 2007.
EVANGELISTA, Adão W. P. Condução de água. [s.d.] Disponível em:
<http://www.ufg.br/this2/uploads/files/67/3.2__Condutos_For_ados.pdf>. Acesso em: 14
mar. 2011.
FALCO, Reinaldo de; MATOS, Edson Ezequiel de. Bombas industriais. 2. ed. Rio de
Janeiro: Mcklausen, 1992.
50
LENCASTRE, Armando. Manual de hidráulica geral. Ed. da Universidade de São Paulo.
São Paulo: Edgard Blücher, 1972.
NEVES, Eurico Trindade. Curso de hidráulica. 6. ed. Porto Alegre: Globo, 1979.
TAKAMI, Renato. Hidráulica 2: Estudo de perda de carga sistema elevatório; Fórmulas
práticas de cálculos de perda de carga. Disponível em:<
http://www.ceset.unicamp.br/~mariaacm/CET0301/Hidraulica%202.pdf>. Acesso em: 12
Abr. 2011.