TURMA ESPECIAL DE EXATAS - MATEMÁTICA
DISCURSIVA OBRIGATÓRIA – PROF. GUSTAVO
Aluno(a): _______________________________________________
Data: ___/___/2012. Turma:_______
M – 010
1. Num triângulo ABC de área 144, são escolhidos pontos P, Q,R sobre os lados AB , BC e CA ,
respectivamente, de modo que o quadrilátero RPQC , assim formado, seja um paralelogramo.
C
R
Q
A
P
B
a) Supondo que AP = 2 ⋅ PB , calcule a área do paralelogramo RPQC .
b) Determine para quais valores da razão x =
AP
a área do paralelogramo RPQC é igual a 36.
AB
RESOLUÇÃO
a)
De fato, como RPQC é um paralelogramo, os triângulos Δ ABC, Δ APR e Δ PBQ têm os respectivos
ângulos iguais. Isto é, Â = Â = P̂ , B̂ = P̂ = B̂ , Ĉ = R̂ = Q̂ . Logo, esses triângulos são, dois a dois,
semelhantes. Como AP = 2⋅ PB , então AB = AP + PB = 3 ⋅ PB . Logo, a razão de semelhança dos triângulos
Δ ABC, Δ APR e Δ PBQ é, respectivamente, 3:2:1. Sabe-se que a razão entre as áreas de dois triângulos
semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Portanto, as áreas dos triângulos Δ ABC,
Δ APR e Δ PBQ estão, respectivamente, na razão 9:4:1. Assim,
1
1
Área( Δ PBQ) = ⋅ Área( Δ ABC) = ⋅ 144 = 16 ,
9
9
4
4
Área( Δ APR) = ⋅ Área( Δ ABC) = ⋅ 144 = 64 .
9
9
Como Área( Δ APR) + Área( Δ PBQ) + Área( RPQC ) = Área( Δ ABC), segue-se que a área do paralelogramo
é a diferença
Área( RPQC ) = 144 – 64 – 16 = 64.
2012_Discursiva_Obrigatória_Matem - 010
b) Os valores de x são: x 1 =
2+ 2
2− 2
e x2 =
.
4
4
Temos que AP = x ⋅ AB , logo
Como
Área( Δ APR ) = x 2 ⋅ Área( Δ ABC) = 144 x 2 .
PB
AB
=
AB − AP
AB
= 1− x ,
segue-se que
Área( Δ PBQ) = (1 − x ) 2 ⋅ Área( Δ ABC) = 144(1 − x ) 2 .
Como Área( Δ APR) + Área( Δ PBQ) + Área( RPQC ) = Área( Δ ABC), segue-se que:
144(1 − x ) 2 + 144 x 2 + 36 = 144 , o que implica: 8 x 2 − 8 x + 1 = 0 .
1
Resolvendo esta equação, obtemos duas soluções reais positivas
8 + 64 − 32 2 + 2
8 − 64 − 32 2 − 2
x1 =
e x2 =
.
=
=
16
4
16
4
Como 0 <
AP2
AB
=
AP1 2 + 2
2± 2
< 1 , segue-se que existem dois pontos P1 e P2 sobre o lado AB , com
=
4
4
AB
e
2− 2
tais que a área do paralelogramo RPQC é igual a 36.
4
2. Considere os conjuntos A = {(x, y)
D R a função tal que,
2
2
2
R ;x +y
16 e y
f(x) = cos
2
x - 4} e D = {x
R; ( x, 0) ∈ A }. Sendo f:
, se x < 0
2
x - 5x, se x > 0
Determine a imagem da função f.
RESOLUÇÃO
O conjunto A está representado pela parte hachurada da figura abaixo.
O conjunto D corresponde às abcissas dos pontos de intersecção de A com o eixo OX. Logo, D = [- 4, - 2] ∪
[2, 4] é o domínio de f. Para se encontrar a imagem da função f deve-se analisar a imagem nos dois
intervalos cuja união é o conjunto D.
.
i) Se x ∈ [- 4, - 2], então f(x) cos
Calculando os valores nos extremos do intervalo obtém-se f(–4) = cos(–p) = –1 e f(- 2) = cos
= 0.
Uma vez que a imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1] tem-se que para x ∈ [- 4, - 2] a imagem de f é
[-1, 0]
2
ii) Se x ∈ [2, 4], então f(x) = x – 5x .
Calculando os valores de f nos extremos do intervalo obtém-se f(2) = 4 – 10 = – 6 e f(4) =16 – 20 = – 4. Por
outro lado, a função quadrática definida pela sentença x2 – 5x tem um valor mínimo igual à imagem do
vértice da parábola correspondente que é
=
.
Logo, para x ∈ [2, 4], a imagem de f é
Conclui-se, portanto, de (i) e (ii) que a imagem da função f é igual a
3. No sistema de coordenadas cartesianas, as curvas E e C satisfazem as seguintes propriedades:
¾ Para qualquer ponto Q(x, y) de E, a soma das distâncias de Q(x, y) a F1 ( , 0) e de Q(x, y) a F2
( 3 , 0) é constante e igual a 4 u.c.
¾ C é uma parábola com vértice na interseção de E com o semi-eixo positivo Oy e passa por F2.
Com base nessas informações, determine os pontos de interseção de E e C.
2
RESOLUÇÃO
A curva E, satisfaz à propriedade de uma elipse com centro na origem; eixo maior sobre o eixo Ox; focos
, 0) e F2(
, 0) e distância entre os vértices igual a 4.
nos pontos F1(
Uma equação dessa elipse é
+
= 1 sendo a = 2 (distância dos vértices à origem) e c =
(distância
dos focos à origem).
Sabendo-se que a, b e c satisfazem a relação a2 = b2 + c2 , obtém-se b = 1 e a equação
+
=1
Uma parábola C com vértice na interseção de E com o eixo OY positivo, que é o ponto (0, 1), e que passa
por F2( , 0) tem para equação y – 1 = ax2 (I)
Substituindo-se F2 em (I) obtém-se a =
+1
Logo, uma equação de C é y =
Para encontrar as intersecções de E e C, substitui-se x2 = 3 − 3y na equação de E e obtém-se y = 1 ou y =
Para y = 1, tem-se x = 0 o que corresponde ao ponto (0, 1) que é o vértice da parábola.
Para y = − 1 , obtém-se x = ±
que corresponde aos pontos
e
4. Sobre um cilindro circular reto C e uma pirâmide triangular regular P sabe-se que:
2
¾ C tem volume igual a 24 cm3 e área de cada base igual a 4 cm ,
¾ P tem a mesma altura que C e base inscrita em uma base de C.
Calcule o volume do tronco dessa pirâmide determinado pelo plano paralelo à base que dista 2 cm
do vértice.
RESOLUÇÃO
Na figura 1 - cálculo da altura h do cilindro, 4 π · h = 24 π ⇔ h = 6 cm (altura da pirâmide).
Na figura 2 - área da base da pirâmide: Ab = 3 ·
1
· 2· 2· sen 120o ⇔ Ab = 3 3 cm2 .
2
Na figura 3, utilizando proporcionalidade, temos:
2
3 e seja V o volume do tronco assinalado.
⎛2⎞
=⎜ ⎟ ⇔S=
3
3 3 ⎝6⎠
S
V = volume da pirâmide maior – volume da pirâmide menor.
3
V=
1
1 3
·3 3 ·6 −
·2
3
3 3
V=
52 3
cm3 .
9
5
4
3
2
5. Considere o polinômio com coeficientes reais P(x) = 3x - 7x + mx + nx + tx + 6. Sabendo que P(x) é
2
divisível por x + 2 e possui três raízes reais que formam uma progressão geométrica, determine o resto
da divisão de P(x) por x + 2.
RESOLUÇÃO
2
Sabendo que P(x) é divisível por x + 2, concluímos que 2i e - 2i são raízes de P(x).
r
. r, r.q
q
r
−6
2i.( − 2i). .r.r.q =
⇔ r 3 = −1 ⇔ r = − 1
q
3
Como as outras raízes estão em P.G, podemos escrevê-las:
Utilizando o produto de raízes (Girard), temos:
−1
7
+ −1 + −1.q =
q
3
Desenvolvendo,temos :
2i + ( − 2i) +
2
Utilizando agora a soma de raízes, temos: 3q + 10q + 3 = 0
resolvendo , temos:
1
q = −3 ou q = 3
Concluindo então que as raízes são -1, 1 e
1
.
3
2
Logo, P(x) poderá ser escrito P(x) = 3.(x + 2).(x −
1
).(x + 1).(x − 3) (teorema fundamental).
3
Calculando P(-2), temos 3.((-2)2 + 2).(-2-1/3).(-2 + 1).(-2 - 3) (teorema do resto).
Temos P(-2) = -210.
Portanto, o resto da divisão de P(9x) por x + 2 é -210.
4