Cálculo Innitesimal I 2015/01
Graduação em Matemática Aplicada UFRJ
Prof. Marco A. P. Cabral.
Monitor: Zair H. Almeida
Lista 00 Pré-cálculo
Two little mice fell in a bucket of cream.
The rst mouse quickly gave up and drowned.
The second mouse, wouldn't quit.
He struggled so hard that eventually
he churned that cream into butter and crawled out.
Gentlemen, as of this moment,
I am that second mouse.
Frank Abagnale Sr, Catch Me If You Can (2002)
1. Diga se é verdadeiro ou falso (em geral, ou seja, para quaisquer valores reais de x, y, a, b, c, m, n,
etc, exceto
quando for especicado outra restrição). Explique sua resposta. Por denição, lembre
√
2
que x = |x|. Neste primeiro momento, não há necessidade de tanto rigor (você não precisa
necessariamente provar as armações, e sim dizer porque acha que são verdadeiras ou falsas).
i. (a + b)2 = a2 + b2
1
2
1
ii. (2x − 3y)−2 = 2 −
+ 2
4x
6xy 9y
3
4
2
6
8
iii. (5a b ) = 10a b
iv. (−(−(−50 ))) = −1
v. (am+1 )2 = am
2 +1
vi. 3am−1 · 2a1−m = 6a
vii. (a + b)(a + b) = a2 + b2
viii. a2 · b3 = (ab)6
ix. 5a + 4b = 9ab
x. a3 = b3 ⇒ a = b
xi. a2 = b2 ⇒ a = b
√
xii. 9 = −3
√
xiii. 9 = 3
√
xiv. 9 = ±3
xv. x2 = 9 ⇒ x = 3
xvi. x2 = 9 ⇒ x = ±3
√
xvii. a2 + b2 = a + b
xviii. S = {x ∈ N | x2 − 3 = 0} é um conjunto unitário.
xix. S = {x ∈ Z | 2 < x < 3} é um conjunto vazio.
xx. S = {x ∈ N | x2 = 4} é um conjunto unitário.
xxi. S = {x ∈ Z | −2 ≤ x < 1} = {−2, −1, 0}.
xxii. A − (A − B) = A ∩ B , onde A e B são conjuntos.
xxiii. 0, 999 . . . = 1
xxiv. 0, 999 . . . < 1
xxv. 0, 999 . . . ∼
=1
xxvi. A soma de dois números racionais é sempre racional?
xxvii. A soma de dois números irracionais é sempre irracional?
xxviii. A soma de um número irracional com um número racional é sempre irracional?
1
xxix. O produto de dois números racionais é sempre racional?
xxx. O produto de dois números irracionais é sempre irracional?
xxxi. O produto de um número irracional com um número racional é sempre irracional?
xxxii. π ∈ Q
xxxiii. e 6∈ Q
xxxiv. sen (2x) = 2 sen (x)
xxxv. −x < 0
x a
x+a
xxxvi.
+ =
y
b
y+b
xxxvii. sen (x + y) = sen (x) + sen (y)
√
√
√
xxxviii. x + y = x + y
1
1 1
xxxix.
= +
x+y
x y
xl. sen2 (x) = sen (x2 )
xli. sen (x)2 = sen (x2 )
xlii. −32 = (−3)2
2
3
xliii. et et = et
xliv. e−6 + e−2 = e−8
xlv. log ab = log a log b
1
xlvi. x−3/2 = √
3
x
2. Analise as soluções para x e diga se estão corretas ou incorretas. Explique sua resposta e corrija as
soluções erradas.
(a) 1 + 3x > 6x + 7
Solução:
3x − 6x > 7 − 1
−3x > 6
3x < −6
6
x<−
3
x < −2
3
(b) 5 > + 2
x
Solução:
5x > 3 + 2x
5x − 2x > 3
3x > 3
x>1
(c) x2 − 4 > 0
2
Solução:
x2 > 4
√
x>± 4
x > ±2
3. Calcule o valor numérico da expressão
(x2 + y 2 − z 2 )2 − (x2 − y 2 + z 2 )2
4xy 2 + 4xyz
sabendo que 7x = y = z = 11. Dica: Não saia calculando. Use estrutura (A + B)2 − (A − B)2 .
√
4. Seja f : R → R tal que f (23x + 1) = 3x2 + 1 para todo x ∈ R. Qual o valor de f (93)?
5. O gráco da função f (x) é uma reta que passa pelos pontos (1, 6) e (3, 2). Calcule f (−1).
6. O gráco da função f : R → R denida por f (x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c são reais xos, passa
1
pelos pontos (2, 0), (− , 0), (0, −2). Calcule abc.
5
7. Encontre o conjunto-solução da inequação
2x − 1
5
< .
x+2
3
8. Sejam os polinômios P (x) = ax3 + bx2 + cx + d e Q(x) = 5x2 − 3x + 4. Sabendo que P (x) = Q(x)
para todo x ∈ R, calcule a + b + c + d.
9. Uma função f associa a cada número natural n a raiz quadrada positiva do menor quadrado perfeito
maior que n. Calcule f (10) + f (15) + f (25).
10. Uma função f : R → R é tal que f (5x) = 5f (x) para todo x ∈ R. Se f (25) = f (75), então calcule
f (1).
x
2
−
= 1.
x2 − 1 x − 1
11. Resolva a equação (encontre a solução):
12. Seja f : R → R denida da forma
f (3) = 2
f (x + 3) = f (x)f (3)
Calcule f (−3).
13. Se x = 1 + 2p e y = 1 + 2−p , encontre y em função de x.
14. (É importante se acostumar com a notação de somatórios) Determine o valor de:
(a)
(b)
(c)
100
P
k=1
50
P
n=1
500
P
k = 1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99 + 100.
2n = 2 + 4 + 6 + · · · + 98 + 100.
2b (sim é n e b).
n=1
15. Seja f : R → R uma função tal que
f (x + y) = x + f (y) para todo x, y ∈ R,
f (0) = 2.
Calcule f (2015).
3
16. Seja f : R → R uma função tal que f (ab) = f (a) + f (b) para todo a, b ∈ R. Calcule f (1).
17. Se xy = 2 e x2 + y 2 = 5, calcule o valor numérico de
x2
y2
+
+ 2.
y2
x2
18. Prove as seguintes identidades trigonométricas:
(a) sec2 (γ) = tan2 (γ) + 1.
α−β
(b) sen (α) + sen (β) = 2 sen ( α+β
2 ) cos ( 2 ).
(c) Se t = tan(x/2), então sen x =
1 − t2
2t
e
cos
x
=
.
1 + t2
1 + t2
19. Seja f : R → R tal que f (x) = x2 − 3x + 5. Calcule
f (x + h) − f (x)
.
h
20. Sejam f, g : R → R duas funções tais que f (4) = −4, g(4) = −2 e f (−2) = −1. Calcule f (g(4)).
21. Esboce o gráco de f (x) =
sen x
.
| sen x|
22. Determine o valor de log2 16 + log3
1
9
+ log0,25 64.
23. Fatore, se possível, as seguintes expressões:
(a) x2 − 2
(b) 3x2 − 1
(c) x2 − 3x + 1
(d) x2 − 3x + 4
(e) x2 + bx + c, onde b, c ∈ R (condições em b e c para poder fatorar?)
(f) ax + by + ay + bx
(g) x3 + 1
(h) x3 − b3
(i) xn − 1
(j) x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
√
(k) 2x2 + 3y 2 + 2 6xy
4