Matemática
Frente II
CAPÍTULO 22 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS
1 – INTRODUÇÃO
Veja um exercício resolvido abaixo aplicando esse
teorema.
Nos capítulos anteriores, durante o estudo
de polinômios, já estudamos alguns teoremas que
nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios.
Como o Teorema de Briot-Ruffini, as Relações de
Girard e as propriedades sobre Divisibilade de
Polinômios.
Munidos dessas propriedades e dos
teoremas que veremos a seguir, seremos capazes
de encontrar todas as raízes de muitos – mas não
todos – os polinômios de graus maiores que dois.
Exercício Resolvido 2
O
polinômio
possui como duas de suas raízes os número e
√ . Determine as demais raízes desse
polinômio.
Resolução:
Dos teoremas que acabamos de ver, temos outras
duas raízes do polinômio:
√
Já conhecemos, então, 4 das 5 raízes dos
polinômios. Sendo
a raiz que falta, aplicando as
relações de Girard, temos:
√
√
1 – TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS
Enunciaremos a seguir um teorema muito
importante na resolução de equações polinomiais.
Dado um polinômio de coeficientes reais, se
é raíz desse polinômio, com
,
então ̅
também é raiz do polinômio.
Assim, as raízes do polinômio são:
√
√
Veja um exercício resolvido abaixo aplicando
esse teorema.
ATENÇÃO:
Observe que o teorema só é válido em
polinômios de COEFICIENTES RACIONAIS. Por
exemplo, para o polinômio:
Exercício Resolvido 1
Seja
um polinômio de grau 4 com coeficientes
reais. Sabendo que
e
são raízes
de , determine todas as suas raízes.
( )
√
O teorema não é válido, pois nem todos os
coeficientes são racionais.
Resolução:
Como
é de grau 4, segue que ele possui
exatamente 4 raízes!
Se
é raiz, segue que ̅
também é
Se
é raiz, segue que ̅
também é
Conclusão: As 4 raízes são:
e–
3 – TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS
O teorema das raízes racionais enuncia o seguinte:
( )
Seja
Se a fração irredutível p/q é raíz de
então: p divide
e q divide .
ATENÇÃO:
Observe que o teorema só é válido em
polinômios de COEFICIENTES REAIS. Por exemplo,
para o polinômio:
( )
O teorema não é válido, pois nem todos os
coeficientes são reais.
.
( ),
Ou seja, se quisermos inspecionar as raízes
racionais de um polinômio, devemos:
Determinar os divisores de
Determinar os divisores de
Testar as combinações da forma:
2– TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS
Um raciocínio análogo pode ser feito para
um polinômio de coeficientes racionais, admitindo
uma raiz irracional:
Dado um polinômio de coeficientes racionais,
se
,
√ é raíz desse polinômio, com
então
√ também é raiz do polinômio.
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Vejamos exemplos a seguir:
Algebra
CASD Vestibulares
ATENÇÃO:
Observe que o teorema só é válido em
polinômios de COEFICIENTES INTEIROS. Por
exemplo, para o polinômio:
Exercício Resolvido 4
Ache as soluções de
.
Resolução
Utilizando o teorema das raízes racionais, devemos
inicialmente achar os divisores de
(que é 21) e de
(que vale 1):
( )
O teorema não é válido, pois nem todos os
coeficientes são inteiros.
Divisores de :
Divisores de :
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Testando as divisões possíveis, devemos testar os
números
e
:
( )
(1 é raiz)
( ) ( )
( )
( )
(-2 não é raiz)
( )
(3 não é raiz)
( ) ( )
( )
( )
(-3 é raiz)
( )
(-7 é raiz)
( ) ( )
( )
( )
(-7 não é raiz)
Inspecionando então, encontramos que 3, -1 e 7 são
raízes. Como o polinômio é de grau 3, essas são
suas únicas raízes.
Nível I
01. (UFC-CE) O polinômio ( )
,
em que e são números reais, possui o número
complexo
como uma de suas raízes. Então o
produto
é igual a:
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1
e) 2
02. (UFF-2010) Considere o polinômio
( )
a) Verifique se o número complexo é raiz de ( )
b) Calcule todas as raízes complexas de ( )
Exercício Resolvido 5
03. (UECE-2010) Os números
são as
soluções da equação polinomial ( )
, as quais
são todas simples. Se o polinômio ( ) é tal que
(√ )
√ , então o valor de (√ ) é igual a:
a) √
b) √
c) √
d) √
Determine as raízes de
Resolução
Vamos novamente utilizar o teorema das raízes
racionais:
Divisores de
:
Divisores de :
Assim, as divisões possíveis são
testar cada uma delas então:
( )
( ) ( )
(-1 não é raiz)
( )
( ) ( )
(-2 não é raiz)
(
)
(
)
e
04. (PUC- 2010) O polinômio
( )
é divisível por
a) Determine
b) Calcule as raízes de ( )
. Vamos
05. (UFRGS-2008) O polinômio
( )
tem:
a) apenas duas raízes reais distintas
b) apenas duas raízes positivas
c) todas as raízes positivas
d) quatro raízes iguais
e) quatro raízes distintas
(1 não é raiz)
(2 é raiz)
Assim a única raiz real é
polinômio é divisível por
método de Briot-Ruffini:
. Sendo assim, o
. Dividamos pelo
06. (PUC-SP-2007) Sabe-se que a equação
admite raízes inteiras. Se
é a maior das raízes não inteiras da equação,
então o valor de
é:
a) -6 b) -3 c) 0 d) √
e) √
07. (UECE) O polinômio P(x) de 3º grau, com
coeficientes reais, em que o termo de mais alto grau
tem coeficientes 1 e que admite 0 e 1 + 2i como
raízes é:
3
2
a) P(x) = x + 2x + 5x
3
2
b) P(x) = –x + 2x + 5x
3
2
c) P(x) = x – 2x + 5x
3
2
d) P(x) = x – 2x – 5x
Assim o quociente é
e o resto é 0. Sendo
assim as outras raízes são raízes de
:
{
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Algebra
CASD Vestibulares
Nível II
GABARITO
08. (UEL-2009) A equação
01. A
02.
a) Basta verificar que ( )
b)
e
Tem uma raiz inteira e duas raízes complexas
imaginárias puras. Sua quarta raiz é:
a) -2/3 b) -1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 4/3
03. A
09. (FUVEST) Suponha que o polinômio do 3º grau
( )
onde
e
são números
reais, seja divisível por
a) Determine em função de
b) Determine
para que ( ) admita raiz dupla
diferente de
c) Que condições
deve satisfazer para que ( )
admita três raízes reais e distintas?
10. (FUVEST) A equação
uma raiz inteira e duas imaginárias e .
a) Determine as raízes , e
b) Escreva a equação cujas raízes são
e
c) Determine a equação cujas raízes são ,
04.
a)
b)
√
,
05. D
06. B
07. C
tem
08. D
09.
a)
b)
c)
e
e
11. (UFC-2010) Considere a expressão
10.
a)
b)
c)
a) encontrar o valor numérico da expressão para
b) obter todas as raízes complexas do polinômio
( )
e{
}
{
√
√ }
11.
a)
b)
12. (UFJF-2007) Sobre o polinômio
( )
podemos dizer que:
a) possui uma raiz real e duas raízes complexas que
não são reais
b) a soma de suas raízes é igual a 15
c) o produto de suas raízes é igual a 12
d) uma das suas raízes é positiva de multiplicidade 1
e) nenhuma de suas raízes é um número natural
12. E
13. – Gabarito com o Professor
14. E
Nível III
13. (FUVEST-2013) Considere o polinômio
( )
a) Ache todas as raízes complexas de ( )
b) Escreva ( ) como produto de dois polinômios do
segundo grau, com coeficientes reais.
14. (ITA-2011) Com respeito à equação polinomial
É correto afirmar que:
a) Todas as suas raízes estão em
b) Uma única raiz está em e as demais
estão em
c) Duas raízes estão em
e as demais tem parte
imaginária não nula.
d) não é divisível por
e) uma única raiz está em
e pelo menos uma
das demais está em
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