Capítulo 6 – VALORES e VECTORES
PRÓPRIOS
Capı́tulo 6 - 26a Aula, 16/Dez/2008 – p. 1/10
Endomorfismo
D EFINIÇ ÃO:
Seja E e.v. sobre K. Chamamos
endomorfismo de E a qualquer aplicação linear
de E em E.
Neste capítulo estudamos apenas
endomorfismos de E e consideramos que E é
um e.v. sobre K, com dim E = n ≥ 1.
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Valores e Vectores Próprios de um endomorfismo
Seja f : E → E uma aplicação linear,
com dim E = n. Se u ∈ E \ {0E } e α ∈ K são tais
que
D EFINIÇ ÃO:
f (u) = αu ,
dizemos que
•
α é valor próprio de f ;
•
u é vector próprio de f associado ao valor
próprio α.
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Valores e Vectores Próprios de uma matriz
Seja A ∈ Mn×n (K).
Se X ∈ Mn×1 (K) \ {0n×1 } e α ∈ K são tais que
D EFINIÇ ÃO:
AX = αX ,
dizemos que
•
α é valor próprio de A;
•
X é vector próprio de A associado ao valor
próprio α.
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Observações:
•
Um vector próprio está associado a um, e um
só, valor próprio.
•
Se α é valor próprio de A ∈ Mn×n (K) então
Mα = {X ∈ Mn×1 (K) : AX = αX}
= {X ∈ Mn×1 (K) : (A − αIn ) X = 0} .
é subespaço de Mn×1 (K).
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Subespaços Próprios de uma matriz
Sejam A ∈ Mn×n (K) e α valor próprio
de A. Ao subespaço vectorial
D EFINIÇ ÃO:
Mα = {X ∈ Mn×1 (K) : AX = αX}
chamamos subespaço próprio de A associado
ao valor próprio α.
dim Mα
designa-se
por
multiplicidade
geométrica do valor próprio α e é representada
por mg(α).
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Valores Próprios de uma matriz
Teorema: Sejam A ∈ Mn×n (K) e α ∈ K.
Tem-se:
α é valor próprio de A sse |A − αIn | = 0.
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Polinómio Caracterı́stico de uma matriz
D EFINIÇ ÃO:
Seja A ∈ Mn×n (K).
•
Chamamos a |A − xIn | polinómio
característico de A, que representamos por
pA (x).
•
Se α é valor próprio de A, chamamos multiplicidade algébrica de α, e representamos
por ma(α), a multiplicidade de α como zero
de pA (x).
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Exemplos/Exercı́cios
Seja A =




−1
0
0 −1
0 −1
0


1 

1
∈ M3×3 (R).
(a) Determine os valores próprios de A e
indique as respectivas multiplicidades
algébricas.
(b) Determine uma base de cada um dos
subespaços próprios de A e indique as
multiplicidades geométricas de cada valor
próprio.
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Mais caracterizações das matrizes invertı́veis
Proposição: Seja A ∈ Mn×n (K). São
equivalentes as afirmações:
1. A é invertível.
2. A não tem o valor próprio zero.
3. O termo constante do polinómio
característico de A é não nulo.
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