que desde Cauchy e W e e i r s t r a s s não h a v i a m sido
s e n s i v e l m e n t e aperfeiçoados, a t r a n s f o r m a ç ã o e o
p r o g r e s s o d o s c o n h e c i m e n t o s foram v e r d a d e i r a m e n t e prodigiosos depois da g u e r r a .
E ' principalmente o estudo d a função uniforme
à v o l t a d u m ponto singular essencial isolado, ou
n u m círculo de holomorfia, que foi aprofundado ao
p o n t o de f o r n e c e r e m m u i t o s c a s o s a m a r g e m n u m é rica e x a c t a da v a r i a ç ã o possível d u m a função a n a lítica verificando condições d a d a s . N u m domínio
em que m u i t o s dos melhores a n a l i s t a s do t e m p o
p r e s e n t e deram o seu melhor esforço, seria t e m e r á rio p r e t e n d e r citar nomes s e m n o s expormos a g r a v e s o m i s s õ e s . P a r e c e no e n t a n t o j u s t o citar e n t r e
os novos poderosos métodos a o s quais foram devid o s os principais p r o g r e s s o s realizados : a i n t r o dução da função c a r a c t e r í s t i c a de lt. Nevaniina, o
e m p r e g o com
Montel d a s famílias n o r m a i s depois
dum r e g r e s s o à função modular de que M. Picard
t i n h a tirado o g é r m e n de t o d a s e s t a s t e o r i a s , e enfim a r e p r e s e n t a ç ã o conforme t ã o eficazmente utilizada por l\iii-liii'inn
e AM for8.
O estudo conjugado dos valores t o m a d o s pelas
funções d a s e s p é c i e s indicadas, e no conjunto d o s
p o n t o s em que e s t a s funções t o m a m e s t e s valores,
é, p r o p r i a m e n t e falando, o exame de função i n v e r s a .
Sabe-se \ or u m t e o r e m a célebre de Poincaré, que a
função a n a l í t i c a m a i s geral é u m a função uniforme
d u m a função i n v e r s a d u m a função uniforme.
As pesquizas de Painlcré sobre a s equações
diferenciais de p o n t o s críticos fixos, e s b a r r a v a m
com g r a n d e s dificuldades que provinham d* insuficiência, n e s s a época, d a teoria geral d a s singular i d a d e s d a s funções uniformes. Seria i n t e r e s s a n t e
que e s t a ú l t i m a teoria realizasse, no c a s o m a i s
geral, p r o g r e s s o s c o m p a r á v e i s àqueles que efectuou
n o s dois casos r e s t r i c t o s principalmente e s t u d a d o s
a t é aqui. O problema de Painlevé oferece à teoria
d a s funções de variável complexo u m a d a s m a i s
belas aplicações que ela pode e n c a r a r . Convinha,
a exemplo de M, Garnier, e m a i s r e c u a d a m e n t e de
M. Cliazij c o n t i n u a r n e s t a direcção a obra do g l o rioso homem de ciência que honrou t ã o a l t a m e n t e
a F a c u l d a d e do Ciências de P a r i s . A s series t r i g o n o m é t r i c a s e s t ã o n a origem d a s noções p r e c i s a s
m o d e r n a s sobre a convergência d a s s u c e s s õ e s , a
continuidade d a s funções*, a s u a derivabilidade dist i n t a de continuidade, a i n t e g r a ç ã o . A Análise
t e v e que m u d a r de carácter, d e s t a c a r s o b o nome
de Teoria d a s funções de variáveis reais u m d o s
m a i s i m p o r t a n t e s r a m o s , p a r a poder envolver o
pleno desenvolvimento dos fenómenos s u m á r i o s
a p r e s e n t a d o s pelas séries t r i g n o m é t r i e a s . E s t a s
oferecem ainda o i n t e r e s s e de definir u m a função
h a r m ó n i c a no interior d u m círculo pelos s e u s valor e s limites n a s e x t r e m i d a d e s dos diversos raios, e
as séries t r i g o n o m é t r i c a s podem p r e t e n d e r beneficiar por e s t a razão da i m p o r t â n c i a ligada à s funções h a r m ó n i c a s n a Análise.
Seria em todo o c a s o permitido duvidar que a
i m e n s a produção c o n s a g r a d a n e s t e s ú l t i m o s anos
a e s t a forma d e desenvolvimento numérico ultrap a s s a s s e n i t i d a m e n t e o conjunto d o s e n s i n a m e n t o s
gerais que poderíamos e s p e r a r dos r e s u l t a d o s o b t i d o s se a s séries t r i g o n o m é t r i c a s n à o s e r v i s s e m de
introdução à s séries de funções o r t o g o n a i s cujo
i n t e r e s s e não deixa hoje de a u m e n t a r .
O e s t u d o d a s funções de Baire, d o s conjuntos
borelianos e analíticos e m e s m o d a s funções e conj u n t o s m a i s gerais, foi levado pela escola polaca e
por c e r t o s m e m b r o s d a escola de Moscovo, a u m
g r a u de profundeza e generalidade que confunde o
espírito de a d m i r a ç ã o . E ' agradável p e n s a r que s e
e s t a classe de t r a b a l h o s viesse a s e r b r u s c a m e n t e
s u s p e n s a , os r e s u l t a d o s j á adquiridos p e r m i t i r i a m
d u r a n t e u m século r e s p o n d e r por s i m ou p o r n ã o
a t o d a s a s q u e s t õ e s q u e , n o s diversos r a m o s d a s
m a t e m á t i c a s , se proporiam tocando a distinção do
p o s s í v e l e do impossível n a n a t u r e z a d a s funções
introduzidas pelos problemas d a Análise.
U m a o u t r a secção-, que pelo seú enorme d e s e n volvimento de há vinte anos enfileira e n t r e as ciênc i a s quási n o v a s , é a Topologia. A d o s e s p a ç o s
Euclidianos e x i s t i a j á n a l g u m a s d a s s u a s ideias
fundamentais. A s u a intervenção é i n d i s p e n s á v e l ,
e sê-lo-á s e m p r e c a d a vez mais, no e s t u d o qualitativo d a s t r a j e c t ó r i a s r e a i s e d a s superfícies interais definidas pelas equações diferenciais ou p e l a s
erivadas p a r c i a i s . A m e c â n i c a analítica de Birkhoff que, com os s e u s problemas sobre a t r a n s i t i vidade, os c a r a c t e r e s dos s i s t e m a s e r g ó t i c o s , p r e o c u p a t a n t o s investigadores, é e v i d e n t e m e n t e tribut á r i a d a topologia euclidiana cujos p r o g r e s s o s não
poderiam ser e x c e s s i v a m e n t e favorecidos.
A topologia geral, de criação m a i s r e c e n t e que
a primeira e à c ê r e a da qual é supérfluo l e m b r a r a
p a r t e r e l a t i v a a M. Frerhet, p r e s t a j á serviços à
A n á l i s e q u a n t o m a i s não seja n a s q u e s t õ e s em q u e
intervêm u m a infinidade d e v a r i á v e i s . Enfim o
cálculo d a s probabilidades conheceu t a m b é m u m
afluxo de concepções e de m é t o d o s novos que m o dificaram g r a n d e m e n t e e a c r e s c e n t a r a m a e x t e n s ã o
d e s t a doutrina.
A s r u b r i c a s citadas^, t e o r i a d a s funções
de v a r i á v e i s c o m p l e x a s , s é r i e s t r i g n o m é t r i e a s , fuuções de B a i r e e c o n j u n t o s c a r t e s i a n o s , t o p o l o g i a , cálculo das p r o b a b i l i d a d e s ,
não compreendem mais do que uma pequena
p a r t e dos assuntos abordados h á vinte anos
pelos m a t e m á t i c o s . Assinalei-os p o r q u e definem, se m e n ã o e n g a n o , as p r i n c i p a i s z o n a s
o n d e os esforços c o n c o r r e n t e s , sem s e r e m
n e c e s s a r i a m e n t e c o n c e r t a d o s , de m a t e m á ticos pertencendo m u i t a s vezes a países
d i v e r s o s , foram m a c i s s a m e n t e a p l i c a d o s .
N a maior parte dos domínios da nossa
c i ê n c i a , a i n v e s t i g a ç ã o m a n t e v e o s e u carácter individualista, sendo inspirada
à
m a n e i r a r o m â n t i c a , p e l a n e c e s s i d a d e de
encontrar uma explicação e uma causa para
f a c t o s o b s e r v a d o s p e l o e s p í r i t o , e n ã o conduzida p a r a obedecer à emulação do exemplo.
#
E m m a t e m á t i c a s , e t a m b é m p a r a o conj u n t o das c i ê n c i a s cujo c r e s c i m e n t o d e s d e
h á u m século p a r e c e amplificar-se n u m r i t m o
de r e p r e s e n t a ç ã o e x p o n e n c i a l , o e s p í r i t o
s e n t e - s e a m e a ç a d o de s u b m e r s ã o p o r e s t a
m a r é c r e s c e n t e de f a c t o s , d e r e s u l t a d o s e
de n o ç õ e s . A s o m a d a s i m a g e n s q u e u m