Capítulo 1 – MATRIZES
1.1 Generalidades
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 1/17
O conjunto K
• K ∈ {R, C}
• Aos elementos de K (reais ou complexos) chamamos
escalares.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 2/17
Definição de Matriz
Sejam m, n ∈ N. Chama-se matriz do tipo m×n, sobre
K, a qualquer quadro que se obtenha dispondo mn
elementos de K segundo m linhas e n colunas, isto é,
a qualquer quadro da forma

A
A12
 11

 A21 A22
A=
..
 ..
 .
.

Am1 Am2
···
···
..
.
A1n
A2n
..
.
· · · Amn




,



com Aij ∈ K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 3/17
Definição de Matriz (continuação)
Para cada i, i = 1, . . . , m, e para cada j, j = 1, . . . , n,
dizemos que:
• Aij é o elemento de A situado na linha i e na
coluna j.
• Aij é o elemento (i, j) de A.
• Aij é a entrada (i, j) de A.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 4/17
Notação e Exemplos
Representamos por
Mm×n (K)
o conjunto das matrizes do tipo m×n, sobre K.
E XEMPLO:

1

A=
 0
1
6

B=
1
0
2


−2 
 ∈ M3×2 (R)
9

2 7 0
 ∈ M2×4 (R)
−2 61 9
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 5/17
Exemplos/Exercı́cios
Construa a matriz A ∈ M2×3 (R) tal que
Aij = i + j,
com i = 1, 2 e j = 1, 2, 3.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 6/17
Definição de igualdade de matrizes
Dizemos que as matrizes A, B ∈ Mm×n (K) são iguais,
e escrevemos A = B, se
Aij = Bij ,
para i = 1, . . . , m,
j = 1, . . . , n,
i.e., se os elementos homólogos de A e de B forem
iguais.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 7/17
Igualdade de matrizes
E XEMPLO:
As matrizes

A=
1
0
a 3
−2
b


 ∈ M2×3 (R), B = 
1
2
3
0
−2
5

 ∈ M2×3 (R)
são iguais sse a = 2 e b = 5.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 8/17
Exemplos/Exercı́cios
E XERC ÍCIO 1.2, P ÁG . 6:
Indique a matriz A ∈ M3×3 (R) tal que:
(a) Aij = δij , sendo δij o símbolo de Kronecker.



 1, se i > j
(b) Aij =
0, se i = j .



−1, se i < j

 1, se i + j é par
(c) Aij =
.
 −1, se i + j é ímpar
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 9/17
Tipos especiais de matrizes
Seja A ∈ Mm×n (K).
• A diz-se uma matriz linha se m = 1.
• A diz-se uma matriz coluna se n = 1.
• A diz-se uma matriz quadrada se m = n. Neste
caso diz-se que A é quadrada de ordem n ou, simplesmente, que A é uma matriz de ordem n.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 10/17
Tipos especiais de matrizes (continuação)
Seja A uma matriz (quadrada) de ordem n, i.e.,

A
 11

 A21
A=
 ..
 .

An1
A12
···
A1n
A22
..
.
···
..
.
A2n
..
.
An2
···
Ann




.



• Aos elementos A11 , A22 , . . . , Ann chamamos os ele-
mentos diagonais de A.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 11/17
Tipos especiais de matrizes (continuação)
Seja A uma matriz (quadrada) de ordem n.
• Dizemos que A é uma matriz diagonal se
Aij = 0 para
i 6= j,
ou equivalentemente, se A tem a forma








A11
0
···
0
0
..
.
A22
..
.
···
..
.
0
..
.
0
0
···
Ann




.



Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 12/17
Tipos especiais de matrizes (continuação)
Seja A uma matriz (quadrada) de ordem n.
• Dizemos que A é uma matriz escalar se A é uma
matriz diagonal em que todos os elementos
diagonais são iguais, i.e., é uma matriz da forma








α
0
···
0
0
..
.
α
..
.
···
..
.
0
..
.
0
0
···
α




.



Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 13/17
Tipos especiais de matrizes (continuação)
• À matriz escalar de ordem n

1 0 ···


 0 1 ···

 .. .. . .
 . .
.

0 0 ···
0
0
..
.
1








chamamos matriz identidade de ordem n e
representamos por In .
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 14/17
Capítulo 1 – MATRIZES
1.2 Operações com matrizes
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 15/17
(Operação de) adição em Mm×n (K)
Sejam A, B ∈ Mm×n (K). Chamamos matriz
soma da matriz A com a matriz B, e denotamos por A + B,
a matriz de Mm×n (K) cuja entrada (i, j) é Aij + Bij , i.e.,
D EFINIÇ ÃO:
(A + B)ij = Aij + Bij ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 16/17
Adição de matrizes
E XEMPLO:

Sendo A = 

A+B =
2 −3
0
0
1
5

eB=
2 + (−3) −3 + 1
0+2

5+0
0+4
1+3
−3
1 4
2
0 3


=

 tem-se
−1
2
−2 4
5
4

.
Capı́tulo 1 - 1a Aula, 14/Out/2008 – p. 17/17