Resolução de atividades Capítulo 4
b) (2xy 1 1)2 2 (x 1 2y)2 5
5 (2xy)2 1 2 ? 2xy ? 1 1 12 2 [x2 1 2 ? x ? 2y 1 (2y)2] 5
5 4x2y2 1 4xy 1 1 2 x2 2 4xy 2 4y2 5
5 4x2y2 2 x2 2 4y2 1 1
Módulo 1: P
rodutos notáveis: quadrado da
soma e da diferença de dois termos
Atividades para classe
(2a 1 3)2 2 (3 2 2a)2
c) ____________________
5
6a
1 Desenvolva em seu caderno os seguintes produtos
notáveis:
2
1 32 2
[32 2 2 ?
3 ? 2a 1 2a2] 5
5 __________________________________________
(2a) 1 2 ? 2a ? 3
6a
4a2 1 12a 1 9 2 9 1 12a 2 4a2 ____
24a
5 ____________________________
5 5 4
6a
6a
2
2
d)[z(z 1 3) 1 3z(z 2 2)] 5 [z 1 3z 1 3z2 2 6z]2 5
5 [4z2 2 3z]2 5 16z4 2 2 ? 4z2 ? 3z 1 9z2 5
5 16z42 24z3 1 9z2
a) (x 1 3)2 5 x2 1 2 ? x ? 3 1 32 5 x2 1 6x 1 9
b) (y 1 1)2 5 y2 1 2 ? y ? 1 1 12 5 y2 1 2y 1 1
c) (z 2 2)2 5 z2 2 2 ? z ? 2 1 22 5 z2 2 4z 1 4
d)(4p 1 5)2 5 (4p)2 1 2 ? (4p) ? 5 1 52 5
5 16p2 1 40p 1 25
@
e) (3a 2 b 1 2c)(3a 2 b 2 2c) 5
5 9a2 2 3ab 2 6ac 2 3ab 1 b2 1 2bc 1
1 6ac 2 2bc 2 4c2 5 9a2 2 6ab 1 b2 2 4c2
@ #
#
3 2
3
32
9
e) b 1 __ 5 b2 1 2 ? b ? __
1 __
5 b2 1 3b 1 __
4
2
2
2
2
2
2
f) (2x 1 5)2 2 (5 1 x)2 5
5 (2x)2 1 2 ? 2x ? 5 1 52 2 (52 1 2 ? 5 ? x 1 x2) 5
5 4x2 1 20x 1 25 2 25 2 10x 2 x2 5 3x2 1 10x
2
f) (2t 2 1) 5 (2t) 2 2 ? 2t ? 1 1 1 5 4t 2 4t 1 1
g)(2 1 x2y3)2 5 22 1 2 ? 2 ? x2y3 1 (x2y3)2 5
5 4 1 4x2y3 1 x4y6
h)(2a2 1 7b3)2 5 (2a2)2 1 2 ? 2a2 ? 7b3 1 (7b3)2 5
5 4a4 1 28a2b3 1 49b6
i) (k2z 1 kz2)2 5 (k2z)2 1 2 ? k2z ? kz2 1 (kz2)2 5
5 k4z2 1 2k3z3 1 k2z4
@
#
2
12x2y
3x2
9x4
j) ____
1
2y 5 ____
1 _____
1 4y2 5
4
16
4 4
9x
5 ____
1 3x2y 1 4y2
16
2 O quadrado da figura, de lado x, foi dividido em
dois quadrados e dois retângulos.
Roxo
Amarelo
a
b
(a 1 b)2
a2 1 b2
3
2
(3 1 2)2 5 52 5 25
32 1 22 5 9 1 4 5 13
1
21
(1 2 1)2 5 02 5 0
12 1 (21)2 5 1 1 1 5 2
4
4
2
2
(4 1 4) 5 8 5 64
42 1 42 5 16 1 16 5 32
Observando a tabela que você preencheu, responda: a igualdade (a 1 b)2 5 a2 1 b2 é sempre
válida? Justifique.
Não, pois não é válida para todos os valores de a e
b. Essa igualdade somente é válida quando a ou b
forem iguais a zero.
5 Sabendo que x2 1 y2 5 9 e que x ? y 5 2, calcule o
que se pede em cada item.
Amarelo
x
4 Copie a tabela a seguir em seu caderno e complete-a com os valores pedidos.
a) (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 x2 1 y2 1 2xy
Como x2 1 y2 5 9 e x ? y 5 2, tem-se
9 1 2 ? 2 5 9 1 4 5 13
5
Escreva em seu caderno o que é pedido em cada
item.
a) Polinômio que representa a área de cada retângulo amarelo.
Aretângulo 5 comprimento ? largura, onde o comprimento é (x 2 5) e a largura é 5. Assim,
Aretângulo 5 5 ? (x 2 5) 5 5x 2 25
b) Polinômio que representa a área do quadrado
roxo.
Aquadrado 5 lado ? lado, onde cada lado mede (x 2 5).
Assim, Aquadrado 5 (x 2 5) ? (x 2 5) 5 (x 2 5)2 5
5 x2 2 2 ? x ? 5 1 52 5 x2 2 10x 1 25
3 Simplifique em seu caderno cada uma das expressões a seguir.
a) (c 1 5)2 1 (c 2 5)2 5
5 c2 1 2 ? c ? 5 1 52 1 c2 2 2 ? c ? 5 1 52 5
5 2c2 1 10c 1 25 2 10c 1 25 5 2c2 1 50
b) (x 2 y)2 5 x2 2 2xy 1 y2 5 x2 1 y2 2 2xy
Como x2 1 y2 5 9 e x ? y 5 2, tem-se
922?2592455
6 Observe a figura:
4
o
108
x
Am
ar
el
Página
Escreva em seu caderno um polinômio que represente cada item seguinte.
a) A área do quadrado amarelo.
Cada lado do quadrado amarelo mede x. Portanto,
Aquadrado 5 x2.
b) A área do quadrado azul.
Cada lado do quadrado azul mede (x 1 4). Portanto,
sua área é igual a (x 1 4)2 5 x2 1 2 ? x ? 4 1 42 5
5 x2 1 8x 1 16.
91
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 91
29.10.08 14:40:53
Resolução de atividades Capítulo 4
c) Quanto a área do quadrado azul excede a do
quadrado amarelo.
Aazul 2 Aamarelo 5 x2 1 8x 1 16 2 x2 5 8x 1 16
9 O quadrado maior foi dividido em dois quadrados
amarelos e dois retângulos azuis. As áreas de duas
dessas regiões estão assinaladas na figura.
d)O perímetro da figura.
P 5 x 1 x 1 x 1 (x 1 4) 1 (x 1 4) 1 (x 1 4) 1 4 5
5 6x 1 16
3x
5x
Vermelho
Verde
4
Vermelho
7 A figura abaixo é composta por quadrados vermelhos e retângulos verdes.
Verde
2
a) Que monômio representa a soma das áreas de
todos os quadrados vemelhos?
O quadrado vermelho maior tem lado igual a 5x,
logo Al 5 (5x)2 5 25x2.
O quadrado vermelho menor tem lado igual a
5x 2 3x 5 2x, logo AII 5 (2x)2 5 4x2.
• AI 1 AII 5 25x2 1 4x2 5 29x2
b) Que monômio representa a soma das áreas de
todos os retângulos verdes?
O retângulo verde à esquerda possui comprimento igual a 4 e largura igual a 5x 2 3x 5 2x, logo
AIII 5 2x ? 4 5 8x.
O retângulo verde à direita possui comprimento
igual a 5x e largura igual a 2, logo AIV 5 2 ? 5x 5
5 10x.
• AIII 1 AIV 5 8x 1 10x 5 18x
c) Que polinômio representa a área total da figura?
AI 1 AII 1 AIII 1 AIV 5 29x2 1 18x
8 Copie os itens, substituindo cada símbolo por um
monômio ou por um número, de forma a tornar as
igualdades verdadeiras.
a) (x 1 )2 5 x2 1 8x 1
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(x 1 )2 5 x2 1 2x 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 2x 5 8x ⇒ 5 8x ; 2x 5 4
• 2 5 ⇒ 5 42 5 16
b) (b 1 )2 5 b2 1 1 100
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(b 1 )2 5 b2 1 2b 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
XXX
5 10
• 2 5 100 ⇒ 5 d X100
• 2b 5 ⇒ 5 2b ? 10 5 20b
c) ( 1 5y)2 5 1 30yz 1 25y2
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
( 1 5y)2 5 2 1 10y 1 25y2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 10y 5 30yz ⇒ 5 30yz ; 10y 5 3z
• 2 5 ⇒ 5 9z2
quadrado
amarelo
4y
2
retângulo
azul
10y
Determine em seu caderno o que é pedido em cada
item.
a) A medida do lado do quadrado maior.
4y2 5 2y ? 2y, logo o lado do quadrado amarelo
cuja área é 4y2 mede 2y. Portanto, o comprimento do retângulo azul abaixo dele também é 2y.
Chamando a largura desse retângulo de a, tem-se
2y ? a 5 10y ⇒ a 5 5
Assim, o lado do quadrado maior é 2y 1 5.
b) As áreas das outras duas regiões.
O lado do outro quadrado amarelo mede o mesmo que a largura do retângulo à esquerda dele,
ou seja, 5. Logo sua área é AI 5 5 ? 5 5 25.
O retângulo azul acima desse quadrado possui
comprimento igual a 2y e largura igual a 5, de
modo que sua área vale AII 5 5 ? 2y 5 10y.
c) A área do quadrado maior.
A área do quadrado maior é dada pelo produto
dos lados.
A 5 (2y 1 5) ? (2y 1 5) 5 (2y 1 5)2 5
5 (2y)2 1 2 ? 2y ? 5 1 52 5 4y2 1 20y 1 25
Página
109
Atividades para casa
10 Efetue as operações em seu caderno.
a) (p5)3 5 p5 ? p5 ? p5 5 p15
b) (3x2)4 5 3x2 ? 3x2 ? 3x2 ? 3x2 5 81x8
@
# @ # @ #
7d 2
7d
7d
49d2
c) 2___
5 2___
? 2___
5 _____
5
5
25
5
d)(22a6bc4)3 5 (22a6bc4) ? (22a6bc4) ? (22a6bc4) 5
5 28a18b3c12
e) (2kp2q3)2 5 (2kp2q3) ? (2kp2q3) 5 k2p4q6
f) [(22t5z2)2]2 5 [(22t5z2) ? (22t5z2)]2 5 [4t10z4]2 5
5[4t10z4] ? [4t10z4] 5 16t20z8
@ #
3
x2y3
x2y3 ____
x2y3 ____
x6y9
x2y3 ____
5 ____
g) ____
?
?
5
3
3
3
27
3
h)(1,1c2d7)2 5 1,1c2d7 ? 1,1c2d7 5 1,21c4d14
11 Desenvolva em seu caderno os seguintes produtos
notáveis.
a) (x 1 1)2 5 x2 1 2 ? x ? 1 1 12 5 x2 1 2x 1 1
b) (2 1 y)2 5 22 1 2 ? 2 ? y 1 y2 5 4 1 4y 1 y2
c) (4x 1 11)2 5 (4x)2 1 2 ? 4x ? 11 1 112 5
5 16x2 1 88x 1 121
@
# @ #
2
2x
2x 2
2x
d) ___
1 6x4 5 ___
1 2 ? ___
? 6x4 1 (6x4)2 5
3
3
3
24x5
4x2 _____
4x2
____
____
8
5 1
1 36x 5 1 8x5 1 36x8
9
3
9
92
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 92
29.10.08 14:40:54
Resolução de atividades Capítulo 4
e) (b5 1 3b4)2 5 (b5)2 1 2 ? b5 ? 3b4 1 (3b4)2 5
5 b10 1 6b9 1 9b8
f) Monômio cujo quadrado é 121 r22.
121r22 5 (11r11)2
f) (5t2 1 8k3)2 5 (5t2)2 1 2 ? 5t2 ? 8k3 1 (8k3)2 5
5 25t41 80t2k3 1 64k6
g)Monômio cujo quadrado é 4a10b6c18.
(4a10b6c18) 5 (2a5b3c9)2
Desconsiderando os expoentes, que palavra aparece na vertical em destaque?
Resposta: “álgebra”.
g)(1,55z 1 0,2)2 5 (1,55z)2 1 2 ? 1,55z ? 0,2 1 (0,2)2 5
5 2,4025z2 1 0,62z 1 0,04
@
@ #
# @ #
a
3b 2
a 2
a 3b
3b 2
1 ___
5 __
1 2 ? __
? ___
1 ___
5
h) __
4
2
2 4
4
2
a2 6ab ____
9b2 4a2 1 12ab 1 9b2
5 __
1 ____
1 5 ________________
4
8
16
16
12 Na “escada dos monômios” seguinte, a partir do
segundo degrau, todo monômio deve ser igual ao
quadrado daquele que está no degrau imediatamente abaixo dele. Siga essa regra e escreva em
seu caderno os monômios que faltam.
65 536x
48
256x24
4x6
2x3
1o degrau 5 2x3, pois 4x6 5 2x3 ? 2x3 5 (2x3)2
2odegrau 5 4x6
3odegrau 5 (4x6)2 5 4x6 ? 4x6 5 16x12
4odegrau 5 256x24
5odegrau 5 (256x24)2 5 256x24 ? 256x24 5 65 536x48
13 Copie e complete a “cruzadinha matemática” em seu
caderno, conforme o modelo já feito.
a) 3
6
a4
b) 2
4
L11
c) 8
g3
d) 3
e7
e) 2
b
1
r11
g) 2
a5
1
16x11
a) (2x2)3 ? 4x4 1 (25x)2 ? (22x8) 1 ____
5
4x
6
4
2
8
10
5 8x ? 4x 1 25x ? (22x ) 1 4x 5
5 32x10 2 50x10 1 4x10 5 2 14x10
@ #
12y4 2
b) (2y 1 5y)2 2 5y(y 2 3) 1 ____
3 5
6y
5 (7y)2 2 5y2 1 15y 1 (2y)2 5
5 49y2 2 5y2 1 4y2 1 15y 5 48y2 1 15y
c) a2b3 ? (ab2)3 1 (a5 1 1) ? (2b9 1 2) 5
5 a2b3 ? a3b6 2 a5b9 1 2a5 2 b9 1 2 5
5 a5b9 2 a5b9 1 2a5 2 b9 1 2 5 2a5 2 b9 1 2
16x12
f)
14 Simplifique em seu caderno as expressões envolvendo monômios. Lembre-se de obedecer a
seguinte ordem: 1o) potenciações; 2o) multiplicações e divisões; 3o) somas e subtrações.
b3
c9
a) Quadrado de 6a2.
(6a2)2 5 36a4
b) Produto de 36 e 85.
36 ? 8 5 5 2411
c) Cubo de 2g.
(2g)3 5 8g3
d)Monômio cujo cubo é 27e21.
27e21 5 (3e7)3
7b
3b ___
simplificada.
e) Soma de ___ e
5
5
3b ___
7b ____
10b
___
1 5 5 2b
5
5
5
15 Copie os itens a seguir em seu caderno, substituindo cada símbolo por um monômio, de modo a
tornar verdadeiras as igualdades apresentadas.
a) ( x 1 )2 5 x2 1 1 4k2
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(x 1 )2 5 x2 1 2x 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 2 5 4k2 ⇒ 5 2k
• 2x 5 ⇒ 5 2x ? 2k 5 4kx
@
#
@
#
2
x
x2
1 5 __
1 x 1
b) __
4
2
Desenvolvendo o produto notável tem-se
2
x
x2
__
1 5 __
1 x 1 2
4
2
Comparando termo a termo, obtém-se
• x 5 x ⇒ 5 1
• 2 5 ⇒ 5 12 5 1
c) ( 1 z6)2 5 z16 1 1 z12
Desenvolvendo o produto notável tem-se
( 1 z6)2 5 2 1 2z6 1 z12
Comparando termo a termo, obtém-se
• 2 5 z16 ⇒ 5 z8
• 2z6 5 ⇒ 5 2z8z6 5 2z14
16 Calcule o valor numérico da expressão 2
a
a 3a
__
1 2 2 __ ___
1
3 , para a 5 1,758.
2
3 4
Dica: Simplifique a expressão antes de substituir
o valor de a.
2
a
a 3a
a2
3a2 3a
a
1 2 2 __
___
1 3 5 __
1 2 ? __
__
? 2 1 4 2 ____ 2 ___ 5
4
12
3
2
3 4
2
2
2
a
a
5 __
1 2a 1 4 2 __
2 a 5 a 1 4
4
4
Para a 5 1,758 tem-se a 1 4 5 1,758 1 4 5 5,758.
@
@
#
#
@
@
#
#
93
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 93
29.10.08 14:40:55
Resolução de atividades Capítulo 4
17 Copie o esquema em seu caderno, completando-o
adequadamente.
6x3y
elevar ao
quadrado
36x6y2
dividir por 12x2y2
3x4
adicionar
22x4
elevar
ao cubo
64x12
4x4
multiplicar por 4
x4
• (6x3y)2 5 36x6y2
36x6y2
•_______
2 2
5 3x4
12x y
• 3x4 2 2x4 5 x4
• 4 ? x4 5 4x4
• (4x4)3 5 64x12
a) Quanto medem os lados dos quadrados menores?
O quadrado cuja área vale 9x2 tem lado igual a 3x,
pois 9x2 5 (3x)2.
O quadrado cuja área vale 16 tem lado igual a 4,
pois 16 5 42.
b) Qual é a área de cada retângulo?
Cada um dos retângulos possui comprimento
igual a 4 e largura igual a 3x, logo, a área de cada
retângulo é 3x ? 4 5 12x.
c) Qual polinômio representa a área do quadrado
grande?
Cada lado do quadrado grande mede (3x 1 4), de
modo que a área desse quadrado é (3x 1 4)2 5
5 (3x)2 1 2 ? 3x ? 4 1 42 5 9x2 1 24x 1 16.
Módulo 2: Outros produtos notáveis
Boxe Desafio
É possível representar geometricamente o cubo da
soma e da diferença de dois termos.
Que figura geométrica deve ser usada na representação desses produtos notáveis?
Cubo. Tomando um cubo de lado (a 1 b) e calculando o seu volume obtém-se V 5 (a 1 b)3.
112
d)(xy 1 z3) ? (xy 2 z3) 5 (xy)2 2 (z3)2 5 x2y2 2 z6
p
p
p 2
p2
e) __
1 k5 ? __
2 k5 5 __
2 (k5)2 5 ___
2 k10
4
2
2
2
@
# @
# @ #
f) (23 2 x) ? (23 1 x) 5 (23)2 2 (x)2 5 9 2 x2
b) (2x 1 z2)3 5
5 (2x)3 1 3 ? (2x)2 ? z2 1 3 ? 2x ? z4 1 (z2)3 5
5 8x3 1 12x2z2 1 6xz41 z6
c) (p 2 1)3 5 p3 2 3 ? p2 ? 1 1 3 ? p ? 12 2 13 5
5 p3 2 3p2 1 3p 2 1
d)(a2 2 4b)3 5
5 (a2)3 2 3 ? (a2)2 ? 4b 1 3 ? a2 ? (4b)2 2 (4b)3 5
5 a6 2 12a4b 1 48a2b2 2 64b3
16
Página
c) (4h2 2 3y3) ? (4h2 1 3y3) 5 (4h2)2 2 (3y3)2 5
5 16h4 2 9y6
a) (y 1 3)3 5 y3 1 3 ? y2 ? 3 1 3 ? y ? 32 1 33 5
5 y3 1 9y2 1 27y 1 27
9x2
111
b) (2c 1 3) ? (2c 2 3) 5 (2c)2 2 32 5 4c2 2 9
2 Calcule o cubo da soma ou da diferença em cada
um dos itens a seguir.
18 O quadrado da figura foi dividido em dois quadrados
menores e dois retângulos. As áreas desses quadrados estão indicadas.
Página
a) (y 1 6) ? (y 2 6) 5 y2 2 62 5 y2 2 36
Atividades para classe
1 Desenvolva os seguintes produtos notáveis em seu
caderno.
3 Simplifique em seu caderno as seguintes expressões.
a) (b 2 1) ? (b 1 1) 1 1 5
5 b2 2 12 1 1 5 b2 2 1 1 1 5 b2
b) (x 1 1) ? (x 2 1) 2 x (x2 1 x) 5
5 x2 2 1 2 x3 2 x2 5 2x3 2 1
c) (4 2 3y) ? (4 1 3y) 1 (3y 1 2) ? (3y 2 2) 5
5 42 2 (3y)2 1 (3y)2 2 22 5
5 16 2 9y2 1 9y2 2 4 5 12
2
x
x
x
d) 4 1 __
? 4 2 __
1 __
2 2 5
2
2
2
x 2
x 2
x
5 42 2 __
1 __
2 2 ? __
? 2 1 22 5
2
2
2
x2 x2
5 16 2 __
1 __
2 2x 1 4 5 22x 1 20
4
4
@
# @
# @
@ # @ #
#
e) (2 1 x)2 1 (1 2 x)2 1 (x 1 1) ? (x 2 1) 5
5 22 1 2 ? 2 ? x 1 x2 1 12 2 2 ? 1 ? x 1 x2 1 x2 2 12 5
5 4 1 4x 1 x2 1 1 2 2x 1 2x2 2 1 5
5 3x2 1 2x 1 4
f) [(3g 1 2) ? (3g 2 2)]2 5 [(3g)2 2 22]2 5
5 [9g2 2 4]2 5 (9g2)2 2 2 ? 9g2 ? 4 1 42 5
5 81g4 2 72g2 1 16
4 Copie o esquema em seu caderno, substituindo
cada pela soma dos dois polinômios que se encontram nos retângulos imediatamente inferiores.
•Desenvolvem-se os polinômios dos retângulos inferiores.
(p 1 4)2 5 p2 1 2p ? 4 1 42 5 p2 1 8p 1 16
(2 1 p) ? (2 2 p) 5 22 2 p2 5 4 2 p2
(8 2 p)2 5 82 2 2 ? 8p 1 p2 5 64 2 16p 1 p2
94
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 94
29.10.08 14:40:56
Resolução de atividades Capítulo 4
•Efetuam-se as adições.
• ( p 1 4)2 1 (2 1 p) ? (2 2 p) 5
5 p2 1 8p 1 16 1 4 2 p2 5 8p 1 20
• (2 1 p) ? (2 2 p) 1 (8 2 p)2 5
5 4 2 p2 1 64 2 16p 1 p2 5 216p 1 68
• 8p 1 20 216p 1 68 5 28p 1 88
c) (3x 1 1)2 1 (4x 1 4) ? (4x 2 4) 5 (5x 2 1)2 ⇒
⇒ 9x2 1 6x 1 1 1 16x2 2 16 5 25x2 210x 1 1
Separando a parte algébrica da parte numérica,
9x2 1 16x2 2 25x2 1 6x 1 10x 5 16 1 1 2 1
Reunindo os termos semelhantes, 16x 5 16 ⇒
16
⇒ x 5 ___
5 1 ⇒ S 5 {1}
16
28p 1 88
8p 1 20
(p 1 4)2
216p 1 68
(2 1 p) ? (2 2 p)
(8 2 p)2
5 Copie os itens, substituindo cada símbolo por um
monômio ou por um número, de forma a tornar as
igualdades verdadeiras.
a) (b 2 )2 5 b2 2 1 100
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(b 2 )2 5 b2 2 2b 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 2 5 100 ⇒ 5 10
• 22b 5 2 ⇒ 5 2b ? 10 5 20b
b) (b 1 ) ? (b 2 ) 5 b2 2 4
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(b 1 ) ? (b 2 ) 5 b2 2 2
Comparando termo a termo, obtém-se
2 5 4 ⇒ 5 2
c) (p2 2 )2 5 p4 2 4p3 1
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(p2 2 )2 5 p4 2 2p2 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 22p2 5 24p3 ⇒ 5 4p3 ; 2p2 5 2p
• 2 5 ⇒ 5 (2p)2 5 4p2
d)( 1 2r) ? ( 2 2r) 5 100q2 2
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
( 1 2r) ? ( 2 2r) 5 2 2 4r2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 2 5 100q2 ⇒ 5 10q
• 24r2 5 2 ⇒ 5 4r2
6 Resolva em seu caderno as equações abaixo, considerando como universo o conjunto dos números
reais (R).
a) (x 2 3)2 5 (x 2 5)2 ⇒ x2 2 6x 1 9 5 x2 2 10x 1 25
Separando a parte algébrica da parte numérica,
x2 2 6x 1 10x 2 x2 5 25 2 9
Reunindo os termos semelhantes, 4x 5 16 ⇒
16
⇒ x 5 ___
⇒ x 5 4 ⇒ S 5 {4}
4
7 Desenvolva em seu caderno o produto notável
(x 1 2y)3.
(x 1 2y)3 5 (x 1 2y) ? (x 1 2y) ? (x 1 2y) 5
5 (x 1 2y) ? (x 1 2y)2 5 (x 1 2y) ? [x2 1 2 ? x ? 2y 1
1 (2y)2] 5 (x 1 2y) ? [x2 1 4xy 1 4y2] 5 x3 1 4x2y 1
1 4xy2 1 2x2y 1 8xy2 1 8y3 5
5 x3 1 6x2y 1 12xy2 1 8y3
8 Duas colônias de bactérias, A e B, possuíam, respectivamente, (x 2 10) e (x 1 10) células em um
certo instante. Constatou-se que, 1 dia depois, o
número de células em cada colônia era igual ao
quadrado do número de células do dia anterior.
a) Inicialmente, a colônia B possuía quantas células a mais que a A?
Subtrai-se o número de bactérias da colônia A do
número de bactérias de B.
x 1 10 2 (x 2 10) 5 x 1 10 2 x 1 10 5 20
A colônia B possuía 20 células a mais que a colônia A.
b) Após 1 dia, quantas células a colônia B possuía a
mais que a A?
Passado 1 dia, o número de bactérias em cada colônia era
• Colônia A: (x 2 10)2 5 x2 2 2 ? x ? 10 1 102 5
5 x2 2 20x 1 100
• Colônia B: (x 1 10)2 5 x2 1 2 ? x ? 10 1 102 5
5 x2 1 20x 1 100
Subtraindo a quantidade de bactérias da colônia A da quantidade de bactérias da colônia B,
obtém-se
x2 1 20x 1 100 2 (x2 2 20x 1 100) 5
5 x2 1 20x 1 100 2 x2 1 20x 2 100 5 40x
Após 1 dia, a colônia B possuía 40x células a mais
que a colônia A.
9 O professor Júlio escreveu alguns produtos notáveis no quadro-de-giz e pediu aos alunos para resolverem três deles no caderno.
b) (2x 1 3)2 5 (x 2 3) ? (x 1 3) 1 x(3x 2 2) ⇒
⇒ 4x2 1 12x 1 9 5 x2 2 9 1 3x2 2 2x
Separando a parte algébrica da parte numérica,
4x2 2 x2 2 3x2 1 12x 1 2x 5 2 9 2 9
Reunindo os termos semelhantes, 14x 5 218 ⇒
9
9
18
⇒ x 5 2 ___ 5 2 __ ⇒ S 5 2__
7
7
14
2 3
95
3P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 95
20.10.08 14:45:37
Resolução de atividades Capítulo 4
Observe as respostas de Edgar.
Página
113
Atividades para casa
13 Desenvolva os seguintes produtos notáveis em seu
caderno.
a) (2 1 t) ? (2 2 t) 5 22 2 t2 5 4 2 t2
b) (3x 1 y5) ? (3x 2 y5) 5 (3x)2 2 (y5)2 5 9x2 2 y10
10 Bruno escreveu a expressão a seguir para o desafio de Álgebra da escola.
(x 1 1) ? (x 2 1) ? (x2 1 1) ? (x4 1 1) ? (x8 1 1)
Simplifique em seu caderno a expressão de Bruno
usando o produto da soma pela diferença de dois
termos.
Agrupando os dois primeiros termos, tem-se
(x2 2 1) ? (x2 1 1) ? (x4 1 1) ? (x8 1 1)
Agrupando novamente os dois primeiros termos acima, tem-se
(x4 2 1) ? (x4 1 1) ? (x8 1 1)
E finalmente (x8 2 1) ? (x8 1 1) 5 x16 2 1
11 César recortou quatro
quadrados idênticos
dos cantos de uma folha de papel quadrada, x 4
como mostra a figura.
Escreva um polinômio
que represente a área
da figura obtida por
César.
Cada um dos quadrados que César recortou tem
x24
lado igual a ______
, de modo que a área de cada um
2
desses quadrados é
x2 2 8x 1 16
x 2 4 2 ____________
Aquad. peq. 5 ______
5
4
2
Assim, a área da figura que foi obtida é igual a
x2 2 8x 1 16
5
Aquad. gde. 24 ? Aquad. peq. 5 x2 2 4 ? ____________
4
2
2
5 x 2 x 1 8x 2 16 5 8x 2 16
@
#
12 A diferença entre dois números reais é igual a 3, e
a soma de seus quadrados é 29. Determine em seu
caderno o valor do produto desses dois números.
Sejam x e y números reais. Foi dado que x 2 y 5 3
e x2 1 y2 5 29.
Elevando a primeira igualdade ao quadrado,
(x 2 y)2 5 32 ⇒ x2 2 2xy 1 y2 5 9 ⇒
⇒ x2 1 y2 2 2xy 5 9
Substituindo a igualdade conhecida (x2 1 y2 5 29),
tem-se 29 2 2xy 5 9
Separando a parte algébrica da parte numérica, tem-se
2xy 5 29 2 9 ⇒ 2xy 5 20 ⇒ xy 5 10
c) (1 2 t2z3) ? (1 1 t2z3) 5 12 2 (t2z3)2 5 1 2 t4z6
d)(2p2 1 3q3) ? (2p2 2 3q3) 5
5 (2p2)2 2 (3q3)2 5 4p4 2 9q6
e) (24 2 x2) ? (24 1 x2) 5 (24)2 2 (x2)2 5 16 2 x4
# @
@
# @ # @ #
2
p
p 2
p
1
1
1 2 p
1
? __
1 __
5 __
2 __
5 ___
2 __
f) __
2 __
4
4 3
4 3
3
16 9
2t3
2t3 2
2t3
2 (t2z)2 5
2 t2z ? ___
1 t2z 5 ___
g) ___
5
5
5
4t6
___
4 2
5 2 t z
25
@
# @
# @ #
h)(1,3b 1 0,7) ? (1,3b 2 0,7) 5
5 (1,3b)2 2 (0,7)2 5 1,69b2 2 0,49
14 Sabendo que o retângulo azul tem a mesma área
da figura amarela, calcule o valor de x.
x
8
11
8
Am
ar
el
o
Identifique em seu caderno o número de cada produto notável que Edgar escolheu para resolver.
Ele resolveu os produtos de número 7, 5 e 3.
7) (3x 1 1) ? (3x 2 1) 5 (3x)2 2 12 5 9x2 2 1
5) (3x 1 1)2 5 (3x)2 1 2 ? 3x ? 1 1 12 5 9x2 1 6x 1 1
3) (x 2 3)2 5 x2 2 2 ? x ? 3 1 32 5 x2 2 6x 1 9
3
3
A área da figura amarela pode ser calculada subtraindo a área da parte recortada (em branco) da
área do quadrado de lado 8.
Aamarelo 5 82 2 32 5 64 2 9 5 55
A área da figura azul é 11 ? x 5 11x
Se as áreas são iguais, então 11x 5 55 ⇒
55
⇒ x 5 ___ ⇒ x 5 5
11
15 Desenvolva as expressões a seguir.
a) (t 1 1)3 5 t3 1 3 ? t2 ? 1 1 3 ? t ? 12 1 13 5
5 t3 1 3t2 1 3t 1 1
b) (2x 1 3)3 5 (2x)3 1 3 ? (2x)2 ? 3 1 3 ? 2x ? 32 1 33 5
5 8x3 1 36x2 1 54x 1 27
3
a
a 3
a 2
a
c) __
1 b 5 __
1 3 ? __
? b 1 3 ? __
? b2 1 b3 5
3
3
3
3 3
a2b
a
1 ab2 1 b3
5 ___
1 ____
27
3
d)(e 2 4)3 5 e3 2 3 ? e2 ? 4 1 3 ? e ? 42 2 43 5
5 e3 2 12e2 1 48e 2 64
@
# @ #
@ #
e) (3p 2 1)3 5 (3p)3 2 3 ? (3p)2 ? 1 1 3 ? 3p ? 12 2 13 5
5 27p3 2 27p2 1 9p 2 1
f) (x 1 1)3 1 (x 2 1)3 5
5 x3 1 3 ? x2 ? 1 1 3 ? x ? 12 1 13 1 x3 2 3 ? x2 ? 1 1
1 3 ? x ? 12 2 13 5 2x3 1 6x
96
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 96
29.10.08 14:41:36
Resolução de atividades Capítulo 4
16 Simplifique as expressões seguintes em seu caderno.
a) (6 2 5t) ? (6 1 5t) 1 (5t 2 6)2
Agrupando os dois primeiros termos, tem-se
62 2 (5t)2 1 (5t 2 6)2 5
5 62 2 (5t)2 1 (5t)2 2 2 ? 5t ? 6 1 62 5
5 36 2 25t2 1 25t2 2 60t 1 36 5 2 60t 1 72
b) (t2 1 5)2 1 (t2 2 12)2 1 (t2 1 13) ? (t2 2 13)
Agrupando os dois últimos termos, tem-se
(t2 1 5)2 1 (t2 1 12)2 1 (t2)2 2 132 5
5 (t2)2 1 2 ? t2 ? 5 1 52 1 (t2)2 2 2 ? t2 ? 12 1 122 1
1 (t2)2 2 132 5 t4 1 10t2 1 25 1 t4 2 24t2 1 144 1
1 t4 2 169 5 3t4 2 14t2 1 169 2 169 5 3t4 2 14t2
c) (4x2 2 x) ? (4x2 1 x) 1 (x 2 x3)2
Agrupando os dois primeiros termos, tem-se
(4x2)2 2 x2 1 (x 2 x3)2 5
5 (4x2)2 2 x2 1 x2 2 2 ? x ? x3 1 (x3)2 5
5 16x4 2 2x4 1 x6 5 14x4 1 x6
d)(x2 1 3) ? (x2 2 3) 2 (x 1 3) ? (x 2 3)
Agrupando os dois primeiros e os dois últimos
termos, tem-se (x2)2 2 32 2 (x2 2 32) 5
5 x4 2 9 2 x2 1 9 5 x4 2 x2
e) [(1 2 8x) ? (1 1 8x) 1 60x2]2
Agrupando os dois primeiros termos, tem-se
[12 2 (8x)2 1 60x2]2 5 [1 2 64x2 1 60x2]2 5
5 [1 2 4x2]2 5 12 2 2 ? 1 ? 4x 1 (4x2)2 5
5 1 2 8x2 2 16x4
17 Copie os itens em seu caderno, substituindo cada
símbolo por um monômio, de modo a tornar as
igualdades verdadeiras.
a) (a 2 )2 5 a2 2 26a 1
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(a 2 )2 5 a2 2 2a 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 22a 5 226a ⇒ 5 26a ; 2a 5 13
• 5 2 5 132 5 169
b) (x 1 ) ? (x 2 ) 5 x2 2 16y2
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
(x 1 ) ? (x 2 ) 5 x2 2 2
Comparando termo a termo, obtém-se
22 5 216y2 ⇒ 5 4y
c) ( 2 5d)2 5 2 30d 1 25d2
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
( 2 5d)2 5 2 2 10d 1 25d2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 210d 5 230d ⇒ 5 30d ; 10d 5 3
• 5 2 5 32 5 9
d)( 2 1) ? ( 1 1) 5 25p2q8 2 1
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
( 2 1) ? ( 1 1) 5 2 2 1
Comparando termo a termo, obtém-se
2 5 25p2q8 ⇒ 5 5pq4
f) ( 2 )2 5 4g2 2 44gh 1 121h2
Desenvolvendo o produto notável, tem-se
( 2 )2 5 2 2 2 1 2
Comparando termo a termo, obtém-se
• 2 5 4g2 ⇒ 5 2g
• 2 5 121h2 ⇒ 5 11h
Essa solução também é consistente com
22 5 244gh
18 Considere um terreno retangular de medidas, em
metros, iguais a (x 1 6) e (x 2 6). Se a área desse
terreno é igual a 108 m2, qual a medida de cada
lado?
Efetua-se o produto das medidas dos lados e iguala-se o resultado à medida da área.
(x 1 6) ? (x 2 6) 5 108 ⇒ x2 2 62 5 108 ⇒
⇒ x2 2 36 5 108 ⇒ x2 5 108 1 36
x2 5 144 ⇒ x 5 12
Sendo x 5 12, as medidas dos lados são
x 1 6 5 12 1 6 5 18 m e x 2 6 5 12 2 6 5 6 m
19 A figura mostra uma caixa retangular de altura h, cuja base é um
quadrado. Os lados do quadrado
medem 4 unidades a menos do
que a altura da caixa. Determine o
que se pede em cada item.
h
a) O polinômio que representa a medida do lado da
base da caixa.
A altura da caixa é h, e os lados do quadrado medem 4 unidades a menos que a altura. Logo, cada
lado da base quadrada mede h 2 4.
b) O volume da caixa.
O volume é obtido multiplicando as medidas da
caixa.
V 5 (h 2 4) ? (h 2 4) ? h 5 (h 2 4)2 ? h 5
5 (h2 2 2 ? h ? 4 1 42) ? h 5
5 (h2 2 8h 1 16) ? h 5 h3 2 8h2 1 16h
c) A soma das áreas de todas as faces da caixa.
A área de cada uma das 4 laterais da caixa vale
h ? (h 2 4).
A área do fundo da caixa é igual à área da tampa
e vale (h 2 4)2.
A soma das áreas de todas as faces é dada por
SA 5 4 ? h(h 2 4) 1 2 ? (h 2 4)2 5
5 4h2 2 16h 1 2 ? (h2 2 8h 1 16) 5
5 4h2 2 16h 1 2h2 2 16h 1 32 5
5 6h2 2 32h 1 32
20 Veja como Paula resolveu a multiplicação 102 ? 98
usando produtos notáveis.
e) (k3 1 ) ? (k3 2 12z2) 5 2 144z4
Como 144z4 5 (12z2)2, deve-se ter
5 12z2, de modo que
(k3 1 12z2) ? (k3 2 12z2) 5 (k3)2 2 (12z2)2 5
5 k6 2 144z4
Então 5 k6
97
3P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 97
20.10.08 14:45:39
Resolução de atividades Capítulo 4
Resolva as multiplicações seguintes da mesma
forma que Paula.
a) 51 ? 49 5 (50 1 1) ? (50 2 1) 5 502 2 12 5
5 2 500 2 1 5 2 499
b) 1 003 ? 997 5 (1 000 1 3) ? (1 000 2 3) 5
5 1 0002 2 32 5 1 000 000 2 9 5 999 991
21 Observe a expressão algébrica mostrada no quadro-de-giz.
Página
118
Atividades para classe
1 Represente o número de cada item como produto
de dois ou mais fatores.
Algumas respostas possíveis.
a) 250 5 2 ? 53
b) 192 5 26 ? 3, ou 42 ? 12
c) 5 120 5 210 ? 5, ou 8 ? 8 ? 8 ? 2 ? 5
d)1 440 5 25 ? 32 ? 5, ou 6 ? 6 ? 2 ? 20
a) Simplifique-a em seu caderno.
Agrupando os dois primeiros termos e os dois últimos, tem-se
22 2 (5z)2 1 (6z)2 2 12 5
5 4 2 25z2 1 36z2 2 1 5 11z2 1 3
b) Determine um valor positivo para z de modo que
o valor numérico da expressão seja igual a 179.
11z2 1 3 5 179 ⇒ 11z2 5 179 2 3 ⇒ 11z2 5 176
176
z2 5 ___
⇒ z2 5 16 ⇒ z 5 4
11
22 Foram recortados quatro quadrados idênticos dos
cantos de um retângulo cujos lados têm medidas
10 e 20.
x
10
20
Se a distância, indicada na figura, entre os lados de
dois dos quadrados é igual a x, escreva o polinômio
que representa a área da figura obtida.
O lado de cada um dos quadrados recortados mede
20 2 x
_______
, de forma que a área de um desses qua2
20 2 x 2 _______________
400 2 40x 1 x2
drados mede _______
5
.
4
2
Então a área da figura que foi obtida pode ser calculada subtraindo a área desses 4 quadrados recortados da área do retângulo inicial.
400 2 40x 1 x2
5
A 5 10 ? 20 2 4 ? _______________
4
2
2
5 200 2 400 1 40x 2x 5 2 x 1 40x 2 200
@
#
@
#
Módulo 3: Fatoração
Página
116
Boxe Cálculo mental
Encontre, mentamente, a forma fatorada das expressões abaixo.
Colocam-se os fatores comuns em evidência.
a) px 1 3p 5 p(x 1 3)
b) 4c 2 2d 5 2(2c 2 d)
c) y2 1 y 5 y(y 1 1)
2 Indique quais dos polinômios abaixo estão na forma fatorada.
a) x2y 1 3y não está na forma fatorada, que seria
y(x2 1 3).
b) (x 1 5) ? (x 2 3) está na forma fatorada.
c) (a 1 2b)2 está na forma fatorada.
d)y(y 1 1) 2 5z está na forma fatorada.
e) (2a 1 b 2 3c)5 está na forma fatorada.
f) a2 2 2ab 1 b2 não está na forma fatorada, que
seria (a 2 b)2.
3 Identifique, em seu caderno, o fator comum a todos os termos de cada polinômio.
a) a2x 1 a2y 2 5a2 → a2 é o fator comum.
b) 2b2 2 6a 1 8c 5 2b2 2 2 ? 3a 1 2 ? 4c →
→ 2 é o fator comum.
c) 6x4 2 15x3 1 21x2 5 3 ? 2x2x2 2 3 ? 5x2x 1 3 ? 7x2 →
→ 3x2 é o fator comum.
d)x6y5z4 1 x7y4z3 2 4x4y6z8 5
5 x4x2y4yz3z 1 x4x3y4z3 2 4x4y4y2z3z5 →
→ x4y4z3 é o fator comum.
4 Verifique, em seu caderno, quais dos trinômios são
quadrados perfeitos.
Extrai-se a raiz quadrada do termo que contém a
variável ao quadrado, bem como do termo independente, que não contém a variável. Depois se verifica se o produto dessas raízes por 2 corresponde ao
termo do meio.
I)x2 1 4x 1 16
(x)2
42
2 ? x ? 4 5 8x 4x
Não é um trinômio quadrado perfeito.
II) y2 2 6y 1 9
(y)2
32
2 ? y ? 3 5 6y
Logo, é um trinômio quadrado perfeito.
III) 4x2 2 2x 1 1
(2x)2
12
2 ? 2x ? 1 5 4x 2x
Não é um trinômio quadrado perfeito.
IV) a2 1 10a 1 25
52
(a)2
2 ? a ? 5 5 10a
Logo, é um trinômio quadrado perfeito.
Portanto, são quadrados perfeitos os trinômios
dos itens II e IV.
98
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 98
29.10.08 14:42:30
Resolução de atividades Capítulo 4
5 Veja como Cecília resolveu uma subtração.
9 Escreva em seu caderno os seguintes trinômios na
forma fatorada.
a) x2 1 8x 1 16 5 (x 1 4)2
b) 4z2 1 4z 1 1 5 (2z 1 1)2
c) 9 1 6a2b 1 a4b2 5 (3 1 a2b)2
Usando a mesma técnica aplicada por Cecília, calcule as seguintes subtrações.
a) 432 2 332 5 (43 2 33) ? (43 1 33) 5
5 10 ? 76 5 760
b) 5772 2 4772 5 (577 1 477) ? (577 2 477) 5
5 1 054 ? 100 5 105 400
6 Fatore os polinômios abaixo, colocando um fator
comum em evidência.
a) xa2 2 xc3 2 5x 5 x(a2 2 c3 2 5)
2
2
2
b) 8t 2 12u 5 4 ? 2t 2 4 ? 3u 5 4(2t 2 3u)
c) y5 1 2y3 2 7y2z 5 y2y3 1 y22y 2 y27z 5
5 y2(y3 1 2y 2 7z)
d)4x3 1 10x2 2 16x 5 2 ? 2xx2 1 2 ? 5xx 2 2 ? 8x 5
5 2x(2x2 1 5x 2 8)
e) 60z8 1 24z5 1 48z4 1 84z3 5
5 12 ? 5z5z3 1 12 ? 2z3z2 1 12 ? 4z3z 1 12 ? 7z3 5
5 12z3(5z5 1 2z2 1 4z 1 7)
7 Fatore os polinômios a seguir usando o agrupamento.
a) px 1 py 1 bx 1 by 5 p(x 1 y) 1 b(x 1 y) 5
5 (p 1 b) ? (x 1 y)
2
2
2
b) k a 2 k b 1 6a 2 6b 5 k (a 2 b) 1 6(a 2 b) 5
5 (k2 1 6) ? (a 2 b)
c) x3 1 x2 1 x 1 1 5 x2(x 1 1) 1 x 1 1 5 x2(x 1 1) 1
1 1(x 1 1) 5 (x2 1 1) ? (x 1 1)
d)4x4 1 28x2y3 1 49y6 5 (2x2 1 7y3)2
@
#
2
1
1
e) ___ 1 k 1 4k2 5 __
1 2k
4
16
f) c 2 10c 1 25 5 (c 2 5)2
2
g)9d2 2 12d 1 4 5 (3d 2 2)2
h)a4 2 4a2 1 4 5 (a2 2 2)2
i) 169p2 2 260pq 1 100 q2 5 (13p 2 10q)2
@
#
9b2
4a2
2a 3b 2
5 ___
j) ____
2 ab 1 ____
2 ___
4
3
9
16
10 Calcule o valor numérico das expressões a seguir:
Dica: Antes de calcular, fatore e simplifique as
expressões.
x2 2 y2
para x 5 1999 e y 5 1998
a) _______
x 1 y
x2 2 y2 ______________
(x 2 y) (x 1 y)
_______
5
5 (x 2 y) 5
x 1 y
x 1 y
5 1999 2 1998 5 1
b) 3x4 2 6x2 para x 5 2
3x4 2 6x2 5 3x2(x2 2 2) 5 3 ? 22(22 2 2) 5
5 3 ? 4(4 2 2) 5 12 ? 2 5 24
11 Juliana escreveu no seu caderno alguns trinômios
quadrados perfeitos. Porém, sua caneta estava
com defeito, e algumas gotas de tinta caíram sobre
a folha. Identifique, em cada caso, os termos que
ficaram manchados pela tinta.
d)5gh 1 3g 1 40h 1 24 5 g(5h 1 3) 1 8(5h 1 3) 5
5 (g 1 8) ? (5h 1 3)
e) ax 2 ay 2 bx 1 by 5 (x 2 y) 2 b(x 2 y) 5
5 (a 2 b) ? (x 2 y)
8 Os polinômios a seguir são diferenças de quadrados. Fatore-os em seu caderno.
a) y2 2 49 5 (y 1 7) ? (y 2 7)
b) 4x2 2 9z2 5 (2x 1 3z) ? (2x 2 3z)
c) 16 2 25x4y6 5 (4 1 5x2y3) ? (4 2 5x2y3)
d)a2 2 1 5 (a 1 1) ? (a 2 1)
e) a4 2 16 5 (a2 1 4) ? (a2 2 4). Pode-se ainda
fatorar mais uma vez, obtendo
(a2 1 4) ? (a 1 2) ? (a 2 2).
@
# @
#
t4
1
t2
t2
1
1
5 __
f) ___ 2 __
1 __
? __
2 __
6
2
6
2
4
36
g)x4 2 0,09 5 (x2 1 0,3) ? (x2 2 0,3)
h)121p10 2 x4y2 5 (11p5 1 x2y) ? (11p5 2 x2y)
@ #
2ab 2
1) (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2, e b2 5 ____
. Chaman2a
do os três termos do segundo membro respecII 2
.
tivamente de I, II e III, tem-se que III 5 ____
2d XI
Essa relação deve ser obedecida para que o trinômio seja um quadrado perfeito. Aplicando a rela8x 2
II 2
5 ___
5 42 5 16.
ção, tem-se: III 5 ____
2x
2d XI
@ #
@ # @ #
Logo o trinômio é x2 1 8x 1 16
2)O segundo termo de um trinômio quadrado perX 5 2 ? b ? 3c 5 6bc. Então o
feito é II 5 2 ? d XI ? d XIII
trinômio é b2 2 6bc 1 9c2.
99
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 99
30.10.08 08:26:07
Resolução de atividades Capítulo 4
@ # @ # @ #
II 2
z 2
1 2
1
3)III 5 ____
5 ___
5 __
5 __ . Portanto, o trinô4
2
2z
2d XI
1
mio é z2 1 z 1 __
.
4
4)O primeiro termo de um trinômio quadrado perfeito é
@ # @
#
212a 2
II 2
I 5 _____
5 _____
5 (22a)2 5 4a2. Logo o
2 ? 3
X
2d XIII
trinômio é 4a2 2 12a 1 9.
Página
119
15 Fatore em seu caderno os polinômios a seguir
usando o agrupamento.
a) 4b 1 4c 1 bz 1 cz 5 4(b 1 c) 1 z(b 1 c) 5
5 (b 1 c) ? (4 1 z)
b) 6x 1 6y 2 ax 2 ay 5 6(x 1 y) 2 a(x 1 y) 5
5 (x 1 y) ? (6 2 a)
c) 7a 2 7b 2 ax 1 bx 5 7(a 2 b) 2 x(a 2 b) 5
5 (a 2 b) ? (7 2 x)
d)y3 1 y2 1 18y 1 18 5 y2(y 1 1) 1 18(y 1 1) 5
5 (y 1 1) ? (y2 1 18)
Atividades para casa
12 Dentre as expressões que a professora Cida escreveu
no quadro-de-giz, quais estão na forma fatorada?
e) 2t3 1 t2y 1 2ty 1 y2 5 t2(2t 1 y) 1 y(2t 1 y) 5
5 (2t 1 y) ? (t2 1 y)
f) ax 1 bx 2 cx 1 ay 1 by 2 cy 5
5 x(a 1 b 2 c) 1 y(a 1 b 2 c) 5
5 (a 1 b 2 c) ? (x 1 y)
g)4x4 2 8x3y 2 3xy 1 6y2 5
5 4x3(x 2 2y) 2 3y(x 2 2y) 5 (x 2 2y) ? (4x3 2 3y)
ax
x2
2 x 5
h) ___ 1 a 2 __
2
2
x
x
x
5 a __
1 1 5 __
1 1 ? (a 2 x)
1 1 2x __
2
2
2
@
@
#
# @
#
16 Os polinômios a seguir são diferenças de quadrados. Fatore-os em seu caderno.
I) (a 1 2b)(a 2 2b) está na forma fatorada.
a) p2 2 81 5 (p 1 9) ? (p 2 9)
II) c(c 1 3) 1 4c2 não está na forma fatorada, que
seria c(c 1 3 1 4c).
b) 9x2 2 121 5 (3x 1 11) ? (3x 2 11)
III) 2x 1 4y2 não está na forma fatorada, que seria
2(x 1 2y2).
d)4a2 2 t4 5 (2a 1 t2) ? (2a 2 t2)
c) 1 2 25b2c2 5 (1 1 5bc) ? (1 2 5bc)
V)5z2c5d2 está na forma fatorada.
e) m4 2 81 5 (m2 1 9) ? (m2 2 9).
Pode-se ainda fatorar mais uma vez, obtendo
(m2 1 9) ? (m 1 3) ? (m 2 3).
VI) (a 1 b 1 c 1 d)6 está na forma fatorada.
f) 2,89 2 2,25g2 5 (1,7 1 1,5g) ? (1,7 2 1,5g)
IV) (x 1 6y)3 está na forma fatorada.
13 Resolva as operações abaixo colocando um fator
comum em evidência.
a) 32 ? 4 1 32 ? 9 2 32 ? 3 5 32(4 1 9 2 3) 5
5 32 ? 10 5 320
b) 2912 1 291 ? 9 5 291(291 1 9) 5 291 ? 300 5
5 87 300
c) 515 ? 81 1 485 ? 81 5 81(515 1 485) 5
5 81 ? 1 000 5 81 000
d) 818 ? 16 1 818 ? 19 5 818(16 1 19) 5
5 818 ? 35 5 28 630
@
# @
h)x10y22 2 1 024 5 (x5y11 1 32) ? (x5y11 2 32)
17 Escreva em seu caderno os seguintes trinômios na
forma fatorada.
1
1 2
a) 49x2 1 2x 1 ___
5 7x 1 __
7
49
b) 25z2 2 20z 1 16 5 (5z 2 4)2
@
c) 4k2 1 12km 1 9m2 5 (2k 1 3m)2
e) p2 1 4p 1 4 5 (p 1 2)2
f) d2 2 2d 1 1 5 (d 2 1)2
a) x3y2 1 x3y 2 8x3 5 x3(y2 1 y 2 8)
g)a2 2 4ac 1 4c2 5 (a 2 2c)2
b) 6a 1 9c 5 3 ? 2a 1 3 ? 3c 5 3(2a 1 3c)
h)9t2 1 6t 1 1 5 (3t 1 1)2
c) 2k5 1 5k4 1 3k2 5 k2 ? 2k3 1 k2 ? 5k2 1 3k2 5
5 k2(2k3 1 5k2 1 3)
d)8x4 2 20x3 5 4 ? 2x3x 2 4 ? 5x3 5 4x3(2x 2 5)
5 2
5
5
5
2
e) t 1 t 5 t t 1 t 5 t (t 1 1)
4
3
2
2 2
2
#
d)9a12 1 60a6b2 1 100b4 5 (3a6 1 10b2)2
14 Fatore os polinômios abaixo colocando um fator
comum em evidência.
7
#
c4
4a2
2a c2
2a c2
5 ___
1 __
2 __
g) ____ 2 ___
? ___
7
5
7
5
49
25
2
f) 2x 2 3x 2 x 5 2x x 2 3x x 2x 5
5 2x2(x2 1 3x 1 1)
18 Fatore completamente os polinômios a seguir, aplicando um ou mais casos de fatoração.
a) v5 2 v3 5 v3(v2 2 1) 5 v3(v 1 1) ? (v 2 1)
b) 8x2 2 8 2 x2y 1 y 5 8(x2 2 1) 2 y(x2 2 1) 5
5 (8 2 y) ? (x2 2 1) 5 (8 2 y) ? (x 1 1) ? (x 2 1)
c) t3 2 18t2 1 81t 5 t(t2 2 18t 1 81) 5 t(t 2 9)2
100
3P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 100
20.10.08 14:45:41
Resolução de atividades Capítulo 4
d)28x2 2 40x 2 50 5 22(4x2 1 20x 1 25) 5
5 22(2x 1 5)2
e) x2 2 2x 1 1 2 y2 5 (x 2 1 1 y) ? (x 2 1 2 y)
@
#
@
# @
2c3
c2
c
c
f) ____
2 8c 5 2c __
2 4 5 2c __
1 2 ? __
2 2
3
3
9
9
3
#
2
g)7a 2 28a 1 2b 2 8a b 5
5 7a(1 2 4a2) 1 2b(1 2 4a2) 5
5 (7a 1 2b) ? (1 2 4a2) 5
5 (7a 1 2b) ? (1 1 2a) ? (1 2 2a)
h)a4 2 b2 1 2bc 2 c2 5 (a2 1 b 2 c) ? (a2 2 b 1 c)
i) b3 1 b2 5 b2(b 1 1)
b) Escreva em seu caderno o polinômio na forma
fatorada que representa a área desse retângulo.
A área do retângulo é o produto de seus lados:
A 5 (x 1 5) ? (x 1 3).
c) Determine a área do retângulo verde.
O retângulo verde possui comprimento igual ao
do retângulo acima dele (5), e largura igual à do
retângulo à esquerda dele (3). Sendo assim, sua
área é A 5 3 ? 5 5 15.
j) 8t3 2 16t2w 1 3tw 2 6w2 5
5 8t2(t 2 2w) 1 3w(t 2 2w) 5
5 (t 2 2w) ? (8t2 1 3w)
k) 5(a 1 b 1 c) 2 k(a 1 b 1 c) 5
5 (a 1 b 1 c) ? (5 2 k)
l) 196x2y3 2 56x3y2 1 42x3y3 5
5 14x2y2(14y 2 4x 1 3xy)
1
2x 4x2
1
2x 2
5 __
m) __ 2 ___
1 ____
2 ___
3
2
4
3
9
n)m8 2 2m4n3 1 n6 5 (m4 2 n3)2
@
Da mesma forma, o retângulo abaixo à esquerda
possui comprimento igual a x, de modo que sua
3x
largura é ___
x 5 3.
Sendo assim; o retângulo maior tem comprimento igual a (x 1 5) e largura igual a (x 1 3).
#
19 Calcule o valor numérico das expressões a seguir.
x6 2 y6
para
x54ey53
a) _______
3
x 1 y3
6
6
x 2y
(x3 2 y3) ? (x3 1 y3)
_______
5 _________________
5 x3 2 y3 5
3
3
x 1y
x3 1 y3
5 43 2 33 5 64 227 5 37
3ab 2 6b
a 5 1 000 e b 5 999
b) _________
para
ab 2 2b
3b(a 2 2)
3ab 2 6b _________
5
5 3, para quaisquer valores
_________
ab 2 2b
b(a 2 2)
de a e b.
20 Observe o retângulo a seguir, dividido em quatro
regiões coloridas. As áreas de três regiões coloridas estão indicadas.
d)Calcule a soma das áreas das quatro regiões da
figura, obtendo o polinômio que representa a
área do retângulo maior.
Somando as áreas das quatro regiões obtém-se
Atotal 5 x2 1 5x 1 3x 1 15 5 x2 1 8x 1 15
e) Desenhe uma figura semelhante à que foi dada
neste exercício, cuja área seja representada por
x2 1 6x 1 8.
x14
x12
x2
4x
2x
8
Resolução de problemas
Entendendo uma sequência.
página
120
Caracterização do problema
Vítor trabalha criando logotipos para empresas, escolas e lojas. Ele recebeu uma encomenda de uma
empresa para que criasse um logotipo que tivesse
a forma de um quadrado colorido. Como o tamanho
do quadrado não havia sido especificado, inicialmente Vítor bolou o logotipo ilustrado abaixo.
Vermelho
x2
3x
5x
Verde
a) Escreva em seu caderno as medidas dos lados
da figura.
Como a área do quadrado é o lado elevado ao
quadrado, a medida do lado do quadrado acima
à esquerda é d XX
x2 5 x.
Então o retângulo acima à direita possui também
largura igual a x. Como a área do retângulo é o
produto do comprimento pela largura, o comprimento desse retângulo é o quociente da área
5x
pela largura: ___
x 5 5.
R
A
R
A
R
A
R
A
R
Para criar outras opções, Vítor foi desenhando outras figuras ao lado da original, formando a sequência abaixo.
R A R
A R A
R A R
R
A
A
R
A
R
R
A
A
R
R
A
R
A
A
R
R
A
A
A
R
A
R
R
R
A
A
R
R
R
A
A
R
R
R
A
R
A
A
A
R
R
A
A
A
A
R
A
R
R
R
R
A
A
R
R
R
R
A
A
R
R
R
R
A
A
R
R
R
R
A
R
A
A
A
A
R
101
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 101
29.10.08 14:43:14
Resolução de atividades Capítulo 4
Quando Vítor apresentou as opções para que uma
delas pudesse ser aprovada, o representante da
empresa, Pedro, percebeu que os desenhos seguiam um determinado padrão. Curioso, resolveu
investigar qual era esse padrão para continuar a
sequência de figuras.
Desenhe a próxima figura da sequência.
A próxima figura da sequência, onde R representa
um quadrado rosa e A um quadrado azul, é:
R A A A A A R
A R R R R R A
A R R R R R A
A R R R R R A
A R R R R R A
R A A A A A R
120
Representação do problema
Pedro percebeu que havia três parâmetros importantes em cada figura.
1. O número de quadrados azuis (NA).
2.O número de quadrados rosa (NR).
3.O número total de quadrados (NT).
Além disso, para facilitar a compreensão do problema, decidiu numerar as figuras, da esquerda para a
direita, e organizar os parâmetros observados em
uma tabela como a esquematizada abaixo.
Copie a tabela em seu caderno, completando-a
com os parâmetros referentes às quatro primeiras
figuras da sequência.
Figura
1
2
3
4
Página
121
4 Qual é a expressão algébrica que representa NT na
figura número n? Dê a resposta na forma fatorada
e também na forma não fatorada.
NT1 5 (1 1 2)2 5 32 5 9; NT2 5 (2 1 2)2 5 42 5 16;
NT3 5 (3 1 2)2 5 52 5 25; NT4 5 (4 1 2)2 5 62 5 36;
NTn 5 (n 1 2)2 5 n2 1 4n 1 4
Pedro percebeu então que poderia usar os resultados já obtidos para chegar a uma expressão para NR.
5 Quanto vale a soma NA 1 NR em uma figura qualquer da sequência? Use essa ideia para chegar a
uma expressão algébrica que represente NR na figura número n.
Em todas as figuras NA 1 NR 5 NT.
Logo, NRn 5 NTn 2 NAn 5 n2 1 4n 1 4 2 4n ⇒
⇒ NRn 5 n2 1 4
A R R R R R A
Página
3 O que têm em comum os três números que preenchem a última coluna da tabela? Qual seria o valor
de NT para a quarta figura?
São quadrados perfeitos: 9 5 32; 16 5 42; 25 5 52.
Para a quarta figura: NT 5 36 5 62.
NA
NR
NT
4
8
12
16
5
8
13
20
9
16
25
36
Resolução do problema
Observando a tabela preenchida, procure encontrar algum padrão em cada coluna e responda às
questões em seu caderno.
1 Qual seria o valor de NA para a quinta figura? Qual é a
lógica que seguem os elementos dessa sequência?
NA 5 {4; 8; 12; 16} Os elementos da sequência aumentam de quatro em quatro, de forma que NA para
a quinta figura será 20.
2 Que expressão algébrica representa NA na figura
número n?
NA1 5 4 ? 1 5 4; NA2 5 4 ? 2 5 8; NA3 5 4 ? 3 5 12;
NAn 5 4 ? n 5 4n
Pedro achou mais difícil encontrar um padrão para
a coluna NR. Por isso, passou para a última coluna
da tabela.
6 Explique, usando a figura, a fórmula que você obteve na pergunta anterior.
Os quadrados rosa formam um quadrado de lado n
mais quatro quadrados (um em cada canto). Dessa
forma, NR 5 n2 1 4.
7 Responda às seguintes questões.
a) Quantos quadrados azuis existem na décima figura da sequência?
NA10 5 4 ? 10 5 40 ⇒ 40 quadrados azuis
b) Quantos quadrados rosa existem na décima figura da sequência?
NR10 5 (10)2 1 4 5 100 1 4 5 104 ⇒ 104 quadrados rosa
c) Em qual figura serão desenhados 88 quadrados
azuis?
NAn 5 4 ? n
88
5 22
Se NAn 5 88, tem-se 4 ? n 5 88 ⇒ n 5 ___
4
Então na 22a figura serão desenhados 88 quadrados azuis.
d)Em qual figura serão desenhados 328 quadrados rosa?
NRn 5 n2 1 4
Se NRn 5 328, tem-se n2 1 4 5 238 ⇒ n2 5
5 328 2 4 ⇒ n2 5 324 ⇒ n 5 18
Portanto, na 18a figura serão desenhados 328
quadrados rosa.
Página
121
Comunicação de resultados
Escreva um texto e explique a lógica seguida para
encontrar as expressões que, na figura, representam
o número n e os valores de NA e NR. Lembre-se de
registrar a expressão obtida em cada caso.
NAn 5 4n → Em cada figura, acrescenta-se um
quadrado azul em cada um dos lados do quadrado.
Por isso, eles aumentam de quatro em quatro.
NRn 5 n2 1 4 → Os quadrados rosa formam um
quadrado de lado n mais quatro quadrados (um
em cada canto).
102
3P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 102
20.10.08 14:45:42
Resolução de atividades Capítulo 4
Página
121
Faça você
Observe a sequência, construída a partir de triângulos.
c) (a 1 2c)2 2 (a 2 2c)2 5
5 a2 1 2 ? a ? 2c 1 (2c)2 2 [a2 2 2 ? a ? 2c 1 (2c)2] 5
5 a2 1 4ac 1 4c2 2 a2 1 4ac 2 4c2 5 8ac
d)(12x 1 0,5)2 5 (12x)2 1 2 ? 12x ? 0,5 1 (0,5)2 5
5 144x2 1 12x 1 0,25
@
# @
@
#
# @ # @ #
3 2x
2x
3
32
2x 2 9 ____
4x2
e) __ 2 ___
? __
1 ___
5 __
2 ___
5 __
2
4
7
2
2
49
7
7
2
As figuras que vão sendo obtidas nessa sequência
são chamadas de fractais.
a) Escreva o total de triângulos existentes em cada
uma das figuras acima.
Na primeira figura há 1 triângulo; na segunda figura há 1 1 3 5 4 triângulos;
na terceira figura há 1 1 3 1 6 5 10 triângulos.
b) Quantos triângulos existem na quarta figura dessa sequência? Se necessário, faça uma figura.
22 triângulos no total.
c) Descreva, com suas palavras, uma lógica que
permita encontrar o total de triângulos da próxima figura da sequência.
Da 1a para a 2a figura, há um aumento de três
triângulos. A partir daí, o número de triângulos
acrescentados é igual ao dobro do que foi acrescentado na etapa anterior. Veja o esquema:
16
13
1
→
4
→ 10
1 12
→
…
22 → …
d)Qual das três expressões representa o número de triângulos Tn existentes na figura n?
Verifica-se por substituição: substituindo n 5 4 nas
expressões, a que resultar num número de triângulos igual a 22 será a expressão correta.
1.Tn 5 3 ? (n 2 1)2 1 1
para n 5 4 tem-se T4 5 3 ? (4 2 1)2 1 1 5
5 3 ? 32 1 1 5 3 ? 9 1 1 5 27 1 1 5 28
2.Tn 5 2 ? 3n 2 1 2 1
para n 5 4 tem-se T4 5 2 ? 34 2 1 2 1 5 2 ? 33 2 1 5
5 2 ? 27 2 1 5 54 2 1 5 53
3.Tn 5 3 ? 2n 2 1 2 2
@ #
z 2
z
z 2
5 (3y3)2 2 2 ? 3y3 ? __
1 __
5
f) 3y3 2 __
3
3
3
z2
5 9y6 2 2y3z 1 __
9
g)(2x2 1 3y4) ? (2x2 2 3y4) 5 (2x2)2 2 (3y4)2 5
5 4x4 2 9y8
h) (22y7 1 3z2)2 5 (22y7)2 2 2 ? 2y7 ? 3z2 1 (3z2)2 5
5 4y14 2 12y7z21 9z4
2 Usando os casos de fatoração mais convenientes,
fatore os polinômios a seguir.
a) x3 2 4x 5 x(x2 2 4) 5 x ? (x 1 2) ? (x 2 2)
b) 2ax2 1 12ax 1 18a 5 2a(x2 1 6x 1 9) 5
5 2a(x 1 3)2
c) 2y2 2 8y 2 16 5 2(y 1 4)2
d)b4 2 b2 5 b2(b2 2 1) 5 b2(b 1 1) ? (b 2 1)
e) k4 2 2k2 1 1 5 (k2 2 1)2 5 [(k 1 1) ? (k 2 1)]2 5
5 (k 1 1)2 ? (k 2 1)2
f) 2x2 1 2x 1 x2y 1 xy 5 x(2x 1 2 1 xy 1 y) 5
5 x[2(x 1 1) 1 y(x 1 1)] 5 x(x 1 1) ? (2 1 y)
g)a2 1 2ab 1 b2 2 c2 5 (a 1 b)2 2 c2 5
5 (a 1 b 1 c) ? (a 1 b 2 c)
h)4x6 2 36x5y 1 81x4y2 5 x4(4x2 2 36xy 1 81y2) 5
5 x4(2x 2 9y)2
i) a3 1 2a2 1 a 1 a2c 1 2ac 1 c 5
5 a(a2 1 2a 1 1) 1 c(a2 1 2a 1 1) 5
5 (a2 1 2a 1 1) ? (a 1 c) 5 (a 1 1)2 ? (a 1 c)
j) g8 2 1 5 (g4 1 1) ? (g4 2 1) 5
5 (g4 1 1) ? (g2 1 1) ? (g2 2 1) 5
5 (g4 1 1) ? (g2 1 1) ? (g 1 1) ? (g 2 1)
para n 5 4 tem-se T4 5 3 ? 24 2 1 2 2 5 3 ? 23 2 2 5
5 3 ? 8 2 2 5 24 2 2 5 22
k) 2a3b4c6 2 a5b3c4 5 a3b3c4(2bc2 2 a2)
Portanto, a expressão que representa corretamente
Tn é a número 3.
l) 8(a 1 b) 2 k(a 1 b) 5 (a 1 b) ? (8 2 k)
Página
124
Questões globais
1 Desenvolva em seu caderno os produtos notáveis
a seguir.
m)3x2y 2 4xy2 2 xy 5 xy(3x 2 4y 2 1)
@
#
x2
x
x
1
5 __
x2 __
n) __ 2 __
4 2
2
2
o) 4x6y7z8 1 6x8y7z6 5 2x6y7z6(2z2 1 3x2)
p) 77c5d2 1 33c2d 5 11c2d(7c3d 1 3)
a) (8k 2 3)2 5 (8k)2 2 2 ? 8k ? 3 1 32 5
5 64k2 2 48k 1 9
q)10m2n 2 25mn3 1 5mn 5 5mn(2m 2 5n2 1 1)
b) (5t 1 6) ? (6 2 5t) 5 (5t 1 6) ? [2(5t 2 6)] 5
5 2(5t 1 6) ? (5t 2 6) 5 2[(5t)2 2 62] 5
5 2[25t2 2 36] 5 36 2 25t2
t
t6 t4 __
t t5
1
2 5 __
__
1 t3 2 __
r) __
1 __
3
6
3
9 3 2
s) 25z2 2 30zw 1 9w2 5 (5z 2 3w)2
@
#
103
3P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 103
20.10.08 14:45:43
Resolução de atividades Capítulo 4
c) 2 ? 5512 2 2 ? 4492 5 2 ? (5512 2 4492) 5
5 2 ? (551 2 449) ? (551 1 449) 5
5 2 ? 102 ? 1 000 5 204 000
3 Observe a figura seguinte.
1
d)892 1 2 ? 89 ? 11 1 112 5
5 (89 1 11)2 5 1002 5 10 000
2
x
Verde
Vermelho
a) Escreva em seu caderno o polinômio que representa a soma das áreas dos três quadrados da
figura.
O lado do quadrado verde mede (x 1 2), e o do
quadrado vermelho mede
(x 1 2 1 1) 5 (x 1 3). Assim, S 5 x2 1 (x 1 2)2 1 (x 1 3)2 5
5 x2 1 x2 1 4x 1 4 1 x2 1 6x 1 9 5 3x2 1 10x 1 13
b) Calcule o valor da soma quando x 5 2.
Substituindo x 5 2 na expressão acima, tem-se
S 5 3 ? 22 1 10 ? 2 1 13 5 3 ? 4 1 20 1 13 5 45
4 Simplifique as expressões algébricas abaixo e, depois, fatore o resultado obtido.
a) (3 1 2x) ? (3 2 2x) 2 8(x 2 2) 1 8x 2 5x2 5
5 32 2 (2x)2 2 8x 1 16 1 8x 2 5x2 5
5 9 2 4x2 1 16 2 5x2 5 25 2 9x2 5
5 (5 1 3x) ? (5 2 3x)
b) (x 1 3) ? (1 2 2x) 1 3x(x 2 1) 1 13 5
5 x 2 2x2 1 3 2 6x 1 3x2 2 3x 1 13 5
5 x2 2 8x 116 5 (x 2 4)2
c) (a 1 3)2 2 5(a 1 1) 1 (a 1 2) ? (a 2 2) 5
5 a2 1 6a 1 9 2 5a 2 5 1 a2 2 4 5
5 2a2 1 a 5 a(2a 1 1)
d)x(2x 2 1)2 1 2x(2x 2 1) 5
5 x(4x2 2 4x 11) 1 4x2 2 2x 5
5 4x3 2 4x2 1 x 1 4x2 2 2x 5 4x3 2 x 5
5 x(4x2 2 1) 5 x(2x 2 1) ? (2x 1 1)
5 Copie em seu caderno as expressões de cada item,
substituindo cada de modo a torná-las trinômios
quadrados perfeitos.
a) z 1 10z 1 → 5 25, pois z 1 10z 1 25 5
5 (z 1 5)2
7 Em cada uma das figuras abaixo, um retângulo
maior foi dividido em um quadrado amarelo e três
retângulos menores, sendo que as áreas de algumas dessas regiões estão indicadas na figura. Determine, em cada caso:
I. as medidas dos lados do retângulo maior;
II.a área do retângulo maior, escrita na forma fatorada e na forma não-fatorada.
a)
Amarelo
x2
xy
Vermelho
Roxo 4x
Laranja
Quadrado amarelo
Como a área do quadrado é dada pelo lado elevado
ao quadrado, tem-se lado 5 d XX
x2 5
x.
Retângulo vermelho
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
xy
y.
do quadrado amarelo, tem-se lado 5 ___
x 5
Retângulo roxo
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
4x
do quadrado amarelo, tem-se lado 5 ___
x 5 4.
Desta forma,
I. O comprimento do retângulo maior é (x 1 y), e a
largura é (x 1 4).
II.A área do retângulo maior é (x 1 4) ? (x 1 y) 5 x2 1 4x 1 xy 1 4y.
b)
Azul
a2
7a
a
Laranja
Roxo
2
2
b) 9x4 2 1 49 → 5 42x2 , pois 9x4 2 42x2 1 49 5
5 (3x2 2 7)2
c) 1 20yz 1 25z →
→ 5 4y2, pois 4y2 1 20yz2 1 25z4 5 (2y 1 5z2)2
2
4
d)c4 1 c2 1 →
1
1 2
1
c2 1 __
→ 5 __ , pois c4 1 c2 1 __ 5
4
4
2
1
e) __ 2 1 36x2 →
9
1
1 2
→ 4x, pois 36x2 2 4x 1 __ 5
6x 2 __
9
3
@
#
@
#
6 Efetue as seguintes operações, utilizando fatoração para simplificar os cálculos:
a) 4422 2 4412 5 (442 2 441) ? (442 1 441) 5
5 1 ? 883 5 883
b) 77 ? 238 1 77 ? 12 2 77 ? 150 5
5 77(238 1 12 2 150) 5 77 ? 100 5 7 700
Verde
Quadrado azul
Como a área do quadrado é dada pelo lado elevado
a2 5
a.
ao quadrado, tem-se lado 5 d XXX
Retângulo roxo
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
7a
7.
do quadrado azul, tem-se lado 5 ___
a 5
Retângulo verde
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
a
do quadrado azul, tem-se lado 5 __
a 5 1.
Desta forma,
I. O comprimento do retângulo maior é (a 1 7) e a
largura é (a 1 1);
II. A área do retângulo maior é (a 1 1) ? (a 1 7) 5 a2 1 8a 1 7.
104
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 104
29.10.08 14:43:54
Resolução de atividades Capítulo 4
c)
Vermelho
9x2
Roxo 6x
12x
Verde
Quadrado vermelho
Como a área do quadrado é dada pelo lado elevado
9x2 5
3x.
ao quadrado, tem-se lado 5 d XXXX
Retângulo roxo
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
6x
5 2.
do quadrado vermelho, tem-se lado 5 ___
3x
Retângulo azul
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
12x 5
4.
do quadrado vermelho, tem-se lado 5 ___
3x
Desta forma,
I. O comprimento do retângulo maior é (3x 1 4) e
sua largura é (3x 1 2);
II.A área do retângulo maior é (3x 1 2) ? (3x 1 4) 5 9x2 1 18x 1 8.
d)
2
9 Qual é o número inteiro que deve ser adicionado
ao polinômio 36x2 2 60x 1 7 de modo que ele se
torne um trinômio quadrado perfeito?
Tem-se o trinômio 36x2 2 60x 1 7. Sabe-se que (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2.
Comparando os termos, nota-se que a 5 6x, de
modo que a2 5 36x2.
Então 22ab 5 22 ? 6x ? b 5 212xb
Como esse termo deve corresponder a 260x,
tem-se
260x
212xb 5 260x ⇒ b 5 ______ 5
5
212x
Logo, se b 5 5, o trinômio é (6x 2 5)2 5 36x2 2 60x 1
1 25, de forma que o inteiro que deve ser somado
ao trinômio inicial é 25 2 7 5 18.
125
Página 4b2
Amarelo
6b
Verde
b) Determine os valores de a e de b.
Sabe-se que a 1 b 5 13 e que a 2 b 5 3. Constrói-se então um sistema de duas equações de
1o grau.
a 1 b 5 13
a 2 b 5 3 1 (somando as sentenças) ⇒
2a 5 16
16
⇒ a 5 ___ ⇒
a58
2
Substituindo o valor de a em uma das igualdades,
a 1 b 5 13 ⇒ b 5 13 2 a ⇒ b 5 13 2 8 ⇒ b 5 5
Portanto, a 5 8 e b 5 5.
18
Roxo
Quadrado amarelo
Como a área do quadrado é dada pelo lado elevado
4b2 5
2b.
ao quadrado, tem-se lado 5 d XXXX
Retângulo verde
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
6b
do quadrado amarelo, tem-se lado 5 ___ 5 3.
2b
Retângulo roxo
Como a área do retângulo é dada pelo produto dos
lados, e sabendo que um de seus lados é o mesmo
18
6.
do retângulo verde, tem-se lado 5 ___ 5
3
Desta forma,
I. O comprimento do retângulo maior é (2b 1 6) e
sua largura, (2b 13);
II.A área do retângulo maior é (2b 1 3) ? (2b 1 6) 5
5 4b2 1 18b 1 18.
8 Considere dois números, a e b, sabendo que a2 2 b2 5 39 e a 2 b 5 3.
a) Qual é o valor de a 1 b?
Fatorando, tem-se (a 2 b) ? (a 1 b) 5 39. Substituindo o dado (a 2 b) 5 3, tem-se
39
a 1 b 5 13
3 ? (a 1 b) 5 39 ⇒ a 1 b 5 ___ ⇒
3
Questões globais
10 Verifique se as igualdades abaixo são verdadeiras
ou falsas e corrija as falsas em seu caderno.
a) x2 2 9x 5 x(x 2 9)
V
b) 3x2 1 12x 1 36 5 (x 2 3)2
F → 3x2 1 12x 1 36 5 3(x2 1 4x 1 12)
c) x2 2 25 5 (x 2 5)2
F → x2 2 25 5 (x 2 5) ? (x 1 5)
d)x3 2 x 5 x(x2 2 1)
V
e) 4x2 2 49 5 (2x 2 7)2
F → 4x2 2 49 5 (2x 2 7) ? (2x 1 7)
f) x3 1 5x2 2 x 2 5 5 (x 1 5)(x2 2 1)
V
11 No bolso de uma pessoa havia x cédulas de y reais
e y cédulas de x reais. Ela colocou nesse bolso mais
x cédulas de x reais e y cédulas de y reais. Qual é o
polinômio na forma fatorada que representa a quantidade final de cédulas?
xy 1 yx 1 x2 1 y2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 (x 1 y)2
12 Escreva os monômios a seguir em seu caderno.
a) Monômio cujo quadrado seja 25x2.
5x
a4b6
.
b) Monômio cujo quadrado seja ____
9
a2b3
____
3
105
4P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 105
29.10.08 14:43:55
Resolução de atividades Capítulo 4
c) Monômio cujo cubo seja 27a3.
3a
d) Monômio cujo cubo seja 28x12y15.
22x4y5
13 A moldura retangular abaixo tem a largura constante, representada por L, e suas dimensões são 25 e
40. Escreva em seu caderno, na forma fatorada, a
expressão que representa a área dessa moldura.
L
O volume do cubo verde é dado por x3.
A aresta do cubo azul mede (x 1 2), de modo que
seu volume é dado por (x 1 2)3.
Subtraindo os dois volumes tem-se:
(x 1 2)3 2 x3 5 x3 1 6x2 1 12x 1 8 2 x3 5
5 6x2 1 12x 1 8
15 Observe, na figura, a planta de um quarteirão dividido em dois terrenos. O terreno A tem a forma de
um quadrado com L metros de lado.
L
B
L
25
L
A
40
A área da moldura corresponde à área total do
quadro com moldura menos a área do quadro:
Atotal 5 40 ? 25
O quadro é um retângulo que tem comprimento
igual a (40 2 2L) e largura (25 2 2L), onde foram
descontadas as larguras da moldura.
Então a área da moldura é dada por:
40 ? 25 2 (40 2 2L) ? (25 2 2L) 5
5 1 000 2 (1 000 2 80L 2 50L 1 4L2) 5
5 1 000 2 1 000 1 130L 2 4L2 5 130L 2 4L2 5
5 2L(65 2 2L)
14 Considere os dois cubos representados abaixo.
x
Ve
rd
e
2
Escreva uma expressão algébrica que represente
quanto o volume do cubo azul excede o volume do
cubo verde.
O dono do terreno B propôs ao dono do terreno A
uma redistribuição dos terrenos: o terreno A ganharia 3 metros de largura, mas perderia 3 metros
no comprimento.
a) Determine o polinômio que representa a área
inicial do terreno A, em m2.
A área inicial do terreno A é L ? L5 L2 m2
b) Determine o polinômio que representa a área do
terreno A, em m2, considerando-se a proposta
do dono do terreno B.
Pela proposta do dono do terreno B, o novo comprimento do terreno A será L 2 3, e a nova largura, L 1 3. Então a nova área será:
(L 1 3) ? (L 2 3) 5 L 2 2 9 m2.
c) Você acha que o dono do terreno A deveria aceitar a proposta? Justifique em seu caderno a sua
resposta.
Não, pois na nova situação seu terreno teria uma
perda de 9 m2.
106
3P_YY_M8_RA_C04_091a106.indd 106
20.10.08 14:45:47
Download
