A seguir, uma demonstração do livro.
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Matemática comercial & financeira - 2

4
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
Juros Compostos
Iniciamos o capítulo discorrendo sobre como obter o montante composto,
o valor principal e a taxa de juros de aplicações compostas, explicando a
origem das fórmulas e como proceder em qualquer uma das calculadoras,
comum ou HP-12C. Em seguida, apresentamos o cálculo do prazo e os
conceitos de taxa nominal e efetiva. Na sequência, estudamos o regime
dos juros contínuos, que pode ser entendido como o princípio de
capitalização composta a um nível infinitesimal de correção.
Estudamos também a conversão de taxas compostas, a fórmula dos juros
compostos e os efeitos da inflação sobre os rendimentos das aplicações.
Finalizamos o capítulo apresentando os registradores financeiros da
calculadora HP-12C e como poderão ser utilizados para agilizar a obtenção
de resultados relacionados à capitalização composta.
Matemática comercial & financeira - 3
MONTANTE COMPOSTO
Ao contrário do capítulo anterior, onde incentivamos a resolução
dos exercícios diretos envolvendo juros e descontos simples através de
Mais rápidas do que as fórmulas, somente os
recursos financeiros da calculadora HP-12C
que serão apresentados no final deste
capítulo.
raciocínio lógico e porcentagem, no regime dos juros compostos,
geralmente, as fórmulas são o caminho mais apropriado. O exemplo a
seguir nos mostra como a fórmula do montante composto poderá ser
obtida utilizando-se o conceito deste regime discutido no capítulo 2
combinado ao do índice que aumenta apresentado no capítulo 1.
Exemplo 4A
Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita conforme taxa de juros de 10%
a.m. durante 3 meses. Encontre os montantes ao longo dos meses.
Como vimos no capítulo 2, o regime dos
 10%
 10%
10%
1.000,  
 1.100, 
 1.210, 
 1.331,
juros compostos toma o montante do
período anterior como base de cálculo para a
Existe um atalho que nos leva diretamente ao montante após 3
incidência da taxa de juros. Assim, você pode
meses, sem passar pelos montantes intermediários. Para obtê-lo, observe
reproduzir os montantes ao lado em sua
que, em vez de somar 10%, podemos utilizar o índice que aumenta
calculadora comum digitando '1000 + 10% +
10%. A partir de agora, o índice que aumenta uma taxa i (letra i minúscula)
10% + 10%'. Na HP-12C, faça '1000 ENTER
será designado por I (letra i maiúscula):
10% + 10% + 10% +'.
I
i
1
100
Conforme vimos no capítulo 1, aumentar um valor em 10% é equivalente
a multiplicá-lo pelo índice que aumenta 10%, isto é, 1,10. Desta forma:
Usando a sua calculadora, confira os efeitos
produzidos pelo índice 1,10 nas
multiplicações do quadro ao lado. O resultado
mostrado na calculadora comum será '1.1'
10
 1  0,10  1  1,10
100
1.000, 1.100, 1.210, 1.331,
I
1,10
1,10
1,10
que é o mesmo de '1,10', o exibido na HP12C configurada para vírgula decimal e 2
Resumindo, partindo do valor principal de R$ 1.000,00, fizemos 3
casas.
multiplicações por 1,10 para chegar ao montante no final dos 3 meses:
Podemos representar uma multiplicação de
FV  1.000  1,10  1,10  1,10
fatores iguais por uma potenciação, como
FV  1.000  1,103
indicada. Na calculadora comum, digite '1.10
x = =' para obter 1,103. Em seguida, digite 'x
Concluímos, então, que esta é a estrutura de cálculo do montante
1000 =' para obter o montante. Na HP-12C,
composto. Veja que, se alterássemos o valor principal PV para 2.000,00, o
faça '1.10 ENTER 3 yx' para 1,103 e, seguida,
montante FV seria obtido multiplicando-se 2.000 por 1,103. Se
multiplique por '1000 x'.
alterássemos o prazo n para 4 meses, o montante FV seria obtido com
mais uma multiplicação por 1,10, o que resultaria 4 no expoente de 1,10.
Finalmente, se a taxa i fosse outra, o índice que aumenta i (I) seria outro.
Desta forma, chegamos à conclusão de que a fórmula do montante
composto será:
onde:
FV é o montante composto;
PV é o valor principal; e
I é o índice que aumenta a taxa de juros i, ou
seja, I 
i
1.
100
FV  PV  I n
Esta é considerada o ponto de partida para todas as demais fórmulas
deste regime, isto é, a fórmula básica do regime composto.
Matemática comercial & financeira - 4
Exemplo 4B
Uma aplicação de R$ 3.000,00 será feita segundo a taxa de 2% a.m.
durante 10 meses. Encontre:
a) os juros totais produzidos;
b) a taxa de juros do período de 10 meses.
Veja que a potência 1,0210 pode ser obtida
a)
2
 1  1,02
100
rapidamente em sua calculadora comum
I
digitando '1.02 x' e, em seguida, 9 vezes a
FV  3.000  1,0210
tecla '='. Em seguida, basta multiplicar por
FV  3.000  1,2189941
3000. Na HP-12C, faça '1.02 ENTER 10 yx'
FV  3.656,98
J  FV  PV  656,98
para obter a potência e, depois, multiplique,
'3000 x'.
Inicialmente, calculamos o índice I (que poderia também ter sido feito
mentalmente). Em seguida, substituímos os valores na fórmula básica.
Ainda que a multiplicação esteja sinalizada antes da potenciação, esta
última, por ser mais complexa, é prioritária sobre a multiplicação,
indicando que deverá ser feita primeiro. Logo, o montante no final dos 10
meses será de R$ 3.656,98. Com isso, os juros em reais serão R$ 656,98,
isto é, a diferença entre FV e PV.
b) Para a obtenção de FV, observe que o valor de PV aparece multiplicado
Partindo do índice que aumenta, podemos
na fórmula por In, que, neste caso, pode ser aproximado por 1,2190.
chegar ao percentual aumentado seguindo os
Assim, este número poderá ser considerado o índice que aumenta PV em
passos contrários. Em outras palavras, de i
21,90%. Desta maneira, esta será a taxa de juros ganha na aplicação em
para I, dividimos por 100 e somamos 1.
10 meses:
Assim, de I para i, subtraímos 1 e
multiplicamos por 100:
In  1,0210  1,2189941
i  (1,2189941  1)  100
 100  1
i  21,90% em 10 meses

 I
i 

 1  100
Veja que tal percentual difere de 2% x 10 meses = 20%, o que seria
verdadeiro caso o regime fosse o simples. Tal diferença já era esperada a
partir do conhecimento de que, no regime simples, a base de cálculo dos
juros é sempre o capital inicial PV, o que produz juros periódicos sempre
iguais (j) enquanto que, no composto, a base de cálculo dos juros é o
montante do mês anterior, o que produz juros periódicos sempre
diferentes.
CÁLCULO DO VALOR PRINCIPAL E DA TAXA DE JUROS
Em problemas diretos, quando a incógnita for o valor principal PV
ou a taxa de juros i, podemos substituir as informações sobre a fórmula
básica e resolver as equações resultantes.
Exemplo 4C
Qual é o valor aplicado a 3% a.m. durante 5 meses que produziu um
montante de R$ 4.637,10?
Inicialmente, calculamos o índice que
aumenta 3%.
I
3
 1  1,03
100
Matemática comercial & financeira - 5
Em seguida, substituímos as informações na
FV  PV  In
fórmula básica do regime composto e
4.637,10  PV  1,035
resolvemos a equação em PV. Para efetuar a
PV 
divisão na calculadora comum, digite '1.03 
4.637,10
1,035
 4.000,00
=====x4637.10='. Na HP-12C, faça
'4637.10 ENTER 1.03 ENTER 5 yx '.
Desta forma, o valor aplicado é R$ 4.000,00. O próximo exemplo mostra
como proceder quando o valor desconhecido for a taxa de juros i.
Exemplo 4D
Um capital de R$ 2.000,00 renderá juros de R$ 544,56 em 7 meses se for
aplicado a que taxa de juros mensal?
Substituímos as informações na fórmula
FV  PV  I n
básica do regime composto e observamos a
2.544,56  2.000  I7
2.544,56
I7 
 1,2722791
2.000,00
equação com a incógnita I elevada à 7ª
potência.
Se a calculadora disponível for a HP-12C, podemos facilmente continuar a
equação extraindo-se a raiz sétima nos dois lados da mesma:
Para fazer isso na HP-12C, digite '1.2722791
I7  1,2722791
ENTER 7 1/x yx'. Em seguida, '1  100 x' para
I  7 1,2722791  1,0350
i  (1,0350  1)  100  3,50% a.m.
obter a taxa de juros mensal.
Já na calculadora comum, teremos que usar o método das tentativas e
erros, e isso pode implicar em elevar diversos índices I à 7ª potência, até,
obter aquele cujo resultado é 1,2722791 (ou próximo a este número):
Começamos com o índice de 1% (1,01) e
verificamos que o resultado 1,017 está longe
I
I7
de 1,2722791. Em seguida, passamos aos de
1,01
1,017=1,0721353
1,02
1,027=1,1486855
1,03
1,037=1,2298737
1,04
1,047=1,3159316
1,035
1,0357=1,2722791
2%, 3% e 4%. Veja 1,2722791 é
intermediário ao de 3% e ao de 4%.
Testamos, então, o índice de 3,5% (1,035), o
que dá exato. Logo, a taxa mensal é de
3,5%.
Como explicado na coluna auxiliar, concluímos, também pela calculadora
comum, que a taxa de juros mensal será de 3,5%.
Exemplo 4E
Um terço do capital que tinha apliquei a 2% a.m. durante 4 meses e o
restante apliquei a 3% a.m. pelo mesmo período. A soma dos montantes
produzidos foi igual a R$ 2.000,07. Encontre o capital inicial.
Considere PV o capital inicial. Assim, sua terça parte, PV/3, será aplicada a
2% a.m., enquanto que seus 2 terços restantes, 2PV/3, a 3% a.m.:
Designamos por FV1 e FV2 os montantes da
1ª e da 2ª aplicações respectivamente. Os
valores principais, PV1 e PV2 foram
substituídos pelas frações de PV, o capital
total inicial.
PV
 1,024
3
2PV
FV2 
 1,034
3
FV1 
Matemática comercial & financeira - 6
Efetuamos 1,024 e dividimos por 3 para
Como a soma dos montantes produzidos é igual a R$ 2.000,07, fazemos:
obtermos 0,3608107PV; analogamente,
PV
2PV
 1,024 
 1,034  2.000,07
3
3
0,3608107PV  0,7503392PV  2.000,07
obtemos 0,7503392PV. Somando estas
FV1  FV2 
parcelas, encontramos 1,1111499PV que
deverá ser igual a 2.000,07. Dividindo tudo
1,1111499PV  2.000,07
2.000,07
PV 
 1.800,00
1,1111499
pelo coeficiente de PV, encontramos
1.800,00 que é o valor inicial.
Assim, o principal PV1 será PV/3 = 1.800,/3 =
De fato, podemos fazer a prova real deste exemplo efetuando os cálculos
de suas duas aplicações:
600, enquanto que PV2 será 2PV/3 =
1.200,00.
FV1  600  1,024  649,46
FV2  1.200  1,034  1.350,61
FV1  FV2  2.000,07
Exemplo 4F
Encontre o valor aplicado PV que resultou em montante FV após n meses
Este exemplo trata da obtenção da fórmula
sob taxa de juros de i% a.m.
do valor presente PV. Partindo-se da fórmula
básica, divida toda a equação por I n . Em
FV  PV  I n
seguida, inverta a fórmula pela reflexividade
FV
da igualdade.
In
 PV
PV 
FV
In
Esta fórmula poderá ser útil em problemas mais elaborados de análise
financeira, como na determinação do valor presente líquido de um
diagrama de fluxos de caixa.
Valor presente líquido NPV (Net Present
Value) de um diagrama fluxo de caixa é a
Exemplo 4G
soma dos valores presentes dos fluxos
Encontre o valor presente líquido NPV dos seguintes fluxos de caixa,
futuros, considerando-se cada um deles
considerando a taxa de atratividade de 1% a.m..
como um montante no prazo em que ocorre
a uma taxa de juros do mercado, a chamada
500,00
taxa de atratividade. Serve para qualificar
400,00
um investimento na data zero a partir das
300,00
expectativas de retorno que o mesmo gera
em períodos futuros.
0
Desta forma, se o investimento na data zero
for menor que NPV, significa que o diagrama
será viável financeiramente. Caso contrário,
se for maior que NPV, o investimento
1
2
3
4
5
Conforme explicação na coluna auxiliar, o valor presente líquido será a
soma dos valores presentes de cada fluxo futuro que é considerado como
um valor futuro:
promete menos do que uma aplicação
segura a 1% a.m., a taxa de atratividade do
mercado, não sendo, portanto, viável
financeiramente.
FV
FV
500
300
400
 33  55 


I2
I
I
1,012 1,013 1,015
NPV  1.161,91
NPV 
FV2
Matemática comercial & financeira - 7
EXERCÍCIOS
1) Uma aplicação de R$ 2.000,00 será feita sob taxa composta de 1,5%
a.m. durante 12 meses. Encontre:
a) a taxa de juros do período (anual);
b) o montante produzido;
c) os juros produzidos.
2) Uma aplicação de R$ 3.000,00 será feita sob taxa composta de 5% a.t.
durante 2 anos e 9 meses. Encontre:
a) a taxa de juros do período;
b) o montante produzido;
c) os juros produzidos.
Dica 3: no regime composto, não se converte
taxas de juros apenas multiplicando-se ou
dividindo-se, ao contrário do regime simples.
No entanto, os prazos são convertidos da
mesma maneira. Assim, 1 mês = 1/2
3) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 6% a.b.
durante 1 mês. Encontre:
a) a taxa de juros do período (mensal);
b) o montante produzido;
c) os juros produzidos.
bimestre. Para calcular 1,061/2, extraia a raiz
4) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 7% a.b.
quadrada de 1,06. Isso porque
durante 3 mês. Encontre:
1,061/2  2 1,061 . Em geral, Ip/q 
q
Ip .
a) a taxa de juros do período (trimestral);
b) o montante produzido;
c) os juros produzidos.
Dica 5: na calculadora comum, para se extrair
uma raiz quarta, tiramos duas raízes
quadradas consecutivas. Na calculadora HP12C, para se tirar a raiz quarta de 1,08,
digitamos '1.08 ENTER 4 1/x yx'.
5) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 8% a.q.
durante 1 mês. Encontre:
a) a taxa de juros do período (mensal);
b) o montante produzido;
c) os juros produzidos.
6) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 20%
Dica 6: na calculadora comum, para se extrair
a.a. durante 45 dias. Encontre:
uma raiz oitava, tiramos três raízes quadradas
a) a taxa de juros do período;
consecutivas. Na HP-12C, digitamos o valor
b) o montante produzido;
seguido de 'ENTER 8 1/x yx'.
c) os juros produzidos.
7) Qual é o valor principal em reais que resulta em montante de R$
2.980,37 após 1 ano sob taxa composta de 2% a.m.?
8) Qual é o valor principal em reais que resulta em montante de R$
2.179,64 após 5 meses sob taxa composta de 1,5% a.b.?
9) Um quarto de um capital apliquei a 2% a.m. durante 5 meses e o
restante apliquei a 3% a.m. durante o mesmo período. Se o montante
final produzido foi de R$ 6.872,85, encontre o capital aplicado.
10) Qual é o valor presente de um crédito de R$ 3.000,00 daqui a 10
meses considerando-se a taxa de 0,8% a.m.?
11) Qual é o valor presente de um crédito de R$ 3.000,00 daqui a 105 dias
considerando-se a taxa de 0,8% a.m.?
Matemática comercial & financeira - 8
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